Nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGƠ Q ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGÔ QUÝ ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 12 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ 12 1.2 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 12 1.1.2 Tính ổn định nhị phân mũ 14 Không gian hàm Banach chấp nhận không gian giảm nhớ 16 1.2.1 Không gian hàm Banach chấp nhận 16 1.2.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space) 20 1.2.3 Bất đẳng thức nón 21 1.3 Nhị phân mũ họ tiến hoá 22 1.4 Đa tạp ổn định địa phương phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 25 Chương SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH 28 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 28 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 35 i 2.3 Sự tồn nghiệm tuần hoàn với trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 38 2.4 Ổn định có điều kiện 44 Chương NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN ϕ-LIPSCHITZ 3.1 51 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 51 3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ 55 3.3 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương 58 Chương NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 69 CĨ TRỄ 4.1 Sự tồn nghiệm tuần hồn phương trình có trễ hữu hạn 69 4.2 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương 73 4.3 Trường hợp phương trình có trễ vơ hạn: Sự tồn nghiệm tuần hồn 4.4 86 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương phương trình có trễ vơ hạn 93 KẾT LUẬN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 114 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Tất kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình Hà Nội, ngày 02 tháng 11 năm 2017 Người hướng dẫn khoa học Tác giả PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Ngô Quý Đăng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vô mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Thầy bảo tơi suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo Đó tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô bạn xemina Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy chủ trì Đây mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội, đặc biệt thầy, giáo Bộ mơn Tốn bản, Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo đồng nghiệp Khoa GD Tiểu học, Phòng Khảo thí Đảm bảo chất lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R− : tập số thực không dương C : tập số phức Lp (R) := u:R→R u p |u(x)|p dx)1/p < +∞ , ≤ p < ∞ =( R L∞ (R) := u : R → R u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞ x∈R L1,loc (R) := u : R → R u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R , ω ⊂⊂ R bao đóng ω tập compact R X, Y : không gian Banach L(X), L(C, X) : không gian tốn tử tuyến tính bị chặn   t+1   M := ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sup |ϕ(τ )|dτ < ∞ ,   t≥0 t t+1 với chuẩn ϕ M |ϕ(τ )|dτ := sup t≥0 t P := ϕ ∈ M ϕ tuần hoàn với chu kì E : khơng gian hàm Banach chấp nhận R+ M := f : R+ → X f (·) ∈ M với chuẩn f M := f (·) M C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X với chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] C R− := C(R− , X) không gian hàm liên tục R− , nhận giá trị X với chuẩn u Cν Cb (R+ , X) CR− = sup u(t) t∈R− φ(s) = 0, ν > , s→−∞ e−νs φ(s) với chuẩn u ν = sup −νs s∈R− e := φ ∈ CR− lim := v : R+ → X | v liên tục sup v(t) < ∞ , t∈R+ với chuẩn v Cb (R, X) Cb (R+ ,X) := sup v(t) t∈R+ := v : R → X | v liên tục sup v(t) < ∞ t∈R với chuẩn v Cb (R,X) := sup v(t) t∈R Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục, sup t∈[−r,∞) với chuẩn v Cb := sup t∈[−r,∞) v(t) v(t) < ∞, r > MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân tìm điều kiện tồn nghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến hàm tuần hoàn theo thời gian) Bên cạnh số phương pháp chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn mà thích hợp cho phương trình cụ thể phương pháp điểm cố định Tikhonov (xem [21]) phương pháp hàm Lyapunov (xem [57]), có phương pháp phổ biến chứng minh tồn nghiệm tuần hồn xét tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thơng qua số phép nhúng compact (xem [10, 20, 21, 22, 56, 57] tài liệu tham