Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ dị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN CAO THỊ THOA NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIẼU KỲ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN CAO THỊ THOA NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIẼU KỲ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khóa luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Cao Thị Thoa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai ph i tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ d ự là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và sự nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Cao Thị Thoa Mục lục 1 2 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Phương trình vi phân cấp hai 3 1.2 Phương trình tuyến tính 4 1.3 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha 5 1.4 Chu trình giới hạn 12 Phương pháp nhiễu kì dị 22 2.1 Sự xấp xĩ không đều của các hàm số trên một đoạn 22 2.2 Nhiễu tọa đ ộ ................................................................ 24 2.3 Phương pháp L ig h th ilĩỊ ............................................................... 33 2.4 Thang thòi gian đối vói nghiệm chuỗi của phương trình autonom 36 2.5 Phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút 47 2.6 Kết hơp các xấp xỉ trên môt đoan 61 2.7 Kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân 67 2 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa MỞ ĐAU Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế việc giải các phương trình vi phân tuyến tính có thể thực hiện được nhưng đối với phương trình vi phân phi tuyến, không có công thức chung đê giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng. Thay vào đó, họ thường nghiên cứu các xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ở các bài toán có điều kiện ban đầu. Do vậy chúng ta phải có một hướng mới để nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến, đó là nghiên cứu nghiệm của nó bằng phương pháp nhiễu kỳ Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân phi tuyến hay cụ thể hơn là phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến, em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Nghiên cứu nghiêm của phương trình vi phân thường cấp hai ph i tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ d ị”. Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày trong hai chương: Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai và một số khái niệm liên quan đến phương trình autonom trong mặt phăng pha, chu trình giới hạn của phương trình vi phân. Chương 2: Trình bày về sự xấp xỉ không đều của hàm số trên một đoạn, các phương pháp nhiễu kỳ dị: phương pháp nhiễu tọa độ, phương pháp Lighthill, 1 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa phương pháp sử dụng thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình autonom, phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút, phương pháp kết hợp xấp xỉ trên một đoạn và kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân. Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F(x, y, ỷ, ỹ) = 0, ( 1. 1) ở đây X là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và ỷ(x),ỹ(x) là các đạo hàm của Nếu giải được phương trình (|1.1|) đối với ỹ, nó có dạng ỹ = f ( x, y, ỷ) - ( 1.2 ) Đinh lý 1.1. (Sự tồn tại VCI duy nhắt nghiệm). Cho phương trình (Ị1.2Ị) dý df Nêu f ( x , ỵ , ỷ ) , -zr^(x,y.ỷ) và -^-{x.y.ỷ) liên tục trong một miên D nào đó ày ởỳ tro n g R3 và n ếu (xq , , )’()) là m ộ t đ i ể m liên tục th u ộ c D thì tr o n g m ộ t lân c ậ n nào đó của điểm X = Xo, tồn tại một nghiệm 3 duy nhất y = y(x) của phương Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trình (1 1 .21) thỏa mãn các điều kiện — Vo 7 ỳ |x = x 0 — ỷO' (1.3) Bài toán tìm nghiệm của phương trình (Ị1.2Ị) thỏa mãn điều kiện (Ị1.3Ị) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (Ị1.2Ị). Nghiệm tổng quát của phương trình (|l.2Ị) là hàm y = ẹ>(x,Ci,C 2 ), trong đó C\ ,C 2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nó thỏa mãn phương trình (Ị1.2Ị) vối mọi C\ ,C 2 , (ii) Với mọi ( x o - j o , > 7 o ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C\ = C p C2 = sao cho hàm số y = ọ(x,Cị thỏa mãn 3'L'=A'() — Vo, )’|x=x0 — JQ. Hệ thức (x1y,C \,C 2 ) — 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (|l.2Ị) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó. Nghiệm riêng của phương trình (Ị1.2Ị) là một hàm số y = (p(x,CpC?) nhận được bằng cách cho C \ , C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C p c®. Hệ thức (jc,y,CpC2 ) = 0 được gọi là tích phân riêng. 1.2 Phương trình tuyến tính Đó là phương trình vi phân có dạng ỹ + p ( x ) ỹ + q(x)y = f ( x ) , 4 (1.4) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trong đó p(x), q(x), f ( x ) là những hàm số liên tục. Phương trình vi phân không tuyến tính thì được gọi là phương trình vi phân phi tuyến. 1.3 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha Ta phân biệt giữa hai loại phương trình vi phân: (1) Loại autonom ứng với / không phụ thuộc tường minh vào t; (2) Loại không autonom ứng vối / phụ thuộc tường minh vào t. Trong chương này, ta sẽ chỉ đề cập tới các hệ autonom, được cho bởi phương trình vi phân x = f(x,x), (1.5) trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn trong mặt phẳng pha, ta đặt \x = y \ ( 1.6) ( ỳ = f(x,y). Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (Ị1.5Ị). Trong mặt phẳng pha với các trục X và y, trạng thái tại một thời điểm bao gồm cặp số (x(to),ỵ(to)), các giá trị X, to y này tương ứng với một điểm p nào đó trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương trình vi phân cấp một (Ịl.ổỊ), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái tiếp theo cho bởi 5 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa phương trình tham số x = x(t), y = y(t), (1-7) vạch ra một đường cong qua điểm đầu p : (x(to),x(to)), gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Khi đó, phương trình vi phân xác định đường cong pha là: ẵdx - = —y - ( 1 -8 ) Một đường cong pha riêng được xác định bằng cách yêu cầu đi qua một điểm cụ thể p : (x,y), tương ứng với trạng thái ban đầu (xo,)7o)ì trong đó (1.9) yo = y{xo)- Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng của phương trình (Ị1.5Ị), hoặc của hệ tương đương (Ị1.6Ị). Chúng xảy ra khi đồng thời X, ỷ bằng 0; do đ ó là điểm thỏa mãn: y = 0, và / ( x , 0 ) = 0 . (1 .1 0 ) Trong biểu diễn mặt phẳng pha, thời gian t không được chỉ rõ về định lượng nhưng ta có thể đặc trưng bởi các yếu tố sau đây. Hình 1.1 (a) cho thấy một cung AB của đường cong pha. Giả sử rằng hệ đang ở trạng thái A tại thời điểm t = tA. Điểm chuyển động p biểu diễn các trạng thái tại các thời điểm t > t ẩ4 ; nó di chuyển dọc theo AB (từ trái qua phải trong nửa mặt phẳng y > 0 ) khi t tăng dần, và gọi là một điểm biểu diễn trên cung AB. 6 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (a) (b) y y p A X H ình 1.1: (a) Điểm biểu diễn p trên một đoạn của đường cong pha. p đi từ A và trở về A vô hạn lần. (b) Một đường cong pha đóng: Vận tốc của p dọc cung AB được cho dưới dạng từng thành phần chỉ phụ thuộc vào vị trí p (x,y), mà không phụ thuộc vào cả t và ÍA (điều này chỉ đúng đối với các phương trình autonom). Nếu ÍB là thời điểm p tới B, thì Tab là khoảng thời gian p đi từ A tới B T a b — tB — ĩ A ĩ không phụ thuộc vào thời điểm đầu ÍA. TAB gọi là thòi gian chuyển từA tới B dọc theo đường cong pha. Từ quan sát trên ta thấy, nếu x(t) là một nghiệm riêng của X = f(x,x), thì họ nghiệm x(t — t\), với 11 là giá trị bất kì, sẽ biểu diễn cùng một đường cong pha và cùng một điểm biểu diễn. Đồ thị của các hàm x(t), x(t — 11 ), và của y(í) = x(t),y(t — tị) sẽ có hình dáng giống nhau, nhưng được dịch theo trục thời gian một khoảng t \ , giống như cùng một hệ nhưng được mở vào hai thời điểm khác nhau trong ngày. 7 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Trường hợp khi một đường cong pha là một đưòng cong kín, như trong Hình 1.1 (b). Một đường cong pha kín biểu diễn một chuyển động tuần hoàn theo thời gian. Ngược lại nói chung là không đúng, 1 đường cong pha không kín cũng có thể biểu diễn một chuyển động tuần hoàn. Thời gian chuyển TAB = ÍB — ÍA của điểm biểu diễn p từ trạng thái A tới trạng thái B dọc theo 1 đường cong pha có thể được tính theo nhiều cách: ftB Ta b = ■JtA ftB d x. _ -i d x dt= Q )-'ĩ£ d t= dt dt [ dx f / - = l - f r . J ab X clx JAB y ( x ) (1.12) Ví dụ 1.1. Các đường cong pha của một hệ được cho bởi họ x + ỵ 2 = c , trong đó c là một hằng số tùy ý. Trên đường cong pha ứng với c = 1 điểm biểu diễn di chuyển từ A : (0,1) tới B : (—1 ,—y /ỉ). Tính Ta b ? Lời giải Đường cong pha được biểu thị trong Hình 1.2. Nó cắt trục X tại điểm c : (1,0). Trên cung AC, y = (1 —x ) 1/ 2 và trên cung CB, ỵ = —(1 —x )1/ 2, có í AB dx í dx Ịx dx Ị~x dx Jac y Jcb y Jq (1 —x )1/ 2 J\ [—( ì —x y / 2] [ - 2 ( 1 - x ) 1/2]? + [2 ( 1 - x ) ]/2]ỉ_ ỉ = 2 + 2 ^ 2 . Sau đây chúng ta tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom X = f ( x , x ) , được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình x= y (1.13) [ỳ = f ( x , y ị 8 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa H ình 1.2: Đường cong pha AB trên đó ta đã tính thời gian chuyển. (i) Phương trình cho các đường cong p h a : ịỵ_ _ /(*>>’) clx y (1.14) (ii) Hướng của đường cong p h a : từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới. (iii) Điểm cân bằng: tại điểm (x, 0) với X là nghiệm của phương trình / ( JC, 0) = 0 ; đại diện cho các nghiệm hằng. (iv) Giao điểm với trục x\ các đường cong pha cắt trục X theo các góc vuông, ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)). (y) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường Ta r = f cỉx / — J ab y (1.15) (vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm tuần hoàn theo thời gian. 9 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian : giả sử X\ (t) là một nghiệm riêng của X = f ( x . x ) khi đó, các nghiệm X\ (t — 1\), với t\ bất kỳ, cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn. Ví dụ 1.2. Xây dựng lược đồ pha cho phương trình dao động điều hòa đơn giản jc+ co2x = 0 . Lời giải Phương trình này xấp xỉ với phương trình con lắc có biên độ nhỏ. Với phương trình này thì hệ (Ị1.13Ị) trở thành: (1.16) Ịỹ = - ( 0 2x, có 1 điểm cân bằng, tại (0,0). Các đường cong pha là các nghiệm của d1.14Ị): (a) y (b) X H ình 1.3: (a)Tâm dao động điều hòa đơn giản. (b) Nghiệm điển hình. Đây là một phương trình tách biến, và ta dễ dàng có tích phân tổng quát: ỵ2 + (0 2x 2 = 10 c, Khóa luận tốt nghiệp trong đó Cao Thị Thoa c là tùy ý, điều kiện c > 0 để nhận được nghiệm thực. Do đó, lược đồ pha bao gồm họ các elip đồng tâm tại gốc (Hình 1.3 (a)). Hình 1.3(b) biểu diễn một nghiệm tuần hoàn theo thời gian, ứng với một đường cong pha kín. Ví dụ 1.3. Tìm điểm cân bằng và phương trình tổng quát cho các đường cong pha của Jc+ sinx = 0. Tìm đường cong pha riêng thỏa mãn các điều kiện ban đầu (a) xựo) = 0 = x(tn) = 1 ; (b) x(t„) = 0,y(t„) = 2 . Lời giải Hệ phương trình vi phân trong mặt phẳng pha là: (1.17) Ự = —sinx. Điểm cân bằng nằm trên trục X tại các điểm mà sinx = 0; hay X = ỈIK (n = 0 , ± 1 , ± 2 , ...). Khi n chẵn chúng là tâm, khi n là lẻ chúng là điểm yên ngựa. Phương trình vi phân cho các đường cong pha là: dy sinx dx y Đây là phương trình vi phân tách biến, nên ta có nghiệm: y = ± \ / 2 (cosx + c)1/2, đó là phương trình của các đường cong pha với c là tham số của các đường cong pha. Do y phải là số thực nên c > —1. Xem Hình chia ra như sau: 11 1.5, ở đó phạm vi của c được Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa H ình 1.4: Đường cong pha của X + sinx = 0. G iá trị củ a c L oại chuyến động c = -1 Các điểm cân b ằng tại điểm ( n 7T,0) -1 < c < 1 Các đường cong pha kín (chuyển đ ộn g tuần hoàn) c= 1 Các đường con g pha kết nối các điểm cân bằng c > 1 C hu yển đ ộng quay tít (a) x(to) = 0 ,ỵ(í0) = 1. Từ (i) ta có - = 1 + cong pha tương ứng là y = \/2 (c o sx —- ) 1/ 2 c hay c = Các đường là đường P\ trong Hình 1.4 Đó là đường cong kín, nên biểu diễn một chuyến động tuần hoàn. (b) x(to) = 0 ,y(to) = 2. Từ (i) ta có 2 = 1 + c hay c = 1. Đường cong pha tương ứng là ỵ = \/2 (c o s x + - ) 1/ 2. Trên đường này y = 0 tại X = ±n7t, do đó, nó kết nối hai điểm cân bằng (lưu ý rằng nó không vượt ra khỏi hai điểm cân bằng đó). VI t —y °°, đường đó tiến tới điểm (7T,0) và xuất phát từ ( —7T,0 ) tại t = —oo. Đường này được gọi là một đường phân lập, vì nó phân biệt hai chế độ chuyển động, dao động và quay tít. Nó cũng kết nối hai điểm yên ngựa. 1.4 Chu trình giới hạn Xét hệ autonom x = f(x,x). 12 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trong đó / là một hàm phi tuyến, và / có dạng f ( x , x ) = - h ( x , x ) - g{x), khi đó phương trình vi phân, trở thành (1.18) và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là x=y (1.19) [ý = - h { x , y ) - g ( x ) . Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng có một điểm cân bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết, bằng cách đổi hệ tọa độ). Do đó /j( 0 , 0 ) + g( 0 ) = 0 và nghiệm duy nhất của /z(x, 0) + g(x) = 0 là X = 0. Chúng ta tiếp tục giả định rằng s(0) = 0, (1.20) khi đó /z(0 , 0 ) = 0 . ( 1.21) Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (Ị1.18Ị) dưới dạng x + g(x) = - / ỉ( x ,i ) , 13 ( 1.22) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển động tự do được điều khiển bởi phương trình x + g(x) = 0 (một hệ bảo toàn), nhưng bị tác động bởi một ngoại lực —/ỉ(x,i) đóng vai trò là nguồn cung cấp hoặc hấp thụ năng lượng. Nếu g(x) là một lực phục hồi, thì chúng ta mong đợi một xu hướng dao động điều khiển bởi ngoại lực —h(x,x). Trong cả hai trường hợp tự do và cưỡng bức, trạng thái cân bằng xảy ra khi X = X = 0. Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi v(x) = Jg(x)dx, (1 .2 3 a ) và động năng của hạt bởi 1 2 T = - x 2. (1.23b) Năng lượng toàn phần £ cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là: £= T+ v= - X 2 + [ g(x)dx, 2 J (1-24) do đó có quy tắc biến đổi năng lượng de ... , . — = xx + g(x)x. dt Khi đó, từ (Ị1.18Ị) ta có CỈ£ -7 - = x ( - g ( x ) - h(x,x) + g(x)) = - x h ( x , x ) = - y h ( x , y ) (1.25) trong mặt phăng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn cung cấp năng lượng sinh bởi —h(x,x) hay đại diện cho ngoại lực. Giả sử rằng, trong một miền liên thông R của mặt phẳng pha chứa điểm cân bằng (0 , 0 ), 14 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (1.26) (1.27) trong R (với y Ỷ 0 ) thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy, biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn trong miền R. Ớ đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng vào hệ cho các trạng thái nằm trong R. Ví dụ 1.4. Khảo sát sự ảnh hưởng của năng lượng bố sung và giảm tốc qua phương trình X+ (x2 + X2 — 1 ) i + X = 0. Lời giải Đặt X = y, khi đó h(x,ỵ) = (x2 + x 2 — l)x, và từ (Ị1.25Ị), có — = —yh(x,y) = —(x2 + y 2 — ĩ ) y 2. Do đó năng lượng trong hệ hạt - lò xo có tính chất: 0 dọc theo các đường trong miền X2 + y 2 < 1 ; —- < 0 dt doc theo các đường trong miền X2 + y 2 > 1. - 7- > dt Các miền có liên quan được biểu thị trong Hình 1.5. Ta có thể kiểm tra rằng X = cos t thỏa mãn phương trình vi phân đã nêu ở trên. Vì vậy X = y = —sirư 15 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa và do đó ranh giới giữa hai miền là đường tròn X2 + y 2 = l, nó là một đường cong pha. Dọc theo nó T + V = - X 2 + - X 2 = - ( x 2 + y 2) = 2 2 2 • ' 2 không đổi nên nó là một đường cong với năng lượng e không đổi, được gọi là một mức năng lượng . Đường tròn trong Hình 1.5 là một đường cong cô lập kín: "cô lập" được hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. H ình 1.5: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định X2 + V2 = 1 sinh bởi hệ X + (X2 + X2 - l ) i + jc = 0. Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn. Phương trình có dạng x = f(x), 16 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa không thể dẫn tới một chu trình giới hạn. Chúng ta kết thúc mục này bằng cách minh họa một số phương pháp tiếp cận đối với phương trình có dạng: x + h(x,x) + g (x ) = 0 , (1.28) mà không liên quan đến bất kì mô hình cơ học hoặc năng lượng nào: (i) Tọa độ cực Chúng ta sẽ nhắc lại Ví dụ 1.4 bằng cách sử dụng tọa độ cực. Khi đó, lược đồ pha được thể hiện rõ ràng hơn cùng với các phương trình liên quan. Gọi r, 6 là tọa độ cực, trong đó X = rcos 0 , y = r sin 0 , ta có: r 2 = x 2 + y 2, ta n 0 = -, Đạo hàm các phương trình này theo biến thời gian t, 2 rr = 2xx + 2ỵỷ, ÒsecO2 = — - . xz Từ đó, ta có / • =' ư : r ở = ^ ỉ . (1.29) Tiếp theo, chúng ta sẽ thay X=rcos0. X = y = rsin6 và ỷ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực. Ví dụ 1.5. Biểu diễn phương trình (xem Ví dụ 1.4) X + (x + X — 1) i + X = 0 17 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trên mặt phẳng pha, trong tọa độ cực r, 0 . Lời giải Chúng ta có X = rcos 6 và X = y = rsin ỡ, và ỷ = —(x2 + x 2 — \)jt —x = —(r 2 — l)rs in 6 — r cos 0 . Bằng cách thay các hàm này vào d1.29Ị) chúng ta có được r = —r ( r 2 — 1 )sin ớ 2, ớ = — 1 — ( r 2 — 1) s i n 0 c o s 0 . Một nghiệm riêng là r= 1 6 = —t , tương ứng với chu trình giới hạn, X = cosr, y = — sin í đã quan sát thấy trong Ví dụ |1 Aị Ngoài ra (trừ khi sin 6 = 0, có nghĩa là, ngoại trừ trên trục x) Ỳ> khi 0 r< 0 khi 0 < r< r> 1 1 , , nên các đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn r — 1 từ cả hai phía. Phương trình xác định ỏ cũng cho thấy một chuyển động xoắn ốc theo chiều kim đồng hồ ổn định cho các điểm biểu diễn, xung quanh chu trình giới hạn. (ii) Đường cong trắc địa Ví dụ 1.6. Nghiên cứu xu hướng của các đường cong pha đối vối phương trình vi phân Jc+ 1x 1x + x 3 = 0 . Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Lời giải Hệ này chỉ có một điểm cân bằng tại (0,0). Viết phương trình dưới dạng X + X3 = — \x\x, và nhân hai vế với x: XX + X 3X = — \ x \ x 2 . Theo các biến mặt phẳng pha x ,y phương trình này trở thành dy ,dx 2 Xét một đường cong pha đi qua một điểm tùy ý A vào thời điểm tA, và đến một điểm B tại thời điểm tB>tA - Bằng cách tích phân phương trình trên từ tA tới tỵ chúng ta có được dọc theo đường cong pha. Do đó, các giá trị của biểu thức trong ngoặc vuông, 2>’2 + 4 * 4 = h^nể số là một họ hình bầu dục quanh gốc khi hàm số giảm. Họ các đường cong kín đó, có thể được sử dụng để vạch các đường cong pha đến một phạm vi nhất định, được gọi là đường cong trắc địa. Các đường năng lượng không đổi, hoặc các đường mức năng lượng, là một trường hợp Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa X H ình 1.6: Lược đồ pha c h o i = y,ỷ = — |yIV —JC3: các đường nét đứt là các đường mức. đặc biệt của đường cong trắc địa. (iii) Phương trình chuyên động trong hệ tọa độ tổng quát Giả sử ta có một hệ cơ học bảo toàn, có thể là trong một, hai, hoặc ba chiều, và có thể có các yếu tố rắn như các hạt, nhưng cấu hình của chúng hoàn toàn được xác định bởi giá trị của một biến X. Biến không nhất thiết là độ dịch chuyển, có thể chẳng hạn là một góc, hoặc thậm chí một thành phần trong các yếu tố hình thành nên một phần của hệ. Nó được gọi là tọa độ tổng quát. Nói chung, động năng và thế năng T và V sẽ có dạng: T = p(x)x2 + q(x), V = V(x), a đó p(x) > 0. Phương trình chuyển động có thể được dẫn ra bằng cách sử dụng phương trình Lagrange. dt dx dx dx Thế T và V ở trên chúng ta có được phương trình của chuyển động theo x: 2 p(x)x + p'(x)x2 + (V'(x) — qf (xỴ) = 20 0 . (1.30) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Phương trình này không có dạng X = f ( x ) . Để rút gọn phương trình này ta xét u = I p ỉ/ 2(x)dx. Khi đó ủ = p xl 2(x)x và ử = - p l/ 2ự ) p '{ x ) x 2 + p lf 2{x)x. Sau khi có được X và X từ các phương trình và thế vào d1.3QỊ) ta có: u + g(u) = 0 , ỡ đ ó g(u) = j-p l/2( x ) ( v ' ( x ) - q ' { x ) ) . 21 (1.31) Chương 2 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ 2.1 Sự xấp xỉ không đều của các hàm số trên một đoạn Các nghiệm của phương trình vi phân: x = f(x,x,t,e) là các hàm số của t và s. Một vài vấn đề nó có thể này sinh trong khi xấp xỉ, các nghiệm có thể được minh họa bằng cách xét các hàm đơn giản, thậm chí nó không nhất thiết phải liên quan tới các phương trình vi phân. Chẳng hạn: Xét hàm số: x (e ,t) = e~£t, (2.1) với t > 0, ở đây e nằm trong lân cận của 0. Ba số hạng đầu tiên của khai triển Taylor theo lũy thừa của £ là: 1 - e t + - e 2t 2 2 22 (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa với sai số là (2.3) ỡ ( e 3). H ình 2.1: Sự so sánh hàm số e £' và ba số hạng trong chuỗi Taylor của nó với £ = 0,05 và £ = 0,01 ƯỚC lượng sai số (Ị2.3Ị) suy ra rằng với t cố định bất kỳ, tuy nhiên lớn thì ta có thể chọn £ đủ nhỏ đế sai số nhỏ tới mức cần thiết, thực tế, sai số nhỏ hơn số hạng nhỏ nhất trong xấp xỉ là: - s 2t2. Bây giờ, xét hàm đã xuất hiện trong Mục 2.4 như là một phần nghiệm của một phương trình vi phân: x(e ,t) = c o s(1 —e ) 1/ 2/1, 0< t < (2.4) ở đó £ nằm trong một lân cận của 0. Ba số hạng đầu tiên của chuỗi Taylor với £ nhỏ, cho là: 1 1 „ cosr + —£ t sinr + —£ (tsint — t sin/), 2 8 v ’ (2.5) với sai số ơ ( e 3). Một lần nữa, khi t đủ lớn thì sự xấp xỉ này không tốt. Ta có thể thấy rằng nó không tốt khi t rất lớn để et không nhỏ. Do đó (Ị2.5Ị) chỉ là một xấp xỉ với e cố định khi : -1 23 (2 .6) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Kết luận đó vẫn đúng bất kể ta lấy bao nhiêu số hạng trong chuối Taylor. Chú ý rằng các chuỗi chỉ tiệm cận chứ không hội tụ. Khi đó, ta nói rằng (Ị2.5Ị) không cung cấp m ột xấp xỉ tốt đều trên khoảng t > 0. Phương pháp nhiễu thông thường không cho ta một xấp xỉ đều của nghiệm của một phương trình vi phân. Khi đó, bài toán đó được gọi là bài toán nhiễu kỳ dị. v ề mặt hình thức, chúng ta cần tìm một xấp xỉ x*(e,t) của hàm x ( s , t ) 9 thường là trên một khoảng vô tận của t: x (e ,t) = x*(e,t) + E ( e , t ) , với sai số E ( s . t ) , trong đó lim£^ o E ( e , t ) = 0 đều trên ÍQ < t < oo. Tức là với bất k ỳ ỏ > 0, tồn tại 7] > 0 k h ô n g phụ th u ộ c t sao cho: £ < ? ] = / • E( e, t ) < ỏ. 2.2 Nhiễu tọa độ Xét họ phương trình Duffing với tham số s: x + x = £x3. Khai triển x ( s ,t ) = Xq (t) + sx 1 (t ) + dẫn đến x'o+xq = 0 , x \ + X ] = Xo . 24 (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Nghiệm tổng quát của phương trình đầu có thể được viết: Xo (t ) = Acos (t — a ) , ở đó A và a là các hằng số bất kỳ. Đối với phương trình thứ hai: 3 1 x\ +Xị = Xq = —A3 cos (/ —« ) + —A 3cos3 (t — a ) , (2.8) mà các số hạng thế tục (secular) có dạng t cos (t — cc) bắt đầu xuất hiện trong nghiệm. Chúng không thế bị triệt tiêu, chỉ khi A = 0 thì chúng mới không tồn tại. Vì thế, một chuỗi giống như dạng (Ị2.5Ị) xuất hiện, và chuỗi đã ngắt không xấp xỉ đều x(£,t) trên khoảng t Ó đó khó khăn được khắc phục bằng 2n cách đoán trước m ột nghiệm tuân hoàn với chu kỳ — theo í, co là ân sô, ta co đặt: (O = 1 > 0. + 8(0] + £2CỦ2 + ở đó ỡ)i, ớ>2 , . .. là những hằng số chưa biết, sau đó đổi biến số từ t thành T: T = cot (2.9) để phương trình theo T đã biết là có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 2 71 (phương pháp Lindstedt). Phương trình (Ị2.9Ị) đưa vào đủ các hằng số tự do cơị để khử các số hạng thế tục. Chúng ta có thể nhìn nhận phương pháp này theo cách khác. Viết (Ị2.9Ị) dưới dạng: T = t ( i + £ Z \ + £ 2t 2 + . . . Ì , 25 ( 2 .1 0 ) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa ở đó Ti, T2 5 ••• là những hằng số chưa biết. Cũng đặt như phương pháp trước: x ( e , t ) = X ( e , T) = X 0 (r) + £X, ( t ) + £2X2 ( t ) + ... và thay (Ị2.10Ị) và (|2 .11 (2.11) [) vào (Ị2 .7 Ị) Ta biết điều này dẫn đến một khai triển đều trên t > 0 vì nó tương đương với phương pháp Lindstedt. Do đó, chúng ta hãy thay các hằng số Ti, T2 , ... bởi m ột tập hàm chưa biết T\ , 72,... của T và quan sát xem điều gì xảy ra. Ta có: x(e,t) =x (e,T) = x0( t ) + eXị ( t ) + £2X2( r ) + (2 . 1 2 a) va (2 . 1 2 b) Số hạng đầu tiên trong khai triển của í là T, và điều đó phù hợp khi 8 —>0: T được g ọ i là tọa độ biến dạng, h o ặ c là tọa độ nhiễu. Phương pháp này c ò n được gọi là phương pháp tọa độ biến dạng của Poỉncaré. Ta chỉ ra một cách tiếp cận khác: cho một chuỗi dạng: (2.13) Một số hữu hạn các số hạng của chuỗi này nói chung không cho ta một xấp xỉ đều của x (e ,t ) với mọi t, nhưng khi (|2 . 1 2 bỊ) được thế vào (Ị2.13Ị), ta có thể chọn T\ ( t ) , r 2 ( t ) để buộc (Ị2.13Ị) trở thành một xấp xỉ đều. Quá trình này được gọi là nhiễu tọa độ và sẽ được thực hiện trong hai ví dụ sau: 26 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Ví dụ 2.1. Tìm một nghiệm xấp xỉ của họ các phương trình autonom: x + x = £x3, với x (£ ,0 ) = l ; x ( s ,0 ) = 0 và sai số 0 ( s 3) đều trên t > 0 bằng phương pháp nhiễu tọa độ. Lời giải Khai triển (Ị2.13Ị) với điều kiện ban đầu, ta có: *0 + Xo = 0, X] + X Ị ±2 +X2 = = Xq, 3XqXị , XQ (0) = 0; X() (0) = 1, X] (0) = 0, X2 (0 ) = 0, X] (0) = 0; ¿2 (0 ) = 0. Khi đó: ( 1 3 . 1 cos t + £ [ — cos t + - t sin t ------ cos 31 V32 8 32 23 3 9 + e 2(———cos t + — t sin r ---- — t 2cost 1024 32 128 9 1 / \ — — í sin 3/ H---- — cos 5r) + o ( £3 ) . ; V / 256 ' 1024 -cos3í 128 (2-14) Khai triển này hiển nhiên là không đều trên t > 0 Bây giờ, đặt: (2.15) 27 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thi Thoa v à o (Ị2.14D, khai triển cá c số hạng th eo lũy thừa củ a £ và sắp x ế p lại: , n X(e,T) = v ; ( 3 . 1 \ 1 — c o s t — T\ s in T + - T s i n T ------- c o s 3 t \3 2 8 32 J 23 1 2 11 + £ ( --------COST------ T\ COSTH-------7i sin T — To sin T 1024 2 32 3 3 . 9 7 3 + —T /1 COSTH------ T sin T ---------- T c o s t ---------- c o s 3 t 8 32 128 128 3 9 2 3 „ 3 . n H----- 7i 1sin sinTT------------------------------------------------------T -----— T2 cos T ----- — COS 31 c o s T -c o s 3 t H--------- 7i sin 3 t 32 1 128 128 32 1 9 T sin 3 t h -------— c o s 5 t ) + o ( £ 3 ) 1024 J V J 256 cosT + £ Để loại b ỏ thành phần T sin T trong h ệ số c ủ a £, thành phần gây ra tính k h ô n g đều, ta x á c định Tị bởi: (2 .16) Khi do, he so c u a e 2 trci thanh: 23 _ — — COST — 1024 r?sinT + 57 _ - — 256 3 1 128 1024 T sinT -------------------------------— cos3 t H----------- CO S 5 T và ta phải có: 57 T2 ( t ) = — - T y J ( 2 .1 7 ) 256 để khử tác nhân không đều T sin T. Giả thiết là theo từng bước của quá trình này ta có thể tiếp tục mãi, ta có: _ 1 X = x ( e , t ) = COS T + — £ ( c o s T — COS 3 t ) + £' / 23 3 1 - — — COSTco s3 t H \ 1024 128 1— c o s 5 t 1024 \ + ơ J / ,\ e . V ) ( 2 .1 8 a ) 28 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa H ình 2.2: Sự so sánh giữa nghiệm số của jc + X = ịjt3 (£ = 1 trong (|2.7j)) và nhiễu tọa độ cho bởi (|2.8|): một sự sai lệch nhỏ giữa các chu kỳ bắt đầu xuất hiện từ khoảng t « 50 ở đó: í=T (,+8e+ẫ£ 2 )+ ỡÍ£3 (2.18b) Trong hình 22_ số của phương trình vi phân khi £ = 1 với 0 < t < 50 được chỉ ra. Trong khoảng này thì sai số của xấp xỉ (|2.18aỊ) gần như không thấy được. Ví dụ 2.2. (Phương trình Lighthiỉỉ): Tìm một xấp xỉ đều trong đoạn 0 < t < 1 của nghiệm x ( s .t ) của phương trình: (c x _h í ) x _Ị- (2 -Ị-í)x — 0 , £^ 0 , (2.19) thỏa mãn X (£, 1 ) = £ ~ 1. Lời giải Bắt đầu bằng việc chú ý những đặc điểm nổi bật của đường cong nghiệm trên _ dx ( 2 + t)x , . đoạn 0 < t < 1 (xem Hình 2.31 Do — = và x(£ . 1 ) = £ nên ta dt Sx t có: X > 0 và X < 0 tại t = 1. Chúng ta chứng tỏ rằng X bị chặn trên đoạn [0,1] bằng cách chứng minh clx rằng — là bi chăn trên đoan [0,1]. Tính vô han có thể chí xảy ra khi ex-\-t = 0 dt hay t = —£X. Di chuyển từ t = 1 về phía trái, giả sử t = to là điểm đầu tiên mà tại đó đường cong nghiệm đi qua trục t và chuyển thành số âm. Ớ bên phải 29 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa H ình 2.3: Nghiệm số của phương trình trong Ví dụ 2.1 và nghiệm xấp xì với £ = 0.15. Chú ý rằng sự mở rộng của nghiệm kết thúc với độ dốc vô hạn tại điểm mà £x + t = 0 điểm này, X khả vi liên tục. Tuy nhiên X không giảm và dương trên ÍQ < t < 1 (hướng về trái) vì nó tăng và dương tại t = 1 , và điểm thay đối đầu tiên là nơi cỉx — = 0, đó là tai t = —2 nằm ngoài đoan [0,11. Do đó to ở ngoài khoảng. Do dt đó X bị chặn trên 0 < / < 1 và không tăng khi ta dịch chuyển từ t = 0 tới t = ì. Tiếp cận trực tiếp, viết: X (c, t ) —Xq (/) “h £X\ (t ) “b 8^X2 (í) “1“ (2 .20 ) dẫn đến dãy các phương trình tuyến tính: txo + (2 + t ) x 0 = tXị + (2 + t)x i = 0 , x 0 (l) = ể- 1 ; -XQXQ, *1 (1 ) = 0 ; tX2 + (2 + t ) X2 = —XqXi —XqXi , *2 (1) = 0. (2.2 la) (2.21b) (2.2ÌC) Nghiệm của (|2.21aỊ) là *0 0 ) = 30 ( 2 .22 ) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (ta đã dự đoán sai rằng x(0) = oo). Phương trình (Ị2.2lbị) trở thành i l + ( j + ỉ \ x ì - e - 2‘ ( ! + £ ) • Do đó. ,-t Xị (í) ! e ~u { y + h ) ẳu (2.23) 1 có bậc -y tại / = 0, và nó thậm chí còn kỳ dị hơn (Ị2.22Ị). Xử lý tương tự với (|2.21cỊ) ra bậc kỳ dị o ^ khi t —» 0. Sự xấp xỉ (Ị2 .2 0 Ị): x ( e ìt) « Xo (í) + £*1 (/) , với sai số o (e 2) . Với í cố định và rõ ràng là không đều trên 0 < / < 1, bị phá hoàn toàn tại t = 0. Như trong ví dụ cuối, viết phép biến đổi gần đồng nhất: t — T (c, t) - T + e T\ (t) + £ 7*2 (t) + (2.24) Khi đó: j l - £ 7 ì ( ĩ ) ( - + l U + o ( e 2) 31 (2.25) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa ( o ( e 2) đ ể chỉ T c ố định, k h ô n g c ố định t) và: 2 1 2 1 lâ M3 lâ u3 e " 1 — 4— T du = ị e 11 —r H— 7 ) du T+eTị(z) + . 2 + J e~ w 1 (2.26) + ^ ) ểu — I e 11 ( ~à + “ r ì du + 0 ( e ) . lâ w3 Từ (Ị2.22Ị), (Ị2.23Ị), (Ị2.25Ị) và (Ị2.26Ị) ta tìm được với bậc o (e 2) (để chỉ T cố định) + 0 le L ) (2.27) Điều tốt nhất ta có thể làm là chọn T\ đế khử bỏ tính kỳ dị nhất, với T nhỏ, nảy sinh từ tích phân. Điều này đến từ số hạng: 2 + õ . U' 3 3J u: -c/w 1 2e~x 1 3t3 Khi T —>• 0. Chọn: Tl (T) = (2.28) 3t2 khử tính kỳ dị này (đương nhiên chúng để lại một số hạng bậc T 2. Cuối 32 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa cùng, từ (Ị2.27Ị), (Ị2.24Ị) và (Ị2.28Ị) (2.29a) cùng vối t= T (2.29b) 3t2 cho một xấp xỉ đều với 0 < t < 1 (Hình |2.3Ị). Từ (|2.29bỊ), t = 0 tương /£\ T = ( —] 1/3 / £ \ , và do đó X (0) có giá trị xấp xỉ ( —] — . Sai số trong thì t cố định (|2.29bỊ) là ơ (e 2) vối T cố định, nhưng chỉ với ơ Bài tập 2.1. Tìm một nghiệm xấp xỉ của: x + x = £xx , x(£, 0 = 1 ), i ( £ , 0 ) = 0 với sai số o (e 2) đều trên t > 0 bằng phương pháp nhiễu tọa độ. 2.3 Phương pháp Lighthill Ta lại xét phương trình (xem Ví d ụ |2.2Ị): (£x-Ị- í ) X “b (2 -ị- í ) X — 0, (2.30a) (2.30b) 33 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trên 0 < t < 1, sử dụng cách tiếp cận trực tiếp đã nêu trong mục trước. Cách làm đó còn được gọi là phương pháp Lighthill. Thay : x = X( e, t) = Xq ( t ) + sXị ( t ) + ... t — T ( £, t ) — T -ị- £ Tị ( t ) + ... (2.3 la) (2.3 lb) vào phương trình vi phân và điều kiện biên. Đầu tiên, chúng ta không hi vọng rằng t = 1 sẽ tương ứng với T = 1. Giả sử t = 1 tương ứng với T = T* (e). Sau đó, ta phải giải (|2.31bỊ) với T*, đó là: 1 = T* + e7ì(T*) + ... (2.32) Lúc này (|2.30b|), (|2.31aỊ) cho ta một điều kiện biên: ể — Xo ( t ) + sXị (t*) + (2.33) Để giải (Ị2.32Ị), giả thiết T* gần 1 (với £ nhỏ), nó có sự khai triển: (2.34) ở đó T i , . . . là các hằng số. Phương trình (Ị2.32Ị) thành: (viết Tị ( t * ) = T\ (1 ) + STịTị (1) + 1 = 1 + £ (Ti + T\ ( 1)) + . . . nên C\ = —T\ (1) và từ (Ị2.34Ị), biên t = 1 tương ứng với T = T*, ở đó: 34 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Do đó, từ khai triển Xo ( t * ) và X\ ( t * ) trong (Ị2.33Ị), điều kiện biên (Ị2.33Ị) trở thành: = x 0 (1) + £ X ị (1) —Xq (1) 7] (1) + ... (2.35) Tiếp đó, đạo hàm trong (Ị2.30aỊ) được biến đổi bởi: dx d x dT Xq -ị- s X 1 -ị-... / / / / /\ ™ = — / — = —2— r ì i -------= x ' + e ( X - XfíT, + dt d ĩ' dĩ l + e 7 ’1+ . . . 0 V 1 0 V (2.36) Như vậy, phương trình (2.30a) trở thành: (s X q + T + —XqT-[ ^ + (2 + T + eT\) (Xo + £ X \ ) = 0. £7]) (2.37) Phương trình (2.35) và (2.37) đưa ra: t Xo + (2 + t )X 0 I tX'ì + {2 + t ) X ì = - T ị = 0, (2.38a) X o (l) = e _1; (x0+ x0) +TX'ữT [ - X ữXữ (2.38b) Từ (|2.38aỊ) xấp xỉ bậc 0 là: * o (t ) = (2.39) -2 • Khi đó (2.38b) trở thành 2e~x í t X , + ( 2 + t ) Xi = - ^ ĩ - T x - e ~ x [ 2 T với điều kiện ban đầu: 35 1 \ ' --)T i+ e T 2t ■ 2 1 T5 T4 , (2.40) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Bây giờ ta có thể tùy ý chọn T\ (t): Chẳng hạn ta chọn sao cho vế phải của (Ị2.40Ị) bằng 0 , điều này sẽ dẫn đến một nghiệm của (Ị2.40Ị) có dạng (Ị2.39Ị) , nhưng trong trường hợp bất kỳ không thực hiện được. Chúng ta sẽ chọn Tị để triệt tiêu tính kỳ dị cao nhất nhìn thấy ở vế phải của (|2.40|), có bậc — . Chúng T ta thử điều này bằng cách viết e T, e 2z 2 2 T T , l với T nhỏ và giải: 2 — T \ ---- -zT 1 H— 7 — 0. T Nghiệm đơn giản nhất là: (so sánh (Ị2.28Ị). Do đó, chúng ta đạt được kết quả tương tự như trong mục trước, mặc dù, trong ví dụ này, phải nỗ lực nhiều hơn đáng kể. Chú ý rằng trong toàn bộ lập luận chúng ta đã xem phương trình như là một thành viên của họ các phương trình với tham số £. Bài tập 2.2. ; Tìm nghiệm tổng quát của: (sx “h /) “h (2 + t ) x — 0, x ( e , 1) = 2.4 e ~ x khi £ = 0. Nghiệm sẽ như thế nào khi t gần 0? Thang thời gian đối vơi nghiệm chuỗi của phương trình autonom Để minh họa, xét họ các phương trình vi phân tuyến tính với tham số £: X + £x + X = 0, / > 0, 36 (2.42a) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa và điều kiện ban đầu x(0) = 1,x(0) = 0, (2.42b) ở đó, |e| < 1. Nghiệm đúng là: x ( t , s ) = cos(l + e ) 1/ 2/. (2.43) Phương trình (Ị2.42aỊ) có dạng jc + sh ( x , x ) + x = 0 (ở đó /z (x,x) = X và sự thảo luận dẫn đến một biểu diễn nghiệm xấp xỉ trên phạm vi rộng của phương trình dạng này. Chúng ta có thế sử dụng quá trình nhiễu với £ nhỏ để thu được nghiệm của (Ị2.43Ị) như một chuỗi lũy thừa của £ bằng cách thế chuỗi: X (í, e) = Xo (t) + exi (t ) + vào phương trình vi phân và điều kiện ban đầu, đồng nhất các hệ số của en, n = 0 ,1 ,... để có một dãy của các phương trình vi phân xác định Xo (t) ,X] (t),. Quá trình này cho ta kết quả tương tự như khi ta khai triển nghiệm chính xác (Ị2.43Ị) thành một chuỗi Taylor theo lũy thừa của £. Lấy đến £2 ta có: x ( t , e ) = c o s(l + È)2t ~ cosr —- £ ís ir ư + - £ 2 (ts'mt — t 2c o s A . 2 8 V / (2.44) Độ chính xác của xấp xỉ này phụ thuộc vào sự cân bằng giữa khoảng biến thiên của £ gần 0, và khoảng biến thiên của t, và ta đều muốn các khoảng đó càng lớn càng tốt. x ấ p xỉ đó sẽ không tốt đối với giá trị cố định bất kỳ £ khi t đủ lớn sao cho ba số hạng trên ngừng giảm nhanh chóng về độ lớn. Sự tổ hợp của e và t xuất hiện trong (Ị2.44Ị) là £í,£2/ và £2t2. x ấ p xỉ không tốt xảy ra khi 37 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa et không còn nhỏ nên xấp xỉ (Ị2.44Ị) chỉ tốt khi: (2.45) Nếu £ giảm thì thời điểm xấp xỉ không tốt sẽ chậm lại, nhưng nói chung sẽ không có một số cố định của các số hạng trong chuỗi và cũng không có giá trị cố định của £ để ta có một xấp xỉ tốt với tất cả t > 0. Tuy nhiên, tồn tại một biểu diễn khác của x ( t , s ) dưới dạng chuỗi để có xấp xỉ tốt trên một khoảng lớn hơn nhiều của t. Khai triển Taylor (1 + e ) 1/ 2: Sử dụng các số hạng đầu để khai triển x ( t , e ) trong một chuỗi Taylor tại điểm (l + \ e ) t thì: (2.46) Với các giá trị đã cho của £ trong khoảng |e| 1, xét giá trị của nó có thể rất lớn nhưng vẫn bị hạn chế bởi khoảng hữu hạn: 0’1' , b 0 = C0e ‘1Ì2, ở đó, Co là một hằng số. Từ (|2.70bỊ)và (Ị2.71Ị) ta thu được ỵ 0 = C0e - t- ĩ rĩ,- s rĩ2, và vế phải của (|2.69cỊ) cần phải bằng 0 2Xl1 (0) = C i, thì từ (2xiv), ta thu được: 1 x ( 0 ,e ) — Co + £ ( Ci — —C q 1 — *0; y (0, s) — —Co + £ Ci ——Co + —Cq J —}’() + £}71 . Trong đó, Co và C\ là các hằng số cho trước và giá trị ban đầu là Xo và yo + £y\ 55 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Từ phương trình thứ nhất, ta thu được Co — 1 , 1 , -Cn = -XỈ, Ci 8 0 (2xv) 8 0 Và từ phương trình thứ hai: Vo = -C o = - x 0; y1 1 13 2*0 + 4 ữ' (2xvi) Các hăng sô trong (|2xvỊ) cho ta nghiệm theo thời gian nhờ (]2xiiiỊ) và (|2xviỊ) xác định tung độ cần tìm tới ơ (e2). Đồ thị của y= + ey 1 = -X o ( 1 2 1 3 + £ [ ~ X q + -xị được chỉ ra trong Hình 1.4, ở đó còn có sự so sánh với đường phân tách đã tính bằng phương pháp số của nó. bằng phương pháp số H ình 2.4: Đường phân tách ổn định trong miền X > 0,y < 0 được tính bằng phương pháp số và vẽ các giá trị ban đầu xác định bởi (|2xvị>:y = Vo+ £yi = —*0 + £ (—2*0 + 4 *0 ) v— —£ + £2 + 0 , m2 = ^ | - l - ( l - 4 e ) 2 | = - l + e - e 2 + ỡ ( V ) . Các số này là thực và âm nên gốc của mặt phẳng pha là nút ổn định. Nghiệm chính xác của bài toán giá trị đầu là: x ( t , e ) = Xo {rri2 emỉt — m\ e m2t} / ( m 2 — m\). Thay các xấp xỉ của mi,W 2 (chú ý rằng khi t — o (£_1) thì e 2t = 0 ( e ) nên e~£2{ = 1 + 0 (e), ta có: x(t,e) = Xo l e ~ et~e2t + £ (e~£t - e~t+£t) I + o ( e 2) 57 (3ii) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa là xấp xỉ cần tìm, thỏa mãn khi t = o (e 1). b) Tiến hành như thường lệ, đặt * (/,£ ) = X (t, TỊi, 7 7 2 , £) và: X ( í ,ĩ],, 7 7 2 , 6 ) = Xo (í, TỊ], 7 7 2 ) + eXi (í, ĩ j i , ĩ]2) + £2X2 (í, J?1 , J?2) + o ( e 3J ; ở đây Xo,X] 5X2 ,... là 0 ( 1 ) khi f = 0 ( s - 1 ). Ta thu được: x ó[...]... (2 6) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Kết luận đó vẫn đúng bất kể ta lấy bao nhiêu số hạng trong chuối Taylor Chú ý rằng các chuỗi chỉ tiệm cận chứ không hội tụ Khi đó, ta nói rằng (Ị2.5Ị) không cung cấp m ột xấp xỉ tốt đều trên khoảng t > 0 Phương pháp nhiễu thông thường không cho ta một xấp xỉ đều của nghiệm của một phương trình vi phân Khi đó, bài toán đó được gọi là bài toán nhiễu kỳ dị v ề mặt... điểm yên ngựa Phương trình vi phân cho các đường cong pha là: dy sinx dx y Đây là phương trình vi phân tách biến, nên ta có nghiệm: y = ± \ / 2 (cosx + c)1/2, đó là phương trình của các đường cong pha với c là tham số của các đường cong pha Do y phải là số thực nên c > —1 Xem Hình chia ra như sau: 11 1.5, ở đó phạm vi của c được Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa H ình 1.4: Đường cong pha của X + sinx... diễn, xung quanh chu trình giới hạn (ii) Đường cong trắc địa Ví dụ 1.6 Nghiên cứu xu hướng của các đường cong pha đối vối phương trình vi phân Jc+ 1x 1x + x 3 = 0 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Lời giải Hệ này chỉ có một điểm cân bằng tại (0,0) Vi t phương trình dưới dạng X + X3 = — \x\x, và nhân hai vế với x: XX + X 3X = — \ x \ x 2 Theo các biến mặt phẳng pha x ,y phương trình này trở thành dy... số của phương trình vi phân khi £ = 1 với 0 < t < 50 được chỉ ra Trong khoảng này thì sai số của xấp xỉ (|2.18aỊ) gần như không thấy được Ví dụ 2.2 (Phương trình Lighthiỉỉ): Tìm một xấp xỉ đều trong đoạn 0 < t < 1 của nghiệm x ( s t ) của phương trình: (c x _h í ) x _Ị- (2 -Ị-í)x — 0 , £^ 0 , (2.19) thỏa mãn X (£, 1 ) = £ ~ 1 Lời giải Bắt đầu bằng vi c chú ý những đặc điểm nổi bật của đường cong nghiệm. .. các nghiệm tuần hoàn theo thời gian 9 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa (vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian : giả sử X\ (t) là một nghiệm riêng của X = f ( x x ) khi đó, các nghiệm X\ (t — 1\), với t\ bất kỳ, cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn Ví dụ 1.2 Xây dựng lược đồ pha cho phương trình dao động điều hòa đơn giản jc+ co2x = 0 Lời giải Phương trình này xấp xỉ với phương trình. .. một đoạn Các nghiệm của phương trình vi phân: x = f(x,x,t,e) là các hàm số của t và s Một vài vấn đề nó có thể này sinh trong khi xấp xỉ, các nghiệm có thể được minh họa bằng cách xét các hàm đơn giản, thậm chí nó không nhất thiết phải liên quan tới các phương trình vi phân Chẳng hạn: Xét hàm số: x (e ,t) = e~£t, (2.1) với t > 0, ở đây e nằm trong lân cận của 0 Ba số hạng đầu tiên của khai triển Taylor... Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Phương trình này không có dạng X = f ( x ) Để rút gọn phương trình này ta xét u = I p ỉ/ 2(x)dx Khi đó ủ = p xl 2(x)x và ử = - p l/ 2ự ) p '{ x ) x 2 + p lf 2{x)x Sau khi có được X và X từ các phương trình và thế vào d1.3QỊ) ta có: u + g(u) = 0 , ỡ đ ó g(u) = j-p l/2( x ) ( v ' ( x ) - q ' { x ) ) 21 (1.31) Chương 2 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ 2.1 Sự xấp xỉ không đều của. .. nối hai điểm cân bằng (lưu ý rằng nó không vượt ra khỏi hai điểm cân bằng đó) VI t —y °°, đường đó tiến tới điểm (7T,0) và xuất phát từ ( —7T,0 ) tại t = —oo Đường này được gọi là một đường phân lập, vì nó phân biệt hai chế độ chuyển động, dao động và quay tít Nó cũng kết nối hai điểm yên ngựa 1.4 Chu trình giới hạn Xét hệ autonom x = f(x,x) 12 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa trong đó / là một hàm phi. .. kia đi ra xa chu trình giới hạn Phương trình có dạng x = f(x), 16 Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa không thể dẫn tới một chu trình giới hạn Chúng ta kết thúc mục này bằng cách minh họa một số phương pháp tiếp cận đối với phương trình có dạng: x + h(x,x) + g (x ) = 0 , (1.28) mà không liên quan đến bất kì mô hình cơ học hoặc năng lượng nào: (i) Tọa độ cực Chúng ta sẽ nhắc lại Ví dụ 1.4 bằng cách sử dụng... x'o+xq = 0 , x \ + X ] = Xo 24 (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Cao Thị Thoa Nghiệm tổng quát của phương trình đầu có thể được vi t: Xo (t ) = Acos (t — a ) , ở đó A và a là các hằng số bất kỳ Đối với phương trình thứ hai: 3 1 x\ +Xị = Xq = —A3 cos (/ —« ) + —A 3cos3 (t — a ) , (2.8) mà các số hạng thế tục (secular) có dạng t cos (t — cc) bắt đầu xuất hiện trong nghiệm Chúng không thế bị triệt tiêu, chỉ ... để nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến, nghiên cứu nghiệm phương pháp nhiễu kỳ Với mong muốn tìm hiểu sâu phương trình vi phân phi tuyến hay cụ thể phương trình vi phân thường cấp hai phi. .. THOA NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIẼU KỲ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG... phi tuyến, em mạnh dạn chọn đề tài: Nghiên cứu nghiêm phương trình vi phân thường cấp hai ph i tuyến phương pháp nhiễu kỳ d ị” Nội dung đề cập khóa luận trình bày hai chương: Chương 1: Trình