Sử dụng phép biến hình trong hình học để giải và khai thác một số bài toán của hình học sơ cấp (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Các phép biến hình cơng cụ quan trọng để nghiên cứu hình học nói chung hình học sơ cấp nói riêng Từ xa xưa người ta biết vận dụng số phép biến phép đối xứng, phép quay, phép vị tự … để vẽ , đo đạc tính tốn cơng trình xây dựng Người có cơng lớn việc nghiên cứu phép biến hình cách có hệ thống nhà tốn học Đức Felix Klein (1849 – 1925) Trong tác phẩm “Chương trình Erlangen” tiếng ơng nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm phép biến hình Theo nhóm biến hình hình học gắn với hình học nhóm Từ giúp thấy mối quan hệ chặt chẽ môn hình học: Hình học xạ ảnh, hình học Afin, hình học Ơclit … Việc sử dụng phép biến hình vào giải tốn hình học sơ cấp khơng nhằm cung cấp cho học sinh công cụ để giải tốn mà cịn cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tịi, khám phá, tạo sở cho đời phát minh sáng tạo tương lai Ngoài dựa vào tốn hình học cụ thể phép biến hình ta cịn sáng tạo toán khác việc làm mang lại nhiều hứng thú việc tìm tịi, nghiên cứu hình học Hơn việc lựa chọn cơng cụ thích hợp cho loại tốn hình học khác việc làm cần thiết giúp tiết kiệm thời gian công sức để giải tốn cách có hiệu Trong luận văn đề cập đến phép biến hình mặt phẳng sử dụng chúng để giải khai thác số tốn hình học sơ cấp nhằm phục vụ cho công việc học tập giảng dạy hình học theo chương trình giáo dục phổ thơng cấp Trung học phổ thông hành Bộ Giáo dục Đào tạo, đồng thời lựa chọn số tập sử dụng phép biến hình để giải dùng cho bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS II Nội dung Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày phép biến hình mặt phẳng Đại cương phép biến hình hình học phẳng số vấn đề có liên quan đến phép biến hình Các phép dời hình Các phép đồng dạng Các phép nghịch đảo Chương 2: Sử dụng phép biến hình mặt phẳng để giải khai thác số tốn hình học sơ cấp Sử dụng phép dời hình Sử dụng phép đồng dạng Sử dụng phép nghịch đảo Ở mục chương chúng tơi đưa số tốn Hình học sơ cấp, nêu cách giải cuối đề xuất số hướng khai thác, mở rộng Thang Long University Library Chương CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Định nghĩa tính chất Ta kí hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng P, hình H P tập P ta kí hiệu H  P 1.1.1 Định nghĩa Một phép biến hình f: P  P gọi phép dời hình mặt phẳng P với hai điểm M, N hai ảnh chúng M’ = f(M), N’ = f(N) ta luôn có M’N’ = MN Nhận xét: Từ định nghĩa phép dời hình ta dễ dàng suy ra: - Phép đồng e phép dời hình - Đảo ngược phép dời hình phép dời hình, nghĩa f phép dời hình f- phép dời hình 1.1.2 Tính chất phép dời hình a) Định lí Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm A C thành ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ nằm A’ C’ Hệ Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Hệ Phép dời hình biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường trịn thành đường trịn với tâm đường trịn thành