khảo đó) Mặc dù vậy, số ứng dụng cụ thể, chẳng hạn phương trình vi phân đạo hàm riêng miền khơng bị chặn phương trình vi phân có nghiệm khơng bị chặn, việc sử dụng phép nhúng compact phương pháp tìm nghiệm bị chặn khó khăn khơng Để khắc phục khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy (xem [42]) sử dụng phương pháp Ergodic nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes Phương pháp này, Zubelevich mở rộng (xem [51]) vào năm 2006 từ mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân thường Massera (xem [16]) đưa năm 1950 Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính du = A(t)u + f (t), t ∈ R+ , với tốn tử tuyến tính A(t) (có thể khơng bị dt chặn) sinh họ tiến hóa trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Một vấn đề quan trọng khác nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học nghiên cứu tồn đa tạp tích phân Nghiên cứu mang lại cho tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Mặt khác cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Những kết nghiên cứu tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân thường Hadamard (xem [13]), Perron (xem [49, 50]) đưa Sau đó, Daleckii Krein (xem [27]) mở rộng kết cho phương trình vi phân không gian Banach Năm 2009, N.T Huy số cộng sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định lý hàm ẩn, xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện số Lipschitz đủ nhỏ toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]) Cụ thể tác giả xét điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn định bất biến (xem [35]), hệ số Lipschitz phần phi tuyến hàm phụ thuộc thời gian thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận mang đến số kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm công bố thời gian gần (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]) Tuy nhiên, nghiên cứu xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng trễ có trễ hữu hạn Từ phân tích trên, luận án này, sử dụng phương pháp Ergodic để nghiên cứu chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, ổn định có điều kiện đó, với t0 ≥ toán tử Φt0 cho công thức ∞ G(t0 − θ, τ )˜ g (τ, wτ )dτ với θ ≤ 0, Φt0 (φ)(θ) = t0 w(·) nghiệm phương trình (4.39) BρCν (0) thỏa mãn P (t0 )w(t0 ) = φ(0) Từ định nghĩa hàm Green G ta có Φt0 (φ) ∈ X1 (t0 ), ∞ Φt0 (φ)(θ) ≤ G(t0 − θ, τ ) g˜(τ, wτ )dτ t0 ∞ e−ν|t+θ−τ | ϕ(τ ˜ ) wτ ≤ N (1 + H) ν dτ t0 Do đó, với ϕ˜ M đủ bé cho Φt0 (φ)(θ) Vậy, với ϕ˜ M ν ≤ (1 + H)N ρ(N1 + N2 ) ϕ˜ − e−ν M ρ ≤ đủ bé Φt0 ánh xạ tác động từ BCρν (0) ∩ X0 (t0 ) vào 2N Cν B ρ (0) ∩ X1 (t0 ) Hơn nữa, Φt0 liên tục Lipschitz với số Lipschitz không phụ thuộc vào t0 Thật vậy, với φ1 φ2 thuộc BCρν (0) ∩ X0 (t0 ) ta có 2N ∞ e−ν|t0 −θ−τ | ϕ(τ ˜ ) wτ − vτ Φt0 (φ1 )(θ) − Φt0 (φ2 )(θ) ≤ N (1 + H) ν dτ t0 ∞ ≤ N (1 + H) sup wτ − vτ τ ≥t0 e−ν|t0 −τ | eν|θ| ϕ(τ )dτ, ν t0 suy ra, Φt0 (φ1 ) − Φt0 (φ2 ) ν ≤ (1 + H)N (N1 + N2 ) ϕ˜ − e−ν 100 M sup τ ≥t0 wτ − vτ ν (4.40) Mặt khác, từ w(·) v(·) nghiệm (4.39) thỏa mãn P (t0 )w(t0 ) = φ1 (0) P (t0 )v(t0 ) = φ2 (0) ta có sup wt − vt ≤N φ1 − φ2 ν ν t≥t0 (1 + H)N (N1 + N2 ) ϕ˜ + − e−ν đặt k := (1+H)N 1−e−ν (N1 + N2 ) ϕ˜ M, sup uτ − vτ τ ≥t0 (4.41) M sup τ ≥t0 uτ − vτ ν, ta có ν ≤ N φ1 − φ2 ν 1−k (4.42) Thay bất đẳng thức (4.42) vào (4.40) ta có Φt0 (φ1 ) − Φt0 (φ2 ) ν ≤ kN φ1 − φ2 ν 1−k Do đó, Φt0 liên tục Lipschitz với số Lipschitz thuộc vào t0 Đặt ρ0 := ρ 2N , ρ1 := ρ kN khơng phụ 1−k họ ánh xạ Φt0 : BCρ0ν (0) ∩ X0 (t0 ) → BCρ1ν (0) ∩ X1 (t0 ), kN không phụ thuộc vào t0 1−k Chúng chứng minh St0 đồng phôi với BCρ0ν (0) ∩ X0 (t0 ) Thật vậy, xét liên tục Lipschitz với số Lipschitz phép biến đổi D : BCρ0ν (0) ∩ X0 (t0 ) → St0 xác định Dφ := φ + Φt0 (φ) với φ ∈ BCρ0ν (0) ∩ X0 (t0 ) Khi đó, áp dụng Định lý hàm ẩn ánh xạ liên kN < D tục Lipschitz (xem [46, Bổ đề 2.7]) số Lipschitz 1−k đồng phơi Do đó, điều kiện (2.ii) Định nghĩa 4.2.6 chứng minh Điều kiện (2.iii) Định nghĩa 4.2.6 suy từ Định lý 4.4.1 101 Ví dụ 4.4.4 Xét phương trình  ∂u(t, x) ∂ u(t, x)   = a(t)[ + ηu(t, x)]    ∂t ∂x2      +ψ(t) m(t + s) sin u(t + s, x)ds + h(t, x))   −∞        u(t, 0) = u(t, π) =     u(θ, x) = φ(θ)(x) (4.43) với < x < π, t ≥ 0, với t ≥ 0, với < x < π, θ ∈ (−∞, 0], φ ∈ Cν , đó, số η, hàm a(t), h(t, x) xác định Ví dụ 2.4.4; hàm m : R+ → R+ liên tục tuần hồn với chu kì theo biến t, m(t + θ)e−νθ dθ đo đoạn (−∞, 0] −∞ M= m(t + θ)e−νθ dθ sup −∞ cố định Do đó, phương trình (4.43) viết dạng   d u(t, ·) = A(t)u(t, ·) + g(t, ut (θ, ·)), dt u (θ, ·) = φ(θ, ·) ∈ C , ν 102 (4.44) h(t, ·) hàm tuần hồn với chu kì nên g(t, φ) hàm tuần hồn với chu kì theo t với hàm φ ∈ BCaν Hơn nữa, g(t, 0) ≤ γψ(t), π với γ := sup ( |h(t, x)|2 dx)1/2 , t∈[0,1] g(t, ut (θ, x)) − g(t, vt (θ, x))   21  m(t + θ)(sin ut (θ, x) − sin vt (θ, x))dθ dx ψ(t)  = π −∞  ≤ ψ(t) |ut (θ, x) − vt (θ, x)|2 dx dθ m(t + θ)  −∞  12 π m(t + θ)e−νθ dθ ut − vt ≤ ψ(t) với ut , vt ∈ BCaν ν −∞ Vì 2n+1 + 2n+c t+1 |ψ(τ )|dτ ≤ sup sup t≥0 (t − n)dt = n∈N t nên ψ ∈ M(R+ ) ψ , 2c 2n+1 − 2n+c ≤ Do đó, g thỏa mãn giả thiết Định 2c−1 lý 4.3.6 Định lý 4.4.1 nên phương trình (4.43) có nghiệm M đủ tốt uˆ ∈ BρCν (0) tuần hồn với chu kì ổn định có điều kiện Hơn nữa, theo Định lý 4.4.3, tồn đa tạp ổn định địa phương nghiệm đủ tốt phương trình (4.43) xung quanh nghiệm uˆ Kết luận Chương Như vậy, Chương 4, chúng tơi giải số tốn mở tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân khơng ơ-tơ-nơm 103 có trễ Các kết cụ thể sau: • Chỉ tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn với phần phi tuyến ϕ-Lipschitz địa phương • Chỉ tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân hàm có trễ vơ hạn với phần phi tuyến ϕ-Lipschitz địa phương khơng gian giảm nhớ • Cũng chương chúng tơi tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn phương trình Nội dung chương dựa vào báo [3] [4], Danh mục cơng trình cơng bố luận án 104 KẾT LUẬN Như vậy, luận án sử dụng Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tơpơ *-yếu Định lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý ánh xạ co tồn nghiệm tuần hồn thơng qua tồn nghiệm bị chặn nửa trục thời gian tồn nghiệm bị chặn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ, từ kéo theo tồn nghiệm tuần hoàn mở rộng kết phương trình tiến hóa tuyến tính sang cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Luận án sử dụng công thức nghiệm bị chặn dạng Lyapunov-Perron, Nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón tính ổn định có điều kiện đa tạp tích phân phương trình tiến hóa tuyến tính khơng có trễ có trễ xung quanh nghiệm tuần hồn Từ đó, mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh nghiệm tuần hồn Những kết luận án đạt là: • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến Lipschitz, ϕ−Lipschitz, ϕ hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn vơ hạn • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nhất, ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình với phần tuyến tính 105 sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ Trong trường hợp này, chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: • Nghiên cứu tồn tại, ổn định nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn cho phương trình trung tính, phương trình xung, • Nghiên cứu quỹ đạo ổn định, đa tạp quán tính xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Pazy (1983) Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer, Berlin [2] B Aulbach, N.V Minh (1996) Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations Abstract and Applied Analysis, 1, pp 351 - 380 [3] B.M Levitan, V.V Zhikov (1978) Almost Periodic Functions and Differential Equations Moscow Univ Publ House [4] C.T Anh, L.V Hieu, N.T Huy (2013) Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay Discrete and Continuous Dynamical Systems, 33, pp 483 - 503 [5] H Brezis (2010) Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations Springer, New York [6] H.H Schaefer (1980) Topological Vector Spaces Springer, New York [7] H Petzeltová, O.J Staffans (1997) Spectral decomposition and invariant manifolds for some functional partial differential equations Journal of Differential Equations, 138, pp 301 - 327 [8] H Tribel (1978) Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators North Holland Publishing Co., Amsterdam [9] J.H Liu (2000) Periodic solutions of infinite delay evolution equations Journal of Mathematical Analysis and Applications, 247, pp 627-644 Việc trình bày tài liệu tham khảo đây, thứ tự hình thức, theo qui định sở đào tạo 107 [10] J.H Liu, G.M