T được gọi là tọa độ biến dạng, hoặc là tọa độ nhiễu Phương pháp này còn
2.5 Phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút
nút
Như một mẫu cho phương pháp, ta xét phương trình tuyến tính:
Gốc trong mặt phẳng pha với x = y\ầ. một điểm yên ngựa, v ấn đề thảo luận là tính xấp xỉ của các nghiệm tương ứng với hai đường phân tách qua gốc. Các đường phân tách đến được cho chính xác bởi:
x + e x — X = 0, 0 < £ < ; 1 . (2.60)
(một trong hai bên của gốc), ở đó:
(2.61)
Hai đường cong pha này tương ứng các họ nghiệm:
x ( t , £ ) = Cemt. (2.62)
ở đó c là một hằng số bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm một xấp xỉ mà nó thỏa mãn khi
t > 0 và
t = o ( e - 1 ì khi t 0 + , (2.63)
tức là khi 0 < t < ke 1 với một giá trị hằng của k. Khai triển biểu thức (Ị2.61Ị) xác định m thành chuỗi Talor, ta thu được:
1 1
"l = - 1 2 e 8 £2 + ơ ( £4)
Nghiệm (2.62Ị) trở thành
x ( t , e ) = Ce~'~2e'- 's £2' + o ( e 4/)
Bây giờ, ta xét hai mức của thời gian chậm xác định bởi
(2.64)
7]i = et; ĩ]2 = e t. (2.65)
Khi t = o (e 1) , r/i = o (1) và ĩ]2 = o (e) khi £ 0 . Nghiệm (Ị2.64Ị) có thể được viết là:
x( t , E) = C e ~ ' ~2'll_ 8,'= + o ( " e 377l') = Ce ~' ~2ĩ,,~ » m + o ( e 3) , (2.66)
đúng với t = o ( s - 1 )-
Từ (Ị2.66Ị), ta phải giải (Ị2.6QỊ) bằng phương pháp tương tự như trong Mục 1.4, nhưng sử dụng hai mức của thời gian chậm 771 và 772 . Ta tìm các nghiệm có dạng:
* (í ,e ) =X(í,Tji,Tf2,e),
ở đó:
X ( f , T J i , T / 2 , e ) = X o i t ^ u ^ + e X ị ( í , T 7 j , T72) + £ 2X 2 ( í , T 7 i ,772) + . . .
(2.67a) va
Xo , Xu X 2, - = 0 ( \ ) k h i t = o ( e ~ ]) (2.67b)
Hàm X (t,TỊi,TỊ2,£) trong đó / ,7 7 1 ,7 7 2 được xử lý như các biến số độc lập thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng xác định như dưới đây. Bằng cách đặt
d x ( t , e )
dt = d X ự , £ t , E 2t,E^ / d t ta thu được toán tử vi phân:
d 2 f d d 2 d
X(t, T]Ị, TỈ2, £);
ở đó, chí số ( . . . ) 2 chi' phép toán lặp lại: Đặt theo bậc e 2, ta thu được:
X = x {,)+ e X {rìt) + e 2X {m'> + o ( e 3) , (2.68a)
X = + 2 eX (,’1?l) + e 2 Í 2 X (,'n2) + X l m'n!Ì) + o ( e 3) . (2.68b)
(Công thức này được sử dụng lặp lại trong mục này và mục tiếp theo). Thế khai triển (|2.67aỊ) vào phương trình vi phân ban đầu:
x + ex + x = 0,
giữ lại các số hạng đến o (e 2). Do phương trình dẫn ra phải tốt với mọi 0 <c £ <c 1, nên các hệ số của £0, £ ],... phải bằng 0. Sau khi rút ta thu được:
- X Q = 0, (2.69a)
- X i = - ( 2 x ị t,rì'1 + , (2.69b)
X ^ ’, ) - x 2 = - ( 2 x l ' ’ni) + Xj(,)) - ( 2 x ị url2) + X ^ " Vl) + x ị rl')^ . (2.69c)
Chú ý dạng của phương trình, chẳng hạn dạng của phương trình tiếp theo là:
x;ÊỊt' - x 3 = - ((2X^'’’2x2 7l ) + X 2) - ( I (vI 'VI + x (n I
- (2xịl)rỊl) + 2xịv''m) + x ^ ,
trong đó, Jj3 = £3Í. Nếu ta không muốn có 773 thì số hạng Xq không xuất hiện. Nghiệm của (|2.69aỊ) thỏa mãn điều kiện bị chặn (|2.67bỊ) là:
(2.70a)
ở đó, hàm bất kỳ do(rỊi,rỊ2) được xác định khi ta khử số hạng thế tục ở vế phải của (2.69b) và (2.69c)
2xH''ìl)+xỊ)') = 0.
