Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức

Header Page of 16 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHỐI Thái Ngun - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Më Đầu Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna đ-ợc đánh giá thành tựu sâu sắc toán học kỷ hai m-ơi Đ-ợc hình thành từ năm đầu kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ công trình Hadamard, Borel ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Vào năm 1925, Nevanlinna đà phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm công thức tiếng Jensen Lý thuyết có nội dung chủ yếu định lý thứ nhất, định lý thứ quan hệ số khuyết Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng I: Trình bày sở lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna Ch-ơng II: Trình bày số kết nghiệm toàn cục ph-ơng trình vi phân phức dựa báo nghiệm toàn cục số lớp ph-ơng trình vi phân phức tác giả Ping Li Kết luận văn: Cho P(f) đa thức vi phân f có đạo hàm ( với hàm nhỏ f z coi nh- hệ số) có bậc không lớn n - , p1, p2 hµm nhá cđa e vµ 1 ,  lµ số khác không Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna để tìm nghiệm toàn cục siêu việt ph-ơng trình vi phân phi tuyến tÝnh kh«ng gian phøc: f n  z   P  f   p1e1z  p2e2 z Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ThÇy, Thầy không h-ớng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy thông cảm, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy cô Viện Toán học Việt Nam đà giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa học luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt đồng nghiệp khoa KHCB, gia đình, bạn bè đà quan tâm, giúp đỡ trình học hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên L-u Thị Minh Tâm S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Ch-¬ng I C¬ së lý thuyÕt Nevanlinna 1.1 Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi điểm bất th-ờng cô lập hàm f(z) hàm f(z) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm 1.1.2 Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a hàm f(z) đ-ợc gọi f z cực điểm f(z) lim z a 1.1.3 Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức đ-ợc gọi hàm nguyên Nh- vậy, hàm nguyên hàm điểm bất th-ờng hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi hàm phân hình miền D hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất th-ờng cực điểm Nếu D = ta nói f(z) phân hình , hay đơn giản, f(z) hàm phân hình *Nhận xét: Nếu f(z) hàm phân hình D lân cận điểm z D, f z biểu diễn đ-ợc d-ới dạng th-ơng hai hàm chỉnh hình 1.1.5 Định nghĩa: Điểm z0 gọi cực điểm cấp m>0 hàm f(z) lân cËn cđa z0 , hµm f  z    z  z0  m h  z , h(z) hàm chỉnh hình lân cận z0 h z0 1.1.6 Tính chất: Nếu f(z) hàm phân hình D f(z) hàm phân hình D Hàm f(z) f(z) có cực điểm điểm nhS húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 §ång thời, z0 cực điểm cấp m>0 hàm f(z) z0 cực điểm cấp m+1 hàm f(z) *Nhận xét: Hàm f(z) đếm đ-ợc cực điểm D 1.1.7 Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình , điều kiện cần đủ để f(z) điểm bất th-ờng khác cực điểm f(z) hàm hữu tỷ 1.2 Định lý thứ 1.2.1 Công thức Poisson-Jensen f z hàm phân hình hình tròn Định lý: Giả sử z  R víi  R   Gi¶ sư a    1, 2, M  lµ không điểm, không điểm đ-ợc kể số lần bội nó, bv(v = 1,2,N) cực điểm f hình tròn đó, cực điểm đ-ợc kể số lần bội Khi ®ã nÕu z  r.ei ,   r  R  , f  z   0; f  z    th×: log f  z   2 2  log f  Re  M R  z  a   1 R  a z   log i R2  r d R  Rrcos      r N R  z  bv  v 1 R  bv z   log (1.1) Chøng minh *Tr-ờng hợp Hàm f(z) không điểm cùc ®iĨm  z  R Khi ®ã ta cÇn chøng minh: log f  z   2 2  log f  Re  i R2  r d R  Rrcos      r (1.1a) + Tr-ớc hết ta chứng minh công thức z = 0, nghĩa cần chứng minh: S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 log f    2 2   log f  Re  d i Do f(z) không điểm cực điểm hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình hình tròn Theo định lý Cauchy ta có: log f    2 i 2   log f  Re  d dz log f z     z 2 z R i Lấy phần thực ta thu đ-ợc kết t¹i z = log f    2 2   log f  Re  d i + Víi z tïy ý, chóng ta xét ánh xạ bảo giác biến R thành   vµ biÕn   z thµnh  Đó ánh xạ: R  z  R  z Nh- vËy   R t-¬ng øng víi   Trªn   R , ta cã: log   log Nªn R   z  R  z d Do log f(z) chỉnh hình z  d    z (1*) z R , theo định lý Cauchy ta cã: d log f    2 i   R  z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 R d zd       z R  z R  z log f  z     log R  log  z   log R  z (2*) http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Mặt khác zd d log f   log f      R2 2 i   R R  z 2 i   R  z Do z  z  R suy   R , nên hàm log f R2 R2 R nghĩa điểm z z (3*) nằm vòng tròn R hàm chỉnh hình Nh- tích phân z vế phải (3*) Kết hợp với (1*) (2*) ta có: log f  z   R z log f   2 i   R R  z    d   z (1.2) i i Hơn nữa, R ,   R.e , d  iRe d vµ R    z   R  R  re     Re i    z i  rei    Rei R  Rrcos      r  KÕt hỵp víi (1.2) ta thu ®-ỵc: 2  log f  Re  R log f  z   2 R i 2  r  d  Rrcos      r LÊy phÇn thực hai vế đẳng thức (1.3) ta đ-ợc: log f  z   2 2  log f  Re  R R i 2  r  d  Rrcos   r Đây điều cần ph¶i chøng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) Header Page of 16 * Tr-êng hợp 2: Hàm f(z) không điểm cực ®iĨm bªn  z  R , nh-ng cã hữu hạn không điểm cực điểm cj biên   R Víi   nhá tïy ý, ta đặt: D z R  U j   c j    Gäi  D lµ chu tun cđa D cung lõm vào D bao gồm phần đ-ờng tròn R với phần lõm vào đ-ờng tròn nhỏ bán kính tâm không điểm cực điểm f(z) R Giả i sư z  re miỊn z  R , tồn đủ nhỏ cho R2 z log f  z   log f   2 i D R  z  z  D Khi ®ã:  d   z (1.2a) Giả sử z0 không ®iĨm hay cùc ®iĨm cđa f(z) trªn   R cung tròn ứng với z0 D Khi , f z  c  z  z0   m m > z0 không điểm m < z0 cực điểm Suy 1  log f  z   O  log      Nh- vËy:  2    1   O  log  M  ,   M đại l-ợng bị chặn Ta thÊy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn lµ Header Page 10 of 16 1  O  log  M       Cho  0 c«ng thøc (1.2a), tính tích phân thứ dần đến tích phân vế phải (1.3), tích phân thứ hai dần đến Nh- ta thu đ-ợc công thức (1.3) tr-ờng hợp từ suy (1.1) *Tr-ờng hợp Bây ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức f(z) có không điểm cực điểm z R đặt:    f   R    a  M   N R   bv  v 1 R  bv  (1.4) R  a  1 HiĨn nhiªn  không điểm cực điểm z  R NhvËy chóng ta cã thĨ ¸p dụng công thức (1.1a) cho hàm Hơn nữa, i Re : R   a  R  a  R   a      a   1, R   bv  vµ R  bv  R   bv      bv   1, f       nªn VËy log   z   2  2 2 2  log   Re  R  log f  Re  R R i R i 2 2  r  d  Rrcos      r  r  d  Rrcos    r (1.5) Mặt khác: S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 10 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 16 2.4.1 Định lý A: Cho n số nguyên, P(f) đa thức vi phân f có bậc n 3, p1, p2 đa thức khác 0, số khác với hữu tỷ Khi ph-ơng trình vi ph©n 2 f n  z   P  f   p1e1z  p2e2 z kh«ng cã nghiệm nguyên siêu việt 2.4.2 Định lý B: Cho n số nguyên, P(f) ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc  n 3, b(z) hàm phân hình, , c1, c2 số khác Khi ph-ơng trình vi phân f n z  P  f   b  z   c1e z  c2e   z  , nghiệm nguyên siêu việt thỏa mÃn T(r,b) = S(r, f) Đó giả thiết [10] kết luận định lý A bậc ph-ơng trình vi phân P(f) n n Sau chứng minh kết cho hoàn thiện định lý A B 2.4.3 Định lý 1: Cho n số nguyên d-ơng Cho f hàm nguyên siêu việt, P(f) đa thức vi phân f cã bËc  n ’1 NÕu f n  z   P  f   p1e1z  p2e z , (2.1) pi (i =1,2) hàm nhỏ không triệt tiêu ez , i i 1, số d-ơng làm thỏa m·n  n  1   n1  , tồn hàm nhỏ f cho:  f   n  p2e2 z (2.2) Chứng minh : n Đầu tiên , chóng ta viÕt Pn1  f  nh- sau: P  f    b j M j  f  , j 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 46 of 16 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.3) Header Page 47 of 16 bj hàm nhỏ f , M0(f) = 1, Mj(f) (j = 1,2,,n-1) đơn thức vi phân f có bậc j Không tính tổng quát, giả thiết b0 , ra, làm biến đổi f = f1 + c cho phï hỵp h»ng sè c Tõ (2.1), chóng ta cã: n 1 bj Mj  f          p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 fj f  f  n Chó ý m  r , M j  f  / f j   S  r, f  (2.4) vµ bỉ ®Ị chóng ta cã:   1 z 2 z m  r , 1z   S  r , p1e  p2e   S  r , f  2 z  p1e  p2e  b0  Bëi vËy, vÕ tr¸i cđa (2.4) đa thức 1/f có bậc nhiều n với hệ số trở thành hàm gần ®óng cđa 1/f Tõ ®ã:  1 m  r ,   S  r , f  (2.5) f Đạo hàm hai vế (2.1) cho: nf n1 f '  P  f   '   p1'  1 p1  e1z   p2'   p2  e2 z 1z Khư e p ' vµ e2 z , tách từ (2.1) công thức trên, đ-ợc: p2 f n  p2 nf n1 f '  p2'   p2  P  f   p2  P  f   '   e1z  p  p  f ' n 1 Trong ®ã (2.6)  p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z (2.7) (2.8)   p1 p2'  p2 p1'    1  p1 p2 , hàm nhỏ f Chúng ta ý triệt tiêu cách đồng nhất, cách khác, phép lấy tích phân đ-ợc e z C p1 cho số C, đ-ợc Từ p2 (2.7) (2.8) đ-ợc: S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 47 of 16 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 16   jz m r, e   nT  r, f   S  r, f  , j = 1,2 (2.9) Tõ (2.1) chóng ta cã: nT  r , f   m  r , f n   m  r , f n  P  f    T  r , p1e1z  p2e2 z   S  r , f  (2.10) Bëi vËy, S  r , e1z   S  r , e2 z   S  r , f  : S  r  Tõ (2.4) chóng ta cã n 1 b j ei z Mj   ei z     p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 f j  f  n j ei z  n , i  1, f Sau ®ã:  ei z  m  r , n   S  r  , i  1,  f  (2.11) Sau ®ã chóng ta chøng minh  e1z  m  r , n1   S  r  , i  1, f (2.12) i Cố định r>0, cho z  re Cho kho¶ng më [0, 2 ) biểu thị hợp cho tập hợp rêi nh- sau:   f z   E1     0, 2     z  1 e     f  z   z E2     0, 2     z  1, e  1 e     f  z   z E3     0, 2     z  1, e  1 e Do định nghĩa hàm gần đúng, cã: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 48 of 16 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 49 of 16  ei z  m  r , n 1    f  2 2  log ei z  f n 1  z  d  I1  I  I Trong ®ã Ii  2 2  log  ei z f n 1  z  d , i  1, 2,3  Víi   E1 , chóng ta cã: f  z   e  1  z f  z e z  n , đ-ợc: n f z f  z  e 1  z e1z Tõ  e2 z I1  m  r , n  f Víi   E2 , chóng ta cã 1z e e1z  , vµ nh- vËy n 1 f  z  f n 1 z Víi   E3 , chóng ta cã e1z f n 1  z  f  z   e2 1  z V× vËy:  e1z e n 1 1  z  n  1 n1 , đ-ợc e n 1 z  n1 z e1z f n 1  z   V× vËy chóng ta cã I3 = Tõ ®ã cè định (2.10) Sau từ (2.7) thì: S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 49 of 16 Sau   I1  m  r , n 1   S  r   f  ®ã tõ (2.5) thì: Do giả thiết: S r  47 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 50 of 16 f n 1   Trong e1z n 1 f  R  f  f n 1 (2.13)    p2'   p2  f  np2 f ' , R f   p2'   p2  P  f   p2  P  f   ' , đa thức vi phân f cã bËc lín nhÊt n-1 Do bỉ ®Ị 1, chóng ta đ-ợc m r , S  r  , chó ý r»ng  lµ toµn cơc, chóng ta cã N  r ,    S  r  Tõ ®ã: T  r,    S r ,i, e ,  hàm nhỏ f Bằng định nghĩa , đ-ợc: p2' p2 f ' f np2 np2 ThÕ c«ng thøc ë vào (2.8) cho: f n np1 f n 1  p2  p1'  1 p1   P f   Do bỉ ®Ị 2, chóng ta nhìn thấy tồn f n p1 p2   P  f   '  p e 2z hµm nhá  cđa f p2e2 z Đây điều phải chứng minh định lý 2.4.4 Định lý 2: Cho n số nguyên d-ơng, i  i  1,  lµ sè thùc vµ 1    Cho p1,p2 hàm nhỏ ez Nếu tồn hàm nguyên siêu việt f thỏa mÃn ph-ơng trình vi phân (2.1), P(f) đa thức vi phân f có bậc không lớn n 2, , tồn h»ng sè c1,c2 vµ hµm nhá 1 ,  víi f  p  p  f ' 1 n  p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z f  c11e1z / n  c2 2e2 z / n (2.14) Hơn nữa, in pi , i  1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 50 of 16 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 51 of 16 Chøng minh: 1    Còn tr-ờng hợp Chúng ta thảo luận cho tr-ờng hợp làm t-ơng tự Giả sử f nghiệm nguyên siêu việt (2.1) Chứng minh t-ơng tự định lý 1, lấy (2.5) (2.11) Cố định r>0, i cho z  re Cho kho¶ng më [0, 2 ) biểu thị hợp cho tập hỵp rêi nhsau:   E1     0, 2     E2     0, 2     E3     0, 2   f  z e 1  z f  z e 1  z f  z e  1  z    1     1, e  1    z  1, e  1  z Từ định nghĩa hàm gần đúng, cã:  e1   z m  r , n  f      2 2  log  e  d  I1  I  I , f n2  z    z ®ã Ij  2  log Ej  e  d , j  1, 2,3 f 2n2  z    z f  z e1   z e 2 z e z   Víi   E1 , chóng ta cã: n 2 f  z  f n  z  e2 1  z f n  z  Nh- (2.11), đ-ợc I1 S  r  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 