Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *************** DƯƠNG MINH NGỌC NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2015 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *************** DƯƠNG MINH NGỌC NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng - Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khóa luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Dương Minh Ngọc LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Dương Minh Ngọc Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Ví dụ về lược đồ pha qua phương trình con lắc đơn . . . . . . . . 4 1.3. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Chu trình giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Nghiệm tuần hoàn, phương pháp trung bình 14 2.1. Phương pháp cân bằng năng lượng cho chu trình giới hạn . 15 2.2. Ước lượng biên độ và tần số trong hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . 22 2.3. Phương pháp trung bình với đường pha xoắn ốc . . . . . . . . . . 29 2.4. Nghiệm tuần hoàn: cân bằng điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Phương trình tuyến tính tương đương nhờ cân bằng điều hòa . . 38 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân là một lý thuyết có ứng dụng quan trọng trong thực tiễn, nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế việc giải các phương trình vi phân không phải lúc nào cũng thực hiện được thậm chí là phương trình tuyến tính. Khi đó, chúng ta buộc phải nghiên cứu các tính chất định tính của chúng. Đối với phương trình vi phân cấp hai, có một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất định tính là sử dụng mặt phẳng pha (xem Chương 1). Ý tưởng chính là chuyển nghiên cứu phương trình vi phân cấp hai autonom: x¨ = f (x, x), ˙ về nghiên cứu một hệ phương trình vi phân cấp một:   x˙ = y  y˙ = f (x, y). Một cách tự nhiên, chúng ta mở rộng xét hệ tổng quát hơn:   x˙ = X(x, y)  y˙ (I) (II) = Y (x, y). Thực tế thì hệ (II) rất phức tạp, nhất là khi X, Y phi tuyến. Khi đó người ta thường xét hệ tuyến tính hóa tương ứng (xem [5], Chương 2). Đối với một số trường hợp hệ tuyến tính hóa không phải là một xấp xỉ 1 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc tốt thì cần phải có những phương pháp hỗ trợ khác (xem [5], Chương 3 về các hướng hình học). Đối với một số hệ (phương trình cấp hai tương ứng) có hệ xấp xỉ tuyến tính (có phương trình xấp xỉ tuyến tính) có nghiệm tuần hoàn thì chúng có thể sử dụng phương pháp trung bình hóa để nghiên cứu. Vì vậy, em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến”. Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày trong hai chương: Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai và khái niệm mặt phẳng pha, phương trình autonom trong mặt phẳng pha, chu trình giới hạn của phương trình vi phân ... Chương 2 trình bày về nghiệm tuần hoàn trong mặt phẳng pha x˙ = y, y˙ = Y (x, y), phương pháp trung bình, và phương pháp cân bằng điều hòa. Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng F (x, y, y , y ) = 0, (1.1) ở đây x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y (x), y (x) là các đạo hàm của nó. Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y , nó có dạng y = f (x, y, y ). (1.2) Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Xét phương trình (1.2). ∂f ∂f Nếu f (x, y, y ), (x, y, y ) và (x, y, y ) liên tục trong một miền D ∂y ∂y nào đó trong R3 và nếu (x0 , y0 , y0 ) là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x = x0 , tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 . (1.3) Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2). 3 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x, C1 , C2 ), trong đó C1 , C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1 , C2 , (ii) Với mọi (x0 , y0 , y0 ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1 = C10 , C2 = C20 sao cho hàm số y = ϕ(x, C10 , C20 ) thỏa mãn (1.3). Hệ thức Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó. Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = ϕ(x, C10 , C20 ) nhận được bằng cách cho C1 , C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C10 , C20 . Hệ thức Φ(x, y, C10 , C20 ) = 0 được gọi là tích phân riêng. 1.2. Ví dụ về lược đồ pha qua phương trình con lắc đơn Con lắc đơn (xem Hình 1.2) bao gồm một phần tử P khối lượng m được treo vào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài a, dao động trong mặt phẳng đứng. Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì phương trình chuyển động của con lắc được viết là: x¨ + ω 2 sinx = 0, (1.4) trong đó, x là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng, g là gia tốc trọng trường và ω 2 = g/a. 4 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Chúng ta chuyển phương trình (1.4) về dạng có chứa x˙ và x như sau: dx˙ = dt d = dx x¨ = dx˙ dx dx dt 1 2 x˙ 2 (1.5) Sự biểu diễn đó của x¨ được gọi là sự biến đổi năng lượng. Phương trình d 1 2 x˙ + ω 2 sinx = 0. (1.4) khi đó có dạng là: dx 2 Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x. Lấy tích phân phương trình theo biến x, ta được: 1 2 x˙ − ω 2 cosx = C, 2 (1.6) trong đó, C là một hằng số tùy ý. Chú ý rằng, phương trình này biểu diễn luật bảo toàn năng lượng trong mỗi chuyển động vì nếu ta nhân 1 phương trình (1.6) với ma2 thì ta được: ma2 x˙ 2 − mga.cosx = E, 2 trong đó, E là một hằng số tùy ý. Phương trình này có dạng: E= động năng của P + thế năng của P và mỗi giá trị riêng của E tương ứng với một chuyển động tự do riêng. 5 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Ta biểu diễn x˙ theo x từ (1.6) : √ 1 x˙ = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 . (1.7) Đây là một phương trình vi phân cấp 1 đối với x(t). Phương trình này không giải được qua các hàm sơ cấp cơ bản (xem [5]), nhưng ta sẽ chỉ ra rằng ta có thể nhận được các đặc tính cơ bản của nghiệm từ phương trình (1.7) mà không cần phải giải nó. Ta đưa ra một biến mới y, được xác định như sau: x˙ = y. (1.8a) Khi đó phương trình (1.7) trở thành: √ 1 y = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 . (1.8b) Trong hệ tọa độ Đềcac Oxy, gọi là một mặt phẳng pha, ta vẽ họ các đường cong của (1.8b) với các giá trị khác nhau của C. Ta được Hình 1.2. Nó được gọi là lược đồ pha của bài toán, và các đường cong được gọi là các quỹ đạo pha (hay đường cong pha). Mỗi đường cong pha được xác định bởi một giá trị của C. Các đường cong pha đi qua (−π, 0) và (π, 0), ứng với C = ω 2 ; các đường bên trong các đường đó ứng với −ω 2 < C < ω 2 ; còn các đường bên ngoài thì ứng với C > ω 2 . Phương trình (1.8b) cho thấy sự tuần hoàn với chu kì 2π theo x và được chỉ ra trên Hình 1.2. Do các điểm O, A, B biểu diễn các trạng thái cân bằng vật lý, nên chúng được gọi là các điểm cân bằng của lược đồ pha. 6 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Hình 1.2: Lược đồ pha cho phương trình con lắc đơn (1.4). 1.3. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha Xét phương trình vi phân cấp hai tổng quát x¨ = f (x, x, ˙ t) Ta phân biệt các loại phương trình vi phân (1) Loại autonom, ứng với f không phụ thuộc tường minh vào t; (2) Loại không autonom ứng với f phụ thuộc tường minh vào t. Trong chương này chúng ta chỉ đề cập tới phương trình autonom, được cho bởi phương trình vi phân x¨ = f (x, x), ˙ (1.9) trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn trong mặt phẳng pha, ta đặt   x˙ = y (1.10)  y˙ = f (x, y). Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (1.9). Trong mặt phẳng pha với các trục x và y, trạng thái tại một thời điểm t0 bao gồm cặp số (x(t0 ), y(t0 )), các giá trị x, y này, tương ứng với một 7 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc điểm P trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương trình vi phân cấp một (1.10), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái tiếp theo cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), (1.11) vạch ra một đường cong qua điểm đầu P : (x(t0 ), x(t ˙ 0 )), gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Hướng của các quỹ đạo pha nhận được từ quan hệ (1.10). Khi y > 0 thì x˙ > 0, do đó x tăng theo thời gian; và khi y < 0, x giảm theo thời gian. Vì vậy, các hướng sẽ từ trái sang phải ở nửa trên của mặt phẳng pha, và từ phải sang trái ở nửa dưới của mặt phẳng pha. Để có được mối liên hệ giữa x và t xác định các đường cong pha, ta khử tham số t nhờ (1.10) và công thức: y˙ dy = . x˙ dx Khi đó, phương trình vi phân xác định đường cong pha là: dy f (x, y) = . dx y (1.12) Một đường cong pha riêng được xác định bằng cách yêu cầu đi qua một điểm cụ thể P : (x, y), tương ứng với trạng thái ban đầu (x0 , y0 ), trong đó y0 = y(x0 ). (1.13) Một hình vẽ đầy đủ về các đường cong pha bao gồm các mũi tên chỉ hướng tạo thành lược đồ pha. Biến thời gian t không xuất hiện trên lược đồ đó. 8 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng của phương trình (1.9), hoặc của hệ tương đương (1.10). Chúng xảy ra khi đồng thời x, ˙ y˙ bằng 0; do đó là điểm thỏa mãn: y = 0, và f (x, 0) = 0. Hình 1.3: (a) Điểm biểu diễn P trên một đoạn của đường cong pha. (1.14) (b) Một đường cong pha đóng: P đi từ A và trở về A vô hạn lần. Sau đây chúng tôi tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom x¨ = f (x, x), ˙ được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình   x˙ = y (1.15)  y˙ = f (x, y) (i) Phương trình cho các đường cong pha: dy f (x, y) = . dx y (1.16) (ii) Hướng của đường cong pha: từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới. (iii) Điểm cân bằng: tại điểm (x, 0) với x là nghiệm của phương trình f (x, 0) = 0; đại diện cho các nghiệm hằng. 9 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc (iv) Giao điểm với trục x : các đường cong pha cắt trục x theo các góc vuông, ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)). (v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường TAB = AB dx . y (1.17) (vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm tuần hoàn theo thời gian. (vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian: giả sử x1 (t) là một nghiệm riêng của x¨ = f (x, x) ˙ khi đó, các nghiệm x1 (t − t1 ), với t1 bất kỳ, cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn. 1.4. Chu trình giới hạn Xét hệ autonom x¨ = f (x, x), ˙ trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng f (x, x) ˙ = −h(x, x) ˙ − g(x), khi đó phương trình vi phân, trở thành x¨ + h(x, x) ˙ + g(x) = 0 10 (1.18) Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là   x˙ = y (1.19)  y˙ = −h(x, y) − g(x). Đường tròn trong Hình 1.4 là một đường cong cô lập kín: ’cô lập’ được hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. Các chu trình giới hạn trong Hình 1.4 là một chu trình giới hạn ổn định, vì nếu hệ được nhiễu từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì nó sẽ sang một đường cong pha mới. Hình 1.4: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2 + y 2 = 1 sinh bởi hệ x ¨ + (x2 + x˙ 2 − 1)x˙ + x = 0. Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình 11 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc giới hạn. Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là đồng hồ quả lắc. Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng lượng trung bình bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung đưa. Sự cân bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất kì . Phương trình có dạng x¨ = f (x), là hệ bảo toàn, không thể dẫn tới một chu trình giới hạn. Bằng cách sử dụng tọa độ lược đồ pha của phương trình vi phân dạng x¨ + h(x, x) ˙ + g(x) = 0 được thể hiện rõ ràng hơn. Gọi r, θ là tọa độ cực, trong đó x = r cos θ, y = r sin θ, ta có: r2 = x2 + y 2 , tan θ = y . x Đạo hàm các phương trình này theo biến thời gian t, ˙ ˙ 2 θ = xy˙ − xy θsec . x2 2rr˙ = 2xx˙ + 2y y, ˙ Từ đó, ta có r˙ = xy˙ − xy ˙ θ˙ = . r2 xx˙ + y y˙ , r Tiếp theo, chúng ta sẽ thay x = r cos θ, x˙ = y = r sin θ 12 (1.20) Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc và y˙ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực. 13 Chương 2 Nghiệm tuần hoàn, phương pháp trung bình Xét phương trình dạng x¨ + εh(x, x) ˙ = 0 trong đó ε là nhỏ. Phương trình như vậy hiểu theo một phương diện nào đó gần với phương trình điều hòa đơn giản x¨ + x = 0 có lược đồ pha gần với các đường tròn có tâm ở gốc tọa độ. Điều đó cho thấy ta có thể xây dựng các nghiệm xấp xỉ: các đường cong gần tròn khi ε đủ nhỏ. Tuy nhiên, phương trình ban đầu nói chung sẽ không có tâm ở gốc tọa độ. Nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác khác nhau một chút trên một chu trình đơn, nhưng sự khác nhau này có thể khiến các đường cong pha không còn đúng; ngoại trừ các đường đặc biệt như chu trình giới hạn. Lược đồ pha nói chung sẽ bao gồm các đường xoắn ốc biến đổi chậm, có thể gồm các chu trình giới hạn, và tất cả các đường đều gần tròn. Chúng tôi chỉ ra một vài phương pháp ước lượng bán kính của chu trình giới hạn và tìm tâm. Mở rộng của các phương pháp này cho phép ta xác định tính ổn định và chu kì của chu trình giới hạn, dạng của 14 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc đường xoắn ốc quanh các chu trình giới hạn, và mối quan hệ giữa biên độ tần số trong trường hợp có tâm. Các ước lượng tương tự cũng đúng trong trường hợp ε không nhỏ. Trong trường hợp này ta nói có định hướng thích hợp về độ lệch nhau của một đường tròn với một đường không tròn nhờ cách lập luận đã đúng khi ε nhỏ. 2.1. Phương pháp cân bằng năng lượng cho chu trình giới hạn Đặc trưng phi tuyến của dao động tuần hoàn cô lập làm cho việc phát hiện và xây dựng chúng trở nên khó khăn. Ở đây chúng ta nghiên cứu chu trình giới hạn các nghiệm tuần hoàn khác trong mặt phẳng pha x˙ = y, y˙ = Y (x, y), nó cho phép giải thích hiện tượng cơ học tương ứng. Xét họ các phương trình dạng x¨ + εh(x, x) ˙ + x = 0. (2.1) (Chú ý rằng phương trình x¨ + εh(x, x) ˙ + ω 2 x = 0 có thể chuyển về dạng này bằng cách đổi biến τ = ωt). Khi đó trên mặt phẳng pha chúng ta có x˙ = y, Giả sử rằng |ε| y˙ = −εh(x, y) − x. (2.2) 1, tức là phần phi tuyến nhỏ, và h(0, 0) = 0, hay gốc tọa độ là điểm cân bằng. Giả sử chúng ta có lí do để nghĩ rằng có ít nhất một nghiệm tuần hoàn với đường cong pha bao quanh gốc tọa độ: một đánh giá về các miền của mặt phẳng pha tại đó năng lượng giảm hoặc tăng sẽ là cơ sở để khẳng định có chu trình giới hạn. 15 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Khi ε = 0, phương trình (2.1) trở thành x¨ + x = 0, (2.3) được gọi là phương trình tuyến tính hóa của (2.1). Nghiệm tổng quát của (2.3) là x(t) = a cos(t + α), trong đó a và α là các hằng số bất kì. Theo như lược đồ pha đã biết, chúng ta có thể hạn chế a và α bởi a > 0, α = 0. Do các giá trị khác nhau của α tương ứng với gốc thời gian khác nhau nên các đường cong pha và các điểm biểu diễn vẫn không đổi. Họ các đường cong pha của (2.3) được cho dưới dạng tham số bởi x = a cos t, y = −a sin t, chúng là họ đường tròn x2 + y 2 = a2 . Chu kì của các chuyển động này bằng 2π. Với ε đủ nhỏ chúng ta hy vọng rằng: chu trình giới hạn bất kì, hoặc chuyển động tuần hoàn bất kì của (2.1) sẽ gần với một trong những chuyển động tròn (2.3) và tiến gần đến nó khi ε → 0. Do đó, với giá trị bất kì của a, x(t) ≈ a cos t, y(t) ≈ −a sin t và T ≈ 2π trên chu trình giới hạn, trong đó T là chu kì của nó. Theo (1.18), sự thay đổi năng lượng 1 1 E(t) = x2 (t) + y 2 (t), 2 2 16 (2.4) Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc trên một chu kì 0 ≤ t ≤ T , được xác định bởi T E(T ) − E(0) = −ε h(x(t), y(t))y(t) dt. 0 Do đường cong pha đóng, nên E trở lại với giá trị ban đầu sau một vòng. Vì thế T h(x(t), y(t))y(t) dt = 0 0 trên một chu trình giới hạn. Quan hệ này là chính xác. Bây giờ đưa xấp xỉ (2.4) vào trong tích phân. Chúng ta thu được phương trình cân bằng năng lượng xấp xỉ với biên độ a > 0 của chuyển động tuần hoàn 2π h(a cos t, −a sin t) sin t dt = 0 E(2π) − E(0) = εa (2.5) 0 hay 2π h(a cos t, −a sin t) sin t dt = 0, (2.6) 0 Đây là một phương trình mà theo lý thuyết, có thể giải được biên độ chưa biết a của chu trình giới hạn. Trong trương hợp có tâm nó trở thành một đồng nhất thức. Ví dụ 2.1. Tìm biên độ xấp xỉ của chu trình giới hạn của phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0 khi ε là nhỏ. 17 (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Hình 2.1: Lược đồ pha của phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0 với ε = 0.1. Chu trình giới hạn là viền ngoài của miền mờ. Ta có h(x, y) = (x2 − 1)y . Giả sử rằng x ≈ a cos t, phương trình cân bằng năng lượng (2.6) trở thành 2π {(a2 cos2 t − 1) sin t} sin t dt = 0. 0 Điều này dẫn đến phương trình 14 a2 − 1 = 0, với nghiệm dương a = 2. Hình 2.1 chứng tỏ có chu trình giới hạn với ε = 0.1, nó nhận được bằng phương pháp số. Khi ε trở nên lớn hơn, hình dạng của chu trình giới hạn thay đổi đáng kể so với một đường tròn mặc dù biên độ của nó vẫn gần 2. Điều này được chỉ ra trong Hình 2.2(a) với trường hợp ε = 0.5. Nghiệm theo thời gian tương ứng được thể hiện trong Hình 2.2(b), chu kì là lớn hơn 2π 18 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc một chút. Bằng việc mở rộng lập luận này tính ổn định của một chu trình giới hạn cũng có thể được xác định. Với mô hình của một chu trình giới hạn minh họa trong Hình 2.1, chúng ta hy vọng rằng các đường cong không đóng đủ gần chu trình giới hạn, xoắn ốc dần, cũng dễ được xác định bởi x ≈ a(t) cos t, y ≈ −a(t) sin t trong đó a(t) gần như không đổi trên một khoảng thời gian (nói chung không chính xác bằng chu kì) 0 ≤ t ≤ 2π. Kí hiệu sự xấp xỉ (2.6) bởi g(a). 