Từ (|2.70aỊ) ta thu được điều tương đương:
2 aị]1^ + ữo = 0,
nẽn
ao(Vi, V2) = ỉ>o(V2)e
Do đó,
^0 — ^0 (TÌ2)e * 2 771 (2.70b)
ở đó bo sẽ bị hạn chế bổ sung ở bước tiếp theo. Nghiệm của (|2.69bỊ) với 0 ở vế phải, có dạng:
Xi = ai (TỊI,1Ì2) e~‘. (2.71)
Ta đòi hỏi vế phải của (|2.69cỊ) đồng nhất bằng 0. Từ (Ị2.71Ị) và (|2.70bỊ) ta thu được:
- ( 2 a [ n' ] + a ^ - ( 2,b\?-] + X- b ^ e - ^ < = 0.
Do ã \ = CI\ (7 7 1,7 7 2) và z?0 — bo(ĩ]2) nên các số hạng trong ngoặc đơn phải bằng 0 nếu các số hạng thế tục không xuất hiện. Do đó,
2 a (/ ỉ l ) + ữ 1 = 0 , 2 ^ ^ + b 0 = 0,
hay
a i = b ị ( ĩ l 2) e >’1' , b 0 = C0e ‘1Ì2,
ở đó, Co là một hằng số. Từ (|2.70bỊ)và (Ị2.71Ị) ta thu được
ỵ 0 = C0e - t- ĩ rĩ,- s rĩ2, (2.72)
và vế phải của (|2.69cỊ) cần phải bằng 0
2Xl<,' n’>+ x Ị 0 = 0.
Do đó, từ (Ị2.72Ỉ)
2 ----b\ = 0,nên ¿>1 = C \ ế ■n 2
với Ci là một hằng số. Cuối cùng, ta có được:
X (t,m ,ri2,e) = x 0 (í, 7],, 772) + eXi (í, Tlumì + O (e2)
(2.73)
với c = Co + eC\. Do vê phải của các phương trình từ (Ị2.69aỊ) đên (|2.69cỊ) không có hạn chế nào đối với Co và c 1, nên c là một hằng số bất kỳ. Phương trình (Ị2.73Ị) có thể được viết thành:
(2.74)
miễn là
í = o £.-1 (2.75)
Do đó, ta thu lại được biểu thức d2.66Ị) nhận được từ nghiệm chính xác của (Ị2.60Ị). Phương pháp này có thể được mở rộng để nhận thêm các số hạng trong chuỗi (|2.67aỊ) đối với X, với t — o ( s - 1 ) như trước. Bằng cách đưa ra thêm các mức của thời gian chậm, 773 = £3t, V..V.., khoảng biến thiên của t có thế được mở rộng tới o ( e -2),v ..v ... Ta chọn tùy ý giá trị của x (0 ,e ), nhưng cũng cần tìm giá trị của X (0 , e) đối với đường cong đặc biệt này.
Ví dụ 2.4. Phương trình:
x + £ ^ 1 —x 2^jx — x = 0 , (2i)
với 0 < e <c 1, có một điểm yên ngựa tại gốc.
a) Tìm nghiệm theo thời gian tổng quát của hai đường cong pha tiến về gốc, với sai số 0 (e 2) khi t = o (c - 1 ) .
b) Tại t = 0, một điểm với hoành độ X (0, s) = X() (cho trước) và tung độ
X(0, £) = ỵ ( 0 , s ) = }’o + £}’i (chưa biết), nằm trên một trong hai đường ở phần a). Tìm )’0 , } 71 và nghiệm theo thời gian tương ứng theo Xo-
Lời giải
a) Sử dụng các biến tỷ lệ với thời gian:
m = et,ri2 = s 2t, (2ii)
và đặt:
X ( í , e ) = X ( í , 77, , 772, s) = Xo (t, TỊ ị, ĩ]2) + eXị (t,77,, 772) + o [ e2 j , (2iii) với giả thiết:
t = o [ e 1 ^ khi £ 0 , (2iv)
và các hệ số trong (|2iiiỊ) là 0 ( 1 ) . Sử dụng (|2.68aỊ) và (|2.68bỊ) để biểu diễn X
và Xtheo Xo và X\ rồi thay vào phương trình vi phân đã cho (|2T|). Bằng cách kết hợp các hệ số của £°, e 1, £ 2 và sắp xếp lại, ta thu được dãy:
- Xo = 0, (2v)
- Xị (2vi)
xí>‘,') - x2= - (2xỷ,rl2)+ xon']) - (2X1<í’Tĩl) +xỊ° +x{’ll-'ni))
+ { 4 ' ) ( x Ì + l X o X ^ + X ^ X i ) .
Nghiệm của d2vl) đến 0 và có dạng:
(2vii)
Xo — «0 (771,77 2) e t '
Số hạng Xq^Xq ở vế phải của (|2viỊ) trở thành
(2ix)
nên nó không ảnh hưởng đến bậc của độ lớn của Xị khi t = o (e *). Các số hạng trong ngoặc phải triệt tiêu, nên 2XqÍ,ĩ?i^ + Xq^ = 0. Do đó, theo (|2viiiỊ)
nẽn: 2 +CIQ = 0, ao = bo (1 2) e *T?I- Do đó, X o — b o ( r Ị 2 ) e ' 2 7 7 1 (2x) Phương trình xác định Xị trở thành (sử dụng (|2ix)) xí' -0 - x , = - b ị e - 3' - ^
Các nghiệm xấp xỉ cho bởi:
*1 = a \ (j]i,Tj2) e ' ~ ị b o (tj2)ể 3' (2xi)
Lập luận tương tự đối với vế phải của (]2viiỊ), ta thu được
bữ(ĩ]2) = c ữe »'ì2, a\ (7 7 1,77 2) = bị (l]2)e 2n', (2xii)
ở đó, Co là một hằng số. Cuối cùng, ta có:
X = x 0 + £ Xị - 0 Íe2)
= C ()ổ ^ 2^ * 8^2 + £ ( r j2) e ~ t ~ z rl' - i c nV 3'- | n . + 0
(2xiii)
Khi t = o (e 1), và:
x ( t , s ) = c 0e 1 2£í 8e2/ + £ Ị b , e r 2e' _ -C q ế 3t 2er| , (2xiv)
với sai số o (e 2) khi t = o (£ _1).
b) Đ ể áp dụng các điều kiện ban đầu, ta yêu cầu X (0, è) và X(0, e) giữ lại vối sai số o ( f 2). Chú ý rằng, d b \ / d t = ỡ ( f 2), viết:
¿>1 (0) = C i,
thì từ (2xiv), ta thu được:
1
x ( 0 ,e ) — Co + £ ( Ci — —Cq 1 — *0;
y (0, s) — —Co + £ Ci — —Co + —Cq J — }’() + £}71.
Trong đó, Co và C\ là các hằng số cho trước và giá trị ban đầu là Xo và yo + £y\
Từ phương trình thứ nhất, ta thu được Co — C i Và từ phương trình thứ hai: Vo = -C o = - x 0; y1 1 , 1 , -Cn = -XỈ, 8 0 8 0 (2xv) 1 1 3 2*0 + 4 ữ' (2xvi)
Các hăng sô trong (|2xvỊ) cho ta nghiệm theo thời gian nhờ (]2xiiiỊ) và (|2xviỊ) xác định tung độ cần tìm tới ơ (e 2). Đồ thị của
( 1 2 1 3
y = + ey1 = - X o + £ [ ~ X q + - x ị
được chỉ ra trong Hình 1.4, ở đó còn có sự so sánh với đường phân tách đã tính bằng phương pháp số của nó.
bằng phương pháp số
H ình 2.4: Đường phân tách ổn định trong miền X > 0,y < 0 được tính bằng phương pháp số và vẽ
các giá trị ban đầu xác định bởi (|2xvị>:y = Vo + £yi = —*0 + £ (—2*0 + 4*0) v<-** £ = 0,2.
Sau đây ta xét một phương trình vi phân không phải dạng x + eh (x ,i) ± JC = 0. Phương trình tuyến tính x + i + ex = 0, ở đó £ nhỏ và dương (khác 0), được
đưa ra đế minh họa cho quy tắc.
Ví dụ 2.5. :
a) Bằng cách tính từ nghiệm chính xác của bài toán giá trị đầu:
x + i + £ x = 0, x ( 0 ,£ ) = x o , i ( 0 , £ ) = 0 , 0 < £ < 1. (3i)
Chứng minh rằng X(t, e) = Xo ị e ~ £t~£2t + £ (e~£t — e~t+£t) I + o (e2) khi
£ 0, khi t = o (e - 1 ).
b) Tìm nghiệm xấp xỉ bằng cách sử dụng hai thang thời gian 7]i = £ t ,7)2 = e 2t.
Lời giải
a) Phương trình đặc trưng của ([3TỊ) là m 2 + m + e = 0, với các nghiệm Mi,W2 £ nhỏ:
ỉllị — — — 1 + (1 — 4 c) 2j> — — £ + £2 + 0 ,
m2 = ^ | - l - ( l - 4 e ) 2 | = - l + e - e 2 + ỡ ( V ) .
Các số này là thực và âm nên gốc của mặt phẳng pha là nút ổn định. Nghiệm chính xác của bài toán giá trị đầu là:
x ( t , e ) = Xo {rri2emỉt — m \ e m2t} / ( m2 — m\).
Thay các xấp xỉ của mi,W2 (chú ý rằng khi t — o (£ _1) thì e 2t = 0 ( e ) nên
e~£2{ = 1 + 0 (e), ta có:
x ( t , e ) = X o l e ~ et~e2t + £ (e~£t - e~t+£t) I + o ( e 2) (3ii)
là xấp xỉ cần tìm, thỏa mãn khi t = o (e 1).
b) Tiến hành như thường lệ, đặt * ( /,£ ) = X (t, TỊi, 7 7 2, £) và:
X ( í ,ĩ ], ,7 7 2,6 ) = Xo (í, TỊ], 7 7 2) + eXi (í, ĩ j i , ĩ]2) + £2X2 (í, J?1, J?2) + o ( e 3 J ;
ở đây Xo,X] 5X2,... là 0 ( 1 ) khi f = 0 ( s - 1 ). Ta thu được:
x ó<', ) + x ó,) = °
ỵ ('-‘) _ ỵ ( ‘) = _ + x ^ n' ) + X nJ (3iv)
xỊí'l)- x ị 0 = - (2X 1(' ,’,|) + X 1(l,l) - (2xị'’m) +xịn‘'1ỉl) +x(ữm)^
Nghiệm của (Ị3iiiị) có dạng
(3v)
Xo — Po (7 7 1,7 7 2) + <7o ( 7 7 17 7 7 2) t (3 vi)
vế phải của (|3viỊ) thành:
(po’ỈI> +Po) + (ợó’íl) -<?o) e- í
Dễ thấy là phương trình (|3ivỊ) sẽ có nghiệm được tính theo í và /e '.D o ta cần t = o ( s - 1 ) nên các số hạng này phải không xuất hiện, nên ta cần:
Pío ' ) +Po = 0, q(óh) -<7o = 0.
Do đó:
Po = ro(ri2) e 771, qo = s0 (rỊ2)e t + l ỉ . (3vii)
Nghiệm của (|3iv|) với 0 ở vế phải là:
(3viii)
Bằng cách thay thế (|3viỊ) và (|3viiiỊ), vế phải của (|3ỸỊ) đưa về:
( p ^ + p i ) + - ( r ™ + r0) + ( s ^ + s o ) e ~ < ^
Nghiệm của (Ị3ỸỊ) chứa các số hạng có dạng / và te 1, chúng được khử bằng cách cho bốn ngoặc bằng 0. Ta thu được:
rn = c ne 1)2, s0 = D„e 1,2 (3ix)
ở đó, Co và Do là các hằng số, và:
P\ = U\ (r\2)e 1', q\ = Vi (íj2)eVi (3x)
Thay thế kết quả này vào (]3viiỊ) và (|3viiiị) ta có:
X o = C o e “ ’ỉ l “ ,)2 + D o e “ ' + ’, l “ 'Ỉ2,
va
Xi = K i (7]2)e 1,1 +V1 (rj2)e l+Vl
Do đó,
X = C„e-’ÌI~TÌ2 + D0e-'+'ì'-rì2 + £ {«! (TJ2)e~ni + V! (772) e",+17'} ,
hoặc:
x ( t , e ) =Coe et e‘r +D()<? t+£t £At + £ \ U\ ( e 2t ) e £t + vi [ £ * t ) e
(3xi) với sai số o (e 2) khi t = o (e 1). Áp dụng trực tiếp các điều kiện ban đầu x ( 0 ,e ) = Xo, i ( 0 , e ) = 0 (chú ý rằng — và — là o (e 2)) ta có các phương dt dt trình: *0 = Q) + A ) + £ {u \ (0) + V\ (0)} , 0 = —Dị) + £ { —Co + Dq + U\ (0) — V\ (0)} . Từ đó, ta thu được (bằng cách đồng nhất các hệ số): Co = X0, D0 = 0 ,k (0 ) = X o , V(0) = - x 0. (3xii)
Do U\ (s 2t) = U\ (0) + o ( s 2t) = U\ (0) + 0 (e) cho / = o (e 1) và tương tự với Vi (£2t) từ (|3xiỊ) ta thu được nghiệm:
x ( t , e ) = x Qị e e' £2' + e ( ) } + o ( e 2) (3xiii)
khi £ ^ 0 vầLt = o (s 1). Điều này trùng (Ị3ĨĨỊ) suy ra từ nghiệm chính xác.