T được gọi là tọa độ biến dạng, hoặc là tọa độ nhiễu Phương pháp này còn
2.4 Thang thời gian đối vơi nghiệm chuỗi của phương trình autonom
autonom
Để minh họa, xét họ các phương trình vi phân tuyến tính với tham số £:
X + £x + X = 0, / > 0,
36
và điều kiện ban đầu
x (0 ) = 1 ,x (0 ) = 0, (2.42b)
ở đó, |e| < 1. Nghiệm đúng là:
x ( t , s) = c o s(l + e ) 1/ 2/. (2.43)
Phương trình (Ị2.42aỊ) có dạng jc + sh ( x , x ) + x = 0 (ở đó /z (x,x) = X và sự thảo luận dẫn đến một biểu diễn nghiệm xấp xỉ trên phạm vi rộng của phương trình dạng này. Chúng ta có thế sử dụng quá trình nhiễu với £ nhỏ để thu được nghiệm của (Ị2.43Ị) như một chuỗi lũy thừa của £ bằng cách thế chuỗi:
X (í, e) = Xo (t) + exi (t) +
vào phương trình vi phân và điều kiện ban đầu, đồng nhất các hệ số của en, n = 0 , 1 , . . . để có một dãy của các phương trình vi phân xác định Xo (t) ,X] (t),.
Quá trình này cho ta kết quả tương tự như khi ta khai triển nghiệm chính xác (Ị2.43Ị) thành một chuỗi Taylor theo lũy thừa của £. Lấy đến £2 ta có:
x ( t , e ) = c o s (l + È)2t ~ cosr — - £ ís ir ư + - £ 2 (ts'mt — t 2c o s A . (2.44)
2 8 V /
Độ chính xác của xấp xỉ này phụ thuộc vào sự cân bằng giữa khoảng biến thiên của £ gần 0, và khoảng biến thiên của t, và ta đều muốn các khoảng đó càng lớn càng tốt. x ấ p xỉ đó sẽ không tốt đối với giá trị cố định bất kỳ £ khi t
đủ lớn sao cho ba số hạng trên ngừng giảm nhanh chóng về độ lớn. Sự tổ hợp của e và t xuất hiện trong (Ị2.44Ị) là £í,£2/ và £2t2. x ấ p xỉ không tốt xảy ra khi
et không còn nhỏ nên xấp xỉ (Ị2.44Ị) chỉ tốt khi:
(2.45)
Nếu £ giảm thì thời điểm xấp xỉ không tốt sẽ chậm lại, nhưng nói chung sẽ không có một số cố định của các số hạng trong chuỗi và cũng không có giá trị cố định của £ để ta có một xấp xỉ tốt với tất cả t > 0. Tuy nhiên, tồn tại một biểu diễn khác của x ( t , s ) dưới dạng chuỗi để có xấp xỉ tốt trên một khoảng lớn hơn nhiều của t. Khai triển Taylor (1 + e ) 1/ 2:
Sử dụng các số hạng đầu để khai triển x ( t , e ) trong một chuỗi Taylor tại điểm ( l + \ e) t thì:
Với các giá trị đã cho của £ trong khoảng |e| 1, xét giá trị của nó có thể rất lớn nhưng vẫn bị hạn chế bởi khoảng hữu hạn:
(2.46)
k 0 < t <
£ (2.47a)
ở đó k là một hằng số, tức là ta có thể viết:
t = 0 ( 1 /e ), hoặc st = o (1) khi £ 0. (2.47b)
Bây giờ, ta đưa vào một tham số mới TỊ được gọi là thời gian chậm xác định bởi:
Tị = et = 0 ( ì ) . (2.47C )
Khi t = 0 ( 1 / e ) , bởi (|2.47bỊ). Khi đó, chuỗi (Ị2.46Ị) có thể được viết dưới dạng:
x ( t , e ) — cos í * + 2 ^ 1 + g £rì s' n Í f + 2 IỈ)
- Ỉ £ 2 | 7 7 s i n ự + Ỉ 77j - ^ ? ? 2c o s í / + ì r ) + 0 £
( 2 . 4 8 )
Một chuỗi lũy thừa của £ xuất hiện với các hệ số của nó là o (1) khi khoảng biến thiên của t là o ( s - 1 ). Bây giờ, chỉ ra cách nhận được dạng của một nghiệm như vậy bằng cách thực hiện trực tiếp từ một phương trình vi phân mà không dựa vào nghiệm chính xác. Đế minh họa ta sẽ vẫn sử dụng phương trình (|2.42aỊ) như trước đó. Lại xét bài toán giá trị đầu:
i : ' + £ x + x = 0; x ( 0 , e ) = l ; x ( 0 , e ) = 0. ( 2 . 4 9 )
Ớ đây, bài toán này được xem như một họ các bài toán với tham số £, |e| <c 1. Như đã thảo luận ở trên ta sẽ tìm xấp xỉ hợp lệ trên một khoảng t cho bởi:
í = o í e “ ' V (2.50a)
Đưa ra một tham số thời gian chậm 7]:
7] = et = o ( 1 ). (2.50b)
Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm dạng:
x ( t , è ) = X ( t , T Ị , E ) = Xq + eXị (t,rị) + £2X2 (tĩ ri) + o ( e 3) , (2.51a)
miễn là t = o (e _1) khi e —y 0. Vì 7] = et nên các biến số 7] và í không độc lập trong bài toán gốc. Tuy nhiên, X (/, 7], e) thực sự là một nghiệm riêng của một phương trình đạo hàm riêng, trong đó 7] và t được hình dung như các biến độc lập. Ta thu được phương trình đó theo cách dưới đây. Ta có, với mọi
t và s : trong đó, X0 (t , ri), Xi = 0 ( 1 ) , (2.5 lb ) (2.52a) khi x ( t , e ) là nghiệm cần tìm. Do đó, (2.52b) và d 2x d 2X d 2X 2 d 2X - 7 7 = - T - T + T - + £ - T - T ổ í 2 d r ị d t d ĩ Ị 2 (2.5 lc)
Do X (í, e) thỏa mãn (Ị2.49Ị) nên X (/, 7 7, e) thỏa mãn:
(2.53)
Đây là phương trình đạo hàm riêng cần tìm. Sử dụng (|2.52aỊ), (|2.52bỊ), các điều kiện ban đầu trong (Ị2.49Ị) trở thành:
d x , d x ,
X ( 0 ,0 ,e) = l ; - ^ - ( 0 , 0 , £ ) + £ỵ - (0,0, e) = 0. (2.54)
Điều kiện ban đầu (Ị2.54Ị) cùng với các điều kiện (Ị2.51 aị) và (]2.51bỊ) là đủ để xác định nghiệm cần tìm của phương trình đạo hàm riêng (Ị2.53Ị) đối với mọi
|e| <c 1. Ta sẽ sử dụng một ký hiệu cho các đạo hàm riêng:
dt d t d x
d 2X
Thay thê chuôi (|2.51aỊ) vào phương trình vi phân (Ị2.53Ị), điêu này phải đúng với mọi £ nên các hệ số của lũy thừa của £ phải bằng 0. Với các hệ số cho đến của £2, ta thu được dãy:
(2.55a) X(í,’,) + x 0 = 0, x Ị ',' ) + X 2 = -2xj>’’1 X, - X , Một cách tương tự, từ (2.54) ta có dãy: (2.55b) (2.55c) X o(0,0) = l; X*') ( 0 , 0 ) = 0 ; (2.56a) X, (0,0) = 0; x Ị ° { 0 , 0 ) + X ^ (0,0) = 0; x 2 (0,0) = 0; x 2(,) (0,0) + X1(,,) (0,0) = 0. (2.56b) (2.56c)
Hơn nữa, chúng ta đòi hỏi theo (|2.56bỊ) rằng Xq X ị , X 2 sẽ là 0 ( 1 ) khi t = o ( s - 1 ). Điều này sinh ra một điều kiện bổ sung: các hệ số ở vế phải của
(|2.55bỊ) và (|2.55cỊ) (và trong bất kỳ trong các phương trình tiếp theo) bằng 0. Bắt đầu với (|2.55aỊ) nghiệm tổng quát là:
x0 (t,rị) = a0 (tị) cost + bo (7 7) sirư , (2.57a)
ở đó, ao,bo là các hàm tùy ý của 7 7. Điều kiện ban đầu (]2.56aỊ) được thỏa mãn nếu:
flo(0) = l ,M O ) = l. (2.57b)
Thay thế (|2.57aỊ) vào vế phải của (]2.55bỊ), nó trở thành:
+ Xị = (2a'o — ¿>0) siní — (2b'o + ao) cost.
