Bài Toán Biên Cho Một Vài Lớp Phương Trình Có Chứa Toán Tử Elliptic Suy Biến Mạnh

Header Page of 126 ệ P P Pì P Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 ệ P P Pì P t số ữớ ữợ P Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 ổ ổ tr ự tổ t q t ợ t ữủ sỹ t tr ỗ t ữ t q ợ ữ tứ ữủ ổ ố tr t ý ổ tr P t Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 ỡ ữủ tỹ t t tở trữớ ữ ữợ sỹ ữợ t t P r tr t tự t ự ợ t ỏ tr s s t tọ ỏ t ỡ t s s t ố ợ t t ỡ t ổ ũ ự s tr sr ổ t trữớ ữ Pỏ Pữỡ tr ổ ú ù t tr ự tr số ỡ ố trữớ ữ Pỏ ự Pỏ ũ t t tr t tờ t t t ủ ú ù t tr q tr t ự t ố ũ t tọ ỏ t ỡ tợ ỳ ữớ t ú ù t t P t Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 ệ ệ r ỡ ử ởt số ỵ tr ữỡ ổ t tữớ t ố ợ ữỡ tr t s ỷ t t ỹ ổ tỗ t ổ t tữớ ỵ ú ỹ tỗ t ữỡ tớ t r ổ ũ ữỡ tr r ỷ t t õ ự t tỷ t s rt ổ rt t ổ tr õ q t Footer Page of 126 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 ởt số ỵ tr RN ổ tỡ tỹ N C k () ổ tử k tr Lp () ổ ụ tứ p t s tr x y z x y z , , t x x1 xN1 tỡ t tỷ y = , , t y y1 yN2 , , t z tỡ t tỷ z = z1 zN3 N1 tỷ t x : x = i=1 xi N2 tỷ t y : y = j=1 yj N3 tỷ t z : z = l=1 zl tỡ t tỷ x = (., ) ổ ữợ tr ổ L2 () P, P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u ợ , + > 0, |x|2 = N1 x2i , |y|2 = i=1 N2 yj2 , j=1 dx = dx1 dx2 dxN1 , dy = dy1 dy2 dyN2 , dz = dz1 dz2 dzN3 C(X, Y ) ổ tử tứ X Y C (X, Y ) ổ rt tử tứ X Y Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 ỵ t t ổ ự ữủ q t ỳ ự rở r õ tr t ỵ õ s t ự tỗ t ổ tỗ t t õ ự t tỷ t s õ ự t t q t ữủ tr q trồ tr t tr ỵ tt t ợ ỵ tr ú tổ t ự t ởt ợ ữỡ tr õ ự t tỷ t s t q trồ tự t q trồ tự t r ữủ số ụ tợ ỵ ú ổ õ trồ t ợ t tỷ t s ứ t q õ ú tổ ự ữủ sỹ tỗ t t õ ự ữỡ tr t s ỷ t t q trồ tự ữ r ữủ ỗ t tự P tứ õ ú tổ ự ữủ sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ t ố ợ ữỡ tr t s ỷ t t q trồ tự ú tổ ự ữủ sỹ tỗ t sỹ tỗ t t sỹ tỗ t t út t t õ ự ữỡ tr r ỷ t t õ t tỷ t s Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 tr trữớ ủ số t õ t ọ ỡ t tợ số t õ t tý ỵ ố tữủ ự ố tữủ ự t t t tr õ ự t tỷ t s P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u, ợ , 0, + > Pữỡ ự ú tổ t t tờ ủ tự q tợ t ự sỷ ữỡ t ữỡ ữỡ ự tr ỵ tt t s t ợ sỹ ũ ủ ợ t tỷ P, r ỏ sỷ ữỡ t ự sỹ tỗ t t tỗ t t út t ỷ õ S(t) s ữỡ tr r ợ t ủ tr trữớ ủ rt ữỡ r tr trữớ ủ ổ rt q t ứ sỡ ỵ tt ữỡ tr r ữớ t q t tợ t t t ữỡ tr ữỡ tr r tr õ trỡ t t ữủ t q t t trỡ ữủ ổ t tr ợ t tỷ t t t tỷ rs Gk u = x u + |x|2k y u ợ (x, y) RN1 +N2 , N1 , N2 1, k Z+ , tr t ữớ rs t ữủ t q k = t G0 t tr k > t Gk ổ t tr RN1 +N2 õ rộ ợ t x = Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 t rs ự ữủ Gk u ổ tr t ụ ổ tr t t ữỡ Gk ữủ t ự tr ữ ú t t ởt tr ỳ t tỷ t ữủ ự õ t tỷ u = 2u 2u 2u + + + x21 x22 x2n ự sỹ tỗ t ổ tỗ t t ỷ t t ự t tỷ ữủ t t tr ự t tứ ỷ t tự ữỡ r ổ tr P t t u + f (u) = tr , (1) u = tr , ợ ợ tr Rn (n 2), f (u) = u + |u|p1 u t q t ữủ tr ổ tr n = < p < , t t ổ õ ổ t tữớ n = p ổ õ ữỡ n+2 s t t n2 n+2 , t t õ ữỡ n2 n+2 n tr p0 = tr rt t tr n2 2n q p0 + = tr tợ t õ ỵ ú n2 p0 ữủ số ụ tợ t t tỷ n = < p < Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 126 t rs rr ổ ố t q tỗ t ữỡ t n+2 u = u + u n2 tr , (2) u = tr , ợ õ trỡ tr Rn , n t q r n t õ ữỡ < < ợ tr r t t tỷ ự ợ rt n = tỗ t < < < = ỳ t q t t ũ ợ t ữủ t r tú tr ổ tr ự s õ ũ ợ t t t ữ sỹ tỗ t ổ t tữớ tỗ t ữỡ t ự t tỷ t t ữủ tữỡ ố trồ ởt tữỡ tỹ ữủ t r ố ợ t õ ự t tỷ t s tr r t t Lk u + f (u) = tr , (3) u = tr , 2u 2k u tr õ ợ tr R Lk u = +x (k 1) x2 y f (u) = u|u|1 t q t ữủ Lk s t t ổ õ ổ k t tữớ < < t õ ổ t tữớ k 4+k tr số ụ tợ t tỷ Lk k Footer Page 10 of S 126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 96 of 126 a+b t tự p ap + bp t õ T ||f (x, y, z, un (t))||pLp (Q T) C2p (1p + |un (t)|(p1)p )dxdydzdt T T = C2q |un (t)|p dxdydzdt = C |un (t)|p dxdydzdt < + |un (t)|p tr Lp (T ) f (x, y, z, un (t)) tr Lp (T ) dun } tr ổ dt Lp ((0, T ); S01 () + Lp (T ) t tứ ữỡ tr t ú t ự { dun (t) = P, un (t) f (x, y, z, un (t)), dt dun } tr L2 ((0, T ); S () + Lp (T )), dt L2 ((0, T ); S ()) Lp (T ) ú tử Lp ((0, T ); S () + dun } tr Lp ((0, T ); S ()) Lp (T ) { dt tr ổ õ ởt dunk du tử õ t ởt sỷ tr dt dt L2 ((0, T ); S ()) ứ t q tr t õ t u, v tọ u L2 ((0, T ); S01 ()) Lp (T ); du Lp ((0, T ); S () + Lp ()), v Lp (T ), dt ởt nk s s r { unk u tr L2 ((0, T ); S01 ()), unk u tr Lp (T ), f (x, y, z, unk ) v tr Lp (T ), dunk du tr L2 ((0, T ); S ()), dt dt nk ữ t t ữủ t q Footer Page 96 of S 126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 97 of 126 un u tr L2 ((0, T ), S01 ()); un u tr Lp (T ); f (un ) dun dt v tr Lp (T ); du tr L2 ((0, T ), S01 ()) dt u L2 ((0, T ); S01 ()) Lp (T ) dun L2 ((0, T ); S () + Lp (T )) dt ú t ự ữủ u C([0, T ]; L2 ()) P ỏ t s ự v = f (x, y, z, u) u(0) = u0 dun ứ {un (t)} tr L2 ((0, T ); S01 ()) { } dt tr Lp ((0, T ); S ()) +Lp (T ) ú t t ữủ t q un u L2 ((0, T ); L2 ()) ú t õ t unk s unk u ỡ tr T ứ t tử f t õ f (x, y, z, unk ) f (x, y, z, u) ợ (x, y, z, t) T t {f (unk )} tr Lp (T ) f (x, y, z, unk ) f (u) tr Lp (T ) nk ứ t t ợ t v = f (x, y, z, u) ú t ự u0 = u(0) tỷ C ([0, T ]; S01 () Lp ()) ợ (T ) = ú t õ Lp (T ) L2 ((0, T ); S01 ()) t tứ t t T T (u, )dt + |x|2 |y|2 x u zu z x + y u y + f (x, y, z, u) dxdydzdt = (u(0), (0)) Footer Page 97 of S 126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 98 of 126 ỷ ữỡ ú t õ T T (un , )dt + x un |x|2 |y|2 z un z x + y un y + f (x, y, z, un ) dxdydzdt = (un (0), (0)) q ợ n + t ữủ T T (u, )dt + { +|x| |y| zu z x u x + y u y + f (x, y, z, u)}dxdydzdt = (u(0), (0)) n +, t un (0) u0 s r u(0) = u0 T ổ tở u0 u(t) õ t t tr ữ t tr [0, ) ú t ự t t t tở tử ỳ sỷ u, v t ợ tr u0 = u0 (x, y, z), v0 = v0 (x, y, z) t w = u v w tọ w P, w + f (x, y, z, u) f (x, y, z, v) = 0, tr , t > 0, t w(x, y, z, t) = 0, ợ (x, y, z) , t > 0, w(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z) v0 (x, y, z), ợ (x, y, z) ợ 2w s õ t tr t ữủ 0= d||w||2L2 () dt +2||w||2S01 () +2 (uv) f (x, y, z, u)f (x, y, z, v) dxdydz ỷ t õ (u v)2 dxdydz (u v)(f (x, y, z, u) f (x, y, z, v))dxdydz C = C||w||2L2 () Footer Page 98 of S 126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 99 of 126 0= d||w||2L2 () dt +2||w||2S01 () +2 (uv)(f (x, y, z, u)f (x, y, z, v))dxdydz d||w||2L2 () dt + 2||w||2S01 () 2C||w||2L2 () t tự r t ữủ ||w(t)||2L2 () ||w(0)||2L2 () e2Ct r ỵ ữủ ự ỵ r t ởt ỷ õ S(t) tử tr L2 () ỵ sỷ f tọ õ t ởt ỷ õ tử S(t) : L2() L2 () õ ởt t út t tổ t tr L2 () ự ứ s tỗ t ởt số R ữỡ s ợ ộ u0 L2 () t õ số t0 (||u0 ||L2 () ) s ||un (t)||L2 () R ợ n, t t0 ợ u u u uP, u + u.f (x, y, z, u) = t rỗ sỷ 1d ||u(t)||2 + ||u(t)||2S01 () + C dt |u(t)|p dxdydz vol() t t t tứ s tợ s + ú t t ữủ s+1 s+1 ||un (t)||2S01 () + C||un (t)||pLp () dt s (||u(t)||2S01 () + vol())dt s vol() + R2 , Footer Page 99 of S 126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 100 of 126 ợ n s t0 ú ỵ r C(|u|p 1) F (x, y, z, u) C(|u|p + 1), s+1 F (x, y, z, un )dxdydz dt C, n s t0 ||un (t)||2S01 () + s õ tứ un (t) S01 () Lp () ú t õ d ||un (t)||2S01 () + dt F (x, y, z, un )dxdydz = dun dt L2 () ứ ú t s r ||un (t)||2S () + r F (x, y, z, un )dxdydz C, ợ n s t0 + ||un (t)||2S () + ||un (t)||pLp () C, ợ n s t0 + n + t ||u(t)||2S01 () + ||u(t)||Lp () C, t t0 + ứ ữợ ữủ tr t õ BC (0) t út tr S01 () Lp () ố ợ ỷ õ S(t) ỹ tỗ t t út t tổ t A t q tứ ú t S01 () L2 () L2 () tổ (A = w(BC (0))) ỵ ữủ ự t sỹ tỗ t t út t t s u t + P, u + u = 0, ợ (x, y, z) , t > 0, u(x, y, z, t) = 0, ợ (x, y, z) , t > 0, u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z), ợ (x, y, z) , Footer Page 100Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 101 of 126 tr õ ợ tr RN1 +N2 +N3 trỡ (x, y, z) = (x1 , , xN1 , y1 , , yN2 , z1 , , zN3 ) RN1 +N2 +N3 , P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u ú t tr ố ợ f (x, y, z, u) = u3 tr trữớ ủ p = 4, = õ f (x, y, z, u)u = u4 , õ (|u|4 1) u4 |u|4 + f (x, y, z, u) = u3 tọ t (u v)(f (u) f (v)) = (u v)(u3 v ) = (u v)2 (u2 + uv + v ) u2 v 2 (u + v) + + (u v)2 (u v) 2 õ f (x, y, z, u) = u3 tọ tọ ỵ t tỗ t ởt t út t tổ t tr L2 () ố ợ ỷ õ S(t) s t t ữỡ t q ữỡ t ữủ ự ữủ sỹ tỗ t t tỗ t t t tớ t r ổ ũ tổ q sỹ tỗ t t út t ỷ õ tử S(t) s t tr ự ữỡ tr r õ t tỷ P, tr trữớ ủ ố t õ t ọ ỡ t tợ trữớ ủ rt Footer Page 101Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 102 of 126 ố t t trữ t tự trữớ ủ ổ rt ữ r ữủ trữớ ủ rt trữớ ủ ổ rt t q ữỡ sỹ rở t q tữỡ ự trữợ õ ố ợ ữỡ tr r ỷ t t ự t tỷ rs t P ố ữ r r P r ợ ữỡ ự tữỡ tỹ ữủ ũ ủ ợ ợ t tỷ P, ữủ t tr ữỡ ữủ t ỹ tr tr ổ tr t q Footer Page 102Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 103 of 126 t ỳ t q ự tỗ t ổ tỗ t t õ ự ữỡ tr t s ỷ t t tr õ trỡ sỹ tỗ t t t út t t tr ố ợ ữỡ tr r õ t tỷ t s t q ữủ tự t P s rở ố ợ t ỷ t t õ ự P, tứ õ ữ r ổ tỗ t ổ t tữớ tr P, s r ữủ số ụ tợ ỹ ữủ ổ õ trồ tữỡ t ợ t tỷ P, tt ữủ ỵ ú tữỡ ự ự ữủ sỹ tỗ t ổ t tữớ t ỷ t t õ ự P, ự sỹ tỗ t ổ số t õ ự t ữ r ữủ t sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ tỗ t ự ữủ ởt số t q ố ợ t tr ố ợ ữỡ tr r ỷ t t õ P, tỗ t tớ t r ổ ũ õ tr trữớ ủ Footer Page 103Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 104 of 126 rt ổ rt ỳ t tử ự tỗ t t õ tr tr ổ ự t t t út t ữ sỹ tở tử t số t trỡ ổ ự tỹ t Footer Page 104Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 105 of 126 ổ tr t ổ ố q P t st tr sts t r r r sr t rt qt R3 P r rt ts r r r sr t rt r t qt Prs t trt r Prt rt qts s P r tr sts t r rs r sr str rt t rt qts r r q P r t r sts t sr r qts str rt t rt rtrs r r q Footer Page 105Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 106 of 126 t ữỡ r r Pữỡ tr r ứ ủ Pữỡ tr r t ũ sữ Pữỡ tr r tỹ t qố r ự ỵ tt ữỡ tr r qố rt P rtrt trt ts L stts r sts sr r rt t rt tr qts rt rt t r r P ts t tr st tr trt tr r rt Pss rst t t r t rstt t P rt ts rt t tr ts t Footer Page 106Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 107 of 126 P P ttrtr r sr r qt t rs rtr tr r rt qts st tt ttrtrs r rt sr r qt tr r rt qts ts rs Ptr ts d, qts tqs st rtq q t s Prs t r Pt sts r sr qt t sr r t t s sst sts rs t s t s p qt ss rs t ss Pr t r tt tr t sr qts t sr r rr s st Prt r q rs rr Pst sts r t qts rt ts Pr t Prtr stt r sts t qts t rt ts r ts Pr r t t r tr t r qt r r st q ts Prt r q Footer Page 107Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 108 of 126 r st tr r r r r s sss Pr t r sr rt rtrs Ps tr ts st sts r r rt t sst tr r q st rsts r s r rtr r t rs t rtr tr r q s trt t t tr t s sst ssts r r t Ps s tt r rt r rt t r t r Ps r trs r ss rt t st tr s r qt Prt r q r trr rrts ss r t r stt st r sts r sr qts t sr r t rs rt ss t s rt rtrs tt r rt s t s trs t sr Footer Page 108Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 109 of 126 stt r sst ssts tt rs rs r t Pr r tr tr sr r q ts tr ts t rs r s r s s s t rs ts rr r st rs t rt rt rt rs sr t P rt ts r sr q ts t r rt t Pr t rr t rt rt qts r Ps P u + f (u) = ts r t qt ss ttrtrs rt rt qts ssts rt str ts P t t rt rtrs tt rs t t s t s sỵts r rst Prss Footer Page 109Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 110 of 126 trs rs stt r sts r qsr t ssts Rn rt qts tr r r ts qts r t ss t r rs tts t r st tts P P r st st rsts r r r P r sr t rt rtrs ss t Ps r rt t r rt t rtrs t t t r t rs qt t ts r t rsts t tr sr t rt rt qts t t r r rt t rt qts rs t rt Ps st tr r sr rt r rt t ss t sr r r r q Footer Page 110Sofhúa 126 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tr X ởt ỷ õ S(t) tử ữủ rt tử tỗ t C (X, R) s (S(t)u) (u) ợ t 0, ợ u X (S(t)u) = (u) ợ t 0, t u tự S(t)u = u ợ t ỷ õ S(t) sỷ S(t) ỷ õ tử tr ổ tr X A X... s S(t)u0 tử ố ợ (t, u0 ) [0, +) ì X Footer Page 18 of S 126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 19 of 126 õ {S(t)}t0 ữủ ỷ õ t tử tr X ... j=1 dx = dx1 dx2 dxN1 , dy = dy1 dy2 dyN2 , dz = dz1 dz2 dzN3 C(X, Y ) ổ tử tứ X Y C (X, Y ) ổ rt tử tứ X Y Footer Page ofS126 húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn