bằng điều hòa
Phương pháp cân bằng điều hòa được dùng để xây dựng một phương trình tuyến tính thay thế cho phương trình phi tuyến ban đầu; quá trình này được gọi là giả tuyến tính hóa. Chúng ta minh họa quá trình này qua ví dụ sau.
Ví dụ 2.11. Tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình Van der Pol
¨
x+ε(x2 −1) ˙x+x = 0
bằng cách sử dụng phương trình tuyến tính tương đương.
Lược đồ pha cho điều này đã được biết bao gồm một chu trình giới hạn và đường xoắn ốc hội tụ chậm trên chu trình khi ε nhỏ và dương. Chúng ta sẽ xấp xỉ ε(x2−1) ˙x = εh(x,x˙) trên bất kì ‘’chu trình’ của đường xoắn ốc: số hạng phi tuyến này vốn đã nhỏ nên ta chỉ cần xấp xỉ thích hợp sao cho vẫn giữ được các đặc trưng cần thiết là được. Giả sử ta có xấp xỉ (chỉ đối với h) x = acosωtvà x˙ = −aωsinωt, trong đóa, ω được xem là hằng số trên chu trình giới hạn. Khi đó
ε(x2 −1) ˙x ≈ −ε(a2cos2ωt−1)aωsinωt
= −εaω 1 4a 2 −1 sinωt− 1 4εa 3 ωsin 3ωt. (2.34)
(so sánh Ví dụ 2.9). Như trong phương pháp cân bằng điều hòa , do −aωsinωt = ˙x trên chu trình giới hạn nên phương trình (2.34) có thể được viết như sau
ε(x2 −1) ˙x ≈ ε 1 4a 2 −1 ˙ x. (2.35)
Bây giờ chúng ta thay điều này trong phương trình vi phân để đưa ra phương trình tuyến tính. ¨ x+ε 1 4a 2 −1 ˙ x+x = 0. (2.36)
Phương trình này đặc biệt ở chỗ nó chứa tham số a của chính nghiệm của nó, gọi là biên độa. Nếu a = 2 thì số hạng xung triệt tiêu và nghiệm là tuần hoàn với dạng 2 cost; do đó ω = 1. Đây là một xấp xỉ của chu trình giới hạn. Nghiệm không tuần hoàn là một đường xoắn ốc trong một mặt phẳng pha. Xét chuyển động với x(0) = a0, x˙(0) = 0 với một vài chu trình tiếp theo a0 sẽ có tác dụng như biên độ đã được sử dụng trong các xấp xỉ ở trên, nên (2.36) có thể được viết
¨ x+ε 1 4a 2 0 −1 ˙ x+x = 0
với điều kiện ban đầu đã cho, nghiệm là
x(t) = a0 β e αt[βcosβt−αsinβt] trong đó α = 12ε 1− 14a20 , β = 12 q [4−ε2(1− 14a20)].
Điều đó được khẳng định bằng việc khai triển cả hai nhân tử theo lũy thừa của εt, vì thế khi ε 1 thì nghiệm này trùng với nghiệm xấp xỉ tìm được trong Ví dụ 2.7. Dáng điệu xung hay phản xung của nghiệm xuất hiện tùy theo a0 > 2 hay a0 < 2; tức là tùy thuộc vào việc chúng xuất hiện bên ngoài hay bên trong chu trình giới hạn.
Ví dụ 2.12. Tìm quan hệ giữa tần số và biên độ của phương trình
¨
x + sgn(x) = 0 và so sánh nó với kết quả chính xác sử dụng phương trình tuyến tính tương đương.
Ta có thể chứng tỏ rằng hệ x˙ = y, y˙ = −sgn(x) có tâm ở gốc tọa độ: dáng điệu của điểm trên lò xo, với lực hồi phục có độ lớn không đổi như biều diễn trong Hình 2.4(a).