N’Guerekata, N.V Minh (2008) Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations Series on Concrete and Applicable Mathematics - Vol 6, World Scientific Publishing, Singapore [11] J.D Murray (2002) Mathematical Biology I: An Introduction Springer, Berlin [12] J.D Murray (2003) Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications Springer, Berlin [13] J Hadamard (1991) Sur l’interation et les solutions asymptotiques des equations differentielles Bulletin de la Société Mathématique de France, 29, pp 224 - 228 [14] J Hale, J Kato (1978) Phase space for retarded equations with infinite delay Funkcial Ekvac 21, pp 11-41 [15] J Hale, S.M Verduyn Lunel (1993) Introduction to Functional Differential Equations Springer, Berlin [16] J.L Massera (1950) The existence of periodic solutions of systems of differential equations Duke Math J., 17, pp 457-475 [17] J.L Massera, J.J Schăaffer (1958) Linear differential equations and functional analysis I Ann of Math., 67 , pp 517-573 [18] J.L Massera, J.J Schăaffer (1959) Linear differential equations and functional analysis II Equations with periodic coefficients Ann of Math., 69, 88-104 [19] J.L Massera, J.J Schăaffer (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces Academic Press, New York [20] J Pră uss (1979) Periodic solutions of semilinear evolution equations Nonlinear Anal 3, pp 601-612 108 [21] J Pră uss (1986) Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces (Book’s Chapter), Lecture Notes in Math., 1223, Springer, Berlin, pp 216-226 [22] J Serrin (1959) A note on the existence of periodic solutions of the Navier-Stokes equations, Arch Rational Mech Anal., , pp 120-122 [23] J.S Shin, T Naito (2014) Representations of solutions, translation formulae and asymptotic behavior in discrete linear systems and periodic continuous linear systems Hiroshima Math J 44 , pp 75-126 [24] J van Neerven (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications, 88, Birkhăauser, Berlin [25] J Wu, H Xia (1996) Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines Journal of Differential Equations, 124, pp 247 - 278 [26] J Wu (1996) Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Springer, New York [27] J.L Daleckii, M.G Krein (1974) Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces Translations of Mathematical Monographs, Volume 43, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [28] I Chueshov(2002) Introduction to The Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems A.C.T.A Scientific Publishing House, Kharkiv [29] K.J Engel (1999) Spectral theory and generator property of one-sided coupled operator matrices Semigroup Forum, 58, pp 267 - 295 [30] K.J Engel, R Nagel (2000) One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations Graduate Texts in Mathematics 194, Springer, Berlin 109 [31] Martin (1976) Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach Spaces Wiley Interscience, New York [32] N.T Huy (2004) Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line Integral Equations and Operator Theory, 48, pp 497 - 510 [33] N.T Huy (2004) Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past Journal of Mathematical Analysis and Applications, 289, pp 301 - 316 [34] N.T Huy (2006) Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line Journal of Functional Analysis, 235, pp 330 - 354 [35] N.T Huy (2009) Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line Journal of Mathematical Analysis and Applications 354, pp 372 - 386 [36] N.T Huy (2009) Invariant manifolds of admissible classes for semilinear evolution equations Journal of Differential Equations, 246, pp 1820 - 1844 [37] N.T Huy, T.V Duoc (2010) Robustness of dichotomy of evolution equations under ddmissible perturbations on a half-line International Journal of Evolution Equations, 3, pp 57 - 72 [38] N.T Huy (2012) Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces Journal of Mathematical Analysis and Applications, 386, pp 894 - 909 [39] N.T Huy, R Nagel (2012) Exponentially dichotomous generators of evolution bisemigroups on admissible function spaces Houston Journal of Mathematics, 2, pp 549 - 569 110 [40] N.T Huy, T.V Duoc (2012) Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces Taiwanese