51 of 16 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 16 e z  , vµ Víi   E2 , tõ 1    th× e1 2  z  e1   z  f 2n2  z  f 2n2  z  V× vËy I2  S  r  Sau từ (2.5) thì: Với E3 , chóng ta cã f  z   e2 1  z V× vËy: e1 2  z 1   z e   1 2n2 n 1 1  z n   z  n1 z   f  z e e  e1   z Do ®ã: I  S  r  Tõ ®ã chóng ta cã m  r , n  f  Nh©n (2.7) víi (2.8) cho:    S  r , f   f 2n2  Q  f    2e1 2  z (2.15) (2.16) Trong ®ã Q(f) đa thức vi phân f có bậc lớn nhÊt 2n ’2, vµ     p1'  1 p1  f  p1nf '   p   p  f ' 2 Tõ (2.16) bổ đề 1, đ-ợc p2 nf ' (2.17) m  r ,    S  r , f  V× vËy, T  r,   S  r, f  NÕu  p   p  f  np f '  , b»ng phÐp lÊy tích phân đ-ợc ' 1 1  z/n f n  cp1e1z , ®ã c số khác Vì vậy, f ae , víi a lµ hµm nhá cđa f Chóng ta thấy vế trái (2.1) đa thức Mặt khác vế phải (2.1) không đa thức e1z / n cã bËc n e1z / n Tõ ®ã  p   p  f  np f '  ' 1 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 52 of 16 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 16 T-¬ng tù, chóng ta cã Cho p ' p '   p2  f  np2 f '  V× vËy     p2  f  np2 f '  h , (2.18) ®ã chóng ta cã :  p   p  f  np f '  h ' 1 (2.19) B»ng c¸ch khư f’ f , tách từ (2.18) (2.19) đ-ợc: f p1 h p2  h (2.20)   p2   p2  p'   p f ' 1 h n n h ' Vµ (2.21) ' ' Trong ®ã :   p1 p2  p2 p1    1  p1 p2 hàm nhỏ f triệt tiêu cách đồng Từ (2.20) thấy: 2T  r , h   T  r , f   S  r , f  Vì vậy, hàm nhỏ f hàm nhỏ h Và từ vi phân thÊy h lµ mét hµm A Nh- vËy h/h hàm nhỏ f Bằng cách đạo hàm vế (2.20) , đ-ợc: p  p h'    p   p h'  f '     '  h     '   h h     h     (2.22) So s¸nh hƯ số vế phải (4.7) (4.8), suy p1'  1 p1  p1  p1 h '    ' n    h p '   p2   n  p   p h'    '  h    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 53 of 16 (2.23) (2.24) 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 16 Bằng phép lấy tích phân (2.23) (2.24), tách ra, đ-ợc: n n z p1e p   d1  h  ;   2 z p2 e  p 1  d2   ,   h (2.25) d1 d2 số khác Từ công thức trên, tồn hàm n nhá 1 ,  cña ez tháa m·n pi  i , i  1, Vµ p1 p2e 1   z n  p p  d1d  22    (2.26) Vế phải công thức hµm nhá cđa f, nh- vËy lµ hµm nhá cđa ez Vì công thức 1    Ngoµi ra, chóng ta thấy tồn số khác không c1 vµ c2 cho: p1  h  c11e1z / n ; p2  c2 2e2 z / n h (2.27) Cuối cùng, từ (2.20), đ-ợc (2.3) Hệ 1: Cho ph-ơng trình vi phân: f  f  f ''  2cos3 z, có nghiệm nguyên: f1 z 2cosz f  z    cos z  f3  z    cos z  sin z sin z 2.4.5 Định lý 3: Giả sử n số nguyên d-ơng, cho p1, p2 hàm nhá cđa ez, vµ  i  i  1, số d-ơng thỏa mÃn n 1   n1  NÕu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 54 of 16 52 1 lµ sè vô tỷ, http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 16 ph-ơng trình vi phân (2.1) nghiệm nguyên, P(f) đa thức vi phân f cã bËc  n-1 Chøng minh: NÕu f lµ nghiƯm nguyên siêu việt (2.1), định lý 1, tồn hàm nhỏ i,e, f cho (2.2) cố định Và nh- N r,1 /  f      S r, f , hàm nhỏ ngoại lệ f Công thức (2.2) chứng tỏ tồn hàm nhá 1 , 2 cña f cho f '  1 f  2 B»ng phÐp thÕ c«ng thøc (2.1), z chóng ta thÊy p1e lµ ®a thøc ®èi víi f cã bËc k