bài toán biên cho một vài lớp phương trình có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi... Nguy¹n Minh Tr½... T½ch væ h÷îng trong khæng gian L2Ω... Ngo i ra cán sû döng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng ºchùng minh cho sü tçn t¤i ngh

Th¡i nguy¶n - 2012

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi C¡c k¸t qu£ vi¸tchung vîi t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a

v o luªn ¡n C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bètrong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc cõa ai kh¡c

T¡c gi£Ph¤m thà Thõy

i

Luªn ¡n ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh t¤i khoa To¡n thuëc tr÷íng ¤ihåc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v nghi¶m kh­c cõa PGS TSKH Nguy¹n Minh Tr½ Th¦y ¢ truy·n chot¡c gi£ ki¸n thùc, kinh nghi»m håc tªp v  nghi¶n cùu khoa håc Vîi t§mláng tri ¥n s¥u s­c, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­cnh§t èi vîi th¦y.

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o còng c¡c anh chà emnghi¶n cùu sinh, cao håc trong seminar Bë mæn Gi£i t½ch khoa To¡n -tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  Pháng Ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n - Vi»n To¡n håc ¢ luæn gióp ï, ëng vi¶n t¡c gi£ trong nghi¶ncùu khoa håc v  trong cuëc sèng

T¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m èc ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Sau ¤ihåc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m-

¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c Pháng Ban chùc n«ng, Pháng Sau ¤i håc,Ban chõ nhi»m khoa To¡n còng to n thº gi¡o vi¶n trong khoa, °c bi»t

l  tê Gi£i t½ch ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn ¡n

Cuèi còng, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng ng÷íi th¥n v b¤n b± ¢ gióp ï, ëng vi¶n, kh½ch l» º t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n

T¡c gi£Ph¤m thà Thõy

ii

MÖC LÖC

Trang

Líi cam oan i

Líi c£m ìn ii

Möc löc iii

Mët sè kþ hi»u trong luªn ¡n iv

MÐ †U 1 Ch÷ìng 1 Nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n bi¶n câ chùa ph÷ìng tr¼nh Elliptic suy bi¸n m¤nh nûa tuy¸n t½nh 16 1.1 Sü khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng 17

1.2 C¡c ành lþ nhóng 31

1.3 Sü tçn t¤i nghi»m y¸u 45

1.4 V½ dö minh håa 68

Ch÷ìng 2 D¡ng i»u nghi»m khi thíi gian ti¸n ra væ còng cõa ph÷ìng tr¼nh Parabolic nûa tuy¸n t½nh câ chùa to¡n tû Elliptic suy bi¸n m¤nh 74 2.1 H» Gradient 75

2.2 H» khæng Gradient 86

K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ 97

DANH MÖC CC CÆNG TRœNH KHOA HÅC C LI–N QUAN ˜N LUŠN N 99 T€I LI›U THAM KHƒO 100

1

RN khæng gian vectì thüc N chi·u.

Ck(Ω) khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc ¸n c§p k tr¶n mi·n Ω

Lp(Ω) khæng gian c¡c h m lôy thøa bªc p kh£ t½ch Lebesgue tr¶n

.(., ) T½ch væ h÷îng trong khæng gian L2(Ω)

C1(X, Y ) l  khæng gian c¡c ¡nh x¤ kh£ vi Fr²chet li¶n töc tø X v o Y

iv

· t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n cõa m¼nh l  "B i to¡n cho mët v i lîpph÷ìng tr¼nh câ chùa to¡n tû Elliptic suy bi¸n m¤nh".

2 Möc ½ch cõa · t i luªn ¡n

Chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m, sü tçn t¤i nghi»m

to n cöc, sü tçn t¤i tªp hót to n cöc cõa b i to¡n bi¶n ban ¦u câ chùaph÷ìng tr¼nh Parabolic nûa tuy¸n t½nh câ to¡n tû Elliptic suy bi¸n m¤nh

1

h¤n v  sè h¤ng phi tuy¸n câ ë t«ng tuý þ.

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn ¡n l  x²t b i to¡n bi¶n v  b i to¡nbi¶n ban ¦u câ chùa to¡n tû Elliptic suy bi¸n m¤nh

Pα,βu = ∆xu + ∆yu + |x|2α|y|2β∆zu, vîi α, β ≥ 0, α + β > 0

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Chóng tæi thu thªp, têng hñp, vªn döng c¡c ki¸n thùc li¶n quan tîi

· t i nghi¶n cùu Luªn ¡n sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t½ch ph¥n,ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n, c¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh trong lþ thuy¸tcõa c¡c b i to¡n bi¶n suy bi¸n phi tuy¸n vîi sü i·u ch¿nh phò hñp cholîp to¡n tû Pα,β Ngo i ra cán sû döng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng ºchùng minh cho sü tçn t¤i nghi»m to n cöc v  tçn t¤i tªp hót to n cöccõa nûa nhâm S(t) sinh bði ph÷ìng tr¼nh Parabolic vîi c¡c i·u ki»nth½ch hñp trong tr÷íng hñp h» Gradient v  ph÷ìng ph¡p Galerkin trongtr÷íng hñp h» khæng Gradient

5 Têng quan v· · t i luªn ¡n

Tø buêi sì khai cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ng÷íi ta ¢quan t¥m tîi t½nh ch§t ành t½nh cõa nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh hay h»ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, trong â ë trìn v  t½nh gi£i t½ch ÷ñcnhi·u nh  to¡n håc quan t¥m °c bi»t ë trìn cõa nghi»m ÷ñc mæ t£trong c¡c lîp to¡n tû Elliptic °c bi»t l  to¡n tû Grushin

Gku = ∆xu + |x|2k∆yu vîi (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1+N2

, N1, N2 ≥ 1, k ∈ Z+,

trong [27]nh  to¡n håc ng÷íi Nga Grushin ¢ ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ ¡ngkº

• N¸u k = 0 th¼ G0 l  Elliptic trong mi·n Ω

• N¸u k > 0 th¼ Gk khæng l  Elliptic trong mi·n Ω ⊂ RN 1 +N 2 câ giaokh¡c réng vîi m°t x = 0

Nh  to¡n håc Grushin ¢ chùng minh ÷ñc n¸u Gku l  h m kh£ vi væh¤n trong mi·n Ω th¼ u công kh£ vi væ h¤n trong mi·n Ω v  c¡c t½nhch§t àa ph÷ìng cõa Gk ÷ñc t¡c gi£ nghi¶n cùu kh¡ ¦y õ trong [27].Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, mët trong nhúng to¡n tû Elliptic ÷ñc nghi¶n cùunhi·u â l  to¡n tû Laplace

∆u = ∂

2u

∂x2 1

+ ∂

2u

∂x2 2

+ + ∂

2u

∂x2 n

Nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i nghi»m, hay khæng tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡nbi¶n nûa tuy¸n t½nh chùa to¡n tû Laplace ¢ ÷ñc nhi·u nh  to¡n håctªp trung nghi¶n cùu b­t ¦u tø nûa th¸ k thù hai m÷ìi

Trong cæng tr¼nh [35] (1965), S Pohozaev ¢ x²t b i to¡n bi¶n

vîi Ω l  mi·n giîi nëi trong Rn(n ≥ 2),

f (u) = λu + |u|p−1u

K¸t qu£ ¤t ÷ñc trong cæng tr¼nh n y l 

• N¸u n = 2, 1 < p < ∞, th¼ b i to¡n (1) luæn câ nghi»m khæng t¦mth÷íng

cæng bè k¸t qu£ tçn t¤i nghi»m d÷ìng cõa b i to¡n

÷ñc °t ra ¢ thóc ©y h ng tr«m cæng tr¼nh nghi¶n cùu sau â (xem[6, 7, 11, 17, 38] còng vîi c¡c t i li»u tham kh£o k±m theo)

Nh÷ vªy sü tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng, tçn t¤i nghi»m d÷ìngcõa c¡c b i to¡n bi¶n chùa to¡n tû Elliptic ¤t ÷ñc t÷ìng èi trån vµn.Mët c¡ch t÷ìng tü, c¡c v§n · l¤i ÷ñc °t ra èi vîi b i to¡n câ chùato¡n tû Elliptic suy bi¸n

V o n«m 1998 trong [41, 42], N M Tr½ ¢ x²t b i to¡n bi¶n

Ti¸p theo, N M Ch÷ìng, T  K¸, N V Thanh, N M Tr½ trong [19],

N M Ch÷ìng, T  K¸ trong [20, 21] ¢ ÷a ra i·u ki»n khæng tçn t¤inghi»m khæng t¦m th÷íng cõa c¡c b i to¡n t÷ìng tü b i to¡n (3) nh÷sau

Vîi b i to¡n 





−Pku + f (u) = 0 trong Ω,

u = 0 tr¶n ∂Ω,trong â Ω l  mi·n giîi nëi trong R2, (k ≥ 1), f(u) = u|u|γ−1,

Gku = ∆xu + |x|2k∆yu, vîi k ≥ 1,

Ω l  mi·n giîi nëi trong RN 1 +N 2, x ∈ RN 1, y ∈ RN 2, bi¶n ∂Ω trìn,

f (u) = u|u|γ−1 i·u ki»n khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íngcõa b i to¡n trong tr÷íng hñp n y l  γ > 4

T D Ke , T T Phong trong [9], ¢ nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m to ncöc v  sü tçn t¤i tªp hót to n cöc èi vîi ph÷ìng tr¼nh Parabolic câ

ð ¥y C0, C1, C2 ≥ 0, µ < λ1, λ1 l  gi¡ trà ri¶ng ¦u ti¶n cõa to¡n tû −Gk

trong mi·n Ω vîi i·u ki»n irichlet thu¦n nh§t Sü tçn t¤i nghi»m ð ¥y

÷ñc chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng Düa v o ph÷ìngph¡p ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m, c¡c t¡c gi£ ð tr¶n ¢ chùng minh ÷ñc sütçn t¤i tªp hót to n cöc li¶n thæng compact, sü tçn t¤i tªp hót to n cöccüc tiºu trong X1

2.Sau mët n«m, C T Anh v  T  K¸ ¢ x²t b i to¡n (4) vîi i·u ki»ncõa f : R → R thäa m¢n

C1|u|p− C0 ≤ f (u)u ≤ C2|u|p+ C0, vîi p > 2,

f0(u) ≥ −C3, vîi måi u ∈ R,trong â C0, C1, C2, C3 l  c¡c h¬ng sè d÷ìng Khi â trong [10] c¡c t¡cgi£ ¢ chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m to n cöc, tªp hót to n cöccõa b i to¡n

Tø t½nh suy bi¸n cõa to¡n tû Gk l m ph¡t sinh mët sè v§n · trongqu¡ tr¼nh nghi¶n cùu c¡c b i to¡n bi¶n nh÷

• X¡c ành khæng gian nghi»m cõa c¡c b i to¡n bi¶n

• X¡c ành nghi»m: sü tçn t¤i v  khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦mth÷íng.

• X¡c ành nghi»m to n cöc v  d¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m khithíi gian ti¸n ra væ còng

6 C§u tróc v  têng quan luªn ¡n

Luªn ¡n gçm ph¦n mð ¦u v  hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1: Nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n bi¶n câ chùaph÷ìng tr¼nh Eliptic suy bi¸n m¤nh nûa tuy¸n t½nh

Ch÷ìng 2: D¡ng i»u cõa nghi»m khi thíi gian ti¸n ra væ còng cõa

b i to¡n bi¶n ban ¦u chùa ph÷ìng tr¼nh Parabolic nûa tuy¸n t½nh câto¡n tû Eliptic suy bi¸n m¤nh

Sau ¥y l  nëi dung cì b£n cõa ph¦n mð ¦u v  tøng ch÷ìng

Ph¦n mð ¦u, chóng tæi tr¼nh b y v· lþ do chån · t i, möc ½chcõa · t i luªn ¡n, èi t÷ñng nghi¶n cùu, ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu, têngquan v· · t i luªn ¡n, c§u tróc luªn ¡n v  tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc

cì b£n câ li¶n quan

Trong Ch÷ìng 1, x²t b i to¡n bi¶n (1.1)-(1.2) Ð Möc 1.1, sû döngc¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n ¢ chùng minh ÷ñc çng nh§t thùc kiºuPohozaev (Bê · 1.1.2) Düa v o k¸t qu£ â ¢ chùng minh sü khæng tçnt¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n (1.1)-(1.2) (ành lþ 1.1.3).Ti¸p theo ¢ chùng minh ÷ñc sü khæng tçn t¤i nghi»m d÷ìng cõa b ito¡n (1.1)-(1.2) (ành lþ 1.1.4) Vîi h m g(x, y, z, t) = λt + |t|γt,λ ≤ 0,

Nα,β − 2 th¼ chóng tæi chùng minh ÷ñc b i to¡n (1.1)-(1.2) khæng

câ nghi»m khæng t¦m th÷íng u ∈ H2(Ω) (ành lþ 1.1.5) TrongMöc 1.2, chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc c¡c ành lþ nhóng cho c¡c khænggian Sobolev câ trång ð ành lþ 1.2.2, ành lþ 1.2.3,

ành lþ 1.2.4 Düa v o k¸t qu£ cõa Bê · 1.2.5, chóng tæi ¢ chùngminh ÷ñc ành lþ nhóng (ành lþ 1.2.6).Trong Möc 1.3, chóng tæi ¢ch¿ ra sü tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n (1.1)-(1.2) câchùa h m phi tuy¸n Nghi»m tçn t¤i ð ¥y ch½nh l  iºm døng cõaphi¸m h m phi tuy¸n düa v o ành ngh¾a cõa phi¸m h m v  ành

lþ 1.3.2 Cö thº l  vîi c¡c i·u ki»n cõa h m g(x, y, z, t) chóng tæi

(I)6 (ành lþ 1.3.10) v  düa v o c¡c ành lþ gi¡ trà tîi h¤n chóngtæi ¢ ch¿ ra b i to¡n (1.1)-(1.2) câ nghi»m y¸u khæng t¦m th÷íng(ành lþ 1.3.11) °c bi»t hìn, trong ành lþ 1.3.15 chóng tæi ¢ chùngminh ÷ñc b i to¡n (1.1)-(1.2) câ væ sè nghi»m y¸u khæng t¦m th÷íng.Ti¸p theo khi th¶m mët sè h¤ng tuy¸n t½nh v o v¸ tr¡i cõa ph÷ìngtr¼nh (1.1), düa v o k¸t qu£ cõa Bê · 1.3.16 chóng tæi ¢ chùng minh

÷ñc b i to¡n (1.21)-(1.22) câ væ sè nghi»m y¸u khæng t¦m th÷íng(ành lþ 1.3.19) Ph¦n cuèi cõa Ch÷ìng 1 l  mët sè v½ dö minh ho¤cho b i to¡n (1.1)-(1.2) v· i·u ki»n tçn t¤i v  khæng tçn t¤i nghi»mkhæng t¦m th÷íng

K¸t qu£ cõa Ch÷ìng 1 ÷ñc vi¸t düa tr¶n b i b¡o [1, 2, 3]

Ch÷ìng 2: Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cùu v· d¡ng i»unghi»m khi thíi gian ti¸n ra væ còng cõa ph÷ìng tr¼nh Parabolic nûatuy¸n t½nh câ chùa to¡n tû Elliptic suy bi¸n m¤nh cõa b i to¡n bi¶n ban

¦u (2.1)-(2.3) cho h» Gradient v  h» khæng Gradient TrongMöc 2.1 vîi h» Gradient chóng tæi chùng minh ÷ñc Lp(Ω) nhóng li¶ntöc v o D−γ vîi γ > 2

∗ α,β(2 − p)2p(2∗α,β − 2) (Bê · 2.1.1) Düa v o i·u ki»n cõa

h m f, ¢ kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ f : u(x, y, z) 7→ f(x, y, z, u(x, y, z)) l Lipsit tø D1

2 → D−γ0, vîi γ0 = ρ

2.(2∗α,β − 2) (Bê · 2.1.2) B¬ng ph÷ìngph¡p iºm b§t ëng, chóng tæi ¢ chùng minh sü tçn t¤i duy nh§tnghi»m u ∈ C([0, T ], D1

2) (M»nh · 2.1.3), v  sü tçn t¤i nghi»m to ncöc duy nh§t u ∈ C([0, T ], D1

2) (M»nh · 2.1.4) Ph¦n cuèi cõa Möc 2.1,

ành lþ 2.1.5 vîi gi£ thi¸t cõa h m f ¢ chùng minh ÷ñc nûa nhâmS(t) câ tªp hót to n cöc li¶n thæng compact trong D1

2 Ti¸p theo chùngminh ÷ñc nûa nhâm S(t) sinh bði b i to¡n (2.1)-(2.3) câ tªp hót cüctiºu trong S1

0(Ω) (ành lþ 2.1.6) v  ÷a ra v½ dö minh håa cho b i to¡n(2.1)-(2.3) trong tr÷íng hñp h» Gradient Trong Möc 2.2 ta i x²t tr÷ínghñp bä i gi£ thi¸t ë t«ng phi tuy¸n cõa f, ¢ chùng minh ÷ñc b ito¡n (2.1)-(2.3) tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u (ành lþ 2.2.2) Chùngminh ÷ñc b i to¡n (2.1)-(2.3) x¡c ành mët nûa nhâm li¶n töc S(t) câtªp hót to n cöc li¶n thæng compact trong L2(Ω) (ành lþ 2.2.3) Cuèi

còng l  v½ dö minh håa cho b i to¡n (2.1)-(2.3) trong tr÷íng hñp h»khæng Gradient.

K¸t qu£ cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t düa tr¶n b i b¡o [4]

Sau 2 ch÷ìng tr¼nh b y nëi dung, ph¦n cán l¤i cõa luªn ¡n l  k¸tluªn v  · nghà, danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè v  cuèi còng l  t ili»u tham kh£o

Nëi dung cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc b¡o c¡o t¤i:

Seminar cõa Bë mæn Gi£i t½ch, Khoa to¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m

-¤i håc Th¡i Nguy¶n

Seminar cõa Pháng Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Vi»n To¡n håc - Vi»n Khoahåc v  Cæng ngh» Vi»t Nam

Hëi nghà quèc t¸ v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Matxcìva (2009)

Hëi th£o quèc t¸ v· gi£i t½ch ùng döng v  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n,

H  Nëi (2010)

¤i hëi To¡n håc Vi»t - Ph¡p, Hu¸ (2012)

Trong ph¦n Mð ¦u, luªn ¡n d nh mët ph¦n cho vi»c tr¼nh b y mët

sè ki¸n thùc cì b£n câ li¶n quan

* To¡n tû Elliptic suy bi¸n

To¡n tû

Pα,βu = ∆xu + ∆yu + |x|2α|y|2β∆zuvîi x = (x1, x2, , xN1) ∈ RN1, y = (y1, y2, , yN2) ∈ RN2,

z = (z1, z2, , zN3) ∈ RN3, α + β > 0, α ≥ 0, β ≥ 0,

câ biºu tr÷ng v  biºu tr÷ng ch½nh l 

Pα,β(x, y, z, ξ) = −(ξ12 + ξ22 + + ξN21 + ξN21+1 + + ξN21+N2

+(ξN21+N2+1 + + ξN21+N2+N3)|x|2α|y|2β)

X²t t¤i iºm M0(x0, y0), n¸u x0 6= 0, v  y0 6= 0 th¼

Pα,β(x, y, z, ξ) = 0 khi v  ch¿ khi ξi = 0, i = 1, , N1 + N2 + N3 Do vªy

Pα,β l  to¡n tû Elliptic

N¸u x0 = 0 ho°c y0 = 0 th¼ tçn t¤i ξ = (0, , 0, 1) 6= 0 m 

Pα,β(x, y, z, ξ) = 0 V¼ vªy i·u ki»n (5) khæng thäa m¢n khi mi·n Ωchùa iºm M0 Do vªy Pα,β gåi l  to¡n tû Elliptic suy bi¸n °c bi»t,

Pα,β suy bi¸n trong mi·n Ω ⊂ RN1+N2+N3 câ giao kh¡c réng vîi mët tronghai m°t ph¯ng c­t nhau x = 0 v  y = 0, bði vªy ta gåi Pα,β l  to¡n tûElliptic suy bi¸n m¤nh

* Mët sè ki¸n thùc v· gi¡ trà ri¶ng cõa to¡n tû x¡c ànhd÷ìng.

Gi£ sû H l  khæng gian Hillbert, gåi (.,.) l  t½ch væ h÷îng trong khænggian Hillbert H v  chu©n cõa u ∈ H ÷ñc kþ hi»u ||u||

To¡n tû A vîi mi·n x¡c ành D(A)(D(A) = H) ÷ñc gåi l  to¡n tû èixùng n¸u (Au, v) = (u, Av), vîi måi u, v ∈ D(A)

To¡n tû èi xùng A ÷ñc gåi l  x¡c ành d÷ìng n¸u tçn t¤i mët h¬ng

||u||2 = λ1 > 0

N¸u inf

a∈H A \{0}

|a|2 A

||u||2 ¤t ÷ñc t¤i u1, th¼ u1 l  h m ri¶ng t÷ìng ùng vîi λ1

cõa A hay Au1 = λ1u1

Ta gåi

HA(1) = {u ∈ HA : [u, u1]A = (Au, u1)H = 0, }khi â

inf

a∈HA(1)\{0}

|a|2 A

||u||2 = λ2 ≥ λ1

N¸u inf

a∈HA(1)\{0}

|a|2 A

||u||2 ¤t ÷ñc t¤i u2, th¼ u2 l  h m ri¶ng t÷ìng ùng vîi λ2

cõa A hay Au2 = λ2u2

Cù ti¸p töc lªp luªn nh÷ tr¶n th¼ ta ÷ñc mët d¢y c¡c gi¡ trà ri¶ng

¤t ÷ñc tr¶n c¡c H(i)

A , i = 1, 2 , vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng t÷ìng ùng l 

λ1, λ2, , i·u ¡ng chó þ ð ¥y l  vîi méi gi¡ trà ri¶ng λi, i = 1, 2 ,

câ thº câ nhi·u h m ri¶ng t÷ìng ùng vîi λi, nh÷ng sè chi·u cõa khænggian h m t÷ìng ùng vîi λi, i = 1, 2 , l  húu h¤n, lim

m→∞λm = +∞

ành ngh¾a 1 Cho X v  Y l  c¡c khæng gian Banach, U(x) l  l¥ncªn cõa iºm x nh x¤ f : U(x) ⊂ X → Y ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chett¤i iºm x n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ T ∈ L(X, Y ) sao cho

ii, S(t + s) = S(t)S(s) = S(s)S(t), vîi måi t, s ≥ 0,

iii, S(t)u0 li¶n töc èi vîi (t, u0) ∈ [0, +∞) × X

Khi â {S(t)}t≥0 ÷ñc gåi l  nûa nhâm (phi tuy¸n) li¶n töc tr¶n X.

ành ngh¾a 4 Mët nûa nhâm S(t) li¶n töc ÷ñc gåi l  h» Gradientli¶n töc n¸u tçn t¤i h m Φ ∈ C0(X, R) sao cho Φ(S(t)u) ≤ Φ(u) vîi måi

t ≥ 0, vîi måi u ∈ X, v  Φ(S(t)u) = Φ(u) vîi måi t ≥ 0, k²o theo u

l  iºm c¥n b¬ng, tùc l  S(t)u = u vîi måi t ≥ 0 H m Φ gåi l  h mLyapunov cho nûa nhâm S(t)

ành ngh¾a 5 Gi£ sû S(t) l  nûa nhâm li¶n töc tr¶n khæng gian metric

¦y õ X Tªp A ⊂ X ÷ñc gåi l  tªp hót to n cöc èi vîi nûa nhâmS(t) n¸u

i, A l  tªp compact,

ii, A l  tªp b§t bi¸n, tùc l  S(t)A = A, vîi måi t ≥ 0,

iii, A l  hót måi tªp bà ch°n, tùc l  vîi måi tªp bà ch°n B ⊂ X th¼dist(S(t)B, A) → 0 khi t → +∞, ð ¥y

N¸u X l  khæng gian Banach th¼ A l  li¶n thæng.

ành ngh¾a 8 Gi£ sû E l  khæng gian Banach thüc v  Σ(E) l  kþ hi»ulîp c¡c tªp con trong E cõa E \ {0} èi xùng qua gèc 0 Tªp A ∈ Σ(E)

÷ñc gåi l  gièng n (kþ hi»u l  γ(A) = n) n¸u n l  sè nguy¶n nhä nh§tsao cho tçn t¤i Φ ∈ C(A, Rn \ {0})

N¸u khæng tçn t¤i n l  húu h¤n, th¼ γ(A) = +∞ Ta coi γ(φ) = 0

ành ngh¾a 9 Gi£ sû X l  khæng gian Banach, C([0, T ]; X) l  khænggian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m li¶n töc u : [0, T ] → X vîi chu©n

ành ngh¾a 11 Gi£ sû X l  khæng gian Banach, khæng gian Lp((a, b); X)

l  khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m u : (a, b) → X thäa m¢n

Bê · 12.[22] Gi£ sû X0, X, X1 l  c¡c khæng gian Banach sao cho

X0 ,→ X ,→ X1, ph²p nhóng cõa X v o X1 l  li¶n töc, ph²p nhóngcõa X0 v o X l  compact, X0, X1 l  ph£n x¤ Gi£ sû 1 < α0, α1 < ∞,

°t

E = {u ∈ Lα0(0, T ; X0), du

dt ∈ Lα1(0, T ; X1)},vîi chu©n

||u||E = ||u||Lα0 (0,T ;X 0 )+ du

dt L α1 (0,T ;X 1 ).Khi â E ,→ Lα 0(0, T ; X) l  compact

Nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n bi¶n câ chùa ph÷ìng tr¼nh

Elliptic suy bi¸n m¤nh nûa tuy¸n t½nh

Trong ch÷ìng n y chóng ta i nghi¶n cùu b i to¡n bi¶n sau

Ta °t

G(x, y, z, t) =

Z t 0

1.1 Sü khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m

th֒ng

Trong Möc 1.1, chóng tæi giîi thi»u vi»c thi¸t lªp çng nh§t thùc kiºuPohozaev, tø â ch¿ ra i·u ki»n khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íngcõa b i to¡n bi¶n (1.1)-(1.2)

ành ngh¾a 1.1.1 Mi·n Ω ÷ñc gåi l  câ d¤ng Pα,β- h¼nh sao ùng vîi

iºm {(0, 0, 0)} n¸u b§t ¯ng thùc

(x, νx) + (y, νy) + (α + β + 1)(z, νz) > 0

óng vîi måi (x, y, z) ∈ ∂Ω

Bê · 1.1.2 Gi£ sû r¬ng C(x, y, z) = 0, g(x, y, z, t) = g(t) N¸u u(x, y, z)

l  nghi»m cõa b i to¡n (1.1)-(1.2) trong khæng gian H2(Ω), th¼ nghi»mu(x, y, z) thäa m¢n ¯ng thùc

Ω

(x − a), Oxug(u)dxdydz,

Ω

(y − b), Oyu

g(u)dxdydz,Z

Ω

G(u)dxdydz = − 1

N3Z

Ω

(z − c), Ozu

g(u)dxdydz

∂x1

(x1 − a1)

∂x1

2dxdydz

dxdydz = α1

2N1Z

Ω

∂

∂xi

(xi − ai)

 ∂u

∂x1

2dxdydz

+1

2Z

∂u

∂x1

dxdydz

Ho n to n t÷ìng tü nh÷ c¡ch t½nh I1, ta t½nh ÷ñc I5

I5 =Z

Ω

β1

N2

(y − b), Oyu

I4 =Z

Ω

β1

N2

(y − b), Oyu

N1 ∆yudxdydz

= α1

2Z

Ω

|Oyu|2dxdydz + α1

2N1Z

I7 =

Z

Ω

(z − c), Ozu

N3

∆xudxdydz

= 1

2Z

Ω

|Oxu|2dxdydz + 1

2N3Z



N3 ∆yudxdydz

= 1

2Z

Ω

|Oyu|2dxdydz + 1

2N3Z

dxdydz =Z

=Z

Mët c¡ch têng qu¡t, vîi måi i = 1, N1

dxdydz

Tø i·u ki»n bi¶n (1.2) chóng ta câ

Z

Ω

g(u)udxdydz

=Z

Ω



|Oxu|2 + |Oyu|2 + |x|2α|y|2β|Ozu|2

dxdydz, (1.8)

2 g(t)t < 0 khi t 6= 0 Khi â

b i to¡n (1.1)-(1.2) khæng câ nghi»m khæng t¦m th÷íng u ∈ H2(Ω).Chùng minh Vîi C(x, y, z) ≡ 0, g(x, y, z, t) = g(t), gi£ sû r¬ng u l nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n (1.1)-(1.2) Tø Bê · 1.1.2 l§y(a, b, c) = (0, 0, 0) chóng ta câ

= 12Z

p döng Bê · 1.1.2 v  chùng minh t÷ìng tü nh÷ chùng minh

ành lþ 1.1.3, chóng ta chùng minh ngay ÷ñc ành lþ sau

ành lþ 1.1.4 Gi£ sû C(x, y, z) ≡ 0, g(x, y, z, t) = g(t), Ω l  Pα,β- h¼nhsao èi vîi {(0, 0, 0)} v  Nα,βG(t) − Nα,β −2

2 g(t)t < 0 khi t > 0 Khi â

b i to¡n (1.1)-(1.2) khæng câ nghi»m d÷ìng u ∈ H2(Ω)

th÷íng t÷ìng tü k¸t qu£ cõa N T C Thóy v  N M Tr½ trong [35].

ành lþ 1.1.5 Gi£ sû C(x, y, z) ≡ 0, Ω l  Pα,β- h¼nh sao èi vîi{(0, 0, 0)} v  g(x, y, z, t) = λt + |t|γt vîi λ ≤ 0, γ ≥ 4



|u|γ+2

2(γ + 2)

dxdydz = 1

2Z

Do Ω l  Pα,β - h¼nh sao, ∂u

∂ν|∂Ω = 0, vîi λ < 0, γ > 4

N α,β −2 th¼ v¸ tr¡icõa (1.10) luæn ¥m, cán v¸ ph£i luæn d÷ìng Do â b i to¡n (1.1)-(1.2)khæng câ nghi»m khæng t¦m th÷íng u ∈ H2(Ω)

N¸u γ = 4

Nα,β − 2 v  λ = 0 th¼ tø (1.10)

12Z

∂Ω

= 0, suy ra u = 0

ành ngh¾a 1.1.6 Vîi 1 ≤ p < ∞, ta ành ngh¾a tªp t§t c£ c¡c h m

u ∈ Lp(Ω)sao cho Oxu, Oyu, |x|2α|y|2β

Ozuthuëc v o Lp(Ω)l  khæng gian

∂u

∂xi

∂u

∂yj

∂u

∂zl

pdxdydz

N¸u p = 2 chóng ta ành ngh¾a t½ch væ h÷îng trong S2

1(Ω) nh÷ sau(u, v)S2 (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + (Oxu, Oxv)L2 (Ω)

+ (Oyu, Oyv)L2 (Ω) + (|x|α|y|βOzu, |x|α|y|βOzv)L2 (Ω).Khæng gian Sp

1,0(Ω) ành ngh¾a nh÷ l  bao âng cõa C1

0(Ω) trong khænggian Sp

1(Ω), S1,02 (Ω) l  c¡c khæng gian Hilbert

Chó þ r¬ng Trong Möc 1.1, n¸u bä i i·u ki»n Pα,β - h¼nh sao cõami·n Ω, th¼ ành lþ 1.1.3, ành lþ 1.1.4, ành lþ 1.1.5, khæng cán óngnúa V¼ n¸u mi·n Ω khæng giao vîi c¡c m°t x = 0 v  y = 0, th¼ Pα,β l Elliptic trong mi·n Ω

1.2 C¡c ành lþ nhóng

Chóng ta câ thº chùng minh sü tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa

b i to¡n (1.1)-(1.2) vîi méi h m g(t) câ c§p bªc nhä hìn N α,β +2

Nα,β−2, b¬ng

sû döng ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n v  ành lþ nhóng kiºu Sobolev Do vªytrong Möc 1.2, chóng tæi s³ chùng minh mët sè ành lþ nhóng º bê trñcho vi»c t¼m nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n bi¶n (1.1)-(1.2)

ta gi£ sû b§t ¯ng thùc (1.11) óng vîi n = 3.

Ta câ

... khổng cỏn úngnỳa Vẳ náu mi·n Ω khỉng giao vỵi c¡c m°t x = v  y = 0, th¼ Pα,β l? ?Elliptic mi·n Ω

1.2 CĂc nh lỵ nhúng

Chúng ta cõ th chựng minh sỹ tỗn tÔi... lỵ nhúng kiu Sobolev Do vêytrong Mưc 1.2, chóng tỉi s³ chùng minh mët sè ành lỵ nhúng  bờ tr? ?cho viằc tẳm nghiằm khổng tƯm thữớng cừa bi toĂn biản (1.1)-(1.2)