Luận án tiến sĩ nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGƠ Q ĐĂNG NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2017 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi giờ, ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tạ Quang Bửu – Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân tìm điều kiện tồn nghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến hàm tuần hoàn theo thời gian) Bên cạnh số phương pháp chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn mà thích hợp cho phương trình cụ thể phương pháp điểm cố định Tikhonov phương pháp hàm Lyapunov, cịn có phương pháp phổ biến chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn xét tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thông qua số phép nhúng compact Mặc dù vậy, số ứng dụng cụ thể, chẳng hạn phương trình vi phân đạo hàm riêng miền khơng bị chặn phương trình vi phân có nghiệm khơng bị chặn, việc sử dụng phép nhúng compact phương pháp tìm nghiệm bị chặn khó khăn khơng Để khắc phục khó khăn này, năm 2014, N.T.Huy sử dụng phương pháp Ergodic Zubelevich mở rộng vào năm 2006 từ mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân thường Massera nghiên cứu vào năm 1950 nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến du tính = A(t)u + f (t), t ∈ R+ với tốn tử tuyến tính A(t) (có thể khơng bị dt chặn) sinh họ tiến hóa trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Một vấn đề quan trọng khác nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học nghiên cứu tồn đa tạp tích phân Nghiên cứu mang lại cho tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Mặt khác cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Những kết nghiên cứu tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân thường Hadamard, Perron đưa Sau đó, Daleckii Krein mở rộng kết cho phương trình vi phân khơng gian Banach Năm 2009, N.T Huy số cộng sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định lý hàm ẩn, xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện số Lipschitz đủ nhỏ toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển Cụ thể tác giả xét điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn định bất biến, hệ số Lipschitz phần phi tuyến hàm phụ thuộc thời gian thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận mang đến số kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm công bố thời gian gần Tuy nhiên, nghiên cứu xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng trễ có trễ hữu hạn Từ phân tích trên, luận án này, sử dụng phương pháp Ergodic để nghiên cứu chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu * Mục đích nghiên cứu Luận án: Luận án nhằm: - Nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân - Nghiên cứu số tính chất định tính nghiệm khác xung quanh nghiệm tuần hoàn - Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân * Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng; Tính chất nghiệm tuần hồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp lý thuyết đặt chỉnh phương trình khơng ơ-tơ-nơm khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn nghiệm phương trình vi phân - Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tơpơ *-yếu Định lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm bất động - Sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhận để xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn vô hạn Ý nghĩa kết luận án Đây hướng nghiên cứu mới, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, Các kết ý tưởng luận án sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: • Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị nửa nhóm liên tục mạnh, số tính chất nửa nhóm, khái niệm họ tiến hóa, khơng gian hàm Banach chấp nhận được, không gian giảm nhớ, nhị phân mũ họ tiến hố đa tạp ổn định phương trình vi phân • Chương 2: Nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính; tính tồn ổn định điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ • Chương 3: Nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương; tồn nhất, ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn • Chương 4: Nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ hữu hạn vơ hạn với phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộc khơng gian hàm chấp nhận được, sau với họ tiến hóa tuần hồn có nhị phân mũ chúng tơi chứng minh tính ổn định có điều kiện tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn Nội dung luận án dựa vào bốn báo, liệt kê "Danh mục cơng trình cơng bố luận án", [1],[3] đăng tạp chí thuộc nhóm (SCI), [2] đăng tạp chí thuộc nhóm (SCIE) (thuộc tạp chí Quốc tế chuyên nghành danh mục ISI) báo [4] gửi Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận 1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm Banach E gọi chấp nhận thoả mãn điều kiện sau: (i) Tồn số M ≥ cho [a, b] ⊂ R+ ϕ ∈ E ta có b |ϕ(t)|dt ≤ a M (b − a) ϕ χ[a,b] E E t+1 (ii) E bất biến với tốn tử Λ1 , Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ t (iii) E Tτ+ Tτ− bất biến với τ ∈ R+ , với Tτ+ ϕ(t) = ϕ(t − τ ) t ≥ τ ≥ ≤ t < τ Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với t ≥ Hơn tồn N1 , N2 > cho Tτ+ E ≤ N1 , Tτ− E ≤ N2 với τ ∈ R+ Ví dụ 1.1.2 Khơng gian Lp (R+ ), ≤ p ≤ ∞, không gian t+1 M := f ∈ L1, loc (R+ ) : f M |f (τ )|dτ < ∞ := sup t≥0 t không gian hàm Banach chấp nhận (1.1) Mệnh đề 1.1.3 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận Ta có khẳng định sau (a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) cho ϕ ≥ Λ1 ϕ ∈ E Với σ > ta xác định Λσ ϕ Λσ ϕ sau: ∞ t Λσ ϕ(t) = e −σ(t−s) e−σ(s−t) ϕ(s)ds ϕ(s)ds, Λσ ϕ(t) = t Khi đó, Λσ ϕ Λσ ϕ ∈ E Hơn nữa, ϕ ∈ M Λσ ϕ Λσ ϕ bị chặn ta có đánh giá Λσ ϕ ∞ ≤ N1 Λ1 T1+ ϕ −σ 1−e ∞, Λσ ϕ ∞ ≤ N2 Λ1 ϕ − e−σ ∞, (1.2) Λ1 , T1+ N1 , N2 xác định Định nghĩa 1.1.1 (b) Với α > 0, e−αt ∈ E (c) Với b > 0, ebt ∈ / E Trong không gian M xác đinh (1.1) xét tập hàm tuần hồn với chu kì sau P := f ∈ M : f tuần hồn với chu kì (1.3) Khi đó, với hàm dương ϕ thuộc P Thì, với ≤ t ≤ có Λσ ϕ ∞ ≤ N1 ϕ − e−σ M Λσ ϕ ∞ ≤ N2 ϕ − e−σ M (1.4) Kí hiệu không gian Banach M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn f 1.2 M := f (·) M (1.5) Nhị phân mũ họ tiến hoá Định nghĩa 1.2.1 Một họ toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0 khơng gian Banach X gọi họ tiến hoá (i) U (t, t) = Id U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với t ≥ r ≥ s, (ii) ánh xạ (t, s) → U (t, s)x liên tục với x ∈ X, (iii) tồn số K, α ≥ cho U (t, s)x ≤ Keα(t−s) x với t ≥ s x ∈ X Định nghĩa 1.2.2 Cho U := (U (t, s))t≥s≥0 họ tiến hóa khơng gian X (1) Họ tiến hố U gọi có nhị phân mũ [0, ∞) tồn tốn tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ≥ 0, X số N, ν > cho (a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s ≥ 0; (b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, đẳng cấu, biểu diễn ánh xạ ngược U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , ≤ s ≤ t; (c) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0; (d) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ (2) Họ tiến hoá U gọi ổn định mũ [0, ∞) U có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t) = Id, t ≥ Tức là, tồn các số N, ν > cho U (t, s) ≤ N e−ν(t−s) với t ≥ s ≥ Bổ đề 1.2.3 Cho (U (t, s))t≥s≥0 họ tiến hoá nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ tốn tử chiếu (P (t))t≥0 bị chặn liên tục mạnh (H := supt≥0 P (t)) Cho (U (t, s))t≥s≥0 họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếu P (t), t ≥ Chúng ta định nghĩa hàm Green sau G(t, τ ) = P (t)U (t, τ ) t > τ ≥ 0, −U (t, τ )| (I − P (τ )) ≤ t < τ (1.8) Khi đó, có đánh giá G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t = τ ≥ (1.9) Chương SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính Với X không gian đối ngẫu không gian khả ly Y (tức là, X = Y Y không gian Banach khả ly), xét phương trình tiến hóa tuyến tính khơng du = A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+ (2.1) dt họ tốn tử tuyến tính (A(t))t≥0 khơng bị chặn sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 Nghiệm đủ tốt (2.1) với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈ X hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích phân t U (t, τ )f (τ )dτ với t ≥ u(t) = U (t, 0)u0 + (2.3) Giả thiết 2.1.1 Giả sử A(t) tuần hoàn với chu kì T , tức A(t+T ) = A(t) với số T > cố định t ∈ R+ Khi đó, (U (t, s))t≥s≥0 hàm tuần hồn với chu kì T tức U (t + T, s + T ) = U (t, s) với t ≥ s ≥ Giả thiết 2.1.2 Giả sử không gian Y xem không gian không gian Y (qua phép nhúng tắc) bất biến tác động tốn tử U (T, 0), với toán tử U (T, 0) đối ngẫu U (T, 0) Định lý 2.3.2 Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình (2.3) (2.19) Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ N, ν số nhị phân; f ∈ Cb (R+ , X) hàm tuần hồn với chu kì T g thỏa mãn điều kiện (2.18) với số ρ, L, γ Khi đó, ta có khẳng định sau: (a) Phương trình (2.3) có nghiệm tuần hồn chu kì T (b) Với số L, γ đủ nhỏ phương trình (2.19) có nghiệm tuần hồn chu kì T hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X) 2.4 Ổn định có điều kiện Kí hiệu Ba (x)(Br (v)) hình cầu X (tương ứng Cb (R+ , X)) có tâm x (tương ứng v) bán kính a, tức Ba (x) := {y ∈ X : x ∈ X x − y ≤ a}; Ba (v) := {u ∈ Cb (R+ , X) : v ∈ Cb (R+ , X) u − v Cb (R+ ,X) ≤ a} Giả sử tồn số dương L1 cho: g(v1 ) − g(v2 ) Cb (R+ ,X) ≤ L1 v1 − v2 Cb (R+ ,X) với v1 , v2 ∈ B2ρ (0) (2.26) Định lý 2.4.1 Với giả thiết Định lý 2.3.2 điều kiện (2.26); xét uˆ nghiệm tuần hồn chu kì T phương trình (2.19) đạt phần (b) Định lý 2.3.2; Bρ (0) hình cầu chứa uˆ Khi đó, L1 đủ nhỏ u(0)) ∩ P (0)X có nghiệm tương ứng với v0 ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ u(t) phương trình (2.19) R+ thỏa mãn điều kiện P (0)u(0) = v0 u ∈ Bρ (ˆ u) Hơn với u(t) uˆ(t) ta có ước lượng: u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt P (0)u(0) − P (0)ˆ u(0) với t ≥ 0, số dương C µ khơng phụ thuộc vào u uˆ 11 (2.27) Chú ý 2.4.2 Khẳng định định lý tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn uˆ, tức là, với nghiệm u cho P (0)u(0) ∈ u(0)) ∩ P (0)X u thuộc hình cầu có bán kính nhỏ Bρ (ˆ u) B 2Nρ (P (0)ˆ u(t) − uˆ(t) → theo cấp mũ t → ∞ Hệ 2.4.3 Giả sử uˆ nghiệm tuần hoàn phương trình (2.19) đạt khẳng định (b) Định lý 2.3.2 Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 ổn định mũ Khi đó, nghiệm tuần hồn uˆ phương trình (2.19) ổn định mũ tức nghiệm u ∈ Cb (R+ , X) phương trình (2.19) cho u(0) − uˆ(0) đủ nhỏ u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt u(0) − uˆ(0) với t ≥ (2.28) số dương C µ không phụ thuộc vào u uˆ Kết luận Chương 2: Trong chương này, sử dụng Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tơpơ *-yếu Định lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm bất động tồn nghiệm tuần hồn thơng qua tồn nghiệm bị chặn nửa trục thời gian tồn nghiệm bị chặn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ, từ kéo theo tồn nghiệm tuần hoàn mở rộng kết phương trình tuyến tính sang cho phương trình nửa tuyến tính Nội dung chương dựa vào báo [1], Danh mục cơng trình công bố luận án 12 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN ϕ-LIPSCHITZ 3.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Định lý tồn nghiệm tuần hồn 2.1.3 phương trình du = A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+ dt (3.1) trường hợp hàm đầu vào f thuộc không gian M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn f M := f (·) M Với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈ X nghiệm đủ tốt (3.1) hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích phân t U (t, τ )f (τ )dτ u(t) = U (t, 0)u0 + với t ≥ (3.2) Định lý 3.1.1 Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y , f ∈ M tồn u0 ∈ X cho nghiệm đủ tốt u phương trình (3.1) với u(0) = u0 thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X) u Cb (R+ ,X) M f M Giả sử với Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn f hàm tuần hồn với chu kì phương trình (3.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì thỏa mãn: uˆ Cb (R+ ,X) (M + 1)Keα f 13 M Hơn nữa, họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn: lim U (t, 0)x = với x ∈ X cho U (t, 0)x bị chặn R+ t→∞ nghiệm đủ tốt tuần hồn với chu kì phương trình (3.1) Xét phương trình du = A(t)u(t) + g(t, u(t)), t ∈ R+ dt (3.3) tốn tử A(t), t ≥ 0, tác động X thỏa mãn giả thiết Định lý 3.1.1, toán tử phi tuyến g : [0, ∞) × X → X thỏa mãn: (1) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ) với L, ρ > < ϕ ∈ P, (2) g(t, x) hàm tuần hồn theo t chu kì với x ∈ X cố định (3.4) Nghiệm đủ tốt phương trình (3.3) với điều kiện đầu u(0) = u0 ∈ X hàm u liên tục thỏa mãn phương trình sau t U (t, τ )g(τ, u(τ ))dτ với t ≥ u(t) = U (t, 0)u0 + (3.5) Định lý 3.1.2 Với giả thiết Định lý 3.1.1, hàm g thỏa mãn điều kiện (3.4) Khi đó, γ := ϕ M đủ nhỏ phương trình (3.3) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X) 3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ Bổ đề 3.2.1 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 số nhị phân N, ν > Cho f ∈ M g thỏa mãn điều kiện (3.4) Khi đó, ta có khẳng định sau: 14 (a) Nếu v ∈ Cb (R+ , X) nghiệm phương trình (3.2) v biểu diễn dạng ∞ G(t, τ )f (τ )dτ, t ≥ 0, v(t) = U (t, 0)ζ0 + (3.8) với ζ0 ∈ X0 := P (0)X, G(t, τ ) hàm Green xác định (1.8) (b) Nếu u ∈ Cb (R+ , X) nghiệm phương trình (3.5) cho supt≥0 u(t) ρ với ρ > cố định hàm u(t) biểu diễn dạng ∞ G(t, τ )g(τ, u(τ ))dτ với t ≥ 0, v0 ∈ X0 , u(t) = U (t, 0)v0 + (3.9) G X0 xác định (a) Định lý 3.2.2 Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình (3.2) (3.5) Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ N, ν số nhị phân; f ∈ M tuần hồn với chu kì g thỏa mãn điều kiện (3.4) với với số ρ, L hàm ϕ ∈ P Khi đó, ta có khẳng định sau (a) Phương trình (3.2) có nghiệm tuần hồn với chu kì Cb (R+ , X) (b) Với ϕ M đủ nhỏ phương trình (3.5) có nghiệm tuần hồn với chu kì hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X) 3.3 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương Giả sử tồn hàm dương ϕ1 ∈ P cho g(t, v1 (t)) − g(t, v2 (t)) ϕ1 (t) v1 − v2 với v1 , v2 ∈ B2ρ (0) 15 (3.11) Định lý 3.3.1 Với giả thiết Định lý 3.2.2 điều kiện (3.11); xét uˆ nghiệm tuần hồn với chu kì phương trình (3.5) đạt phần (b) Định lý 3.2.2; Bρ (0) hình cầu chứa uˆ Khi đó, ϕ1 M đủ nhỏ u(0))∩P (0)X có nghiệm tương ứng với v0 ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ u(t) phương trình (3.5) R+ thỏa mãn điều kiện P (0)u(0) = v0 u ∈ Bρ (ˆ u) Hơn với u(t) uˆ(t) ta có ước lượng: u(t) − uˆ(t) Cµ e−µt P (0)u(0) − P (0)ˆ u(0) với t ≥ 0, (3.12) số dương Cµ µ khơng phụ thuộc vào u uˆ Định lý 3.3.2 Với giả thiết Định lý 3.2.2 Định lý 3.3.1 Cho uˆ nghiệm tuần hồn với chu kì phương trình (3.5) đạt Định lí 3.2.2 Khi đó, ϕ1 M đủ nhỏ, tồn đa tạp địa phương S xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ Hơn nữa, với nghiệm u(t) đa tạp S hút cấp mũ nghiệm uˆ(t) tức là, tồn số dương µ Cµ độc lập với t0 ≥ cho u(t) − uˆ(t) Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u(t0 ) − P (t0 )ˆ u(t0 )) , ∀t ≥ t0 (3.18) Kết luận Chương 3: Trong chương đạt kết quả: • Chỉ tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến ϕ-Lipschitz địa phương • Chỉ tính tồn nhất, ổn định có điều kiện, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ phần phi tuyến ϕ-Lipschitz địa phương; Nội dung chương dựa vào báo [2], Danh mục cơng trình công bố luận án 16 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ 4.1 Sự tồn nghiệm tuần hoàn phương trình có trễ hữu hạn Kí hiệu: C := C([−r, 0], X) = φ : [−r, 0] → X|φ hàm liên tục [−r, 0], r > ˆ hình cầu khơng gian Banach với chuẩn φ C = sup−r≤s≤0 φ(s) Ba (φ) ˆ bán kính a C sau: Ba (φ) ˆ := {φ ∈ C : φ − φˆ C ≤ a} tâm φ, Định nghĩa 4.1.1 (Hàm ϕ-Lipschitz địa phương) Cho E không gian hàm Banach chấp nhận được, ϕ ∈ E hàm không âm Hàm g : [0, ∞) × Bρ (0) → X gọi thuộc lớp (L, ϕ, ρ)C với số dương L, ρ g thỏa mãn (i) g(t, φ) Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ φ ∈ Bρ (0), (ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ϕ(t) φ1 − φ2 hầu khắp nơi với t ∈ R+ với φ1 , φ2 ∈ Bρ (0) Xét phương trình du = A(t)u(t) + F (t)(ut ) + g(t, ut ), t ≥ 0, dt (4.1) tốn tử A(t), t ≥ 0, tác động X thỏa mãn giả thiết Định lý 3.1.1, toán tử tuyến tính F : [0, ∞) → L(C, X) tốn tử phi tuyến 17 g : [0, ∞) × X → X thỏa mãn: (1) ánh xạ t → F (t)(vt ) biến hàm tuần hồn với chu kì thành hàm tuần hồn với chu kì với v ∈ Cb ([−r, ∞), X); (2) ánh xạ t → F (t) thuộc P; (4.2) (3) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ)C với L, ρ > < ϕ ∈ P; (4) ánh xạ t → g(t, vt ) biến hàm tuần hoàn với chu kì thành hàm tuần hồn với chu kì với v ∈ Cb ([−r, ∞), X) Nghiệm đủ tốt phương trình (4.1) với điều kiện đầu u0 = φ ∈ C hàm u liên tục thỏa mãn phương trình sau  u(t) = U (t, 0)u(0) + t U (t, τ )(F (τ )(uτ ) + g(τ, uτ ))dτ, ∀t ≥ 0, u = φ ∈ C (4.3) Định lý 4.1.2 Giả sử tồn số M cho với f ∈ M phương trình (3.1) có nghiệm đủ tốt u thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X), u Cb ≤M f M, họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn: lim U (t, 0)x = với x ∈ X cho U (t, 0)x bị chặn R+ t→∞ Xét hàm F g thỏa mãn điều kiện (4.2) Khi đó, γ := F (·) ϕ M M + đủ nhỏ phương trình (4.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì hình cầu thuộc Cb ([−r, ∞), X) 4.2 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương Xác định họ toán tử P (t), t ≥ C sau P (t) : C → C, (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] 18 (4.6) Toán tử P (t), t ≥ phép chiếu nhị phân C ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)η với θ ∈ [−r, 0] η ∈ ImP (t)} Bổ đề 4.2.1 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 số nhị phân N, ν > 0; F g thỏa mãn điều kiện (4.2) Nếu u ∈ Cb ([−r, ∞), X) nghiệm phương trình (4.3) cho supt≥−r u(t) ≤ ρ với ρ > cố định hàm u(t) biểu diễn dạng  u(t) = U (t, 0)η + u = φ ∈ C ∞ G(t, τ )(F (τ )(uτ ) + g(τ, uτ ))dτ, t ≥ (4.7) với η = P (0)φ(0) ∈ X0 , G X0 xác định Bổ đề 3.2.1(a) Định lý 4.2.2 Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình (4.3) Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ N, ν số nhị phân; F g thỏa mãn điều kiện (4.2) với số ρ, L hàm ϕ ∈ P Khi đó, ϕ M+ F (·) M đủ nhỏ phương trình (4.3) có nghiệm tuần hồn chu kì hình cầu nhỏ thuộc Cb ([−r, ∞), X) Với vˆ ∈ Cb ([−r, +∞), X) kí hiệu: Ba (ˆ v ) := {v ∈ Cb ([−r, +∞), X) : v − vˆ Cb ≤ a} Xét Bρ (0)(Bρ (0)) hình cầu chứa nghiệm tuần hồn uˆ(ˆ ut , t ≥ 0) đạt Định lý 4.2.2 Giả sử tồn hàm dương ϕ˜ ∈ P cho: g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ ϕ(t) ˜ φ1 − φ2 C , ∀φ1 , φ2 ∈ B2ρ (0), ∀t ≥ (4.8) Định lý 4.2.3 Với giả thiết Định lý 4.2.2, xét uˆ nghiệm tuần hồn với chu kì phương trình (4.3) đạt Định lý 4.2.2; g thỏa 19 mãn điều kiện (4.8) Nếu F (·) ζ ∈ C cho ζ − uˆ0 C M + ϕ˜ M đủ nhỏ với u(0)) ∩ P (0)X có ≤ ρ/2 P (0)ζ(0) ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ nghiệm u(·) phương trình (4.3) [−r, ∞) thỏa mãn điều kiện u0 = ζ u ∈ Bρ (ˆ u) Hơn nữa, với u(t) uˆ(t) ta có ước lượng: ut − uˆt C ≤ Cµ ρe−µt với t ≥ 0, (4.9) số dương Cµ µ khơng phụ thuộc vào u uˆ Định lý 4.2.4 Với giả thiết Định lý 4.2.2 Định lý 4.2.3, xét uˆ nghiệm tuần hồn với chu kì phương trình (4.3) đạt Định lí 4.2.2 Khi đó, F (·) M+ ϕ˜ M đủ nhỏ tồn đa tạp ổn định địa phương S xung quanh nghiệm tuần hồn uˆ 4.3 Trường hợp phương trình có trễ vô hạn: Sự tồn nghiệm tuần hồn φ(s) = 0, ν > 0} e−νs Cν ˆ không gian giảm nhớ với chuẩn φ ν = sups≤0 eφ(s) −νs Ba (φ) hình cầu tâm ˆ bán kính a Cν sau: BCν (φ) ˆ := {φ ∈ Cν : φ − φˆ ν ≤ a} φ, a Kí hiệu: Cν = {φ : φ ∈ CR− lims→−∞ Định nghĩa 4.3.1 (Hàm ϕ-Lipschitz địa phương) Cho E không gian hàm Banach chấp nhận được, ϕ ∈ E hàm không âm Hàm g : [0, ∞) × BCρν (0) → X gọi thuộc lớp (L, ϕ, ρ)Cν với số dương L, ρ g thỏa mãn (i) g(t, φ) Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ φ ∈ BCρν (0), (ii) g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ϕ(t) φ1 − φ2 ν hầu khắp nơi với t ∈ R+ với φ1 , φ2 ∈ BCρν (0) Xét phương trình du = A(t)u(t) + g(t, ut ), t ≥ 0, dt 20 (4.20) tốn tử phi tuyến g : [0, +∞) × Cν → X thỏa mãn: (1) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ)Cν với L, ρ > < ϕ ∈ P; (2) ánh xạ t → g(t, vt ) biến hàm tuần hồn với chu kì thành (4.21) hàm tuần hồn với chu kì với v ∈ Cb (R, X) Nghiệm đủ tốt phương trình (4.20) với điều kiện đầu u0 = φ ∈ Cν hàm u liên tục thỏa mãn phương trình  t  u(t) = U (t, 0)u(0) + U (t, τ )g(τ, uτ )dτ với t ≥ 0, (4.22)  u = φ ∈ C ν Định lý 4.3.2 Giả sử tồn số M cho với f ∈ M phương trình (3.1) có nghiệm đủ tốt u thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , X), u Cb ≤M f M, họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn: lim U (t, 0)x = với x ∈ X cho U (t, 0)x bị chặn R+ t→∞ Với hàm g thỏa mãn điều kiện (4.21) Khi đó, với γ := ϕ M đủ nhỏ phương trình (4.20) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hồn với chu kì hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X) Xác định họ toán tử P (t), t ≥ Cν sau P (t) : Cν → Cν , (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0), ∀θ ∈ (−∞, 0] (4.25) Toán tử P (t), t ≥ 0, phép chiếu Cν , ImP (t) = {φ ∈ Cν : φ(θ) = U (t − θ, t)v0 với θ ∈ (−∞, 0] v0 ∈ ImP (t)} Bổ đề 4.3.3 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân tương ứng (P (t))t≥0 số nhị phân N, ν > 0; g thỏa mãn điều kiện (4.21) Nếu u(t) liên tục nghiệm phương trình (4.22) cho max u0 ν , sup u(t) t∈R+ 21 ≤ρ với ρ > cố định hàm u(t) biểu diễn dạng  ∞  u(t) = U (t, 0)η + G(t, τ )g(τ, uτ )dτ (4.26)  u = φ ∈ C ν với t ≥ 0, η = P (0)φ(0) ∈ X0 , G X0 xác định Bổ đề 3.2.1(a) Định lý 4.3.4 Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình (4.22) Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn; họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ N, ν số nhị phân; g thỏa mãn điều kiện (4.21) với số ρ, L hàm ϕ ∈ P Nếu ϕ M đủ nhỏ phương trình (4.22) có nghiệm tuần hồn với chu kì hình cầu nhỏ thuộc Cb (R, X) 4.4 Ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương phương trình có trễ vơ hạn Với vˆ ∈ Cb (R, X) kí hiệu: BaCν (ˆ v) : = v ∈ C(R, X) : vt , vˆt ∈ Cν max v0 − vˆ0 ν , sup v(t) − vˆ(t) ≤ a, t ≥ t∈R+ Xét BρCν (0)(BCρν (0)) hình cầu chứa nghiệm uˆ(ˆ ut , t ≥ 0) tuần hồn với chu kì đạt Định lý 4.3.4 Giả sử tồn hàm dương ϕ˜ ∈ P cho: g(t, φ1 ) − g(t, φ2 ) ≤ϕ(t) ˜ ut − vt ν , ∀φ1 , φ2 ∈ BC2ρν (0), t ≥ 22 (4.28) Định lý 4.4.1 Với giả thiết Định lý 4.3.4; xét uˆ nghiệm tuần hồn với chu kì phương trình (4.22) đạt Định lý 4.3.4; cho g thỏa mãn điều kiện (4.28) Khi đó, ϕ˜ ζ ∈ Cν cho ζ − uˆ0 ν M đủ nhỏ với u(0)) ∩ P (0)X có ≤ ρ/2 P (0)ζ(0) ∈ B 2Nρ (P (0)ˆ nghiệm u(·) phương trình (4.22) R thỏa mãn điều kiện u0 = ζ u ∈ BρCν (ˆ u) Hơn nữa, với u(t) uˆ(t) ta có ước lượng: ut − uˆt ν ≤ Cµ ρe−µt với t ≥ 0, (4.29) số dương Cµ µ khơng phụ thuộc vào u uˆ Định lý 4.4.2 Với giả thiết Định lý 4.3.4 Định lý 4.4.1, xét uˆ nghiệm tuần hồn với chu kì phương trình (4.22) đạt Định lí 4.3.4 Khi đó, ϕ˜ M đủ nhỏ, tồn đa tạp địa phương S xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ phương trình (4.22) Kết luận Chương 4: Trong chương này, giải số toán mở tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm có trễ Cụ thể sau: • Chỉ tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn với phần phi tuyến ϕ-Lipschitz địa phương • Chỉ tính tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân hàm có trễ vơ hạn với phần phi tuyến ϕ-Lipschitz địa phương khơng gian giảm nhớ • Cũng chương chúng tơi tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn đa tạp bất biến ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình Nội dung chương dựa vào báo [3] [4], Danh mục cơng trình cơng bố luận án 23 KẾT LUẬN Như vậy, luận án tồn nghiệm tuần hồn thơng qua tồn nghiệm bị chặn nửa trục thời gian tồn nghiệm bị chặn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ, từ kéo theo tồn nghiệm tuần hoàn mở rộng kết phương trình tiến hóa tuyến tính sang cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Luận án tính ổn định có điều kiện đa tạp tích phân phương trình tiến hóa tuyến tính khơng có trễ có trễ xung quanh nghiệm tuần hồn Những kết luận án đạt là: • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến Lipschitz, ϕ−Lipschitz, ϕ hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn vơ hạn • Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nhất, ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình với phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ Trong trường hợp này, chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: • Nghiên cứu tồn tại, ổn định nghiệm tuần hồn, hầu tuần hồn cho phương trình trung tính, phương trình xung, • Nghiên cứu quỹ đạo ổn định, đa tạp quán tính xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang (2016) Existence, uniqueness and conditional stability of periodic solutions to evolution equations Journal of Mathematical Analysis and Applications, 433, pp 1190-1203 (ISI) [2] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang (2016) Periodic solutions to evolution equations: existence, conditional stability and admissibility of function spaces Annales Polonici Mathematici, 116, pp 173-195 (ISI) [3] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang (2017) Dichotomy and periodic solutions to partial functional differential equations Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 22, 8, pp 3127-3144 (ISI) DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [4] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang Solutions to partial functional differential equations with infinite delays: Periodicity and Admissibility.* (submitted)(2016) ... thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, Các kết ý tưởng luận án sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Cấu trúc kết luận án. .. tính nghiệm khác xung quanh nghiệm tuần hoàn - Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân * Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân. .. nghiệm tuần hồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp lý thuyết đặt chỉnh phương trình khơng ơ-tơ-nơm khái niệm nghiệm