T được gọi là tọa độ biến dạng, hoặc là tọa độ nhiễu Phương pháp này còn
2.7 Kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân
phân
Ta xét ví dụ sau để minh họa:
V í dụ 2.7 (Một bài toán giá trị đầu). Tì m một xấp xỉ bậc nhất đối với nghiệm của: dy Biết rằng: E - - \ - y = x, x > 0 , 0 < £ < c l (2.87) dx Lời giải y ( e , 0) = 1. (2.8 8) 67
Hiển nhiên, bước đầu tiên đặt e = 0 vào (Ị2.87Ị), điều này cho xấp xỉ ngoài
(2.89)
sai số là o (e), như ta đã thấy ở bước đầu tiên trong một quá trình nhiễu. Ta cho phép tùy chọn một biến giãn mới ệ, bằng cách viết:
X ^ ( Ị ) ( £ ) , (2.90)
trong đó, lim ộ (e) = 0. Phương trình (2.87) trở thành: £-»0
e dy
(Ị) (e) dặ + y = ệ ộ ( e ) . (2.91)
Sư lưa chon ộ (e) để giữ lai như môt số hang cấp cao nhất, sẽ cho ta môt
d ị
phương trình có thể mô tả một lớp biên là:
ệ ( e ) = e (2.92)
và (2.91) trở thành:
dy
d ị + y = e ị - (2.93)
Xấp xỉ đầu tiên (e = 0) của nghiệm phù hợp điều kiện ban đầu (Ị2.8 8Ị) xấp xỉ trong, được cho bởi:
- ệ (2.94)
với sai số o (e), với § —hằng số. Điều này được biểu thị như:
yj = e~e\ x = 0 ( s ) . (2.95)
Tuy nhiên, ta chú ý rằng, trong một miền trung gian, chẳng hạn:
77 V ẽ,
với 77 — hằng số, cả hai xấp xỉ đều trùng nhau với bậc y/ẽ. Đ ể tạo ra một xấp xỉ đều, ta bắt đầu với yj + yo-
y i + y o = e~ề + x (2.96)
Hàm này trùng với bậc £ đôi với xâp xỉ (|2.89Ị)và (Ị2.94Ị), khi X băng hăng sô và X = ị e tương ứng, nên hàm ở (Ị2.96Ị) một xấp xỉ đều. Người đọc có thể tự so sánh với nghiệm chính xác:
ỵ ( £ , x ) = X - s - e xl e + £e x/ e .
Ví dụ 2.8. (Một bài toán giá trị biên): Tìm một xấp xỉ bậc nhất của phương trình: d 2y d ỵ Biết a y „ a y £ 9 + 2 —— h ỵ = 0 , 0 < X < 1 dx z dx y( 0) = 0 , y ( \ ) = ì (2.97) (2.98) Lời giải
Đặt £ = 0 trong (Ị2.97Ị) (hoặc tìm sô hạng đâu tiên trong quá trình nhiêu thông thường), ta có phương trình vi phân xác định xấp xỉ ngoài yo (£,x):
dyọ
clx + = 0. (2.99)
Đây chí là phương trình cấp một nên chí một điều kiện biên được thỏa mãn. Ta sẽ giả sử (Ị2.99Ị) thỏa mãn xấp xỉ tại X = 1. Ta cần y 0 (£,x) = 1 nên:
y ~ y o { x , e ) = e l/2e x/2, (2.100)
với sai số o (e). Giả định rằng, điều kiện là đạt được bởi đột xuất thay đổi bản chất của nghiệm gần X = 0 ta đưa vào một biến giãn mới § bởi:
x = ệ ệ ( s ) , (2.101) ệ là cố định, trong đó: lim ộ (e) = 0. (2.102) Phương trình (2.97) trở thành: £ d 2y 2 dy + <Ị>2 ( e ) d Ẹ 2 (¡>{e)dị + >’ = 0. (2.103)
Chọn ộ (e) = e thì hai số hạng đầu tiên trong (Ị2.102Ị) có cùng bậc theo £ nên ta có phương trình:
d y , „ dy
— + 2 — + e y - 0 .