Trừ khi, bên phải là 0 với mọi t, nghiệm Xị sẽ chứa các số hạng dạng t s ì n t . t co st
là các số hạng không thể là o (1) khi t = o ( s ~ 1). Do đó,
2a'o — ¿>0 = 0 và 2b'o + ao = 0.
Nghiệm của các phương trình này với điều kiện ban đầu (|2.57bỊ) là:
1 , . 1
a0 (rỊ) = c o s -7 7, bo (ri) = - s i n -77 (2.57c)
Cuối cùng, từ (|2.57cỊ) và (|2.57aỊ), ta thu được:
, . 1 . 1 . ( \
x0 ( í, 77) = c o s-7 7 c o s r — s i n - 7] sirư = c o s ( / H— 77 (2.57d)
Bây giờ, ta có (2.55b) có dạng:
X,M + X , = 0 .
Nghiệm tổng quát là:
X\ = dị (ĩ]) COSÍ + b1 (rị) sint. (2.58a)
Điều kiện ban đầu (|2.56bỊ) dẫn ra
ai (0) = 0, bị (0) = 0. (2.58b)
Xem xét xa hơn nữa, phương trình (|2.55cỊ) xác định X2 chăc chăn không sinh ra số hạng thế tục, nên vế phải phải bằng 0. Bằng cách thay (|2.58aỊ) và (|2.57aỊ) vào vế phải ta thu được:
2 X iit’ĩl) + X, = (—2a'i + ¿>1) sin r + (2b'\ + a , ) c o s /
1 1 1 1
— cos — TỊco st + - sin- T Ị sin/.
■(lĩ,!,
4 2 4 2
Biểu thức này phải bằng 0 với mọi í, nên:
/ 1 . 1 , 1 1
—2a \ + b \ = — sin —7 7, 2Z? ị +Ớ Ị = - c o s -7 7.
Nghiệm của các phương trình này với điều kiện ban đầu (|2.58bỊ) là:
a\ = ị n s i n ị r i , b t = ị r i c o s ị r i (2.58c)
Do đó, từ (2.58a),
, X 1 . 1 1 1 .
X ì [ t , r Ị ) = —TỊ sin —TỊ cost -ị---TỊ cos —TỊ sirư
= 8 7 ] s i n ( í + ^ ) -
(2.58d)
Từ (|2.57d[) và (|2.58dỊ) chúng ta thu được xấp xỉ:
X (t, e) =x (t, rj. e) RS x„ (/, 7 7) + e X ] (í, ÍJ)
= c o s ^ / H— Et J H— £^t sin (/ H- £ ? ) .
(2.59)
Điều này phù hợp với hai số hạng đầu của khai triển Taylor của nghiệm chính xác của phương trình (Ị2.46Ị). Hy vọng rằng, không cần phải tính toán, từ các điều kiện về x2và x3,ta có thể chỉ ra sai số trong (Ị2.59Ị) là o (e3) với
t = o ( e - 1 ).
Trong ví dụ dưới đây, phương trình vi phân là phi tuyến. Một biến thể của phương pháp trước được sử dụng trước hết ta tìm một xấp xỉ nghiệm tổng quát sau đó sử dụng điều kiện ban đầu. Cũng như vậy, bài toán đại số liên quan được đơn giản hóa nhờ biểu diễn nghiệm của (|2.55aỊ) dưới dạng:
A0 ( ĩ i ) e ừ + Ă0 {ri)e
với Ao là một hàm số phức.
Ví dụ 2.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Raỵleigh:
Jc + e ( —JC —i J + x = 0. (i)
với sai số O (e) miễn là t = o (e 1). Từ đó, tìm nghiệm riêng thỏa mãn X (0, e) = a\ x (0, è) = 0. Tìm xấp xỉ bậc 0 của chu trình giới hạn.
Lời giải
Giả sử rằng, x ( t , e ) có khai triển dạng:
x ( t , e ) = X ( t , r i , e ) = X 0 (t,ri) + e X l (í,77) + o ( e 2) (ii)
khi £ 0 và t = o (£ _1). Thay (|2.52b|) và (|2.51cỊ) vào phương trình (ỊỊỊ), giữ lại các số hạng đến bậc £ sau đó thay vào khai triển (ỊHỊ) và đồng nhất các hệ số theo lũy thừa của £ ta thu được:
d 2X x + Xỉ = d 2X0 d t 2 dx0 + x0 = o, 1 í d X n ' 3 d t 2 1 dt 3 V dt
Phương trình (ỊTTTỊ) nghiệm tổng quát:
- 2 d 2X0
d t d r ị '
(iii)
(iv)
x0(t,ri) = A 0 (ri)ei' + Ẵ 0 (ri)e “ (V) ở đó, /4() là một hàm phức bất kỳ của rj. Phương trình (ỊTỹ]) trở thành:
d^ X / - \ 1
d 2 + ^ 1 — ieu ( a 0 - AqÃo - 2A0 J ^/Aqổ3'7 + liên hợp phức. (vi)
Để tính toán kết quả này, chú ý rằng (z + z)3 = (z3 + 3z2z)+ liên hợp phức, s ố hạng thế tục chỉ có thể nảy sinh khi các số hạng trong (ỊỸỊỊ) eừ và e ~ừ. Chúng bị khử từ yêu cầu rằng:
A'() — —Aq + — AqAo — 0 (vii)
(phương trình liên hợp khi đó tự động thỏa mãn). Để giải (ỊvTTỊ), viết
A o ( v ) = p ( l ) e i a M , (viii)
ở đó, p và a là thực. Từ (ỊviiỊ) ta thu được băng cách cho phân thực và phân ảo bằng 0: Các nghiệm là: d ọ 1 1 , v d a — = - p - - p 3 và — = 0. dr\ 2 2 dĩ] _ J_ p ( v ) = (1 + a o e ~ ’’) ĩ , a ( ĩ i ) = a n, ở đó, ãQ và ao là các hằng số thực bất kỳ. Phương trình (ỊỸ|) và (ỊỹịỊỊ) cho ta xấp xỉ bậc 0 củ aX thay TỊ bởi £t, ta có: 1 /2
xo( t , e) = Xq = 2 ( 1 +ữ()ể_e/) cos(f + 0Cq) (ix)
ở đó, « 0 và CÉ() là bất kỳ. Đây là xấp xỉ của nghiệm tổng quát thỏa mãn với
t = o ( e - 1). Từ điều kiện ban đầu X (0, È) = a \ x (0, e) = 0, ta thu được:
a = 2(1 + ỡ q) _ 2cosoíq; 0 = —2(1 + ữ())-1 / 2 sinO(). Do đó, Oo — 0; ciQ — — 1 + — , aA nẽn x ( t , e ) = 2 ị 1 — ^ 1 ---- cosí + 0 ( e ) ,
khi t = o ( c _1), chu trình giới hạn tương ứng với (3 = 2 .
Bài tậ p 2.3. Sử dụng thời gian chậm 77 = £t, tìm nghiệm tổng quát của:
X ^ — 1^ x + x = 0
với sai số 0 (e ) miễn là t = o ( e - 1). Giả thiết điều kiện ban đầu X(0 ,e) =
a > 0;x (0, e) = 0 đ ể tìm xấp xỉ bậc 0 của chu trình giới hạn.