Luận văn ứng dụng phương pháp tham biến bé giải phương trình vi phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM BIEN BÉ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYEN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Bắc Ninh, Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Cừ gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả Nguyễn Thị Thanh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm Nguyễn Thị Thanh Mục lục 2014 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: c Tập số phức C[a.j] Tập tất hàm số thực liên tục CỊ1, J Tập tất hàm số xác định cóđạo hàm liên tục đến [ A , 6] cấp N [a, 6] N Tập N* Tậpsố tự nhiên khác không M Tập RK Không gian vectơ thực L (X , Y) Không số tự nhiên số thực K chiều gian cáctoán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Tập hợp rỗng 11. 11 Chuẩn MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Phương pháp tham biến bé phương pháp ứng dụng nhiều giải phương trình. Phương pháp tham biến bé đề xuất công trình Schauder để giải phương trình đạo hàm riêng elliptic vào kỷ XIX. Sau áp dụng nhiều công trình nhà toán học Liên Xô vào việc giải phương trình toán tử. Đặc biệt giúp cho việc giải xấp xỉ phương V trình toán tử. Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp tham biến bé ứng dụng vào giải phương trình vi phân phi tuyến, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh, nên chọn nghiên cứu đề tài: " Ứ N G D Ụ N G P H ƯƠN G P H ÁP T H A M B IẾ N B É GIẢ I MỘT SỐ PH ƯƠ N G TR Ì N H V I P H Â N PH I T UY Ế N " 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp thác triển theo tham số phương pháp tham biến bé rời rạc giải phương trình toán tử. Luận văn trình bày ứng dụng phương pháp nói vào giải phương trình tích phân, phương trình vi phân phi tuyến giải số máy tính phần mềm Maple. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lý thuyết phương pháp tham biến bé nêu trên. - Nghiên cứu phương pháp tham biến bé. - Nêu ứng dụng phương pháp tham biến bé vào giải số phương trình toán tử vi phân phi tuyến cụ thể, phương trình toán tử tích phân. - Giải số số phương trình vi phân cụ thể. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương pháp tham biến bé liên tục. - Phương pháp thác triển theo tham số. - Phương pháp tham biến bé rời rạc. - Một số ứng dụng vào giải số phương trình vi phân phi tuyến cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan. - Vận dụng số phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp Giải tích cổ điển, Phương trình vi phân, Giải tích hàm, Giải tích số lập trình cho máy tính. 6. Đóng góp luận văn - Trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp tham biến bé rời rạc, phương pháp thác triển theo tham số. - ứng dụng phương pháp nói vào giải phương trình toán tử vi phân, phương trình toán tử tích phân. Lập trình Maple để giải số phương trình vi phân phi tuyến cụ thể. Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric tập hợp X Ỷ với ánh xạ d : X X X —>■ R thỏa mãn tiên đề sau đây: i) i^x, y E X)d (X, y) > 0, d (x, y) = X = y, (tiên đề đồng nhất); ii) (yx,y iii) ẽ X ) d ( x , y ) = d ( y , x ) , (tiên đề đối xứng); (\/x, y,z £ X) d (X, y) < d (X, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác). Ánh xạ d gọi metric X, số d ( x , y ) gọi khoảng cách hai phần tử X , y. Các phần tử X gọi điểm; tiên đề i), ii), Ui) gọi hệ tiên đề metric. Không gian metric ký hiệu M = ( X , d ) . Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = ( X , d ) . Một tập XQ Ỷ Ộ tập X với metric d X lập thành không gian metric. Không gian metric M = (X Q , d ) gọi không gian metric không gian metric cho. V Í DỤ 1.1.1. Với hai điểm X = (xi, X ,X K ), Y = ( Y I , V , V K ) thuộc không gian vectơ thực K chiều R K ( K số nguyên dương đó) ta đặt: d(x,y)= \ Y, - Vjf ■ =1 Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề i), ii) metric. Dễ kiểm tra hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: với 2K số thực DJ , BJ (j = 1, 2, .,k) ta có: = . ẻ«ỉA ±*r \ 3= \ = Thật 0 d ( x , y ) < d (X , z ) + d (z, y). Do hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề iii) metric. Vì hệ thức (1.1.1) xác định metric không gian . Không gian metric tương ứng ký hiệu Mfc thường gọi không gian Euclidean, metric (1.1.1) gọi metric Euclidean. 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Giả sử X không gian metric đủ ánh xạ T : X —> X thỏa mãn điều kiện: d (T x , T y ) < a d (X , y ), với số < A < Va;, Y X* = Tx*, với X0 E X. Khi tồn phần tử X* e X cho G X dãy { X N } N € N xác định X Ỵ + = Tx*;, VẢ; ẽ N, hội tụ đến X*, đồng thời ta có ước lượng: Oí d ( x n , x * ) < ---- - d ( x ị , x ) 1—A — a 10 (1.1.3) 0.182 0710 0.032 1182 77 0.005 4997 0.032 1182 0.182 0710 -0.00094173 0.03117654 Ta tính nghiệm sau: U— J-1(t/ (°))/(t/(°)) V > := MA T R IX (4, 1, [0.2,0.2,0.2, 0.2]); > TO := multiply( FQ, > t/(1) := E V AL M ( U W - TO); ( 0.101097 f/(D 3534 ^ 0.1184085 441 0.1184085 441 V 0.1010973534 J (2) Bằng cách tương tự ta có bảng sau (3) (4) (5) U\ U\ U\ U\ 0.2 0.2 0.2 0.2 0.021280479 -0.061768359 -0.05743821 -0.057268316 0.037310918 -0.086838835 -0.08083174 -0.080546732 0.037310918 -0.086838835 -0.08083174 -0.080546732 0.021280479 -0.061768359 -0.05743821 -0.057268316 Bảng 3.2 Áp dụng tiếp đa thức nội suy Lagrange với mốc X 0.2 0.4 0.6 0.8 u -0.057268316 -0.080546732 -0.080546732 -0.057268316 Bảng 3.3 */X \ I 0.4) —0.6) (X — 0.8) ( X — 1) U *( X ) = -0.0572683 15967—r^— ; ; ;v v w ’ ' (0.2 0.4) (0.2 0.8) (0.2 - 1) „ X (x — 0.2) (x — 0.6) (a? — 0.8) (a? — 1) 0.08054673 2307 --------------------------yv w ^--------------------------^-------------------------------/--------------------------------(0.4 - 0) (0.4 - 0.2) (0.4 - 0.6) (0.4 - 0.8) (0.4 - 1) -0.08054673235 -0.05726831598 X (x 0.4) ( X 0.2) ( X 0.8) ( X — — — — 1) (0.6 - 0) (0.6 - 0.4) (0.6 - 0.2) (0.6 - 0.8) (0.6 - 1) X (X — 0.4) (X — 0.2) (X — 0.6) (X — 1) (0.8 - 0) (0.8 - 0.4) (0.8 - 0.2) (0.8 - 0.6) (0.8 - 1) U *( X ) = 0.278944 87Z4 0.557889 - 75z3 + 0.681503 03z2 - 0.402558 154x. > subs(x = 0.5,u*(x)) -, -0.0832054839 Đồ thị > plot([u0, ul, u2, u4, u*(x)],x = 1, color = [gray, blue, green, black, red])', Hình 3.1 giá trị hàm U xấp xĩ khác Ií0 ; — U ( A E = 1) ; — w ( A £ = 0. 5) ; — w ( A £ = 0. 25 ); n g hi ệ m ch ín h xá c Hình 3.1 3.2. Ví dụ Xét phương trình y " - y = X , y ( 0) = y ( 1) = 0. Ta xét phương trình chứa tham biến E \ Y" - £. Y = X , Y ( 0) = Y ( 1) = 0. Áp dụng phương pháp tham biến bé. Với £ = 0. Ta có xấp xỉ ban đầu /q = X 2, /0 (0) = /0 (1) = 0, suy YỮ := 0.0833333333333333a;(x3 - 1) V Q = Y %, Vo(0) = ^0 (1 ) = 0, suy ^0 := 0.00007716049382x10 - 0.0003306878307x7 + 0.0005787037038:c4 0.0003251763669^: hàm V K tìm từ phương trình sau: V Ỵ = Y Ị + 2.£ K Y K V K - I - Sử dụng phần mềm maple * Ae = > V i ■ = V o + Ae.ì/o; yi := 0.0833333333333333a;(z3 - 1) + 0.00007716049382a:10 - 0.0003306878307x7 + 0.0005787037038z4 - 0.0003251763669z > SUB S ( X * Ae = 1/2 = 0.5, í/i); 2/1 := -0.03658726068 > Vi ■= Vo + Ae.VĨ, YL := 0.08362268518:r4 - 0.08349592151^: + 0.00003858024691:z10 0.0001653439154X7 > E XP R := Ỳ Ị + * £ * Y I * Vo; > expr2:=expand(exprl); > V" := expr2; > Ví := ỉnt(int(V", x), x)'i > V2 ■= Vi + Ae * Vù Nghiệm giải tích Y2 := 0.08391429851X4 - 0.08365962686z + 0.00007800481453z10 - 0.0003324846040a:7 + 0.2710224527.10-V6 - 0.02189083728.1(T6a;13 + 0.4832582637.10-11z22 - 0.5595622000.1(T1V9 > SUB S ( X — 0.5, /2 ); Y2 = -0.03658769116 * Ae = 1/4 Tương tự ta có nghiệm y4 := 0.08376905972:r4 - 0.08357805469^1 + 0.00005850473872:z10 0.0002493655532X7 + 0.2042749211.10“V6 - 0.1645831389.10-V3 + 0.4927974675.10_11z22 - 0.5779474288.1(r1V9 + 0.8006195225.10_15x28 0.1238484387.10“13a:25 + 0.9323843295.10-19x34 - 0.6560826345.10-23x40 - O.lĩSSõSgeõĩ.lO- 17 ^31 0.1503397625.1(r21a;37 + + 0.2203526469.10_27æ46 - 0.5848842773.1(T2V3 î/4 = -0.03655535218 > SUB S ( X = 0.5,2 /4 ); Tìm nghiệm xác Cũng ví dụ ta giải hệ phương trình sai phân phi tuyến phương pháp Newton - Raphson. Áp dụng phương pháp sai phân, ta có Y m+1 0,1,5; H - 2Y M + /m_! = H ( X + Y M ) , M = (3.1.6) = 0,2, ỉ/o = ỉ/5 = Chia [0,1] thành phần với điểm chia XỮ = 0, X I = 0.2, X = 0.4, X = 0.6, X Ị = 0.8, X = 1, V ĩ - 2j/i - 0.08y^ = 0.04.XỈ Khi ta có hệ < 2/3 - Y - 0.08Y Ị + V I = 0.04.^2 / - 2y3 - 0.08y| + Y2 = .0 .X3 -2 î/4 - O.O82 /I + Y = 0.04.xf Áp dụng phương pháp Newton - Raphson / Y2 2y3 - 0.08y| /(ì/) = + - 2yi - .081/2 _ 04 Y2- . . 04 3:3 x 2/3 - 2y2 - 0.08y| + Î/1 - 0.04.£2 Z/4 - y -2 ì/4 - 0.08yf + Y - 0.04.£4 y > with(linalg); > u0:=matrix(4,l,[0.2,0.2,0.2,0.2]); > f(u0):=matrix(4,l,[-0.2032,-0.008,-0.016,-0.0272]); > J(u0):=matrix(4,4,[-2.016,1,0,0,1,-2.016,1,0,0,1,-2.016,1,0,0,1,-2.016]); > det(J(uO)); > F0:= inverse(J(uO)); > T0:=multiply(F0,f(u0)); > ul:=evalm(u0-T0); 0.0254415717 Vi = 0.0512902088 0.0827594890 V 0.1283529212 / Bằng cách tương tự, dựa vào phần mềm Maple ta có bảng sau: i (0) YỊ1] VI (2) (3) VI VI 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.0254415717 -0.015416333 -0.01606249156 0.2 0.05129020885 -0.02928993419 -0.03051467967 0.2 0.082759489 -0.0369889457 -0.03852968195 0.2 0.1283529212 -0.0308068176 -0.03208539773 Bảng 3.4 Tương tự ví dụ ta áp dụng tiếp đa thức nội suy Lagrange ta có nghiệm = —0.00092426&C5 + 0.08505735X4 - 0.0005845ŨX3 - 0.003225654x2 Y* -0.0803229273z > SUB S ( X = 0.5, Y *); -0.03575373865 Tương tự ta có kết nghiệm số Ae khác thể bảng đây. o II ió 'u T' of ^ — -0.03645833333 Ae = -0.03658726068 Ae = 1/2 -0.03658769116 Ae = 1/4 -0.03655535218 Nghiệm xác -0.03575373865 Bảng 3.5 Đồ thị >plot([y0, y 1, y2, y4, y * ] , x = 1, color — [blue, orange , green , black, red])', Hình 3.2 giá trị hàm Y Ở xấp xỉ khác - y0; — Y (A E = 1); — Y {A E = 0.5); — Y {A E = 0.25); - nghiệm xác Hình 3.2 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình toán tử. Đó phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp tham biến bé rời rạc phương pháp thác triển theo tham số. Ý tưởng phương pháp nhúng phương trình toán tử xét vào họ phương trình toán tử với tham số. Xuất phát từ phương trình có nghiệm cách thác triển liên tục theo tham số ta phương trình toán tử ứng với tham biến khác có nghiệm, số có phương trình toán tử xét. Luận văn trình bày ba phương pháp nói nên ví dụ ứng dụng phương pháp tham biến bé liên tục vào giải phương trình tích phân, phương pháp rời rạc tham biến để giải phương trình vi phân, phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình vi phân. Riêng phương pháp tham biến bé rời rạc tác giả nêu hai ví dụ giải số máy tính phần mềm Maple. Với khả thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo * [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), G I Ả I T ÍC H SỐ , [2] Phan Huy Điển (2002), T ÍNH HỌC TRÊN MAPỈE, NXB. Đại học quốc gia Hà Nội. T OÁ N , LẬP T R ÌNH V À GIẢ NG DẠ Y T OÁ N NXB. Khoa học Kỹ thuật Hà Nội. [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009), C Ơ V À L Ý TH U Y Ế T Ổ N Đ Ị NH , S Ở PH ƯƠ NG T R ÌNH V I PH Â N NXB. Giáo dục. [4] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), G IẢ I X Ấ P X Ỉ P H Ư Ơ N G T R Ì N H T OÁ N T Ử , [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), G IẢ I NXB. Khoa học kỹ thuật Hà Nội. T ÍCH H À M , NXB. Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [6] Hoàng Tụy (2005), H À M T H ỰC V À GIẢ I T ÍC H HÀ M , NXB. Đại học quốc gia Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Nga [7] /Ịoixí/ụiHLựdti Ar Ar (1982), lỉựUMtntnat MtmơớUr MUrAưvv ĩitiptiMtmpa K 'HrumvtmttMy pvmtmuK> ờutpỷvpvmịuurựựbnux' K±LHL'e CottpeMeMetitLbie iipoõ^ieMbi M.a.reM.arnHtXK.oíí 4>H3RK.11 R ypurtinvnuũr [13 [...]... nhất) cần tìm V , V Chương 2 ứng dụng phương pháp tham biến bé giải một số phương trình vi phân phi tuyến 2.1 Phương pháp tham biến bé liên tục 2.1.1 Hàm trừu tượng giải tích và chuỗi Taylor Định nghĩa 2.1.1 Hàm, biến phức z(À) có tập xác định ri c c và tập giá trị trong không gian định chuẩn X được gọi ỉà một hàm trừu tượng Định nghĩa 2.1.2 Hàm trừu tượng x ( X ) được gọi là giải tích tại X = 0, nếu nó... riêng theo biến X đến cấp N được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.2) nếu: V (X , Y ) G D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra đối với C , IP (X, C) C = TP ( X , Y ) Hàm Y = thỏa mãn (1.4.2) khi ( X , Y ) chạy khắp D , Vc G R Người ta chia các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường thành hai nhóm sau: 1) Các phương pháp giải tích - Đó là các phương pháp tìm... ^ (í)| ị=0a . văn - Trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp tham biến bé rời rạc, phương pháp thác triển theo tham số. - ứng dụng các phương pháp nói trên vào giải phương trình toán tử vi phân, . Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp tham biến bé nêu trên. - Nghiên cứu phương pháp tham biến bé. - Nêu ứng dụng của từng phương pháp tham biến bé vào giải một số phương trình toán tử vi. VI PHÂN PHI TUYẾN " 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp tham biến bé rời rạc giải phương trình