Hình 2.4: (a) Đồ thị củasgn(x); (b) Đồ thị của sgn(acosωt)
Giả sử dao động có dạng xấp xỉacosωt. Khi đósgn(x) = sgn(acosωt). Hàm này có hình dạng được biểu diễn trong Hình 2.4(b). Chu kì là2π/ω
và chúng ta sẽ xấp xỉ sgn(acosωt) bởi số hạng đầu tiên trong chuỗi Fourier của nó trên khoảng (0,2π/ω):
sgn(acosωt) = A1(a) cosωt+số hạng điều hòa bậc cao hơn.
đó A1(a) = ω π 2π/ω Z 0 sgn(acosωt) cosωt dt = 1 π 2π Z 0 sgn(acosu) cosu du = 1 π π/2 Z 0 cosu du− 3π/2 Z π/2 cosu du+ 2π Z 3π/2 cosu du = 4 π.
Do đósgn(x) được thay bởi 4/πcosωthay bới (4/π)x/a. Khi đó phương trình tuyến tính tương đương là
¨
x+ 4
πax = 0.
Nghiệm, với biên độ bất kì a, có dạng acosωt là
x(t) =acos 4 πa 1/2 t . Do đó ω = √2 πa
và chu kì T được cho bởi
T = 2π
ω = π
3/2a1/2 ≈ 5.568√
a.
Chu kì chính xác có thể được tìm như sau. Khi x > 0, x¨= −1. Nghiệm với x > 0 là
x(t) =−1
2t
2
+αt+β.
là−12t2+14Te. Hơn nữa,x = akhit= 14Te, cho nênTe = 4√
2a ≈ 5,67√
a, để tiện so sánh với ước lượng trước đây.
Ví dụ 2.13. Xác định mối quan hệ của chu kì và biên độ của phương trình kiểu Poisson-Boltzmann x¨+ (ex−e−x) = 0 bằng cách sử dụng xấp xỉ tuyến tính tương đương.
Khi x = acosωt,
ex−e−x = eacosωt−e−acosωt = A1(a) cosωt+số hạng điều hòa bậc cao hơn (không có số hạng sinωt vì hàm đó chẵn), trong đó
A1(a) = ω
π
2π/ω
Z
0
(eacosωt −e−acosωt) cosωt dt
= 1
π
2π
Z
0
(eacosu−easinu) cosu du.
Các tích phân này có thể biểu diễn qua hàm Bessel điều chỉnh I1:
I1(z) = 1
π π
Z
0
ezcosucosu du,
cụ thể
A1(a) = 4I1(a.)
Bằng cách bỏ qua các hàm điều hoà bậc cao, chúng ta viết phương trình bởi
¨
x+ (4I1(a)/a)x = 0.
Do đó tần số ω được cho bởi
và chu kì T bởi
T = πp(a/I1(a)).
Chú ý rằng a không bị hạn chế trong các phương trình này - và x = 0
là tâm của phương trình ban đầu.
Bài tập 2.6. Tìm phương trình tuyến tính tương đương của x¨+ (x2 + ˙
x2)x = 0, và tần số biên độ xấp xỉ của phương trình đó. Những hạn chế nào phải được đặt ra trên biên độ? Tìm phương trình chính xác của đường cong pha, và chứng tỏ rằng x2 +y2 = 1 là đường cong pha tương ứng với chu kì ω = 1 và biên độ a = 1.
KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận "Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến". Khóa luận trình bày về tính ổn định của chu trình giới hạn, cách tìm nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến và phương pháp cân bằng điều hòa xây dựng phương trình tuyến tính thay thế cho phương trình phi tuyến ban đầu.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận mới chỉ đạt được một số kết quả nhất định. Em rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn. Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là Thầy giáo Trần Văn Bằng đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (1970), Phương trình vi phân, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. [2] Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, NXB
Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cở sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2003), Toán học cao cấp (tập 3), NXB Giáo dục.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[5] D. W. Jordan, P. Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University Press.