Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN Phương pháp tách biến giải toán biên cho phương trình dao ñộng §1 Bài toán dao ñộng dây với hai mút x = x = ℓ cột chặt Dao ñộng tự dây với hai mút x = x = ℓ cột chặt Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx (0 < x < ℓ, t > 0) (1) ðiều kiện biên : u (0, t ) = u (ℓ, t ) = (2) ðiều kiện ñầu : u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) Thay biểu thức vào phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a X ''( x)T (t ) ⇒ X ''( x) T ''(t ) = = −λ Từ ñó ta X ( x) a 2T (t ) tìm ñược phương trình cho hàm X ( x) T (t ) sau : T ''(t ) + a λ 2T (t ) = (4)  (5)  X ''( x) + λ X ( x) = Từ ñiều kiện biên (2) ta có : u (0, t ) = X (0)T (t ) = ⇒ X (0) = u (ℓ, t ) = X (ℓ)T (t ) = ⇒ X (ℓ) = Nghiệm tổng quát phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx Từ ñiều kiện X (0) = ⇒ C1 = ; Từ ñiều kiện X (ℓ) = ⇒ λC2 sin λℓ = ⇒ λℓ = nπ (n = 1, 2, ) nπ nπx (6) ; chọn C2 = , ta ñược : X n ( x) = sin (7) ℓ ℓ Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a 2λ n2T (t ) = ; Nghiệm tổng quát phương trình nπat nπat có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin (8) ℓ ℓ Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n = Như nghiệm tổng quát phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : ∞ nπat nπat  nπx  (9) sin u ( x, t ) = ∑  an cos + bn sin  ℓ ℓ  ℓ n =1  Từ ñiều kiện ñầu (3) biểu thức (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ nπx (10) u ( x, 0) = ∑ an sin = ϕ ( x) ℓ n=1 ∞ ut ( x,0) = ∑ n =0 nπa nπx = ψ ( x) (11) bn sin ℓ ℓ ℓ Từ (10) (11) ta tìm ñược : nπx an = ∫ ϕ( x)sin dx ℓ ℓ ℓ nπx bn = ψ( x)sin dx ∫ nπa ℓ Thay biểu thức tìm ñược an , bn vào (9) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm Các tập áp dụng : Tìm dao ñộng ngang dây gắn chặt hai mút x = 0, x = ℓ , vận tốc ban ñầu không dạng ban ñầu dây cung parabol ñối xứng với ñường vuông góc qua trung ñiểm dây 32h ∞ (2k + 1)πat (2k + 1)πx ðS : u ( x, t ) = ∑ cos sin π k =0 (2k + 1) ℓ ℓ Một dây chiều dài ℓ ñược gắn chặt mút x = 0, x = ℓ ðiểm x = c xủa ñược kéo lên khỏi vị trí cân ñoạn h nhỏ lúc t = dây ñược thả không vận tốc ñầu Tìm dao ñộng dây thời ñiểm t > ∞ 2hℓ nπc nπat nπx sin cos sin ðS : u ( x, t ) = ∑ π c(ℓ − c) n=1 n ℓ ℓ ℓ Tìm dao ñộng bé dây chiều dài l ( ≤ x ≤ ℓ ) với mút gắn chặt thời ñiểm ñầu tiên dây trạng thái yên nghỉ ñoạn (a,b) ( < a < b < ℓ ) ñược truyền cho vận tốc ban ñầu không ñổi v0 Tìm dao ñộng bé dây chiều dài l ( ≤ x ≤ ℓ ) với mút gắn chặt ñộ lệch ban ñầu ñiểm dây không thời ñiểm ñầu tiên dây ñược truyền cho xung lực tập trung với cường ñộ I x0 ( < x0 < ℓ ) ðS : u (x , t ) = n πx 2I ∞ n πat n πx sin sin sin ∑ πaρ n =1 n l l l Một sợi dây ñàn hồi chiều dài ℓ ( ≤ x ≤ ℓ ) với mút gắn chặt Trước lúc t = dây trạng thái cân tác dụng lực F0 ñặt x0 dây vuông góc với vị trí cân dây.Lúc t = 0, tác dụng lực F0 triệt tiêu Tìm dao ñộng dây lúc t >0 Một sợi dây ñàn hồi chiều dài ℓ(0 ≤ x ≤ ℓ) với mút gắn chặt ñược kích thích dao ñộng cách truyền cho vận tốc ban ñầu có dạng : ≤ x ≤ x0 − δ 0   π( x − x0 )   ut ( x,0) = v0 cos  x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ   2δ   x0 −δ ≤ x ≤ ℓ 0 Tìm dao ñộng dây lúc t > ñộ lệch ban ñầu dây Xác ñịnh dao ñộng dây hữu hạn gắn chặt mút x = 0, x = ℓ biết ñộ lệch ban ñầu dây vận tốc ban ñầu dây cho :  π v0 cos( x − c) | x − c |<  ut ( x,0) =   π | x - c |> 0  ðS : u ( x, t ) = 4v0 πa ∞ ∑ n =1 nπc nπ cos l 2l sin nπat sin nπx 2 l l  nπ  n 1 −  l   sin Xác ñịnh dao ñộng dây gắn chặt mút x = mút x = ℓ chuyển ñộng theo quy luật A sin ωt Biết ñộ lệch ban ñầu vận tốc ban ñầu dây ωx sin ωt Aωa ∞ (−1) n +1 nπat nπx a + sin sin ∑ ωl l n =1  nπa  l l sin ω −   a  l  A sin ðS : u ( x, t ) = Giải phương trình : utt = a u xx + f ( x) (0 < x < ℓ, t > 0) u (0, t ) = α, u (ℓ, t ) = β ; u ( x, 0) = , ut ( x, 0) = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dạng u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) , ñó : W ( x) thoả mãn phương trình a 2W ''( x) + f ( x) = với ñiều kiện : W (0) = α,W (ℓ) = β Khi ñó , hàm v( x, t ) nghiệm toán biên sau : vtt = a 2vxx (0 < x < ℓ, t > 0) v(0, t ) = v(ℓ, t ) = 0; v( x, 0) = −W ( x), vt ( x, 0) = ∞ ðS : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) , ñó : v( x, t ) = ∑ an cos n =1 nπat nπx với : sin ℓ l ℓ y x y   nπx β−α  x  an = − ∫ W ( x) sin dx W ( x) = x + α − ∫  ∫ f (ξ)d ξ  dy + ∫  ∫ f (ξ) d ξ  dy ℓ0 ℓ a 0 ℓ ℓa    Dao ñộng cưỡng dây với mút x = mút x = ℓ cột chặt Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < ℓ, t > 0) (1) ðiều kiện biên : u (0, t ) = u (ℓ, t ) = (2) ðiều kiện ñầu : u ( x, 0) = ut ( x, 0) = (3) ℓ Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dạng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t )sin n =1 nπx (4) ℓ Thay biểu thức vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dạng :  nπa  u (t ) +   un (t ) = f n (t ) (5)  ℓ  '' n ℓ Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t )sin λ n xdx Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t ) ℓ0 sau : un (0) = un' (0) = (6) Nghiệm (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : ℓ  nπa  u n (t ) = f n (t )sin  (t − τ)  d τ (7) ∫ nπa  ℓ  t Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm Chú ý : Nghiệm (5) ñược tìm phương pháp hệ số bất ñịnh sau : + Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng với (5) có dạng : un(0) (t ) = an cos nπat nπat + bn sin ℓ ℓ + Giả sử un (t ) nghiệm riêng (5), nghiệm tổng quát (5) có dạng : un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos nπat nπat + bn sin + un (t ) ℓ ℓ + Từ ñiều kiện ñầu (6), ta xác ñịnh hệ số an , bn Các tập áp dụng : πx (0 < x < ℓ, t > 0) ℓ u (0, t ) = u (ℓ, t ) = ; u ( x, 0) = , ut ( x, 0) = utt = a u xx + Ae− t sin Giải phương trình : aπt ℓ aπt  πx  −t + sin  e − cos  sin ℓ aπ ℓ  ℓ  aπ   1+    ℓ  Giải phương trình : utt = a u xx + Axe− t (0 < x < ℓ, t > 0) A ðS : u ( x, t ) = u (0, t ) = u (ℓ, t ) = ; u ( x, 0) = , ut ( x, 0) = ðS : u ( x, t ) = 2ℓA ∞ ∑ π n =1 Giải phương trình : Giải phương trình : (−1)n +1 nπat ℓ nπat  nπx  −t + sin  e − cos  sin ℓ nπa ℓ  ℓ  nπa   1+    ℓ  utt = u xx + sin tsin2πx (0 < x < 1, t > 0) u (0, t ) = u (1, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = utt = u xx + (0 < x < 1, t > 0) u (0, t ) = u (1, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = utt = a 2u xx + b sh x (0 < x < ℓ, t > 0) u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = utt = u xx + bx(ℓ − x) (0 < x < ℓ, t > 0) u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0; u ( x,0) = ut ( x,0) = Giải phương trình : Giải phương trình : utt = u xx (0 < x < π, t > 0) Giải phương trình : u (0, t ) = t , u (π, t ) = t ; u ( x, 0) = sin x , ut ( x, 0) = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , ñó W ( x, t ) chọn dạng W ( x, t ) = t + x  x x (t − t ) = 1 −  t + t Khi ñó v( x, t ) nghiệm toán biên sau : π π  π vtt = a vxx + f ( x, t ) (0 < x < π, t > 0) v(0, t ) = v(π, t ) =  x  xt v( x, 0) = sin x, vt ( x, 0) = với f ( x, t ) = −Wtt = −2 1 −  −  π π   x x  ∞ ðS : u ( x, t ) = 1 −  t + t + cos t sin x + ∑ ( −1) n 3t − + cos nt − π π π n   utt = u xx (0 < x < π, t > 0) n =1 Giải phương trình :  (−1) n sin nt  sin nx n  u (0, t ) = e− t , u (π, t ) = t ; u ( x, 0) = sin x cos x , ut ( x, 0) = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , ñó W ( x, t ) chọn dạng W ( x, t ) = e − t + x xt  x (t − e −t ) = 1 −  e− t + Khi ñó v( x, t ) nghiệm toán biên sau : π π  π vtt = a vxx + f ( x, t ) (0 < x < π, t > 0) v(0, t ) = v(π, t ) =  x v( x, 0) = sin x, vt ( x, 0) = với f ( x, t ) = −Wtt = − 1 −  e −t  π  x xt ∞   1  ðS : u ( x, t ) = 1 −  e−t + + cos 2t sin x − ∑ e − t + n cos nt −  2n +  sin nt  sin nx  π π n =1 n(n + 1)  n  π   Xác ñịnh dao ñộng dây gắn chặt hai mút x = 0, x = ℓ môi trường có lực cản tỷ lệ với vận tốc, biết ñiều kiện ñầu u ( x, 0) = ϕ ( x ) , ut ( x,0) = ψ( x ) §2 Bài toán dao ñộng dây với mút x = cột chặt mút x = l ñể tự Dao ñộng tự dây với mút x = cột chặt mút x = l ñể tự Phương trình dao ñộng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1) ðiều kiện biên : u (0, t ) = ux (l , t ) = (2) ðiều kiện ñầu : u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) Thay biểu thức vào phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a X ''( x)T (t ) ⇒ X ''( x) T ''(t ) = = −λ Từ ñó ta X ( x) a T (t ) tìm ñược phương trình cho hàm X ( x) T (t ) sau : 2 T ''(t ) + a λ T (t ) =   X ''( x) + λ X ( x) = Từ ñiều kiện biên (2) ta có : (4) (5) u (0, t ) = X (0)T (t ) = ⇒ X (0) = u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = ⇒ X '(l ) = Nghiệm tổng quát phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx Từ ñiều kiện (2n + 1)π (n = 0,1, ) (2n + 1)π (2n + 1)πx Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n = (6) ; chọn C2 = , ta ñược : X n ( x) = sin (7) 2l 2l Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a 2λ n2T (t ) = ; Nghiệm tổng quát phương trình (2n + 1)πat (2n + 1)πat có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin (8) 2l 2l X (0) = ⇒ C1 = ; Từ ñiều kiện X '(l ) = ⇒ λC2 cos λl = ⇒ λl = Như nghiệm tổng quát phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : ∞ (2n + 1)πat (2n + 1)πat  (2n + 1)πx  (9) u ( x, t ) = ∑  an cos + bn sin sin  2l 2l 2l  n=0  Từ ñiều kiện ñầu (3) biểu thức (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ (2n + 1)πx = ϕ ( x) (10) 2l n =0 ∞ (2n + 1)πa (2n + 1)πx = ψ( x) (11) ut ( x,0) = ∑ bn sin l l n=0 u ( x, 0) = ∑ an sin l Từ (10) (11) ta tìm ñược : (2n + 1)πx an = ∫ ϕ( x)sin dx l 2l l (2n + 1)πx bn = ψ ( x )sin dx ∫ (2n + 1)πa 2l Thay biểu thức tìm ñược an , bn vào (9) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm Các tập áp dụng : Giải phương trình : utt = a u xx (0 < x < l , t > 0) u (0, t ) = ux (l , t ) = ; u( x, 0) = x, ut ( x, 0) = sin πx 3πx + sin 2l 2l 2l aπt πx 2l 3aπt 3πx sin sin + sin sin aπ 2l 2l 3aπ 2l 2l Giải phương trình : utt = u xx (0 < x < π, t > 0) ðS : u ( x, t ) = x , ut ( x, 0) = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x, t ) , ñó W ( x, t ) chọn cho : W (0, t ) = t ,Wx (π, t ) = Ta chọn : W ( x, t ) = x + t Khi ñó v( x, t ) nghiệm toán biên u (0, t ) = t , ux (π, t ) = ; u ( x, 0) = sin sau : vtt = a vxx (0 < x < π, t > 0) v(0, t ) = vx (l , t ) = x − x , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) − Wt ( x, 0) = t x ∞ (−1) k (2k + 1)t (2k + 1) x ðS : u ( x, t ) = x + t + cos sin − ∑ cos sin 2 π k =0 (2k + 1) 2 v( x, 0) = u ( x, 0) − W ( x, 0) = sin Một dây ñồng chất chiều dài ℓ ñược gắn chặt mút x = , mút x = ℓ ñược nối với vòng không khối lượng, vòng trượt theo nhẵn thẳng ñứng lệch khỏi vị trí cân ñoạn h , vào lúc t = ñược thả Tìm dao ñộng dây lúc t > Dao ñộng cưỡng dây với mút x = cột chặt mút x = l ñể tự Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) ðiều kiện biên : u (0, t ) = u x (l , t ) = (2) ðiều kiện ñầu : u ( x, 0) = ut ( x, 0) = (3) Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dạng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t )sin λ n x (4) với λ n = n=0 (2n + 1)π 2l Thay biểu thức vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dạng : un'' (t ) + a λ 2n un (t ) = f n (t ) (5) l Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t )sin λ n xdx Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t ) l sau : un (0) = un' (0) = (6) Nghiệm (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : u n (t ) = aλ n t ∫ f (t ) sin [ aλ n n (t − τ) ] d τ (7) Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm Chú ý : Nghiệm (5) ñược tìm phương pháp hệ số bất ñịnh sau : + Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng với (5) có dạng : un(0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t ) + Giả sử un (t ) nghiệm riêng (5), nghiệm tổng quát (5) có dạng : un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t ) + Từ ñiều kiện ñầu (6), ta xác ñịnh hệ số an , bn Bài tập áp dụng : Giải phương trình : utt = a u xx + A sin t (0 < x < l , t > 0) u (0, t ) = ux (l , t ) = ; u ( x, 0) = , ut ( x, 0) =  2l (2k + 1) πat  (2k + 1)πx sin t − sin sin   (2k + 1)πa 2l 2l   (2k + 1)πa     (2k + 1)   −   2l    §3 Bài toán dao ñộng dây với mút x = l cột chặt mút x = ñể tự Dao ñộng tự dây với mút x = l cột chặt mút x = ñể tự Phương trình dao ñộng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1) ðS : u ( x, t ) = 4A ∞ ∑ π k =0 ðiều kiện biên : u x (0, t ) = u (l , t ) = (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) ðiều kiện ñầu : Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) Thay biểu thức vào phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a X ''( x)T (t ) ⇒ X ''( x) T ''(t ) = = −λ Từ ñó ta X ( x) a T (t ) tìm ñược phương trình cho hàm X ( x) T (t ) sau : 2 T ''(t ) + a λ T (t ) =   X ''( x) + λ X ( x) = (4) (5) u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = ⇒ X '(0) = u (l , t ) = X (l )T (t ) = ⇒ X (l ) = Nghiệm tổng quát phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx Từ ñiều kiện (2n + 1)π (n = 0,1, ) X '(0) = ⇒ C2 = ; Từ ñiều kiện X (l ) = ⇒ C1 cos λl = ⇒ λl = (2n + 1)π (2n + 1)πx (6) ; chọn C1 = , ta ñược : X n ( x) = cos (7) Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n = 2l 2l Từ ñiều kiện biên (2) ta có : Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a 2λ n2T (t ) = ; Nghiệm tổng quát phương trình có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos (2n + 1)πat (2n + 1)πat + bn sin (8) 2l 2l Như nghiệm tổng quát phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : ∞ (2n + 1)πat (2n + 1)πat  (2n + 1)πx  (9) u ( x, t ) = ∑  an cos + bn sin cos  2l 2l 2l  n=0  Từ ñiều kiện ñầu (3) biểu thức (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ (2n + 1)πx u ( x, 0) = ∑ an cos = ϕ( x) (10) 2l n=0 ∞ (2n + 1)πa (2 n + 1)πx ut ( x, 0) = ∑ bn cos = ψ ( x) (11) 2l 2l n=0 l (2n + 1) πx Từ (10) (11) ta tìm ñược : an = ∫ ϕ( x) cos dx l 2l (2n + 1)πx dx ψ ( x ) cos ∫ (2k + 1)πa 2l l bn = Thay biểu thức tìm ñược an , bn vào (9) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm Bài tập áp dụng Giải phương trình : utt = a u xx (0 < x < l , t > 0) πx 3πx 5πx , ut ( x, 0) = cos + cos 2l 2l 2l πat πx 2l 3πat 3πx 2l 5πat 5πx ðS : u ( x, t ) = cos cos + sin cos + sin cos 2l 2l 3aπ 2l 2l 5aπ 2l 2l Dao ñộng cưỡng dây với mút x = l cột chặt mút x = ñể tự Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = u (l , t ) = ; u( x, 0) = cos u x (0, t ) = u (l , t ) = (2) ðiều kiện biên : ðiều kiện ñầu : u ( x, 0) = ut ( x, 0) = (3) Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dạng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) với λ n = n =0 (2n + 1)π 2l Thay biểu thức vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dạng : un'' (t ) + a λ 2n un (t ) = f n (t ) (5) l Trong ñó : f n (t ) = ∫ f ( x, t ) cos λ n xdx Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t ) l sau : un (0) = un' (0) = (6) Nghiệm (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : u n (t ) = aλ n t ∫ f (t ) sin [ aλ n n (t − τ) ] d τ (7) Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm Chú ý : Nghiệm (5) ñược tìm phương pháp hệ số bất ñịnh sau : + Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng với (5) có dạng : un(0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t ) + Giả sử un (t ) nghiệm riêng (5), nghiệm tổng quát (5) có dạng : un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t ) + Từ ñiều kiện ñầu (6), ta xác ñịnh hệ số an , bn Bài tập áp dụng Giải phương trình : πx (0 < x < l , t > 0) 2l u x (0, t ) = u (l , t ) = ; u ( x, 0) = , ut ( x, 0) = utt = a u xx + Ae− t cos aπt 2l aπt  πx  −t + sin  e − cos  cos 2l aπ 2l  2l  aπ   1+    2l  §4 Bài toán dao ñộng dây với mút x = x = l ñể tự Dao ñộng tự dây với mút x = x = l ñể tự Phương trình dao ñộng : utt = a 2u xx (0 < x < l , t > 0) (1) ðS : u ( x, t ) = A ðiều kiện biên : u x (0, t ) = ux (l , t ) = (2) ðiều kiện ñầu : u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) Thay biểu thức vào phương trình (1) ta ñược phương trình : X ( x)T ''(t ) = a X ''( x)T (t ) ⇒ X ''( x) T ''(t ) = = −λ Từ ñó ta X ( x) a 2T (t ) tìm ñược phương trình cho hàm X ( x) T (t ) sau : T ''(t ) + a λ 2T (t ) = (4)  (5)  X ''( x) + λ X ( x) = u x (0, t ) = X '(0)T (t ) = ⇒ X '(0) = Từ ñiều kiện biên (2) ta có : u x (l , t ) = X '(l )T (t ) = ⇒ X '(l ) = + Khi λ = , phương trình (5) trở thành : X ''( x) = ⇒ X ( x) = Ax + B Từ ñiều kiện X '(0) = X '(l ) = ta tìm ñược : A = , B ≠ Ta chọn B = Như λ = λ = , phương trình (5) có nghiệm : X ( x) = Lúc phương trình (4) trở thành T ''(t ) = ⇒ T0 (t ) = a0 + b0t + Khi λ ≠ , nghiệm tổng quát phương trình (5) có dạng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λx Từ ñiều kiện X '(0) = ⇒ C2 = ; Từ ñiều kiện X '(l ) = ⇒ λC1 sin λl = ⇒ λl = nπ (n ∈ ℕ) l nπ nπx ; chọn C2 = , ta ñược : X n ( x) = cos l l 2 Khi λ = λ n , phương trình (4) trở thành : T ''(t ) + a λ nT (t ) = ; Nghiệm tổng quát phương trình nπat nπat có dạng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin l l Từ ñó ta nhận ñược : λ = λ n = Như nghiệm tổng quát phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : ∞ ∞ nπat nπat  nπx  (6) u ( x, t ) = ∑ X n ( x )Tn (t ) = a0 + b0t +∑  an cos + bn sin cos  l l  l n=0 n =1  Từ ñiều kiện ñầu (3) biểu thức (6) cho u ( x, t ) ta có : ∞ nπx u ( x, 0) = a0 + ∑ an cos = ϕ( x) (7) l n =1 ∞ nπa nπx ut ( x, 0) = b0 + ∑ bn cos = ψ ( x) (8) l n =0 l nπx ϕ( x) dx , an = ∫ ϕ( x) cos dx ( n > 1) ∫ l0 l l l Từ (7) (8) ta tìm ñược : a0 = nπx ψ( x) dx , bn = ψ( x) cos dx (n > 1) ∫ ∫ l0 nπa l l b0 = l l Thay biểu thức tìm ñược an , bn vào (6) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm Bài tập áp dụng utt = a u xx (0 < x < l , t > 0) Giải phương trình : u x (0, t ) = ux (l , t ) = ; u ( x, 0) = x , ut ( x, 0) = l ðS : u ( x, t ) = t + − 4l π2 Giải phương trình : ∞ ∑ (2k + 1) k =0 cos (2k + 1)πat (2k + 1)πx cos l l utt = a u xx (0 < x < l , t > 0) x x Aach a , u ( x, 0) = − a u x (0, t ) = 0, ux (l , t ) = Ae − t ; u ( x, 0) = t l l sh sh a a −t Hướng dẫn : Tìm nghiệm dạng u ( x, t ) = v( x, t ) + e f ( x) Trong ñó f ( x) chọn cho thoả Aach mãn ñiều kiện sau : a f ''( x) − f ( x) = , f '(0) = 0, f '(l ) = A Khi ñó, v( x, t ) nghiệm toán biên sau : vtt = a vxx (0 < x < l , t > 0) v(0, t ) = v(l , t ) = , v( x, 0) = u ( x, 0) − f ( x) , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) + f ( x) Aa − t x e ch ðS : u ( x, t ) = l a sh a Dao ñộng cưỡng dây với mút x = x = l ñể tự Phương trình dao ñộng : utt = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) u x (0, t ) = ux (l , t ) = (2) ðiều kiện biên : ðiều kiện ñầu : u ( x, 0) = ut ( x, 0) = (3) Giải : Ta tìm nghiệm phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dạng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) với λ n = n =0 nπ l Thay biểu thức vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho un (t ) dạng : un'' (t ) + a λ 2n un (t ) = f n (t ) (5) l Trong ñó : f n (t ) = f ( x, t ) cos λ n xdx Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm un (t ) l ∫0 sau : un (0) = un' (0) = (6) + Khi n = , phương trình (5) trở thành : u0'' (t ) = f (t ) (7) với ñiều kiện ñầu (6) trở thành : u0 (0) = u0' (0) = (8) τ  Nghiệm (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng : u0 (t ) = ∫ d τ  ∫ f n (ξ)d ξ  (9) 0  + Khi n > , nghiệm (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : t u n (t ) = f n (t ) sin [ aλ n (t − τ) ] d τ (10) aλ n ∫0 t Thay (9) (10) vào (4) ta nhận ñược nghiệm toán cần tìm dạng : ∞ u ( x, t ) = u0 (t ) + ∑ un (t ) cos λ n x n =1 Chú ý : Nghiệm (5) n > ñược tìm phương pháp hệ số bất ñịnh sau : + Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng với (5) có dạng : un(0) (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin(aλ n t ) + Giả sử un (t ) nghiệm riêng (5), nghiệm tổng quát (5) có dạng : un (t ) = un(0) (t ) + un (t ) = an cos(aλ n t ) + bn sin( aλ nt ) + un (t ) + Từ ñiều kiện ñầu (6), ta xác ñịnh hệ số an , bn Bài tập áp dụng Giải phương trình : utt = a u xx + f ( x) (0 < x < l , t > 0) u x (0, t ) = α, u x (l , t ) = β ; u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) Hướng dẫn : Tìm nghiệm dạng : u ( x, t ) = v( x, t ) + W ( x) với : W ( x) = (a1 x + b1 x)α + (a2 x + b2 x)β , hệ số a1 , a2 , b1 , b2 ñược chọn cho hàm W ( x) thoả mãn ñiều kiện biên W '(0) = α , W '(l ) = β ðS : u ( x, t ) = Trong ñó : f β−α x + αx + ϕ0 + ψ 0t + t + 2l 2 ∞    nπat l nπat  nπx  l    + ∑  + ϕ − + ϕ f f cos sin    cos n n  n   n l nπa l  l  nπa  n =1  nπa      δn l  δn l  (β − α)a  nπx (β − α) x nπx f n = ∫  f ( x) + cos dx ϕ = ϕ ( x ) − − αx  cos dx , n   ∫ l 0 l l l 0 2l l   ψn = δn l nπx ψ ( x) cos dx , δ0 = 1, δ k = (k = 1, 2, ) ∫ l l utt = a u xx + sin 2t (0 < x < l , t > 0) 2l 2x u x (0, t ) = 0, ux (l , t ) = sin sin 2t ; u ( x, 0) = , ut ( x, 0) = −2 cos a a a Hướng dẫn : Tìm nghiệm dạng u ( x, t ) = v( x, t ) + f ( x) sin 2t Trong ñó f ( x) ñược chọn 2l cho thoả mãn ñiều kiện sau : a f ''( x) + f ( x) = −1, f '(0) = 0, f '(l ) = sin Khi ñó v( x, t ) a a nghiệm toán biên sau : vtt = a vxx (0 < x < l , t > 0) vx (0, t ) = vx (l , t ) = , v( x, 0) = , vt ( x, 0) = ut ( x, 0) − f ( x) Giải phương trình : ðS : u ( x, t ) = −  + cos  sin 2t 4 a  t 2x 10