2.1 Sự xấp xỉ không đều của các hàm số trên một đoạn
Các nghiệm của phương trình vi phân:
x = f ( x , x , t , e )
là các hàm số của t và s. Một vài vấn đề nó có thể này sinh trong khi xấp xỉ, các nghiệm có thể được minh họa bằng cách xét các hàm đơn giản, thậm chí nó không nhất thiết phải liên quan tới các phương trình vi phân. Chẳng hạn: Xét hàm số:
x ( e , t ) = e~£t, (2.1)
với t > 0, ở đây e nằm trong lân cận của 0. Ba số hạng đầu tiên của khai triển Taylor theo lũy thừa của £ là:
1 - e t + - e 2t 2 (2.2)
2
với sai số là
ỡ ( e 3). (2.3)
H ìn h 2.1: Sự so sánh hàm số e £' và ba số hạng trong chuỗi Taylor của nó với £ = 0,05 và £ = 0,01 ƯỚC lượng sai số (Ị2.3Ị) suy ra rằng với t cố định bất kỳ, tuy nhiên lớn thì ta có thể chọn £ đủ nhỏ đế sai số nhỏ tới mức cần thiết, thực tế, sai số nhỏ hơn số hạng nhỏ nhất trong xấp xỉ là: - s 2t 2. Bây giờ, xét hàm đã xuất hiện trong Mục 2.4 như là một phần nghiệm của một phương trình vi phân:
x ( e , t ) = c o s (1 — e ) 1/ 2/1, 0 < t < (2.4)
ở đó £ nằm trong một lân cận của 0. Ba số hạng đầu tiên của chuỗi Taylor với
£ nhỏ, cho là:
1 1 „
(2.5)
cosr + —£ tsinr + —£ (tsint — t sin/),
2 8 v ’
với sai số ơ ( e 3). Một lần nữa, khi t đủ lớn thì sự xấp xỉ này không tốt. Ta có thể thấy rằng nó không tốt khi t rất lớn để et không nhỏ. Do đó (Ị2.5Ị) chỉ là một xấp xỉ với e cố định khi :
- 1 (2.6)
Kết luận đó vẫn đúng bất kể ta lấy bao nhiêu số hạng trong chuối Taylor. Chú ý rằng các chuỗi chỉ tiệm cận chứ không hội tụ. Khi đó, ta nói rằng (Ị2.5Ị)
không cung cấp m ột xấp xỉ tốt đều trên khoảng t > 0. Phương pháp nhiễu
thông thường không cho ta một xấp xỉ đều của nghiệm của một phương trình vi phân. Khi đó, bài toán đó được gọi là bài toán nhiễu kỳ dị.
v ề mặt hình thức, chúng ta c ầ n tìm một xấp xỉ x*(e,t) của hàm x ( s , t ) 9
thường là trên một khoảng vô tận của t:
x ( e , t ) = x*(e,t) + E ( e , t ) ,
với sai số E ( s . t ) , trong đó lim£^ o E ( e , t ) = 0 đều trên ÍQ < t < oo. Tức là với
bất k ỳ ỏ > 0 , tồn tại 7] > 0 k h ô n g ph ụ th u ộ c t s a o cho:
£ < ? ] = / • E( e , t ) < ỏ.
2.2 Nhiễu tọa độ
Xét họ phương trình Duffing với tham số s:
x + x = £x3. (2.7) Khai triển x ( s , t ) = Xq (t) + s x1 (t) + dẫn đến x'o+xq = 0, x \ + X ] = Xo . 24
Nghiệm tổng quát của phương trình đầu có thể được viết:
Xo (t) = Acos (t — a ) ,
ở đó A và a là các hằng số bất kỳ. Đối với phương trình thứ hai:
3 1
x\ +Xị = Xq = —A3 cos (/ — « ) + — A 3cos3 (t — a ) , (2.8)
mà các số hạng thế tục (secular) có dạng t cos (t — cc) bắt đầu xuất hiện trong nghiệm. Chúng không thế bị triệt tiêu, chỉ khi A = 0 thì chúng mới không tồn tại. Vì thế, một chuỗi giống như dạng (Ị2.5Ị) xuất hiện, và chuỗi đã ngắt không xấp xỉ đều x(£, t) trên khoảng t > 0 . Ó đó khó khăn được khắc phục bằng
2n
cách đoán trước m ột nghiệm tuân hoàn với chu kỳ — theo í, co là ân sô, ta
co
đặt:
(O = 1 + 8(0] + £2CỦ2 +
ở đó ỡ)i, ớ>2, . .. là những hằng số chưa biết, sau đó đổi biến số từ t thành T:
T = cot (2.9)
để phương trình theo T đã biết là có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 271 (phương pháp Lindstedt). Phương trình (Ị2.9Ị) đưa vào đủ các hằng số tự do cơị để khử các số hạng thế tục. Chúng ta có thể nhìn nhận phương pháp này theo cách khác. Viết (Ị2.9Ị) dưới dạng:
T
= t ( i + £ Z \ + £ 2 t 2 + . . . Ì , ( 2 . 1 0 )
ở đó Ti, T2 5 ••• là những hằng số chưa biết. Cũng đặt như phương pháp trước:
x ( e , t ) = X ( e , T) = X0 (r) + £X, (t) + £2X2 (t) + ... (2.11)
và thay (Ị2.10Ị) và (|2 . 1 1 [) vào (Ị2.7Ị) Ta biết điều này dẫn đến một khai triển đều trên t > 0 vì nó tương đương với phương pháp Lindstedt. Do đó, chúng ta hãy
thay các hằng số Ti, T2, ... bởi m ột tập hàm chưa biết T \, 72,... của T và quan
sát xem điều gì xảy ra. Ta có:
x ( e , t ) =x ( e , T ) = x0( t ) + e X ị ( t ) + £2X2( r ) + (2.1 2a)
va
(2.1 2b)
Số hạng đầu tiên trong khai triển của í là T, và điều đó phù hợp khi 8 —> 0: