Bài toán biên cho một vài lớp phương trình có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh

ệ P P Pì P S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ P P Pì P t số ữớ ữợ P S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ổ ổ tr ự tổ t q t ợ t ữủ sỹ t tr ỗ t ữ t q ợ ữ tứ ữủ ổ ố tr t ý ổ tr P t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ỡ ữủ tỹ t t tở trữớ ữ ữợ sỹ ữợ t t P r tr t tự t ự ợ t ỏ tr s s t tọ ỏ t ỡ t s s t ố ợ t t ỡ t ổ ũ ự s tr sr ổ t trữớ ữ Pỏ Pữỡ tr ổ ú ù t tr ự tr số ỡ ố trữớ ữ Pỏ ự Pỏ ũ t t tr t tờ t t t ủ ú ù t tr q tr t ự t ố ũ t tọ ỏ t ỡ tợ ỳ ữớ t ú ù t t P t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ ệ r ỡ ử ởt số ỵ tr ữỡ ổ t tữớ t ố ợ ữỡ tr t s ỷ t t ỹ ổ tỗ t ổ t tữớ ỵ ú ỹ tỗ t ữỡ tớ t r ổ ũ ữỡ tr r ỷ t t õ ự t tỷ t s rt ổ rt t ổ tr õ q t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ởt số ỵ tr RN ổ tỡ tỹ N C k () ổ tử k tr Lp () ổ ụ tứ p t s tr x y z x y z , , t x x1 xN1 tỡ t tỷ y = , , t y y1 yN2 , , t z tỡ t tỷ z = z1 zN3 N1 tỷ t x : x = i=1 xi N2 tỷ t y : y = j=1 yj N3 tỷ t z : z = l=1 zl tỡ t tỷ x = (., ) ổ ữợ tr ổ L2 () P, P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u ợ , + > 0, |x|2 = N1 x2i , |y|2 = i=1 N2 yj2 , j=1 dx = dx1 dx2 dxN1 , dy = dy1 dy2 dyN2 , dz = dz1 dz2 dzN3 C(X, Y ) ổ tử tứ X Y C (X, Y ) ổ rt tử tứ X Y S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ỵ t t ổ ự ữủ q t ỳ ự rở r õ tr t ỵ õ s t ự tỗ t ổ tỗ t t õ ự t tỷ t s õ ự t t q t ữủ tr q trồ tr t tr ỵ tt t ợ ỵ tr ú tổ t ự t ởt ợ ữỡ tr õ ự t tỷ t s t q trồ tự t q trồ tự t r ữủ số ụ tợ ỵ ú ổ õ trồ t ợ t tỷ t s ứ t q õ ú tổ ự ữủ sỹ tỗ t t õ ự ữỡ tr t s ỷ t t q trồ tự ữ r ữủ ỗ t tự P tứ õ ú tổ ự ữủ sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ t ố ợ ữỡ tr t s ỷ t t q trồ tự ú tổ ự ữủ sỹ tỗ t sỹ tỗ t t sỹ tỗ t t út t t õ ự ữỡ tr r ỷ t t õ t tỷ t s S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tr trữớ ủ số t õ t ọ ỡ t tợ số t õ t tý ỵ ố tữủ ự ố tữủ ự t t t tr õ ự t tỷ t s P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u, ợ , 0, + > Pữỡ ự ú tổ t t tờ ủ tự q tợ t ự sỷ ữỡ t ữỡ ữỡ ự tr ỵ tt t s t ợ sỹ ũ ủ ợ t tỷ P, r ỏ sỷ ữỡ t ự sỹ tỗ t t tỗ t t út t ỷ õ S(t) s ữỡ tr r ợ t ủ tr trữớ ủ rt ữỡ r tr trữớ ủ ổ rt q t ứ sỡ ỵ tt ữỡ tr r ữớ t q t tợ t t t ữỡ tr ữỡ tr r tr õ trỡ t t ữủ t q t t trỡ ữủ ổ t tr ợ t tỷ t t t tỷ rs Gk u = x u + |x|2k y u ợ (x, y) RN1 +N2 , N1 , N2 1, k Z+ , tr t ữớ rs t ữủ t q k = t G0 t tr k > t Gk ổ t tr RN1 +N2 õ rộ ợ t x = S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn t rs ự ữủ Gk u ổ tr t ụ ổ tr t t ữỡ Gk ữủ t ự tr ữ ú t t ởt tr ỳ t tỷ t ữủ ự õ t tỷ u = 2u 2u 2u + + + x21 x22 x2n ự sỹ tỗ t ổ tỗ t t ỷ t t ự t tỷ ữủ t t tr ự t tứ ỷ t tự ữỡ r ổ tr P t t u + f (u) = tr , (1) u = tr , ợ ợ tr Rn (n 2), f (u) = u + |u|p1 u t q t ữủ tr ổ tr n = < p < , t t ổ õ ổ t tữớ n = p ổ õ ữỡ n+2 s t t n2 n+2 , t t õ ữỡ n2 n+2 n tr p0 = tr rt t tr n2 2n q p0 + = tr tợ t õ ỵ ú n2 p0 ữủ số ụ tợ t t tỷ n = < p < S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn t rs rr ổ ố t q tỗ t ữỡ t n+2 u = u + u n2 tr , (2) u = tr , ợ õ trỡ tr Rn , n t q r n t õ ữỡ < < ợ tr r t t tỷ ự ợ rt n = tỗ t < < < = ỳ t q t t ũ ợ t ữủ t r tú tr ổ tr ự s õ ũ ợ t t t ữ sỹ tỗ t ổ t tữớ tỗ t ữỡ t ự t tỷ t t ữủ tữỡ ố trồ ởt tữỡ tỹ ữủ t r ố ợ t õ ự t tỷ t s tr r t t Lk u + f (u) = tr , (3) u = tr , 2u 2k u tr õ ợ tr R Lk u = +x (k 1) x2 y f (u) = u|u|1 t q t ữủ Lk s t t ổ õ ổ k t tữớ < < t õ ổ t tữớ k 4+k tr số ụ tợ t tỷ Lk k S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn a+b t tự p ap + bp t õ T ||f (x, y, z, un (t))||pLp (Q T) C2p (1p + |un (t)|(p1)p )dxdydzdt T T = C2q |un (t)|p dxdydzdt = C |un (t)|p dxdydzdt < + |un (t)|p tr Lp (T ) f (x, y, z, un (t)) tr Lp (T ) dun } tr ổ dt Lp ((0, T ); S01 () + Lp (T ) t tứ ữỡ tr t ú t ự { dun (t) = P, un (t) f (x, y, z, un (t)), dt dun } tr L2 ((0, T ); S () + Lp (T )), dt L2 ((0, T ); S ()) Lp (T ) ú tử Lp ((0, T ); S () + dun } tr Lp ((0, T ); S ()) Lp (T ) { dt tr ổ õ ởt dunk du tử õ t ởt sỷ tr dt dt L2 ((0, T ); S ()) ứ t q tr t õ t u, v tọ u L2 ((0, T ); S01 ()) Lp (T ); du Lp ((0, T ); S () + Lp ()), v Lp (T ), dt ởt nk s s r { unk u tr L2 ((0, T ); S01 ()), unk u tr Lp (T ), f (x, y, z, unk ) v tr Lp (T ), dunk du tr L2 ((0, T ); S ()), dt dt nk ữ t t ữủ t q S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn un u tr L2 ((0, T ), S01 ()); un u tr Lp (T ); f (un ) dun dt v tr Lp (T ); du tr L2 ((0, T ), S01 ()) dt u L2 ((0, T ); S01 ()) Lp (T ) dun L2 ((0, T ); S () + Lp (T )) dt ú t ự ữủ u C([0, T ]; L2 ()) P ỏ t s ự v = f (x, y, z, u) u(0) = u0 dun ứ {un (t)} tr L2 ((0, T ); S01 ()) { } dt tr Lp ((0, T ); S ()) +Lp (T ) ú t t ữủ t q un u L2 ((0, T ); L2 ()) ú t õ t unk s unk u ỡ tr T ứ t tử f t õ f (x, y, z, unk ) f (x, y, z, u) ợ (x, y, z, t) T t {f (unk )} tr Lp (T ) f (x, y, z, unk ) f (u) tr Lp (T ) nk ứ t t ợ t v = f (x, y, z, u) ú t ự u0 = u(0) tỷ C ([0, T ]; S01 () Lp ()) ợ (T ) = ú t õ Lp (T ) L2 ((0, T ); S01 ()) t tứ t t T T (u, )dt + |x|2 |y|2 x u zu z x + y u y + f (x, y, z, u) dxdydzdt = (u(0), (0)) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ỷ ữỡ ú t õ T T (un , )dt + x un |x|2 |y|2 z un z x + y un y + f (x, y, z, un ) dxdydzdt = (un (0), (0)) q ợ n + t ữủ T T (u, )dt + { +|x| |y| zu z x u x + y u y + f (x, y, z, u)}dxdydzdt = (u(0), (0)) n +, t un (0) u0 s r u(0) = u0 T ổ tở u0 u(t) õ t t tr ữ t tr [0, ) ú t ự t t t tở tử ỳ sỷ u, v t ợ tr u0 = u0 (x, y, z), v0 = v0 (x, y, z) t w = u v w tọ w P, w + f (x, y, z, u) f (x, y, z, v) = 0, tr , t > 0, t w(x, y, z, t) = 0, ợ (x, y, z) , t > 0, w(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z) v0 (x, y, z), ợ (x, y, z) ợ 2w s õ t tr t ữủ 0= d||w||2L2 () dt +2||w||2S01 () +2 (uv) f (x, y, z, u)f (x, y, z, v) dxdydz ỷ t õ (u v)2 dxdydz (u v)(f (x, y, z, u) f (x, y, z, v))dxdydz C = C||w||2L2 () S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 0= d||w||2L2 () dt +2||w||2S01 () +2 (uv)(f (x, y, z, u)f (x, y, z, v))dxdydz d||w||2L2 () dt + 2||w||2S01 () 2C||w||2L2 () t tự r t ữủ ||w(t)||2L2 () ||w(0)||2L2 () e2Ct r ỵ ữủ ự ỵ r t ởt ỷ õ S(t) tử tr L2 () ỵ sỷ f tọ õ t ởt ỷ õ tử S(t) : L2() L2 () õ ởt t út t tổ t tr L2 () ự ứ s tỗ t ởt số R ữỡ s ợ ộ u0 L2 () t õ số t0 (||u0 ||L2 () ) s ||un (t)||L2 () R ợ n, t t0 ợ u u u uP, u + u.f (x, y, z, u) = t rỗ sỷ 1d ||u(t)||2 + ||u(t)||2S01 () + C dt |u(t)|p dxdydz vol() t t t tứ s tợ s + ú t t ữủ s+1 s+1 ||un (t)||2S01 () + C||un (t)||pLp () dt s (||u(t)||2S01 () + vol())dt s vol() + R2 , S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ợ n s t0 ú ỵ r C(|u|p 1) F (x, y, z, u) C(|u|p + 1), s+1 F (x, y, z, un )dxdydz dt C, n s t0 ||un (t)||2S01 () + s õ tứ un (t) S01 () Lp () ú t õ d ||un (t)||2S01 () + dt F (x, y, z, un )dxdydz = dun dt L2 () ứ ú t s r ||un (t)||2S () + r F (x, y, z, un )dxdydz C, ợ n s t0 + ||un (t)||2S () + ||un (t)||pLp () C, ợ n s t0 + n + t ||u(t)||2S01 () + ||u(t)||Lp () C, t t0 + ứ ữợ ữủ tr t õ BC (0) t út tr S01 () Lp () ố ợ ỷ õ S(t) ỹ tỗ t t út t tổ t A t q tứ ú t S01 () L2 () L2 () tổ (A = w(BC (0))) ỵ ữủ ự t sỹ tỗ t t út t t s u t + P, u + u = 0, ợ (x, y, z) , t > 0, u(x, y, z, t) = 0, ợ (x, y, z) , t > 0, u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z), ợ (x, y, z) , S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tr õ ợ tr RN1 +N2 +N3 trỡ (x, y, z) = (x1 , , xN1 , y1 , , yN2 , z1 , , zN3 ) RN1 +N2 +N3 , P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u ú t tr ố ợ f (x, y, z, u) = u3 tr trữớ ủ p = 4, = õ f (x, y, z, u)u = u4 , õ (|u|4 1) u4 |u|4 + f (x, y, z, u) = u3 tọ t (u v)(f (u) f (v)) = (u v)(u3 v ) = (u v)2 (u2 + uv + v ) u2 v 2 (u + v) + + (u v)2 (u v) 2 õ f (x, y, z, u) = u3 tọ tọ ỵ t tỗ t ởt t út t tổ t tr L2 () ố ợ ỷ õ S(t) s t t ữỡ t q ữỡ t ữủ ự ữủ sỹ tỗ t t tỗ t t t tớ t r ổ ũ tổ q sỹ tỗ t t út t ỷ õ tử S(t) s t tr ự ữỡ tr r õ t tỷ P, tr trữớ ủ ố t õ t ọ ỡ t tợ trữớ ủ rt S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ố t t trữ t tự trữớ ủ ổ rt ữ r ữủ trữớ ủ rt trữớ ủ ổ rt t q ữỡ sỹ rở t q tữỡ ự trữợ õ ố ợ ữỡ tr r ỷ t t ự t tỷ rs t P ố ữ r r P r ợ ữỡ ự tữỡ tỹ ữủ ũ ủ ợ ợ t tỷ P, ữủ t tr ữỡ ữủ t ỹ tr tr ổ tr t q S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn t ỳ t q ự tỗ t ổ tỗ t t õ ự ữỡ tr t s ỷ t t tr õ trỡ sỹ tỗ t t t út t t tr ố ợ ữỡ tr r õ t tỷ t s t q ữủ tự t P s rở ố ợ t ỷ t t õ ự P, tứ õ ữ r ổ tỗ t ổ t tữớ tr P, s r ữủ số ụ tợ ỹ ữủ ổ õ trồ tữỡ t ợ t tỷ P, tt ữủ ỵ ú tữỡ ự ự ữủ sỹ tỗ t ổ t tữớ t ỷ t t õ ự P, ự sỹ tỗ t ổ số t õ ự t ữ r ữủ t sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ tỗ t ự ữủ ởt số t q ố ợ t tr ố ợ ữỡ tr r ỷ t t õ P, tỗ t tớ t r ổ ũ õ tr trữớ ủ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn rt ổ rt ỳ t tử ự tỗ t t õ tr tr ổ ự t t t út t ữ sỹ tở tử t số t trỡ ổ ự tỹ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ổ tr t ổ ố q P t st tr sts t r r r sr t rt qt R3 P r rt ts r r r sr t rt r t qt Prs t trt r Prt rt qts s P r tr sts t r rs r sr str rt t rt qts r r q P r t r sts t sr r qts str rt t rt rtrs r r q S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn t ữỡ r r Pữỡ tr r ứ ủ Pữỡ tr r t ũ sữ Pữỡ tr r tỹ t qố r ự ỵ tt ữỡ tr r qố rt P rtrt trt ts L stts r sts sr r rt t rt tr qts rt rt t r r P ts t tr st tr trt tr r rt Pss rst t t r t rstt t P rt ts rt t tr ts t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn P P ttrtr r sr r qt t rs rtr tr r rt qts st tt ttrtrs r rt sr r qt tr r rt qts ts rs Ptr ts d, qts tqs st rtq q t s Prs t r Pt sts r sr qt t sr r t t s sst sts rs t s t s p qt ss rs t ss Pr t r tt tr t sr qts t sr r rr s st Prt r q rs rr Pst sts r t qts rt ts Pr t Prtr stt r sts t qts t rt ts r ts Pr r t t r tr t r qt r r st q ts Prt r q S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn r st tr r r r r s sss Pr t r sr rt rtrs Ps tr ts st sts r r rt t sst tr r q st rsts r s r rtr r t rs t rtr tr r q s trt t t tr t s sst ssts r r t Ps s tt r rt r rt t r t r Ps r trs r ss rt t st tr s r qt Prt r q r trr rrts ss r t r stt st r sts r sr qts t sr r t rs rt ss t s rt rtrs tt r rt s t s trs t sr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn stt r sst ssts tt rs rs r t Pr r tr tr sr r q ts tr ts t rs r s r s s s t rs ts rr r st rs t rt rt rt rs sr t P rt ts r sr q ts t r rt t Pr t rr t rt rt qts r Ps P u + f (u) = ts r t qt ss ttrtrs rt rt qts ssts rt str ts P t t rt rtrs tt rs t t s t s sỵts r rst Prss S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn trs rs stt r sts r qsr t ssts Rn rt qts tr r r ts qts r t ss t r rs tts t r st tts P P r st st rsts r r r P r sr t rt rtrs ss t Ps r rt t r rt t rtrs t t t r t rs qt t ts r t rsts t tr sr t rt rt qts t t r r rt t rt qts rs t rt Ps st tr r sr rt r rt t ss t sr r r r q S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... = S(t)S(s) = S(s)S(t) ợ ồ t, s 0 S(t)u0 tử ố ợ (t, u0 ) [0, +) ì X S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn õ {S(t)}t0 ữủ ồ ỷ õ t tử tr X ởt ỷ õ S(t) tử ữủ ồ rt tử tỗ t C 0 (X, R) s (S(t)u) (u) ợ ồ t 0, ợ ồ u X (S(t)u) = (u) ợ ồ t 0, t u tự S(t)u = u ợ ồ t 0 ồ ỷ õ S(t) sỷ S(t) ỷ õ tử tr ổ tr ừ X A X ữủ ồ t út t ử ố ợ ỷ... (A) = + () = 0 sỷ X ổ C([0, T ]; X) ổ ỗ tt tử u : [0, T ] X ợ u C([0,T ];X) = max ||u(t)||X 0tT X ổ tr ữỡ ừ x X t + (x) = {S(t)x : t 0} B X t q ữỡ ừ t B t + (B) = t0 S(t)B = zB + (z) sỷ ổ ổ Lp((a, b); X) ổ ỗ tt u : (a, b) X tọ b ||u||pLp ((a,b);X) = ||u||pX dt < + a ờ sỷ (t) ởt ổ tử tr (0, T ) s t (t) c0 t0 + c1 (t s)1 (s)ds, t (0,... \{0} ||u||2 ừ Au1 = 1 u1 ồ (1) HA = {u HA : [u, u1 ]A = (Au, u1 )H = 0}, õ |a|2A = 2 1 2 (1) aHA \{0} ||u|| inf |a|2A inf t ữủ t u2 , t u2 r tữỡ ự ợ 2 2 (1) aHA \{0} ||u|| ừ Au2 = 2 u2 ự t tử ữ tr t t ữủ ởt tr r S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 < 1 2 3 n u1 , u2 , , un , r tữỡ ự ú tứ HA H t t |a|2A 2 (i) aHA \{0} ||u|| inf (i) t... ỵ P ố ừ ữỡ ởt số ử t tỗ t ổ tỗ t ổ t tữớ t q ừ ữỡ ữủ t ỹ tr r ữỡ ú tổ ự tớ t r ổ ũ ừ ữỡ tr r ỷ t t õ ự t tỷ t s ừ t tr rt ổ rt r ử ợ rt ú tổ ự ữủ Lp () ú tử 2, (2 p) D ợ > ờ ỹ ừ f 2p(2, 2) tr ữủ f : u(x, y, z) f (x, y, z, u(x, y, z)) s 1 t tứ D 2 D0 ợ 0 = ờ ữỡ 2(2, 2) t ở ú tổ ự sỹ tỗ t t 1 u C([0, T ], D 2 ) sỹ tỗ t... ữủ ỷ õ 1 S(t) õ t út t ử tổ t tr D 2 t ự ữủ ỷ õ S(t) s t õ t út ỹ t tr S01 () ỵ ữ r ử ồ t tr trữớ ủ rt r ử t t trữớ ủ ọ tt ở t t ừ f, ự ữủ t tỗ t t ỵ ự ữủ t ởt ỷ õ tử S(t) õ t út t ử tổ t tr L2 () ỵ ố ũ ử ồ t tr trữớ ủ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ổ rt t q ừ ữỡ ữủ t ỹ tr ữỡ tr ở ỏ ừ t ử ổ tr ... t ởt số S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn K = K(1 , c1 , T ) s (t) c0 0 t K(1 , c1 , T ), ợ t (0, T ) 1 0 ờ sỷ X0, X, X1 ổ s X0 X X1 , ú ừ X X1 tử ú ừ X0 X t X0 , X1 sỷ 1 < 0 , 1 < , t du E = {u L0 (0, T ; X0 ), L1 (0, T ; X1 )}, dt ợ du ||u||E = ||u||L0 (0,T ;X0 ) + dt L1 (0,T ;X1 ) õ E L0 (0, T ; X) t S húa bi Trung tõm Hc liu