Journal of Mathematics, 16, pp 963 - 985 [41] N.T Huy (2013) Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations Journal of Differential Equations, 254, pp 26382660 [42] N.T Huy (2014) Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle Arch Ration Mech Anal., 213, pp 689- 703 [43] N T Huy, T V Duoc (2014) Integral manifolds for partial functional differential equations in admissibility spaces on a half-line Journal of Mathematical Analysis and Applications 411, pp 816-828 [44] N.T Huy, T.V Duoc (2015) Unstable manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on the whole line Vietnam Journal of Mathematics, 43, pp 37 - 55 [45] N.V Minh, F Răabiger, R Schnaubelt (1998) Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line Integr Eq and Oper Theory, 32, pp 332-353 [46] N.V Minh, J Wu (2004) Invariant manifolds of partial functional differential equations Journal of Differential Equations, 198, pp 381 - 421 [47] N.V Minh, N.T Huy (2001) Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line Journal of Mathematical Analysis and Applications, 261, pp 28 - 44 [48] O Diekmann, S.A van Gils, S.M Verduyn Lunel, H.O Walther (1995) Delay Equations Springer, New York 111 ă [49] O Perron (1929) Uber stabilităat und asymptotisches verhalten der integrale von differential - gleichungssystemen Mathematische Zeitschrift 29, 1, pp 129 - 160 [50] O Perron (1930) Die stabilităatsfrage bei differentialgleichungen Mathematische Zeitschrift, 32, pp 703 - 728 [51] O Zubelevich (2006) A note on theorem of Massera Regul Chao Dyn 11, pp 475-481 [52] R Miyazaki, D Kim, T Naito, J.S Shin (2014) Fredholm operators, evolution semigroups, and periodic solutions of nonlinear periodic systems Journal of Differential Equations 257, pp 4214-4247 [53] R Nagel, G Nickel (2002) Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy problems Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, pp 279 - 293 [54] R Nagel, N.T Huy (2003) Linear neutral partial differential equations: a semigroup approach International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 23, pp 1433 - 1446 [55] R Schnaubelt (2002) Well-posedness and asymptotic behaviour of nonautonomous linear evolution equations Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, 311 - 338, Birkhăauser, Basel [56] T Burton (1985) Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations Academic Press, Orlando [57] T.Yoshizawa (1975) Stability Theory and The Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions Applied Mathematical Sciences, 14 Springer, New York 112 [58] Y Hino, S Murakami, T Naito (1991) Functional Differential Equations with Infinite Delay Lecture Notes in Mathematics, Vol 1473, Springer, Berlin 113 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang (2016) Existence, uniqueness and conditional stability of periodic solutions to evolution equations Journal of Mathematical Analysis and Applications, 433(2), pp 1190-1203 (SCI) [2] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang (2016) Periodic solutions to evolution equations: existence, conditional stability and admissibility of function spaces Annales Polonici Mathematici, 116(2), pp 173-195 (SCIE) [3] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang (2017) Dichotomy and periodic solutions to partial functional differential equations Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 22(8), pp 3127-3144 (SCI) DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [4] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang Solutions to partial functional differential equations with infinite delays: Periodicity and Admissibility (submitted) 114 ... quanh nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình vi phân * Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng Tính chất nghiệm tuần hoàn dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương. .. cứu tồn nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình vi phân - Nghiên cứu số tính chất định tính nghiệm khác xung quanh nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình vi phân - Xây dựng đa tạp ổn định địa phương. .. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGƠ Q ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân