Bài toán biên cho một vài lớp phương trình có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh

ệ P P Pì P ệ P P Pì P t số ữớ ữợ P ổ ổ tr ự tổ t q t ợ t ữủ sỹ t tr ỗ t ữ t q ợ ữ tứ ữủ ổ ố tr t ý ổ tr P t ỡ ữủ tỹ t t tở trữớ ữ ữợ sỹ ữợ t t P r tr t tự t ự ợ t ỏ tr s s t tọ ỏ t ỡ t s s t ố ợ t t ỡ t ổ ũ ự s tr sr ổ t trữớ ữ Pỏ Pữỡ tr ổ ú ù t tr ự tr số ỡ ố trữớ ữ Pỏ ự Pỏ ũ t t tr t tờ t t t ủ ú ù t tr q tr t ự t ố ũ t tọ ỏ t ỡ tợ ỳ ữớ t ú ù t t P t ệ ệ r ỡ ử ởt số ỵ tr ữỡ ổ t tữớ t ố ợ ữỡ tr t s ỷ t t ỹ ổ tỗ t ổ t tữớ ỵ ú ỹ tỗ t ữỡ tớ t r ổ ũ ữỡ tr r ỷ t t õ ự t tỷ t s rt ổ rt t ổ tr õ q t ởt số ỵ tr RN ổ tỡ tỹ N C k () ổ tử k tr Lp () ổ ụ tứ p t s tr x y z x y z , , t x x1 xN1 tỡ t tỷ y = , , t y y1 yN2 , , t z tỡ t tỷ z = z1 zN3 N1 tỷ t x : x = i=1 xi N2 tỷ t y : y = j=1 yj N3 tỷ t z : z = l=1 zl tỡ t tỷ x = (., ) ổ ữợ tr ổ L2 () P, P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u ợ , + > 0, |x|2 = N1 x2i , |y|2 = i=1 N2 yj2 , j=1 dx = dx1 dx2 dxN1 , dy = dy1 dy2 dyN2 , dz = dz1 dz2 dzN3 C(X, Y ) ổ tử tứ X Y C (X, Y ) ổ rt tử tứ X Y ỵ t t ổ ự ữủ q t ỳ ự rở r õ tr t ỵ õ s t ự tỗ t ổ tỗ t t õ ự t tỷ t s õ ự t t q t ữủ tr q trồ tr t tr ỵ tt t ợ ỵ tr ú tổ t ự t ởt ợ ữỡ tr õ ự t tỷ t s t q trồ tự t q trồ tự t r ữủ số ụ tợ ỵ ú ổ õ trồ t ợ t tỷ t s ứ t q õ ú tổ ự ữủ sỹ tỗ t t õ ự ữỡ tr t s ỷ t t q trồ tự ữ r ữủ ỗ t tự P tứ õ ú tổ ự ữủ sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ t ố ợ ữỡ tr t s ỷ t t q trồ tự ú tổ ự ữủ sỹ tỗ t sỹ tỗ t t sỹ tỗ t t út t t õ ự ữỡ tr r ỷ t t õ t tỷ t s tr trữớ ủ số t õ t ọ ỡ t tợ số t õ t tý ỵ ố tữủ ự ố tữủ ự t t t tr õ ự t tỷ t s P, u = x u + y u + |x|2 |y|2 z u, ợ , 0, + > Pữỡ ự ú tổ t t tờ ủ tự q tợ t ự sỷ ữỡ t ữỡ ữỡ ự tr ỵ tt t s t ợ sỹ ũ ủ ợ t tỷ P, r ỏ sỷ ữỡ t ự sỹ tỗ t t tỗ t t út t ỷ õ S(t) s ữỡ tr r ợ t ủ tr trữớ ủ rt ữỡ r tr trữớ ủ ổ rt q t ứ sỡ ỵ tt ữỡ tr r ữớ t q t tợ t t t ữỡ tr ữỡ tr r tr õ trỡ t t ữủ t q t t trỡ ữủ ổ t tr ợ t tỷ t t t tỷ rs Gk u = x u + |x|2k y u ợ (x, y) RN1 +N2 , N1 , N2 1, k Z+ , tr t ữớ rs t ữủ t q k = t G0 t tr k > t Gk ổ t tr RN1 +N2 õ rộ ợ t x = t rs ự ữủ Gk u ổ tr t ụ ổ tr t t ữỡ Gk ữủ t ự tr ữ ú t t ởt tr ỳ t tỷ t ữủ ự õ t tỷ u = 2u 2u 2u + + + x21 x22 x2n ự sỹ tỗ t ổ tỗ t t ỷ t t ự t tỷ ữủ t t tr ự t tứ ỷ t tự ữỡ r ổ tr P t t u + f (u) = tr , (1) u = tr , ợ ợ tr Rn (n 2), f (u) = u + |u|p1 u t q t ữủ tr ổ tr n = < p < , t t ổ õ ổ t tữớ n = p ổ õ ữỡ n+2 s t t n2 n+2 , t t õ ữỡ n2 n+2 n tr p0 = tr rt t tr n2 2n q p0 + = tr tợ t õ ỵ ú n2 p0 ữủ số ụ tợ t t tỷ n = < p < t rs rr ổ ố t q tỗ t ữỡ t n+2 u = u + u n2 tr , (2) u = tr , ợ õ trỡ tr Rn , n t q r n t õ ữỡ < < ợ tr r t t tỷ ự ợ rt n = tỗ t < < < = ỳ t q t t ũ ợ t ữủ t r tú tr ổ tr ự s õ ũ ợ t t t ữ sỹ tỗ t ổ t tữớ tỗ t ữỡ t ự t tỷ t t ữủ tữỡ ố trồ ởt tữỡ tỹ ữủ t r ố ợ t õ ự t tỷ t s tr r t t Lk u + f (u) = tr , (3) u = tr , 2u 2k u tr õ ợ tr R Lk u = +x (k 1) x2 y f (u) = u|u|1 t q t ữủ Lk s t t ổ õ ổ k t tữớ < < t õ ổ t tữớ k 4+k tr số ụ tợ t tỷ Lk t ữỡ r tr ữỡ tr ữ r ổ tỗ t ổ t tữớ t tữỡ tỹ t ữ s ợ t Pk u + f (u) = tr , u = tr , tr õ ợ tr R3 (k 1) f (u) = u|u|1 2u 2u 2k u Pk u = + + x x y z ổ tỗ t ổ t tữớ t Pk s k+1 ợ t Gk u + f (u) = tr , u = tr , tr õ Gk u = x u + |x|2k y u, ợ k 1, ợ tr RN1 +N2 x RN1 y RN2 trỡ f (u) = u|u|1 ổ tỗ t ổ t tữớ t tr trữớ ủ > N1 + N2 (k + 1) Gk s t t t t ú r 2N (k) tr r số ụ tợ ỵ ú 2k = ợ N (k) N (k) = N1 +(k +1)N2 tứ õ ự t tr õ ổ N1 + N2 (k + 1) + t tữớ t õ t ọ ỡ N1 + N2 (k + 1) ỹ số ụ tợ t P P tr ự sỹ tỗ t t sỹ tỗ t t út t ố ợ ữỡ tr r õ