Một trong những phương pháp thực hành trực tiếp nhất để ước lượng nghiệm tuần hoàn được minh họa bởi ví dụ sau.
Ví dụ 2.9. Tìm biên độ và tần số xấp xỉ của chu trình giới hạn của phương trình Van der Pol x¨+ε(x2−1) ˙x+x = 0. Giả sử nghiệm xấp xỉ
x = acosωt (Yêu cầu của giá trị 0 cho pha không phải là một sự hạn chế; trong trường hợp của phương trình autonom, ta có thể chọn gốc thời gian sao cho x˙(0) = 0). Chúng ta hy vọng rằng tần số góc ω sẽ gần
1 với |ε| nhỏ. Viết phương trình dưới dạng
¨
x+x = −ε(x2 −1) ˙x.
Thế nghiệm giả định, chúng ta có
(−ω2 + 1)acosωt= −ε(a2cos2ωt−1)(−aωsinωt) = εaω 1 4a 2 −1 sinωt+ 1 4εa 3ωsin 3ωt,
Vế phải là chuỗi Fourier của εh(x,x˙). Bây giờ bỏ qua sự hiện diện của số hạng điều hòa bậc cao hơn liên quan tới sin 3ωt và đồng nhất các hệ số của cosωt,sinωt, ta có
1−ω2 = 0
và
1 4a
2 −1 = 0.
Từ hai phương trình này ta nhận được các nghiệm dươnga = 2 và ω = 1
Ví dụ 2.10. Tìm biên độ - tần số xấp xỉ của phương trình con lắc
¨
x+x−16x3 = 0. Giả sử nghiệm xấp xỉ có dạng x = acosωt. Sau khi thế vào phương trình đã cho chúng ta có
−ω2acosωt+acosωt− 1 6a 3 3 4cosωt− 1 4cos 3ωt = 0.
Bỏ qua các số hạng điều hòa bậc cao hơn và đồng nhất hệ số của cosωt. Ta thấy rằng a (1−ω2)− 1 8a 2 = 0.
Do đó quan hệ giữa tần số - biên độ cho bởi:
ω = r 1− 1 8a 2 ≈1− 1 16a 2
Khi biên độ không quá lớn (so sánh với Ví dụ (2.5)). Sự tồn tại của các nghiệm ω tương ứng với một loạt các giá trị của a > 0 trong trường hợp này chỉ ra rằng gốc tọa độ là tâm.
Với phương trình tổng quát
¨
x+εh(x,x˙) +x = 0, (2.31) Giả sử rằng có nghiệm gần với acosωt và h(acosωt,−aωsinωt) có 1
chuỗi Fourier, các số hạng bằng số (nghĩa là giá trị trung bình của nó trên một chu trình) bằng 0:
h(x,x˙) ≈ h(acosωt,−aωsinωt)
= A1(a) cosωt+B1(a) sinωt+ số hạng điều hòa bậc cao hơn,
trong đó A1(a) = ω π 2π/ω Z 0
B1(a) = ω
π
2π/ω
Z
0
h(acosωt,−aωsinωt) sinωt dt.
Khi đó (2.31) trở thành
(1−ω2)acosωt+εA1(a) cosωt+εB1(a) sinωt+số hạng điều hòa bậc cao hơn = 0.
(2.32) Phương trình này thỏa mãn với mọi t chỉ khi
(1−ω2)a+εA1(a) = 0, B1(a) = 0, (2.33) Đây là các phương trình cho phép ta xác định a và ω.
Nói chung, ta không thể đảm bảo sự đồng nhất của mọi hệ số trong (2.32): Vì nghiệm là không chính xác là acosωt, cách tốt nhất là biểu diễn nghiệm thành chuỗi Fourier đầy đủ rồi sau đó mới có thể đồng nhất một cách đầy đủ. Một cách biện minh cho việc không đồng nhất các hệ số của số hạng điều hòa bậc cao là ta coi chúng như thành phần bổ sung, có thể bỏ qua (hoặc ngoại lực) đối với phương trình tuyến tính
¨
x+ x = 0. Phản hồi tuần hoàn của phương trình này đối với một lực
Kcosnωtbằng với−Kcosnωt/(n2ω2−1) nên độ lớn của nó giảm nhanh khi n tăng.
Bài tập 2.5. Tìm biên độ và tần số xấp xỉ của
¨