tâm đường trịn b) Định lí Tích hai phép dời hình phép dời hình Hệ Tích n phép dời hình phép dời hình Hệ Tích phép dời hình với phép đảo ngược phép đồng c) Định lí Tích phép dời hình có tính chất kết hợp d) Định lí Tập hợp phép dời hình lập thành nhóm biến hình với phép tốn tích phép biến hình Sau sâu tìm hiểu kĩ phép dời hình cụ thể phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay mặt phẳng 1.2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1.2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho đường thẳng d cố định, phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực phép biến M hình gọi phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi trục d đối xứng Ta kí hiệu d phép đối xứng trục Đd ta có Đd(M) = M’ (Hình 1.1) Nếu điểm M thuộc đường M' thẳng d ta lấy M’ trùng với M 1.2.2 Định lí Phép đối xứng trục Hình 48 Hình 1.1 phép dời hình 1.2.3 Tính chất phép đối xứng trục Dựa vào định nghĩa phép đối xứng trục định lí ta suy ra: a) Phép đối xứng trục phép dời hình nên có đầy đủ tính chất phép dời hình b) Nếu M’ ảnh M qua phép đối xứng trục d M lại ảnh M’ qua phép đối xứng Ta suy tích phép đối xứng trục với phép đồng Thang Long University Library c) Mọi điểm trục đối xứng d điểm kép d) Mỗi đường thẳng a vng góc với trục đối xứng d biến thành với ý ngồi giao điểm a với d điểm khác a điểm kép e) Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định cho biết trục đối xứng d 1.3 PHÉP TỊNH TIẾN v 1.3.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho vectơ, phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ uuuur cho MM = v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu T v M' M Vectơ v gọi vectơ tịnh tiến Ta có T v (M) = M’ Hình 1.2 1.3.2 Định lí Phép tịnh tiến phép dời hình Hệ Nếu phép biến hình biến hai điểm A, B uuur uuuur thành điểm A’, B’ cho AB = A' B ' phép tịnh tiến véc tơ uuur uuur v = AA' = BB ' 1.3.3.Tính chất Từ định nghĩa phép tịnh tiến định lí ta suy ra: a) Phép tịnh tiến phép dời hình nên có đầy đủ tính chất phép dời hình r b) Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v ≠ biến điểm M thành điểm M’ thì; ta có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm M với vectơ tịnh tiến - v Như ta có : T v1 = T(- v ) Ta suy ra: T v1 T v = e (là phép đồng nhất) r c) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v ≠ đường thẳng nhận v làm vectơ phương biến thành nó, ý điểm đường thẳng khơng phải điểm kép d) Tích hai phép tịnh tiến T v T v ' phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến v + v ' e) Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định ta biết vectơ tịnh tiến v 1.4 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1.4.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định, phép biến hình điểm M thành điểm M’ cho O trung điểm đoạn MM’ gọi phép đối xứng tâm O Điểm O gọi tâm đối xứng Phép đối xứng tâm O ký hiệu Đ0 Nếu điểm M trùng M' với tâm O ta lấy M’ trùng với M O Ta viết Đ0 (M) = M’ M 1.4.2 Định lí Phép đối xứng tâm O Hình 54 Hình 1.3 phép dời hình 1.4.3 Tính chất phép đối xứng tâm Dựa vào định nghĩa phép đối xứng tâm định lí ta suy a) Phép đối xứng tâm phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất phép dời hình b) Qua phép đối xứng tâm O tâm O điểm kép c) Nếu M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm M lại ảnh M’ qua phép đối xứng Ta suy tích phép đối xứng tâm với phép đồng d) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành nó, biến đường thẳng không qua tâm thành đường thẳng song song với đường thẳng đó, biến vectơ thành vectơ đối e) Phép đối xứng qua tâm hoàn toàn xác định cho biết tâm đối xứng O Thang Long University Library 1.5 PHÉP QUAY 1.5.1 Định nghĩa Trong phẳng P định hướng, cho điểm O cố định góc định hướng  sai khác k2 Một phép quay tâm O với góc quay  phép biến hình biến điểm O thành biến điểm M thành điểm M’ cho OM = OM’ ( OM , OM ' ) =  Trong định nghĩa ta kí hiệu ( OM , OM ' ) góc định hướng mà tia đầu OM tia cuối OM’ Ta kí hiệu phép quay tâm O với góc quay  QO Q(O;) Ta thường chọn  cho -  ≤ a ≤  Chú ý: Theo định nghĩa phép quay với  = phép đồng nhất,  =   = -  phép đối xứng tâm O 1.5.2 Định l í Phép quay phép dời hình T í nh c h ất Dựa vào định nghĩa định lí ta suy phép quay có tính chất sau đây: a) Phép quay phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất phép dời hình b) Trong phép quay tâm O với góc quay  ≠ 0, có tâm O điểm kép phép quay trường hợp đường thẳng a qua tâm O đường thẳng ảnh a’ qua điểm O c) Nếu phép quay tâm O với góc quay  biến điểm M thành điểm M’ phép quay tâm O với góc quay -  biến điểm M’ thành điểm M nghĩa f = QO f- = QO d) Qua phép quay tâm O góc quay  điểm A biến thành điểm A’, điểm B biến thành điểm B’ ( AB, A ' B ' ) =  nghĩa góc hai vectơ tương ứng góc quay  Do hai đường thẳng AB A’B’ cắt tạo nên góc a góc  -  e) Phép quay hoàn toàn xác định biết tâm quay O góc quay  1.6 MỐI QUAN HỆ GIỮA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP QUAY 1.6.1 Tích hai phép đối xứng có trục song song Định lí Tích hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục 1 2 song song với phép tịnh tiến theo vectơ v có phương vng góc với hai trục, có hướng từ 1 đến 2 có mơđun hai lần khoảng cách hai trục Định lí Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ v phân tích nhiều cách khác thành tích hai phép đối xứng trục với hai trục song song 1.6.2 Tích hai phép đối xứng có trục cắt Định lí Tích hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục 1, 2 cắt điểm O phép quay tâm O góc quay  = ( 1, 2) Định lí Mọi phép quay tâm O góc quay  với  ≠ phân tích nhiều cách khác thành tích hai phép đối xứng với hai trục cắt O 6.3 Tích phép tịnh tiến phép quay Cho phép tịnh tiến T theo vectơ v ≠ phép quay Q tâm O góc quay  ≠ k2, ta xét tích hai phép  2 O Phân tích phép tịnh tiến T thành tích O' hai phép đối xứng Đ1, Đ2 theo thứ tự có trục song song 1 2 Ta chọn trục 2 qua O, v Hình 1.4 Thang Long University Library vng góc với phương v chọn 1 ảnh 2 phép tịnh tiến theo véc tơ  v Ta tiếp tục phân tích phép quay Q cho thành tích hai phép đối xứng Đ2 Đ3 có trục cắt theo thứ tự 2 3 Ta chọn 3 ảnh 2 phép quay tâm O với góc quay  Ta có: T = Đ2.Đ1 Q = Đ3.Đ2 Do Q.T = (Đ3.Đ2).(Đ2.Đ1) = Đ3 (Đ2.Đ2).Đ1 (do tính chất kết hợp) = Đ3.Đ1 tích Đ2.Đ2 phép đồng Vậy tích phép tịnh tiến T phép quay Q lấy theo thứ tự phép quay Q’ có tâm O’ giao điểm 1 3, với góc quay , tích Đ3.Đ1 tích hai phép đối xứng qua hai trục 1 3 cắt O’ Lí luận tương tự ta thấy tích phép tịnh tiến T phép quay Q phép quay tâm O’’ với góc quay  điểm O’’≠ O’ Ta có Q.T ≠ T.Q tích hai phép khơng có tính chất giao hốn Ta có định lí Định lí Tích phép tịnh tiến phép quay góc  quay góc  6.4 Tích hai phép quay Đối với hai phép quay tâm O3 O với góc quay 1 2 ta dễ dàng thấy tích hai phép quay phép quay tâm O với góc quay 1 2 1 + 2 Sau ta xét trường hợp 2 tích hai phép quay khác tâm Giả sử ta có hai phép quay Q1 Hình 1.5 Q2 theo thứ tự có tâm O1, O2 có góc quay 1, 2 giả sử 1 2 khác k2 Ta gọi đường thẳng O1O2 đường thẳng 2 chọn 1 đường thẳng qua O1 3 đường thẳng qua O2 cho (1, 2) = 1  k (2, 3) =   k '  Để xét tích hai phép quay Q2.Q1 ta phân tích Q1 = Đ2.Đ1 Q2 = Đ3.Đ2 Đ1, Đ2, Đ3 theo thứ tự phép đối xứng qua 1, 2, 3 Ta có: Q2.Q1 = (Đ3.Đ2).(Đ2.Đ1) = Đ2.Đ1 Vậy 1 3 cắt điểm O1 O3 tích Q2.Q1 phép quay tâm O 1 1 2 O2 Hình 1.6 góc quay 3 = 1 + 2 + k2 Thực vậy: 3 = (1,3) = 2[(1,2) + (2,2)]= 1 + 2 + k2 Nếu 1// 3 (khi 1 = -2) ta có phép tịnh tiến Khi đó: (1, 3) = k = 1   2 ; 1 + 2 = k2 1 = - 2 + k2 Sự phân tích dẫn đến kết luận: Định lí Tích hai phép quay có tâm khác nhau, nói chung phép quay với góc quay tổng hai góc quay hai phép quay cho, hay đặc biệt phép tịnh tiến hai phép quay cho góc đối 10 Thang Long University Library 5.Ứng dụng phép nghịch đảo để giải toán Ta xuất phát từ toán sau : Bài 52: Cho tam giác ABC Gọi (O) đường tròn tâm O tiếp với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A’, tiếp với cạnh AC B’, tiếp với cạnh AB C’ Các đường tròn qua ABB’ qua ACC’ cắt điểm thứ hai D Chứng minh A, A’, D thẳng hàng Giải B C' A D A' B' C Hình 2.49 Bài toán liên quan nhiều đến đường tròn qua điểm A, nên ta nghĩ đến việc dùng phép nghịch đảo cực A: N kA , với hy vọng đưa tốn đơn giản Ta thấy qua N kA , đường thẳng AB,AC, biến thành , đường trịn qua A,B,C biến thành đường thẳng qua B1= N kA (B), C1= N kA (C) Đường tròn qua A’, B’, C’ biến thành đường tròn tiếp với B1C1, AC, AB A1' , B1' , C1' Đường tròn qua ABB’ biến thành đường thẳng B1 B1' , Đường tròn qua ACC’ biến thành đường thẳng C1 C1' Bài toán 54 biến thành toán sau : 66 Thang Long University Library Bài toán 52’ Cho tam giác AB1C1 ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi A1' , B1' , C1' tiếp điểm cạnh B1C1, AC1, AB1 với đường tròn, D = B1 B1'  C1 C1' Chứng minh A, D, A1' thẳng hàng Thay đổi lại ký hiệu cách phát biểu toán ta có tốn sau : Bài tốn 53 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi A’, B’, C’ lầnlượt tiếp điểm cạnh BC, CA, AB với đường tròn Chứng minh đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy D Giải Vì (O) nội tiếp  ABC  BA'=BC'; B AC'=AB'; CA'=CB' A' Suy : C' D AB ' CA ' BC ' CA ' BC ' AB ' = =1 B 'C A ' B C ' A B 'C A ' B C ' A Áp dụng định lý Ceva cho  ABC suy AA',BB',CC' đồng quy A B' Hình 2.50 Nếu ta chọn phép nghịch đảo NkA ' đường thẳng BC biến thành nó, đường trịn (A’B’C’) biến thành đường thẳng d // BC Các đường thẳng AB, AC, BB’, CC’ biến thành đường tròn qua A’ tiếp với d Ta có tốn sau : 67 C Bài 54: Cho đoạn thẳng BC đường thẳng d //BC Lấy điểm A’ đoạn BC Gọi (O1) đường tròn qua BA’ tiếp với d C’, (O2) đường tròn qua CA’ tiếp với d B’, A giao điểm thứ hai hai đường trịn Chứng minh hai đường trịn (A’ B B’), (A’ C C’) đường thẳng AA’ có điểm chung Giải B C' A' A D B' C Hình 2.51 Ta cần sử dụng lần phép nghịch đảo NkA ' đưa toán 56 tốn 55 Bài 55: Cho đường trịn (C) tâm O bán kính R, điếm A hình trịn khác điểm O, đặt OA = d Hai đường trịn thay đổi (S) (K) ln tiếp xúc A, đồng thời (S) tiếp xúc với (C) M (K) tiếp xúc với (C) N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN 68 Thang Long University Library Giải Xét phép nghịch đảo NkA, k = PA/(C) = d2 - R2, đó: N Ak : (C ) (C ), M M ', N N ', ( S ) đường thẳng a tiếp xúc với (C) M' (K) biến thành đường thẳng b tiếp xúc với (C) N' Do (S) (K) tiếp xúc cực A, nên ảnh chúng N' M (s) b a // b, M'N' đường kính (C) Theo công O thức khoảng cách điểm (C) ảnh, có : A (K) N a M' MN = k AM ' AN ' M ' N '  ( R  d )2R AM '.AN' 2 Hình 2.52 Vậy MN đạt giá trị nhỏ AM'AN' đạt giá trị lớn Theo hệ thức tam giác, ta có: 2(d + R2) = M'A2 + N’A2  2M'A.N'A có dấu "=" M'A = N'A ( AO M'N') Max (AM'.AN') = d + R2 suy giá trị nhỏ đoạn MN R2  d 2 R R2  d Bài 56: Cho đường trịn (C) tâm O đường kính AB Điểm I đoạn AB (khác với A B) Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt (C) P, Q (d không trùng với đường thẳng AB) Đường thẳng AP, AQ cắt tiếp tuyến m M, N (m tiếp tuyến (C) điểm B) Chứng minh đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác AMN qua điểm cố định thứ hai (khác A) từ suy tâm (K) chạy đường thẳng cố định 69 Giải Dùng phép nghịch đảo N Ak , k  AB , a : N Ak : B B; (C) Vậy P m M Q d (C) p o i N, q Đường thẳng d không qua A biến thành đường tròn (K) ngoại m tiếp tam giác AMN k A Lại có N : I n b m i' I ' cố định, Hình 2.53 I  d nên I'  (K) nghĩa (K) qua điểm cố định thứ hai I'  A Vì (K) qua hai điểm cố định A I', nên tâm (K) chạy đường thẳng trung trực đoạn AI' Bài 57: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao nhau, cắt A, B Lấy C thuộc (C1), D thuộc (C2) cho A, C, D không thẳng hàng B, C, D không thẳng hàng Chứng minh hai đường tròn (C3) (C4) ngoại tiếp tương ứng tam giác ACD BCD trực giao Giải Xét phép nghịch đảo N Ak , k  ta có: N Ak : B B '; C C'; D A (C2) (C1) D' Vậy (C1), biến thành đường thẳng B'C' (C2) biến thành đường thẳng B'D', (C3) biến thành đường C B D thẳng C'D' ( ba đường trịn qua cực nghịch đảo A) Do (C1), trực giao với (C2) nên D' C' B'C  B'D' (C4) B' 70 Hình 2.54 Thang Long University Library Đường tròn (C4) ngoại tiếp tam giác BCD, không qua cực A, biến thành đường trịn (C4') ngoại tiếp tam giác B'C'D' Mà góc C ' B ' D '  900 , nên C'D' đường kính (C4') tức đường thẳng C'D' trực giao với (C4') Vì tạo ảnh chúng (C3), (C4) trực giao với Bài 58: Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R Hai đường thẳng cố dịnh d d' vng góc O Điểm M chạy (C), tiếp tuyến (C) M cắt d d' A,B Trục đẳng phương (C) đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OAB cắt d d' tương ứng C D Tìm qũy tích trung điểm N CD Giải Xét phép nghịch đảo N0R có (C) đường tròn nghịch đảo d' B E M' F nên đường tròn (K) (qua E; F F cực O) biến thành đường thẳng EF Vì N R2 N0R : A C; B (c) thẳng OM với đường tròn (K) EF N' E d (c') Theo công thức khoảng cách phép nghịch đảo ta có : DN '  (K) A C O D Gọi M’, N’ giao đường Khi N0R : M ' M N biến d d’ thành nên: D Hình 2.55 R2 R2 BM'; CN '  AM ' OB.OM ' OA.OM ' Để ý (K) đường trịn đường kính AB OM’  AB , nên OB = BM’; OA = AM’ Từ suy DN’ = CN’ Do N’ trùng với trung điểm N DC 71 R2 N Vậy ON OM '  R  ON OM  R2 Ta có OM = MM' N : M ' R2 Xét phép nghịch đảo N : M N Vì M chạy khắp (C) nên quỹ tích N R2 đường tròn (C') ảnh (C) qua phép nghịch đảo N Dễ thấy (C') R đường trịn tâm O bán kính Bài 59: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Giả sử M điểm khơng thuộc (O) Các đường thẳng MA, MB, MC cắt đường tròn (O) điểm A', B', C' a) Chứng minh với M đường tròn (O) ta có : S A ' B 'C ' MA '.MB '.MC '  S ABC MA.MB.MC b)Tìm tập hợp điểm M cho tam giác A'B'C' vuông Giải A C' B' M A' O C B Hình 2.56 a) Cách Ta có: SABC = AB.BC.CA 4R 72 Thang Long University Library S A ' B '.B ' C '.C ' A ' A' B ' B 'C C ' A '  A ' B 'C '  4R S ABC AB BC CA SA'B'C'= Do MB'C'   MCB suy Tương tự ta có Vậy B ' C MB  BC MC A ' C MC ' A ' B ' MA '   AC MA AB MB S A'B 'C ' A ' B ' B' C C' A' MA' MB' MC' MA' MB' MC'    S ABC AB BC CA MB MC MA MA MB MC Cách 2: (Dùng phép nghịch đảo) C' A C O A' B' B M Hình 2.57 PM/(O)= MA.MA '  MB.MB '  k không đổi Xét N Mk : (O) A A' B B' C C' (O) Theo tính chất phép nghịch đảo ta có A'B' = Ta có k AB MA.MB ; B 'C '  k BC MB.MC ;C ' A'  k CA M A.MC S A' B 'C ' A ' B ' B ' C C ' A '  kAB kBC kCA    :  AB.BC.CA S ABC AB BC CA  MA.MB MB.MC MC , MA  73 k3 MA.MA '.MB.MB '.MC.MC ' MA '.MB '.MC '   = 2 2 MA MB MC MA.MB.MC  MA.MB.MC  b) Giả sử tam giác A'B'C' vng A' B'A'  A'C' nên B'C' qua O Khi B' C' trực giao (O) Xét N Mk N Mk biến đường tròn (O) thành đường tròn (O) đường thẳng B'C' biến thành đường tròn (MBC) trực giao với (O) (vì đường thẳng khơng qua cực biến thành đường trịn qua cực nghịch đảo tính chất bảo tồn góc nên từ B'C' trực giao (O) suy đường trịn (MBC) trực giao (O) Vậy quỹ tích M đường tròn trực giao với (O) đồng thời qua B,C Tương tự tam giác A'B'C' vuông B' M thuộc đường trịn trực giao với (O) qua A,C Và tam giác A'B'C' vuông C' M thuộc đường trịn trực giao với (O) qua A,B Bài 60: Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác nội tiếp tích hai đường chéo tổng tích cạnh đối diện (định lý Ptơleme) Giải Giả sử ABCD tứ giác lồi.Ta