T được gọi là tọa độ biến dạng, hoặc là tọa độ nhiễu Phương pháp này còn
2.3Phương pháp Lighthill
Ta lại xét phương trình (xem Ví d ụ |2.2Ị):
(£x-Ị- í ) X “b (2 -ị- í ) X — 0, (2.30a)
(2.30b)
trên 0 < t < 1, sử dụng cách tiếp cận trực tiếp đã nêu trong mục trước. Cách làm đó còn được gọi là phương pháp Lighthill. Thay :
x = X (e,t) = Xq( t ) + sXị ( t ) + ... (2.3 la)
t — T ( £, t ) — T -ị- £ Tị ( t ) + ... (2.3 lb) vào phương trình vi phân và điều kiện biên. Đầu tiên, chúng ta không hi vọng rằng t = 1 sẽ tương ứng với T = 1. Giả sử t = 1 tương ứng với T = T* (e). Sau đó, ta phải giải (|2.31bỊ) với T*, đó là:
1 = T* + e7ì(T*) + ... (2.32)
Lúc này (|2.30b|), (|2.31aỊ) cho ta một điều kiện biên:
ể — Xo ( t ) + sXị (t* ) + (2.33)
Để giải (Ị2.32Ị), giả thiết T* gần 1 (với £ nhỏ), nó có sự khai triển:
(2.34)
ở đó T i , . . . là các hằng số. Phương trình (Ị2.32Ị) thành: (viết Tị ( t * ) = T\ ( 1 ) +
STịTị (1) +
1 = 1 + £ (Ti + T\ ( 1)) + . . .
nên C\ = — T\ (1) và từ (Ị2.34Ị), biên t = 1 tương ứng với T = T*, ở đó:
Do đó, từ khai triển Xo( t * ) và X\ ( t * ) trong (Ị2.33Ị), điều kiện biên (Ị2.33Ị) trở thành:
= x0 (1) + £ Xị (1) — Xq (1) 7] (1) + ... (2.35)
Tiếp đó, đạo hàm trong (Ị2.30aỊ) được biến đổi bởi:
dx d x d T Xq -ị- s X1 -ị-... / / / / /\
™ = — / — = —2— r ì i ---= x ' + e ( X - XfíT, +
dt d ĩ ' d ĩ l + e 7 ’1 + . . . 0 V 1 0 V (2.36)
Như vậy, phương trình (2.30a) trở thành:
(sXq + T + £7]) — XqT-[ ^ + (2 + T + eT\) (Xo + £ X \) = 0.
(2.37) Phương trình (2.35) và (2.37) đưa ra:
tXo + (2 + t)X 0 = 0, X o (l) = e _ 1 ; I tX'ì + {2 + t ) X ì = - T ị (x0+ x0) +TX'ữT [ - X ữXữ Từ (|2.38aỊ) xấp xỉ bậc 0 là: (2.38a) (2.38b) *o(t) = -2 • (2.39) Khi đó (2.38b) trở thành 2e~x í t X , + ( 2 + t ) X i = - ^ ĩ - T x - e ~ x [ 2 - - ) T i + e11 \ ' ■2t T T 2 1 T5 T4 , (2.40)
với điều kiện ban đầu:
Bây giờ ta có thể tùy ý chọn T\ (t ): Chẳng hạn ta chọn sao cho vế phải của (Ị2.40Ị) bằng 0, điều này sẽ dẫn đến một nghiệm của (Ị2.40Ị) có dạng (Ị2.39Ị) ,
nhưng trong trường hợp bất kỳ không thực hiện được. Chúng ta sẽ chọn Tị để
triệt tiêu tính kỳ dị cao nhất nhìn thấy ở vế phải của (|2.40|), có bậc — . Chúng
T
ta thử điều này bằng cách viết e T, e 2z l với T nhỏ và giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nghiệm đơn giản nhất là:
2 2 , 2
— T \-----zT 1 H— 7 — 0.
T T T
(so sánh (Ị2.28Ị). Do đó, chúng ta đạt được kết quả tương tự như trong mục trước, mặc dù, trong ví dụ này, phải nỗ lực nhiều hơn đáng kể. Chú ý rằng trong toàn bộ lập luận chúng ta đã xem phương trình như là một thành viên của họ các phương trình với tham số £.
Bài tập 2.2. ; Tìm nghiệm tổng quát của:
(sx “h /) “h (2 + t ) x — 0,
x (e, 1) = e ~ x khi £ = 0. Nghiệm sẽ như thế nào khi t gần 0?