T được gọi là tọa độ biến dạng, hoặc là tọa độ nhiễu Phương pháp này còn
2.6 Kết hợp các xấp xỉ trên một đoạn
Trong phần này, ta chủ yếu đề cập tới bài toán giá trị biên. Như ở Mục 2.1, ta sẽ minh họa bài toán bằng cách tìm một xấp xỉ của hàm y:
y ( e ĩx) = e 2x - e i xe ề x, 0 < X < 1 , 0 < £ « 1 . (2.76)
(Hàm này là một nghiệm của một phương trình vi phân sau này). Ta sẽ quan sát cấu trúc của hàm khi £ —)► 0.
H ìn h 2.5: x ấ p xỉ trong V/ và xấp xỉ ngoài V o của hàm v ( e , x ) trong (Ị2.76Ị)
Chú ý rằng, với X > 0,
■2x/e Ị £ n \ = 0 )
lim Ị e
£-»0 +
với mọi số dương n: hàm số tiến đến 0 rất nhanh khi e 0 + . Do đó, với mỗi X > 0 cố định:
y { e , x ) e ~ i x = y ơ , (2.77)
với sai số o ( s n) với mọi n > 0. Nhưng quan sát lại (Ị2.76Ị), ta thấy X càng lấy giá trị nhỏ thì £ càng phải nhỏ hơn nữa để (Ị2.77Ị) trở thành một xấp xỉ chấp nhận được. Nói chung, xấp xỉ đó không tốt tại X = 0 vì vế trái (Ị2.77Ị) bằng 0, còn vế phải bằng 1. Do đó, (Ị2.77Ị) không là một xấp xỉ đều trên 0 < X < 1, và ta cần một dạng khác ở gần X = 0. Hàm số yo xác định trong (Ị2.77Ị) được gọi là xấp xỉ ngoài của y. Để nhận được xấp xỉ gần X = 0, ta không thể xét với X
Cố định do (Ị2.77Ị). Do đó, ta phải xét X tiến tới 0 cùng với £ bằng cách đặt:
x { e ) = Ẹe, (2.78)
ở đó, ệ CÓ thể lấy giá trị bất kỳ. ệ được gọi là một biến giãn: theo quan điểm nó khuyếch đại lớp biên thành độ dày 0 ( 1 ) . Khi đó,
y ( e , x ) = e 2%E — e ^ £e 2<= « 1 ■2ệ (2.79)
với e± ^ £ = 1 + o (e). Sai số là o (e) với mỗi ệ cố định. Hiển nhiên, nó được thể hiện tốt hơn khi ệ không quá lớn. Ta cần biểu thị ý tưởng này theo cách khác bằng cách nói:
> > (£ ,* )- \ - e ~ lx' e =>>„ (2.80)
với sai số o (e) miễn là X = o (e) (bao gồm cả trường hợp X = o (e)). Điều này khá giống vối tình huống đã miêu tả với t > 0 ở đầu Mục 2.1. x ấ p xỉ (2.80) được chỉ ra trong Hình 2.5, Hàm yj xác định trong (2.80) được gọi là xấp xỉ trong của y. Với một giá trị của X và £ đã cho chúng ta cần phải quyết định chọn xấp xỉ nào vì một sai số bậc thấp của e không nhất thiết nhỏ với bất kỳ giá trị nhỏ đã cho của £. Ta có thể thấy miền nào xấp xỉ tốt hơn qua biểu diễn trên mặt phẳng £, X. Miền trong (Ị2.77Ị) và (Ị2.80Ị) có sai số nhỏ hơn 0.05 và 0.01 được chí ra trong Hình 2.6. Cận sai số của miền ngoài được cho bởi:
ị y ( x , e ) - y nị = e ĩ xe - 2^ = E,
H ìn h 2.6: Các vùng xấp xỉ tốt với (xấp xỉ ngoài) và (|2.80|) (xấp xỉ trong) với sai số E: (a) E=0.05; (b) E=0.01 với sai số o (e) miễn là X = o (e) (bao gồm cả trường hợp X = o (e)).
trong đó, E > 0 là một sai số dự kiến. Do vậy, biên Co được cho bởi:
2 e \ n E X =
£ - 4
Cận sai số của miền trong được cho bởi:
| y ( x , e ) - y / | = e 2* - 1 + e 2x!e - e*x^j
Phương trình này có thể được giải tìm £ (nhưng không tường minh với x) và suy ra biên sai số trong C/ xác định bởi:
£ = —2x/\n ì — E — e 2;
1 - eềx
Hai biên được chỉ ra trong Hình 2J5 với các sai số £=0.05 và £=0.01. Các
hình vẽ cho thấy có một miền trong mặt phẳng £, x; trong đó, cả (Ị2.77Ị) và (Ị2.80Ị) đều có sai số nhỏ. Do đó, ta cho rằng có thể có trường hợp “giữa” trường hợp X bằng hằng số và X = o (e), trong đó, cả hai xấp xỉ đều có một sai số nhỏ. Chăng hạn, nếu:
X = TỊ y/ẽ, T7 — hằng số, (2.81) y ( e , x ) trở thành: e 22rì ^ e - e- 2 Tì ^ Ee ~ ^ — 1 + o ( \ / e ) , (2.82) và (2.77) trở thành: (2.83) và (2.80) trở thành: y , = = ỉ + 0 ( V ẽ ) , (2.84)
(chính xác là 1 + o (x /ẽ)). Như vậy, hàm ban đầu và cả hai xấp xỉ đều có sai số tiến đến 0 cùng với £ khi X = TỊ y/ ẽ với ĨỊ cố định. Ta nói rằng hàm số “khớp” tới 0 ( 1 ) trong “miền chồng chéo” . Hình 2.7 cho biết diễn biến của một điểm (e, T]y/Ẽ) = (e,x) khi nó di chuyển vào các miền mà tại đó cả hai xấp xỉ (Ị2.77Ị) và (Ị2.80Ị) đều có sai số tiến tới 0 cùng với e. Ta mong muốn chỉ ra rằng không có khoảng trống trong “miền chung” . Do đó, thay vì (Ị2.81Ị), ta
xét trường hợp tống quát hơn:
x ( s ) = Ị i ự ( e ) ,
trong đó, q là hằng số bất kỳ và \Ị/ tiến đến 0, nhưng chậm hơn £, nên:
H ình 2.7: Khi e —> 0, điểm (e ,7 ] \/e ) (TỊ- hằng số) luôn nằm sau cùng trong vùng chồng chéo với các xấp xi và (|2.80|). Ở đây, đường cong pha được chi ra với rị w 0.4 và với các sai số
E = 0.05;Ó .03;0.01. l im —=-r l im —=-r e-^o \ự{e) = 0. Khi đó, ỵ từ (2.76) trở thành: y ( e , x ) = e - ^ E)- e ^ ) e - 2 í v M / e = 1 + Ỡ (1). 65
Xấp XỈ ngoài (Ị2.77Ị) cho ta:
e - ị * = e - ị í V ( e ) = 1+ 0(1).
Xấp xỉ trong (|2.80Ị)cho ta:
\ - e ~ 2x/e = 1 - e - 2^ ( £)/£ = 1+ 0 (1).
Những điều này trùng nhau tới o (1). Ví dụ dưới đây cho ta thấy cách giả thiết về “miền chung” được sử dụng cùng với phương trình vi phân để xác định một hằng số chưa biết. Trong trường hợp này, ta đã đặt:
Iự( e) = e l ~ 5 ,0 < ô < 1,
để cho một sự tổng quát nhất định.
Ví dụ 2.6. Một hàm y có hai xấp xỉ trên 0 < X < 1: một xấp xỉ trong :
y ( e , x ) « A + (l - A ) e ~ e = y h (2.85)
với sai số o (s) khi X = o (e), và một xấp xỉ ngoài:
y ( s , x ) « e x~x = y 0 , (2.86)
với sai số o (e), cho X hằng số. Tìm giá trị của A.
Lời giải
Giả thiết rằng cả hai xấp xỉ đều đồng thời đúng (mặc dù sai số có thể lớn),
với: x = 7] £ 1 _ ổ , 0 < Ổ < 1, 7] — h ằ n g số , 0 < X < 1, Ta phải có ít nhất: lim [ a + (1 — A ) e £ 5 Ị = lim e ì ~ rỊ£ , e->0 l ) £->0 TỊ — h ằ n g số. Do đó, A — e x — e.
Bài tậ p 2.4. Tìm xấp xỉ trong và ngoài của:
=* 1
y = ì — e £ cosx, 0 < X < —71, 0 < £ 1.
Phác họa đồ thị các xấp x ỉ và y.