Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phương pháp lặp giải phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI – 2014 ■ Để hoàn thành khóa luận này tôi đã nhận được rất nhiều sự hưóng dẫn, giúp đỡ của các thầy, cô giáo, bạn bè và gia đình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó. Đẩu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sự dạy dỗ tận tình của các thầy, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, những ngưòi đã trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản và vô cùng quý báu. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã tân tình hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này, người đã cho tôi những lời khuyên bổ ích trong lúc tôi gặp khổ khăn và truyền cho tôi lòng say mê, nhiệt tình. Xin cảm ơn những người bạn thân thiết và gia đình thân yêu đã luôn ở bên, động viên và tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian qua. Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực hiện Yũ Thị Thanh Hiếu Khóa luận tốt nghiệp: “MỘ T S Ố PH Ư Ơ N G P H Á P LẶ P G I Ả I P H Ư Ơ N G T R Ì N H V Ỉ P H  N ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. LỜI CẢM ƠN Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực hiện Yũ Thị Thanh Hiếu LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học gắn liền vói thực tiễn, sự phát triển của toán học được đánh dấu bỏi những ứng dụng toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến phương trình vi phân thường, vì vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học. Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân thường nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do yậy vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường. Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường, ữong số đó có phương pháp lặp. Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong phạm vi một khóa luận tốt nghiệp, em xin manh dạn trình bày những hiểu biết của mình về một số phương pháp lặp giải gần đúng phương trình vi phân thường, cụ thể là hai phương pháp: phương pháp Runge - Kutta và phương pháp Newton - Kantorovich với tên đề tài là: “M Ộ T S Ô ' P H Ư Ơ N G P H Á P L Ặ P G I Ả I P H Ư Ơ N G T R Ì N H V Ỉ PH  N ". 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày lý thuyết của hai phương pháp: phương pháp Runge - Kutta và phương pháp Newton - Kantorovich, sau đó là ứng dụng để giải phương trình vi phân thường của hai phương pháp này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 5 Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của khóa luận là: - Phương pháp Runge - Kutta và ứng dụng giải phương trình vi phân thường. - Phương pháp Newton - Kantorovich và ứng dụng giải phương trình vi phân thường. 4. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu Phương pháp Runge - Kutta và phương pháp Newton - Kantorovich giải gần đúng phương trình vi phân thường. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận, tài liệu chuyên khảo. - Phân tích, tổng hợp kiến thức. 6. Bố cục của khóa luận Khóa luận gồm 50 trang, được bố cục thành ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung của khóa luận được trình bày trong ba chương: Chương 1: Nêu lên các khái niệm, định lí có liên quan đến hai phương pháp: phương pháp Runge - Kutta và phương pháp Newton - Kantorovich. Chương 2: Xây dựng và ứng dụng phương pháp Runge - Kutta vào việc giải gần đúng phương trình vi phân thường, một số bài tập áp dụng. Chương 3: Xây dựng và ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich vào việc giải gần đúng phương trình vi phân thường, một số bài tập áp dụng. CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUAN BỊ 6 1.1. Sai số 1.1.1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối 1.1.1.1. Số gần đúng, sai sô'tuyệt đối và sai số tương đối Trong tính toán thông thường, người ta không biết số đúng A * mà chỉ biết các số đủ gần của nó là A . Số A được gọi là gần đúng Ầ , độ lệch H = A * -A được gọi là sai số thực sự của A . Vì không biết A nên không biết h. Tuy nhiên có thể xác dinh được một số dương AA > \ H \ sao cho A - AA <  < A + AA , số A A bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai SỐ tuyệt đối của A . Tỷ số ỗ = ^ được gọi là sai số tương đối của A. \a\ AA có cùng thứ nguyên với A , còn ô là số không có thứ nguyên và được biểu diễn bằng %, 1.1.12. Sự thu gọn các số, sai sô'thu gọn Giả sử A được biểu diễn dưới dạng thập phân: a = ±{P p .W+J3 p _ v W- l + + P p _ q .W-«) trong đó Pị, (i = p, p-l,p-q) là các số nguyên dương từ 0 đến 9. Thu gọn A là vứt bỏ đi một hàng bên phải trong biểu diễn của A để được một số gần đúng à gọn hơn nhưng vẫn bảo đảm độ chính xác cần thiết. Quy ước nếu chữ số đẩu tiên bỏ đi tính từ bên trái qua có giá trị >5 thì khi thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại 1 đơn vị, nếu <5 thì giữ nguyên. 1.1.1.3. Cách viết số gần đúng Ta thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối và tương đối). 7 Chẳng hạn: a = 13,52 (±0,002); B = 0,085 (±2%), Trong các bảng số thường chỉ giữ lại các chữ số chắc, tức là các số mà chữ số cuối cùng được giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm tròn số (ở đây không đưa ra đinh nghĩa chính xác của chữ số chắc). 1.1.2. Sai số tính toán kJ\/ llVMU Giả sử cần tính giá trị một hàm Y * = F ( X *, X* ,XJ ), trong đó chỉ biết các giá tn gần đúng jCp X 2 ,X N với các sai số tương ứng AX Ị (hay Ổ X ). Sai số của G I Á T RỊ Y = F (X V X 2 ,X N ) được gọi là sai số tính toán. Giả sử / là một hàm khả vi, liên tục theo các biến XỊ , khi đó: y-y* = /Oi> Xỉ, •••> •*») -/(*г, X*,X*) = Х/'*,0)(Л -*;*) ( 1Л ) Ĩ=1 trong đó X là điểm trung gian nằm giữa các điểm (jCp X 2 ,X N ) và (Xj ,x 2 x n ). Như vậy ta có thế viết: n n !, x 2 ,*„)(*. -X*) < XI/';(*!’ =Ạy ì— 1 Í=1 y - ỳ 8 Ta có công ứiức: ky = Ỳ\f' i (.x l ,x 2 , ,x n ỷậa i ;=1 Ly lí (1.2) ẦXỊ (1.3) (1.3’) A*,=ì i=l ^-ìnf(x v x 2 , ,x n ) ởx, |y| i=i Công thức trên đôi khi có thể viết: Эу = A ln I Y\ F'I(X V X 2 , % N) /(*p *2’ . 1.1.2.1. Sai số của tổng: у - X 1 + x 2 + + x n ; у ' = 1 Theo (1.2) ta có: AY = ^AX T i=1 Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng. 1.1.2.2. Sai số của tích: y - x 1 x 2 x n ln|y| = 5>|*,.| i=1 Theo (1.3’) ta có: 3Y = Aln|y| = ^ÀlnỊ^I = Y ' SX I i=\ i=1 Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của từng thành phần. 1.1.2.3. Sai số của thương: y = — y* = ir ; y*i ; ổy = ổx l + ổx 2 + | jcJAx: 2 Từ đó: ẠY = dx . 3/ Ay=± i=l AXị = NC. Ay (ỉ _TZ\ dx, (ỉ' = l,n) 3/ a/ D XỊ DX T 1.1.2.4. Sai số của y = ln X: Ay = ổx 1.1.3. Bài toán ngược của sai số Giả sử đại lượng Y tính theo công thức Y=F {X 1 ,X n ). Hỏi phải lấy AXỊ bằng bao nhiêu để Ạy < consí cho trước ? Nguyên lí ảnh hưởng đều: 3/ TRƯỜNG HỢP 1 : Ta coi suy ra Vậy AXị = Trường hợp 2: Nếu coi AXị - consí íi = l,n) thì AXị= — ' ' n 7=1 __ Ar TR Ư Ờ N G H Ợ P 3 : Nếu coi <5*! = £x 2 = = và đặt Ả: = -j—[■ thì 1.2. Công thức nội suy bằng sai phân 1.2.1. Sai phân và các tính chất Cho Y = F (X ) xác định trên