Cho £ = 0, ta có phương trình đối với xấp xỉ trong ỵ/:
ộ ^ + 2 ^ = 0,
d ự d ị '
với sai số bậc e. Điều kiện biên là:
(2.104)
(2.105)
37(Ê,0) = 0. (2.106)
Do đó,
y ^ y i ( e . x ) = A ( l - e 2Z) , (2.107)
khi ệ — hằng số, sai số 0 ( e ) . Giá trị của A phải được xác định sao cho cả (Ị2.1 0 0Ị) và (Ị2.107Ị) đều là xấp xỉ của cùng một hàm (nghiệm): nếu đó là một miền chồng lấn của xấp xỉ đến một bậc nào đó thì chỉ có sự lựa chọn của A. Cho phép dáng điệu của X đã cho bởi:
x = ĩ j ự ( e ) , (2.108)
khi 77 là hằng số nào đó, và:
lim \ự(e) = 0. £ - » 0
(2.109)
Nhưng khi Iự không tiến đến 0 nhanh bằng ộ để
ộ ( e ) £
lim -t— 1 = lim - ị - = 0.
e->Ò\Ị/(£) e->0\ự(£)
Chọn 1ự (e) = yfẽ, sẽ thỏa mãn các điều kiện trên. Khi đó,
(2.110)
y 0 (e,x) = e = e \ _|_ 0 ( \ ự ) . (2.111)
Theo (2.109) và:
>7 ( £ , x ) = a ( ỉ - e - 2’1¥/l!) = A + o (1). (2.112)
Theo (Ị2.11QỊ) chúng chỉ trùng nhau nếu A = e x!2 nên:
y ~ yo (c,^) = e xt 2e x/ 2 với X = 0 (1), (2.113)
y « yi (e,x) = £ 2 — e~lx^ \ với x = 0 ( e ) . (2.114)
Đê tìm một xấp xỉ đầu tiên 0 < X < 1, ta lập hàm:
y 0 + y i - e +
Khi đó, với X = 0 ( 1 ) , hàm đó trở thành e l / 2 e ~ x ! 2 + e 1!1 khi £ —» 0, tức là nó có số hạng không mong muốn e 1!1 trong nó. Tương tự, khi X = ệ e , nó trở thành ể 1/ 2 + ể 1/ 2 ^1 — e~2^ khi e —» 0, như trước, nó chứa một số không mong muốn £2. Do đó, hàm số ỵc được cho bởi:
>’c = y o + y i - e l/2 = e ì/2 ị e - ^ - e - 2*!*) (2.115)
là một xấp xỉ đều trên 0 < X < 1 được biết như một nghiệm kết hợp, người đọc nên so sánh với nghiệm chính xác.
y ( e , x ) = [eẰ'x - eẰA / ị e Ả' - e M , (2.116)
ở đó, X\ , Ả2 là các nghiệm của £Ằ2 + 2Ằ + 1 = 0 . Khai triển cho chúng là:
Ằ, = —-
2 8
2 1 1
Ằ2- “ ẽ + 2 + 8 £ + - ’
tới bậc e. Hình 2.8 chỉ ra nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ với £ = 0.1.
H ìn h 2.8: Nghiệm đúng của (Ị2.97|> và các nghiệm xấp xỉ trong, ngoài và xấp xỉ kết hợp với £ = 0.1. Nghiệm đúng và xấp xỉ kết hợp hầu như không phân biệt
Sự khai triển và quá trình kết hợp có thế mở rộng để lấy các số hạng ngoài bậc nhất trong ví dụ sau:
Ví dụ 2.9. Tìm các điểm cân bằng của:
£x + kx — x + x 2 = 0, X = ỵ, k > 2y/ẽ, (2.117)
và phân loại các xấp xỉ tuyến tính của chúng. Xét bài toán giá trị đầu X (0) =
oc 1
0, x (0 ) = — khi 0 < a < —. Tim các xấp xỉ trong, ngoài và kết hợp với 0 < £ < 1.
Lời giải
Phương trình trên có hai điểm cân bằng tại (0,0) và (1,0). Điểm (0,0) là điểm yên ngựa, còn (1,0) là nút ổn định. Để tìm xấp xỉ ngoài, ta sử dụng khai triển:
x = x 0 = f o( t ) + £f i (f) + - j
nên bậc thấp nhất trong phương trình (Ị2.117Ị), /o thỏa mãn f c / ó - / o + /Ồ = 0. Do đó, hoặc kdfo / o ( l - / o ) /o J clt — í H- c, ln 1 - / 0 ở đây c là một hằng số. Khi đó, x = x ữ t t / 0 (í) \ ^ C )
trong đó, Xo là các số hạng ban đầu của xấp xỉ ngoài. Chú ý rằng Xo —> 1 khi
t —y0 0 Để được nghiệm trong, đặt t = £ T , ta có:
+ — £ (x —X2) = 0, (r = --- ).
V / dt
Bây giờ, sử dụng khai triển:
X = XỊ = g0 (e) + £ g i ( z ) +
(2.118)
rồi thế vào (Ị2.118Ị), ta suy ra go thỏa mãn:
g"0 + = °-
Do đó,
go (t) — A + Bể -¿T
Các điều kiện ban đầu kéo theo go (0) = 0 ,^ 0 (0) = a. Do đó:
B = - A , —Bk = a,
và ta có nghiệm trong X Ị \
Xì = g n ( t ) ~ j ^ - e ~ kt Ỵ
Hằng số c trong X o ở trên được xác định bằng cách kết hợp X o và Xj. Đưa vào thang thời gian t = TịeP với 0 < /3 < 1, hay T = Ĩ Ị £ ^ ~ ] .Theo 7],
(2.119)
1 + e c / k
với r/ cố định. Hơn nữa,
oc ( . _ kE/3-1 \ a
x/ = ^ l - e 7 7] = y + o ( l ) ,
khi £ —>• 0. Cho các bậc thấp nhất của hai xấp xỉ này bằng nhau, ta có:
1 a
1 + e ~T/ k ~ k
hoăc e~c !k — Do đó, các xấp xỉ trong và ngoài cần kết hợp là:
Xo = --- - ---77, (2.120)
a + (k — a ) e ~ t/ k
x , = CỊ - { \ - € - k" e) , (2.121)
và ta có một xấp xỉ kết hợp:
(2.122)
Đơn giản biểu thức này, ta thu được xấp xỉ kết hợp t > 0:
a 1 - ek" £ + -- ---~ r---T77T k + a (l — e t!k) ( k - a ) l ì - e t/ k X r = — c k
Hình 2.9 biểu diễn nghiệm chính xác và các xấp xỉ X/, X o và Xc với £ =
0.1, a = 0.5 và k = 0.8. Những ví dụ trước chứa các phiên bản của quy tắc kết hợp Van Dyke’s, đó là một phương pháp hữa ích cho sự xác định hằng số, với lợi thế tránh các biến số trung gian. Tương tự, để đưa ra phiên bản hai số hạng của phương pháp. Ta giả sử rằng xấp xỉ ngoài của bài toán là:
rị = —. Quy tắc tiến hành như dưới đây: Đặt biến trong TỊ vào yo và khai triển theo lũy thừa của £ tới hai số hạng, và sau đó thay đổi rj trở lại x:
yo = /o (erj) + e /i (£7]) * / o (0) + x f o (0) + e /, (0). (2.123)
yo = /o (x) + £ /i ( x ) ,
và xấp xỉ trong là:
y/ = go( v ) + e gi ( ĩ ỉ ) ,
H ình 2.9: Nghiệm của (|2 .1 17[) và các xấp xỉ trong, ngoài, kết hợp với £ = 0.1, a = 0.5 và k = 0.8.
Trong xấp xỉ trong, thay biến ngoài X và khai triển theo lũy thừa của e:
yo = 80 ( - ) + £gì ( - ) ~ P o ( x ) + epi (x) (2.124)
bằng cách chọn các hằng số thích hợp thì ta có thể kết hợp các xấp xỉ trong và ngoài. Nếu các khai triển không thống nhất thì ta phải xét một dạng khác của TỊ.
Bài tậ p 2.5. Tìm và phân loại các điểm cân bằng của:
£x + k x — sinx = 0,
x (0 ) = 0, jc(0) = với giả thiết 0 < e 1. Tìm các xấp xỉ trong và ngoài tới số hạng đầu của nó.
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận "Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phỉ tuyến bằng phương pháp nhiễu kỳ dị".
Khóa luận trình bày về một số khái niệm phương trình vi phân cơ bản, một số khái niệm liên quan đến phương trình autonom trong mặt phẳng pha, khái niệm chu trình giối hạn và các khái niệm liên quan cùng với một số phương pháp nhiễu kỳ dị nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận mới chỉ đạt được một số kết quả nhất định. Em rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy, các cô trong khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.