2π h(a cos t, −a sin t) sin tdt; g(a) = εa (2.8) 0 và cho a ≈ a0 (> 0) trên một chu trình giới hạn. Khi đó theo (2.6) g(a0 ) = 0. Nếu chu trình giới hạn là ổn định, thì dọc đoạn bên trong đường xoắn ốc (a < a0 ), năng lượng tăng thêm, và dọc đoạn bên ngoài (a > a0 ), năng lượng giảm. Điều này chứng tỏ, có một giá trị δ > 0, g(a) > 0 khi a0 − δ < a < a0 , (2.9) g(a) < 0 khi a0 < a < a0 + δ. Tương tự nếu dấu của cả hai bất đẳng thức đều đổi chiều, thì chu trình giới hạn là không ổn định. Do đó sự tồn tại và tính ổn định của một chu 19 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Hình 2.2: (a) Lược đồ pha và (b) nghiệm theo thời gian của chu trình giới hạn của phương trình Van der Pol x ¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0 với ε = 0.5. trình giới hạn với biên độ a0 được xác định bởi điều kiện g(a0 ) = 0, ổn định nếu g (a0 ) < 0, không ổn định nếu g (a0 ) > 0 (2.10) Chú ý rằng dấu của các bất đẳng thức này sẽ đảo chiều khi ε đổi dấu. (Trường hợp g(a0 ) là > 0 hoặc < 0 ở cả hai phía đều không ổn định, nhưng điều này không được chứng tỏ bằng việc xét dấu của g (a0 ), vì giá trị của nó là 0 trong các trường hợp này). Ví dụ 2.2. Kiểm tra tính ổn định của chu trình giới hạn trong Ví dụ 2.1 Từ phương trình (2.8) 2π g(a) = −εa2 (a2 cos2 t − 1) sin2 t dt = −εa2 π 0 20 1 2 a −1 4 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Do đó, g (a) = −επa(a2 − 2) Đặt a0 = 2 từ Ví dụ 2.1 g (2) = −4πε Do đó theo (2.10) chu trình là ổn định khi ε > 0, không ổn định khi ε < 0. Lấy vi phân trực tiếp của (2.8) theo a cung cấp cho một tiêu chuẩn ổn định khác. Từ (2.8), 2π g (a) = ε 2π ∂h sin t dt ∂a h sin t dt + aε 0 0 2π = ε − h cos t 2π ∂h sin t dt ∂a ∂h cos t dt + εa ∂t 2π +ε 0 0 0 (Lấy tích phân từng phần số hạng đầu tiên). Nhưng bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp áp dụng cho h(a cos t, −a sin t) ∂h = −ah1 sin t − ah2 cos t ∂t và ∂h = h1 cos t − h2 sin t, ∂a trong đó chúng ta sử dụng kí hiệu h1 (u, v) = ∂h(u, v) , ∂u Do đó h2 (u, v) = ∂h(u, v) . ∂v 2π g (a) = −εa h2 (a cos t, −a sin t) dt 0 21 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Với tính ổn định chúng ta đòi hỏi g (a0 ) < 0, điều đó tương đương với 2π h2 (a0 cos t, −a0 sin t) dt > 0, ε (2.11) 0 trong đó a0 là một nghiệm dương của (2.6) Ví dụ 2.3. Kiểm tra tính ổn định của chu trình giới hạn trong Ví dụ 2.1 bằng cách sử dụng (2.11). Trong trường hợp này h(x, y) = (x2 − 1)y và h2 (x, y) = x2 − 1. Từ Ví dụ 2.1, nghiệm xấp xỉ cho chu trình giới hạn là x = 2 cos t, phương trình (2.11), với a0 = 2, cho ta 2π (4 cos2 t − 1) dt = 2πε ε 0 nên chu trình giới hạn là ổn định nếu ε > 0. Bài tập 2.1. Với |ε| 1, tìm biên độ xấp xỉ của chu trình giới hạn nếu x¨ + ε(x2 − 1)(x2 − 6)x˙ + x = 0, 0[...]... luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc và y˙ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực 13 Chương 2 Nghiệm tuần hoàn, phương pháp trung bình Xét phương trình dạng x¨ + εh(x, x) ˙ = 0 trong đó ε là nhỏ Phương trình như vậy hiểu theo một phương diện nào đó gần với phương trình điều hòa đơn giản x¨ + x = 0 có lược đồ pha gần... thấy sự tuần hoàn với chu kì 2π theo x và được chỉ ra trên Hình 1.2 Do các điểm O, A, B biểu diễn các trạng thái cân bằng vật lý, nên chúng được gọi là các điểm cân bằng của lược đồ pha 6 Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Hình 1.2: Lược đồ pha cho phương trình con lắc đơn (1.4) 1.3 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha Xét phương trình vi phân cấp hai tổng quát x¨ = f (x, x, ˙ t) Ta phân biệt... 1 x˙ = ± 2(C + ω 2 cosx) 2 (1.7) Đây là một phương trình vi phân cấp 1 đối với x(t) Phương trình này không giải được qua các hàm sơ cấp cơ bản (xem [5]), nhưng ta sẽ chỉ ra rằng ta có thể nhận được các đặc tính cơ bản của nghiệm từ phương trình (1.7) mà không cần phải giải nó Ta đưa ra một biến mới y, được xác định như sau: x˙ = y (1.8a) Khi đó phương trình (1.7) trở thành: √ 1 y = ± 2(C + ω 2 cosx)... Chúng ta sẽ thu được một phương trình vi phân xấp xỉ xác định các đường cong pha Phương trình (2.15) của các đường cong pha trong tọa độ cực có thể được vi t da = εh(a(θ) cos θ, a(θ) sin θ) sin θ + O(ε) dθ (2.23) Hàm số h(a(θ) cos θ, a(θ) sin θ) sin θ nói chung không tuần hoàn theo θ vì a(θ) không tuần hoàn trên đường xoắn ốc Tuy vậy, chúng ta có thể xây dựng một khai triển của h sin x thành một chuỗi... tổng quát x¨ = f (x, x, ˙ t) Ta phân biệt các loại phương trình vi phân (1) Loại autonom, ứng với f không phụ thuộc tường minh vào t; (2) Loại không autonom ứng với f phụ thuộc tường minh vào t Trong chương này chúng ta chỉ đề cập tới phương trình autonom, được cho bởi phương trình vi phân x¨ = f (x, x), ˙ (1.9) trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình Để nhận được biểu diễn trong mặt phẳng pha,... ta nói có định hướng thích hợp về độ lệch nhau của một đường tròn với một đường không tròn nhờ cách lập luận đã đúng khi ε nhỏ 2.1 Phương pháp cân bằng năng lượng cho chu trình giới hạn Đặc trưng phi tuyến của dao động tuần hoàn cô lập làm cho vi c phát hiện và xây dựng chúng trở nên khó khăn Ở đây chúng ta nghiên cứu chu trình giới hạn các nghiệm tuần hoàn khác trong mặt phẳng pha x˙ = y, y˙ = Y (x,... nhất thức Ví dụ 2.1 Tìm biên độ xấp xỉ của chu trình giới hạn của phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0 khi ε là nhỏ 17 (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Hình 2.1: Lược đồ pha của phương trình Van der Pol x¨ + ε(x2 − 1)x˙ + x = 0 với ε = 0.1 Chu trình giới hạn là vi n ngoài của miền mờ Ta có h(x, y) = (x2 − 1)y Giả sử rằng x ≈ a cos t, phương trình cân bằng năng lượng (2.6) trở thành... nhỏ hoặc một nhiễu của một đường tròn của hệ tuyến tính hóa x¨ + x = 0, hoặc của hệ x˙ = y, y˙ = −x, như đã chỉ ra bởi một đường nét đứt trong Hình 2.3(a) Chúng ta sẽ mô tả ý tưởng này chính xác hơn và cung cấp ước lượng của chu kì T và tần số vòng ω = 2π T , nhờ sự xấp xỉ của các phương trình (2.13), (2.14), (2.15) với các giá trị nhỏ của ε Khai triển vế phải của( 2.15) theo lũy thừa của ε ta có da =... (ii)) (v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường TAB = AB dx y (1.17) (vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm tuần hoàn theo thời gian (vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian: giả sử x1 (t) là một nghiệm riêng của x¨ = f (x, x) ˙ khi đó, các nghiệm x1 (t − t1 ), với t1 bất kỳ, cho cùng... đường cong pha bất kì của (2.12) đều được tham số hóa theo thời gian trong tọa độ cực a(t), θ(t) Từ phương trình (1.20), dạng tọa độ cực của (2.12) trở thành a˙ = −εh sin θ, (2.13) θ˙ = −1 − εa−1 h cos θ, (2.14) và do đó phương trình vi phân của đường cong pha là da εh sin θ = , dt 1 + εa−1 h cos θ (2.15) trong đó, để ngắn gọn ta vi t, h thay cho h(a cos θ, a sin θ) Các phương trình này nhận được cả ... tuần hoàn phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến" Khóa luận trình bày tính ổn định chu trình giới hạn, cách tìm nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến phương pháp... chọn đề tài: Nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến Nội dung đề cập khóa luận trình bày hai chương: Chương trình bày khái niệm phương trình vi phân cấp hai khái niệm... Lược đồ pha cho phương trình lắc đơn (1.4) 1.3 Phương trình autonom mặt phẳng pha Xét phương trình vi phân cấp hai tổng quát x¨ = f (x, x, ˙ t) Ta phân biệt loại phương trình vi phân (1) Loại autonom,