Phương pháp ner tìm nghiệm gần đúng phương trình vi phân

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I NGUYỄN THỊ KIM THANH PH Ư Ơ N G P H Á P N E R TÌM NG H IỆM G Ầ N Đ Ú N G PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H  N LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Hà Nội-2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I NGUYỄN THỊ KIM THANH PH Ư Ơ N G P H Á P N E R TÌM NG H IỆM G Ầ N Đ Ú N G PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H  N LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định Hà Nội-2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Định, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo phòng sau đại học, trường đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Kim Thanh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Lê Đình Định, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Phương phấp NER tìm nghiệm gần phương trình vi phẫn ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Kim Thanh lĩ M ục lục Mỏ đầu 1 Kiến thức chuấn bị 1.1 Tống quan phương trình vi phân 1.1.1 Phương trình vi phân 1.1.2 Bài toán Caưchy phương trình vi phân cấp 1.1.3 Bài toán Cauchy đối vối phương trình vi phân cấp n 1.2 Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân 1.2.1 Phương pháp Newton 1.2.2 Phương pháp Eưler 17 1.2.3 Phương pháp Euler cải tiến 19 1.2.4 Phương pháp Richarson 21 Phường pháp phối hớp NER giải phường trình vi phân 23 2.1 Một số khái niệm định lý cần dùng 23 2.2 Phương pháp phối hợp N E R 29 2.2.1 Biếu diễn nghiệm hệ phương trình vi phân 29 2.2.2 Lập nghiệm theo phương pháp Richarson 36 iii K ết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 ĩv MỞ Đ Ầ U Lý chọn đề tài Phương trình vi phân phương trình toán học biểu diễn mối quan hệ hàm chưa biết với đạo hàm Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực như: kĩ thuật, vật lý, kinh tế, Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân việc tìm nghiệm phương trình vi phân khó khăn Người ta tìm nghiệm vài phương trình vi phân đặc biệt đa số tìm nghiệm xấp xỉ Có hướng tìm nghiệm phương trình vi phân hướng tìm nghiệm giải tích hướng tìm nghiệm gần Các phương pháp giải tích phương pháp tìm nghiệm dạng biểu thức giải tích phương pháp hệ số bất định Các phương pháp giải số phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kuta, tìm nghiệm dạng xấp xỉ Dưới hướng dẫn TS Lê Đình Định với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc phương trình vi phân, chọn đề tài “Phương pháp N E R tìm nghiệm gần phương trình vi p h â n ” làm luận văn thạc sĩ M ục đích nghiên cứu • Nghiên cứu phương trình vi phân hệ thống lại số phương pháp giải phương trình vi phân • Phối hợp phương pháp giải phương trình vi phân thành phương pháp giải gần phương trình vi phân N hiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu phương trình vi phân thường số phương pháp giải phương trình vi phân • Phối hợp phương pháp biết đưa phương pháp giải gần phương trình vi phân Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vi phân • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình vi phân số phương pháp giải phương trình vi phân Sau phân hóa, hệ thống kiến thức • Một số phương pháp giải phương trình vi phân Đ óng góp luận văn Nội dung luận văn đưa phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ phương trình vi phân Song bên cạnh phần kiến thức sở, luận văn đề cập tới số số vấn đề liên quan khác như: Các kiến thức phương trình vi phân, số phương pháp quen thuộc giải phương trình vi phân Những kiến thức đưa thêm vào không phục vụ cho việc làm luận văn mà giúp bạn đọc có thêm kiến thức để học tốt học phần Giải tích Chương K iến thứ c chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức giải tích số như: Tổng quan phương trình vi phân, toán Cauchy phương trình vi phân, số phương pháp quen thuộc giải phương trình vi phân ví dụ minh họa, Những kiến thức sử dụng để trình bày phương pháp NER tìm nghiệm gần phương trình vi phân Các kiến thức ta tìm thấy [1], [3] [4], 1.1 1.1.1 Tổng quan phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập hàm cần tìm đạo hàm Phương trình vi phân cấp n hệ thức có dạng F{x,y,y',y", ,y{n)) = 0, (1.1) Đ ịnh nghĩa 2.3 Tập hợp Lp = Lp {[0,1], E} tất hàm đo xác định [0,1], nhận giá trị không gian Banach E có chuẩn ll-ll^, hàm có chuẩn lũy thừa bậc p khả tích Trên tập hợp Lp định nghĩa chuẩn công thức 1/p \wm pEdt M * ) lk p > Ta chứng minh Lp không gian Banach Đ ịnh nghĩa 2.4 Tập hợp Ca = Ca {[0,1 ],E} tất hàm xác định liên tục [0,1], nhận giá trị E thỏa mãn điều kiện taA t \\w(t + At) — w(t)\\E < C(a),a e (0,1), không gian Banach với chuẩn ||ư;(í)||c = max ||w(í)||Ê + sup taA t ° \\w(t + At) —w(t)\\E [0,1] 01-0 u(t) nghiệm toán (2.28) Bài toán (2.28) có tích phân F(u) — F(uữ).e Do ( r h jî^ w t —¥ = j ĩ h ỹ - F ^ ) e ỉ i - ‘ 0, —0 Vì ta áp dụng trực tiếp phương pháp Euler để giải toán Ẹ M ) 30 K hông m ất tín h tổng qu át ta giải to án sau ( ^ 0< t < (2.29) w(0) = u0, u0 e X với điều kiện f ( t :u ) e c r {[0,1] x X } , (2.30) u ( ^ C r+1[0,l] (2.31) Ap dụng phương pháp Euler bậc ta giải phương trình sai phân uỊ(t) = f{ t,u h), t &UJh uh(0) = U Q, (2.32) u0 € X lưới chia U)h đoạn [0,1] với h = -^T Các kết nâng cao độ xác nghiệm gần theo phương pháp trung bình có trọng số Richarson phát triển cho phương pháp Euler bậc hai trường hợp X không gian Banach Giả sử biết nghiệm u(t) toán (2.29) với X không gian Banach ta xây dựng hệ k hàm { « * ( í ) C r- l+1[0,l],A; = ; l ; ; r - l } phương pháp quy nạp Hệ hàm thỏa mãn hệ phương trình vi phân (2.15), với X không gian Banach Ta áp dụng phương pháp Euler bậc hai để giải gần toán (2.29) điều kiện (2.30) thỏa mãn 31 Giải hệ phương trình sai phân wj(í) = + w l(0) —Mo, với u h(t Uq £««(*), t e Wh (2.33) (z X ) tìm từ hệ phương trình (2.32) Uịị{t) định nghĩa Bổ đề 2.2 Giả sử biết nghiệm u(t ) toán (2.29) với điều kiện (2.30) thỏa mãn, ta lập hệ hàm {#*(h \\wh(t)\\c,h < c3, (2.36) ịih(t) củng bị chặn theo h oơh (2-37) số c3 C ị không phụ thuộc vào t h Chứng minh Thay (2.17) vào (2.35) (|2.33|) ta có , Y hkyk{t)t + hrịih(t)t = f ( t Y , hkVk k=0 + hrịih), fc=0 T— + hk{vk)tt + 2^«' k= 33 (2.38) / v v Ap dụng Bo de 2.1 Bổ đề 2.2 vào (2.17) với m = r —k + 1, đồng thời r—1 khai triển Taylor hàm f ( t ,u ) hkyk ta có: k= r—1 r— fc+l X X X ,s r—1 Ịs + ự ĩ £ +1)(*) + x ^ -fc ) + - ( * ' § »■») r g » ■ * '! tE /¿r+l Pr-k(t) + ^ v ĩ f + hr fc=o L J r —k + với n = - r —1 Trong lỊcr^ỊỊ = 0(h),a = r —1 xr-k{t) b = X] Pr-k{t) không phụ fc=o fc=o thuộc vào h bị chặn theo t I A _V _ _ V * _1_ W + Ằ l i _ I Thay đổi thứ tự lấy tổng ta r—1 r—fc+l , „ hs 1_ dsyk- s+1 s! dts (2.40) x>‘+1 E ft2*-§ri =E''i‘E 4+ ì - 2s(í) [^ ]-l ifc=0 (2,+2)m v(2s s=0 r—1 + ') ! tifc=l í Ị^] tS —r (2.41) (2 * )' Đồng thời khai triển Taylor tới bậc r hàm f [t,Y hkyk ) u = y0(t) V k=0 / u(t) ta có / = /(*.«) + Ế \ fc=0 / è fc=l - T ' +^ \s= l / (2.42) IV II = 0(h), vì: VI \\ỗh\\ Ilftríl = ° Ụ | Ẹ Â'»* IN = ftr- ° ( i i Ẹ Â'“ 1!' iM 34 Trong vế phải (2.42), ta khai triển lũy thừa bậc k thay đổi thứ tự lấy tổng ta thu kết quả: ( r- \ ỵ h 'y ° ) s= \ k k ( r - 1) s=k / k=0 hS = V il- V i* ii + +i* = s / fc=l S=1 i + + i a= k ' + hrỏh (2.43) r2 k Ta tách số hạng thứ hai vế trái (2.43) thành ( t ,u ) Xì tfe=l^ ẺS=1Ỉ s!1- dsfỡưs i 1+ + i a= k = ĩ > ‘Ề - g fc=l E i 1+ + i a= k S=1 * - * r2 ^1 ỠV + '*r E A‘- r Ẻ ^s! ôưs X] ^ - V i fc = r S— ii~\- -\-ỉa—k Do / G r {[0,1] X X} yk e Cr~k+1[0,1], nên r2 k d = E ft^ E k=r S=1 yav s! ớưs E V i l •••Via i + + i a= k bị chặn theo h Thay kết (2.40) (2.43) vào (2.39) ta thu r —1 fc+l fe=0 S=1 + + dayk+1 _ + hTa + hTụị = /(í, u) + /T(dÂ+ s! ỉ>+ ( b ỉ) + E h" Ề fe=l S=1 (f,« ) Ti' s! ỡưs E V ii-V ỉ i + + i„ = k (2.44) (25)! 35 Do hàm y k (t) , k = 0; ; r — 1, th ỏ a m ãn hệ phương trìn h vi p hân (2.34) nên h ịiị — b —a + ảh + ỗh + ơh + —TỊịị (2.45) □ Tới ta áp dụng Bổ đề ^2 ta suy ỊjLh bị chặn theo h 2.2.2 Lập nghiệm theo phương pháp Richarson Trên sở định lý 2A, ta lập nghiệm trung bình có trọng số theo phương pháp Richarson Ta lấy số cố định nguyên dương < N ị < N2 < < Nr Lập lưới cách U)hk với bước lưới tương ứng hỵ = ——— , k = 1; 2; ; r với M nguyên dương tùy ý Giải toán M Nỵ vi phân (2.32) (2.33) lưới U)hk ta nghiệm vi phân uhk whk tương ứng (k = 1; 2; ; r) Lập nghiệm trung bình có trọng số: r H u = Ẻ vk.whk (2.46) k=1 Trên lưới 0Jh với bước lưới h = -^T, hệ số vk, k = 1; ; r, thỏa mãn hệ phương trình đại số tuyến tính t v k= k=1 è Vk-hị = 0,j = 1; 2; ; r —1 k=l (2.47) hệ số vk tồn điều kiện Nị < N2 < < Nr Định lý 2.5 Nếu nghiệm uhk whk tìm từ hệ phương trình vi phẫn (2.32) (2.33) tương ứng điều kiện (2.30) thỏa mẫn, 36 th ì n g h iệ m UH tín h theo công thứ c (2.46) v i h ệ s ố Vỵ th ỏa m ã n h ệ phương trình đại số tuyến tính (2.47) nghiệm gần toán (2.29) với sai số: u(t)\\c,h < UH - c.hr, (2.48) c số không phụ thuộc vào h Chứng minh Thay (2.35) vào điều kiện w(0) = u0 ta có: r UH = r v kU Ìt) k= + Vk k= r —1 = u {t) + r K y Á t) + j= v k hrk V hk fc=l r r yẢ*) j =1 Vì hỵ = r —1 (2.49) Vkhi + k= k= , k = 1; ; r pLhk bị chặn theo h, ta có: Vk < + C5 ã với Ơ5 = N fc+i —l > ; l < A : < r —1 N, Vậy theo (2.47) ta có: \u H - “ (011 = k=l \ / fc=1 k \u.H -u (t)\\c,h < C hr □ Trên sở định lý 2T định lý 2/2 ta xây dựng phương pháp giải gần phương trình (2.25) gồm bước sau đây: 37 Bước I: Đưa phương trình (2.25) toán (2.28) nhờ định lý 2.1 vã phép đổi biến (2.27) Bước II: Giải gần toán (2.28) hệ phương trình vi phân (2.32) (2.33) lưới chia uihk Bước III: Lập nghiệm trung bình có trọng số theo công thức (2.46) với hệ số tìm từ hệ phương trình (2.47) Đây nghiệm gần toán (2.28) với đánh giá sai số (2.48) Nghiệm gần phương trình (2.25) nghiệm theo công M - thức (2.46) với t = M Như đưa thuật toán để giải gần phương trình toán tử phi tuyến (2.25) Thuật toán ta gọi phương pháp NER Thuật toán kết hợp phương pháp Newton - đưa thêm tham số liên tục với phương pháp Euler - giải gần phương trình vi phân phương pháp lập nghiệm trung bình có trọng số Richarson Phương pháp NER nhược điểm cồng kềnh đòi hỏi tính trơn cao toán tử phi tuyến F(u) Tuy phương pháp có ưu điểm tính ổn định đảm bảo, tốc độ hội tụ cao, thuật toán dễ đưa vào máy tính điện tử Ví dụ 2.1 Áp dụng phương phấp NER giải gần phương trình tích phân phi tuyến sau y(x) = X —16 + 12 38 (2.50) Giải Đặt F {y) = y{x) - X + 16 - Ị 1s[y(s)f ds Jo Ta có F'(y).u(x) = u(x) —24 / s.u(s)ds J0 Để tìm dạng toán tử [F’(y)]_1 ta giải phương trình tích phân sau u(x) —24 ị s.u(s)ds = f(x) J0 Đây phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến, nên ta dễ dàng tìm kết thức Nghiệm phương trình cho công thức J 24 r u{x) = f(x ) - YY s.f(s)ds Do ta có 24 í [F '(y)]-\f(x) = f(x ) - ^ y s.f(s)ds Khi toán (2.28) có dạng dy _ dt (1 —t)2 24 ri / X, 12 ri X + - - y{x, t) + — J0 s.y{s)ds - — J0 s.r(s)d s 11 '7V” ; / ■ 11 Jo y(æ,0) = yQ(x), < t < (2.51) Để tìm nghiệm gần với nghiệm xác biết y = X + phương trình (2.50), ta chọn nghiệm gần thỏa mãn điều kiện tương đối gần với nghiệm xác sau giải phương pháp Euler lập nghiệm theo công thức (2.46) 39 Hệ phương trìn h vi p hân to n (2.51) có dạng ' y{x, t+ h ) = y{x, t) + h _ r , , 24Ị , ,, 12.1 ,, ịx + - - y { x , t) + — J S.y(s,t)ds- — Jữ s.y*(s,t)ds y{x, 0) = y0(x),t e (2.52) U}h định nghĩa phần trước Ta giải hệ phương trình vi phân hai trường hợp: Nghiệm gần chọn y = X2+ 1, M = 4, Ni = 1, N2 = 2, N3 = Nghiệm gần chọn y = x2: M = 10, Nị = 1, N2 = 2, N3 = Trường hợp a Với hị = 0, 25000 ta có yx(x\ 0, 7500) = 0, OOOOOx2 + 1, OOOOOíc + 1,01651 b Với h2 = 0,125 ta có y2(x; 0, 7500) = 0,02151x2 + 0,97849a; + 1,00528 c Với h3 = 0,08333 ta có y3(x; 0, 7500) = 0,03291x2 + 0,96709a; + 1,00549 Để lập nghiệm theo công thức (2.46), ta giải hệ phương trình đại số (2.47) với T — V\ = 0, 5; v2â= -4 ,0 ; v3 = 4,5 40 Nghiệm gần phương trìn h tích p hân (2.50) ỹ(x) = yH{x- 0,75000) = 0,0621x2 + 0,9379z + 1,0118 Sai số theo lý thuyết nêu 0(/i3) với h = 0, 25, sai số thực tế so với nghiệm xác 0,012 Hai sai số hoàn toàn phù hợp với Trường hợp a Với h = 0,10000 ta có y1(x; 0,90000) = 0,01433x2 + 0,98567z + 1,01509 b Với h = 0,05000 ta có y2{x; 0,90000) = 0,00249z2 + 0,99751a; + 1,00212 c Với h = 0,03333 ta có y3(x; 0,90000) = 0,00035z2 + 0,99965:r + 0,99992 Nghiệm gần phương trình (2.50) theo công thức (2.46) ỹ{x) = yH{x- 0,90000) = - , 0012z2 + 1,0012a: + 0,9987 Sai số theo lý thuyết 0(h3) với h = 0,1000, sai số thực tế 1,4.10 Hai sai số hoàn toàn phù hợp với Qua ví dụ nhận thấy rằng: - Thuật toán trình bày thực hành thực tế - Thuật toán tưởng chừng cồng kềnh thực tế tính toán lại đơn giản dễ thực Trong tình tính toán dùng chung 41 công thức cho tất nghiệm trung gian hai trường hợp, công thức đơn giản dễ tính toán Chúng tính công cụ đơn giản lần tính đạt kết Như vậy, đưa vào máy tính điện tử dễ dàng đòi hỏi độ xác cao mà máy tính điện tử vận hành - Nghiệm gần chọn tốt tốc độ hội tụ nhanh Nhưng chọn chưa tốt trường hợp ta đạt kết theo yêu cầu đề Theo chúng tôi, trình tính toán đơn giản, phương pháp Newton cho phép chuyển sang dạng tuyến tính hóa được, phương pháp Euler đơn giản phương trình vi phân tuyến tính Những nhận xét phần minh họa ưu điểm thuật toán NER 42 K ết luận Luận văn trình bày phương pháp NER giải phương trình vi phân thường Các kết trình bày luận văn bao gồm: Các phương pháp quen thuộc giải phương trình vi phân thường là: Phương pháp Newton, Phương pháp Euler, Phương pháp Richarson, ưu, nhược điểm phương pháp ví dụ minh họa Phương pháp phối hợp NER giải phương trình vi phân thường ví dụ minh họa Mặc dù tác giả cố gắng, song kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 43 [...]... cần tìm, y ', y" , , y là các đạo hàm của hàm số y = y(x) Ta gọi cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y — y(x) khi thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức Khi n = 1 ta có phương trình vi phân cấp 1 1.1.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 a Bài toán Cauchy Tìm nghiệm y = y(x) của phương. .. một nghiệm y = y(x) của phương trình (1.1) thỏa mãn các điều kiện ban đầu 6 1.2 M ột số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân 1.2.1 Phương pháp Newton Trong mục này ta sẽ đi sâu nghiên cứu phương pháp Newton để tính nghiệm gần đúng của phương trình dạng tổng quát sau: f{x) = 0, ( 1.2) trong đó f ( x ) là một hàm số Hàm f ( x ) liên tục trên khoảng mà ta cần tìm nghiệm Phương trình (1.2) có nghiệm. .. dụng chương trình Newton để giải phương trình trong ví dụ trên, ta lại nhận được nghiệm X = 0.7 sau ba bước lặp, nhanh hơn khá nhiều so với phương pháp dây cung cùng với điều kiện ban đầu Ví dụ 1.2 Sử dụng phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình f{x) = ex —cos(x) —2 = 0 Giải Ta kết hợp chương trình AROOTB với chương trình Newton để giải phương trình trên, dùng một chương trình chính... Zị) {i = 0; 1; 2; ) Ví dụ 1.3 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương pháp Euler y' = ~2 với = 1, X € [0 ; 0 , 5], h = 0 , 1 Giải Ta có bảng sau Sai số mắc phải cỡ 0,1 « 10.h2 N hận xét 1.1 Qua ví dụ trên ta thấy phương pháp Euler có ưu điểm là đơn giản, nhưng sai số mắc phải khá lớn Để nâng cao độ chính xác của nghiệm gần đúng thông thường ta dùng phương pháp Euler dưới dạng cải tiến... 0,0917 theo phương pháp Euler b Phương pháp Euler cải tiến thứ hai Trước tiên tính Vi+ I =Vi + hfi, (1.16) sau đó tính 7i+i = f{xị+ uỹi+i)Cuối cùng tính _ 7 fi T fi+1 Vi+ l =Vi + h - y Ví dụ 1.5 Áp dụng phương pháp Euler cải tiến thứ hai tìm giá trị xấp xỉ của nghiệm trên đoạn [0,1] của phương trình 2r v' = v - =-> y v(0) = i Giải Kết quả tính toán được tình bày trong bảng sau 20 (1.17) Xị+l Vi+ 1 h... taA t ° \\w(t + At) —w(t)\\E [0,1] 0