một tập hợp X, H là hằng số lớn hơn 0. SỐ gia À/O) = F (X + H )-F ( X ) gọi là sai phân cấp một của F (X ) tại X. Biểu thức: A 7 = A[A/(*)] = [/(* + 2 H ) -F (X + H )] ~ [F (X + H ) - F 00] = AF (X + H )~ A F ( X ) được gọi là sai phân cấp hai của / tại X. Biểu thức: A K F = A[A*V] được gọi là sai phân cấp k của /. Giả sử F ( X ) được cho bằng bảng tại các giá trị cách đều của đối số, y t = f( x i)> x i = * 0 + ỉ7ỉ ’ 0’ = 0 , ± 1 , ± 2 , ) Khi đó có thể lập bảng các sai phân cấp 1,2, của / như sau: Bảng 1.1: XỊ Y I =F (X I ) A 2 /(*,) A 3 /(*,) A 4 /(^) X -2 F- 2 X- L /-1 A/_ 2 XQ /o A/_, A 2 /-2 X, /l 4/0 A 2 /-! A 3 /-2 *2 /2 4fi A 2 /o A 3 /-! A 4 /-2 4y_ dx. Aj’ = *Ê i=l (ỉ'=l,n) ‘0X X ; a* { ĩ j=i X, i= 1 [...]... 35 Phương pháp Runge - Kutta có thể áp dụng để giải một hệ phương trình vi phân thường cấp một hay một phương trình vi phân cấp cao 36 Để giải một hệ, nếu ta dùng kí hiệu vectơ thì các công thức để tính Ày,, hoàn toàn giống như trường hợp một phương trình 37 Với một phương trình cấp cao ta chỉ vi c biến chúng thành một hệ tương đương Ở đây trình bày ví dụ cụ thể dùng phương pháp Runge Kutta để giải một. .. và một số khái niệm về phương trình vi phân thường Đây là chương rất cần thiết nhằm hỗ trợ, bổ sung những kiến thức cơ bản phục vụ cho nội dung hai chương sau Nội dung chương hai sẽ trình bày về phương pháp Runge - Kutta giải gẩn đúng phương trình vi phân thường và một số bài tập áp dụng của phương pháp này CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 2.1 Bài toán: Xét bài toán. .. lí 1.5.1 ta có => Đpcm 1.6 .Một số khái niệm về phương trình vỉ phân thường * Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo hàm của nó (;t + /ỉ)-(;t)-/'(;y)0 là một số dương nào đó và hàm y0 (jt) tùy ý cho trước Sai số giữa Y N ( X ) và y(jt) được đánh giá bỏi công thức sau: e.=\y (*>-yU)\ Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) У Х , Y E X , А(дг + y) = A(;t) + A(y); 2) У Х Е X, Va, А{ A X ) = flA(jc) Ở đây để cho gọn ta vi t A* thay cho A(*) Nếu X = Y ta nói A là toán tử trong X Kí hiệu Im A là miền giá tn của toán tử A, ta có:... (toán tử liên tục) Giả sử X , Y là hai không gian đinh chuẩn Toán tử А: X —» Y gọi là liên tục tại X 0 € X nếu: v{xn} X 0 ( N — > °o) thì A X N — > Ax0 (n —» °°) Toán tử A gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X Định nghĩa 1.4.3: ị toán tử bị chặn) Toán tử A : X —» Y gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số к > 0 sao cho: ||Ajc|| ^&||*||, Vjcs X Định nghĩa 1.4.4: (toán. .. y0{n~l) trong đó JC0, y0, Y 0là những số cho trước * Hàm Y = < P ( X ) được gọi là nghiệm của phương trình (1.9) nếu thay Y = Ẹ{X), Y' = (n) Ẹ\X),J = ộ?(n) (x) vào (1.9) ta được đồng nhất thức * Hàm Y = Ọ(X,C), (ce R) có đạo hàm riêng ứieo biến X đến cấp n gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) nếu: V(jc,y)eD ( D là miền xác đinh của phương trình) ta có thể giải ra đối với C , C = Ự(X,Y) Hàm )> . nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường, ữong số đó có phương pháp lặp. Dưới góc độ một sinh vi n sư phạm chuyên ngành Toán và trong phạm vi một khóa. vi một khóa luận tốt nghiệp, em xin manh dạn trình bày những hiểu biết của mình về một số phương pháp lặp giải gần đúng phương trình vi phân thường, cụ thể là hai phương pháp: phương pháp Runge. vụ nghiên cứu của khóa luận là: - Phương pháp Runge - Kutta và ứng dụng giải phương trình vi phân thường. - Phương pháp Newton - Kantorovich và ứng dụng giải phương trình vi phân thường. 4. Đối