chứng minh AC BD = AB.CD + AD.BC  ABCD nội tiếp Thật vậy: Xét phép nghịch đảo cực D, phương tích k 74 Thang Long University Library A' A D B B' C C' Hình 2.58 Qua phép nghịch đảo này: A  A' B B' C C' Bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn  điểm A', B', C' thẳng hàng  A'C' = A'B' + B'C'  k AC AB BC k k DA.DC DA.DB DB.DC  AC BD = AB CD + AD.BC (đpcm) Bài 61: Cho tam giác ABC Gọi O, I theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp có bán kính R r tương ứng Chứng minh rằng: OI2 = R2 - 2Rr Giải Gọi A'B'C' tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh BC, CA, AB, A1, B1, C1 giao điểm IA với B'C; IB với A'C'; IC với A'B' 75 Ta có: IA.IA1  IC '2  r A IB.IB1  r  IC.IC1 Xét phép nghịch đảo cực I, phương B' A1 tích k = r Qua phép nghịch đảo này: C' I A  A1; B1 B  B1; B C1 C A' C  C1 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hình 2.59 biến thành đường trịn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 Bán kính đường trịn (A1B1C1) R1 tính theo cơng thức: R1 = r R r R  2 I /(O , R ) R  OI Mặt khác:  A1B1C1 (1)  A’B’C’ A1B1 AC BC  1  1  A' B ' A'C ' B 'C ' Và tỉ số đồng dạng ½  R1 = ½ r Thay (2) vào (1) ta có: r R r 2 R  OI (2)  OI  R  Rr (đpcm) Bài 62: Cho hai đường tròn (O1) (O2) trực giao với cắt A B Ta lấy điểm C D hai đường trịn cho đường thẳng CD không qua A B Chứng minh đường trịn (ACD) (BCD) lúc trực giao với Giải Dùng phép nghịch đảo f cực A A biến đường tròn trực giao (O1) C (O2) thành đường thẳng (O'1), O2 O1 D (O'2) vuông góc với (O1) B (O2) Hình 138 a) 76 Hình 2.60a Thang Long University Library điểm B’ = f(B) Ta có C’ = f(C), D’= f(D) điểm (O’1) (O’2) ( Hình 2.60b) Khi đường trịn (BCD) biến thành đường trịn (B’C’D’) B' Do B’C’ vng góc với B’D’ nên C’D’ đường kính đường trịn (B’C’D’) có D' C' nghĩa C’D’ trực giao với đường trịn (B’C’D’) (O2) Vì C’D’ ảnh đường tròn (ACD) (O1) nên ta suy đường trịn trực giao với Hình 2.60b đường trịn (BCD) phép nghịch đảo bảo tồn góc Bài 63: Cho tam giác ABC đường A cao BH, CK Chứng minh đường H thẳng HK song song với tiếp tuyến A K đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC · · Vì BHC = BKC = 900 nên điểm H K nằm đường trịn C B Hình 2.61 đường kính BC Do ta có AB AK  AC AH Với phép nghịch đảo f cực A phương tích k = AB AK = AC AH điểm B thành điểm K, điểm C biến thành điểm H Khi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biến thành đường thẳng KH qua cực nghịch đảo A Mặt khác qua phép nghịch đảo f tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam 77 giác ABC qua cực nghịch đảo A nên biến thành Do tiếp tuyến song song với KH phép nghịch đảo bảo tồn góc Bài 64: Cho đường cố định tâm O dây cung cố định AB đường trịn Một điểm M di động đường tròn (O) Gọi M’ giao điểm thứ hai đường tròn qua M, tiếp xúc với đường thẳng AB A B Hãy tìm tập hợp điểm M’ Giải Gọi (C) (C’) hai đường tròn qua M tiếp xúc với AB A B Đường thẳng MM’ trục đẳng phương (C) (C’) phải qua trung điểm I đoạn AB Ta có IM.IM' = IA = IB (C) Điểm M’ ảnh M phép nghịch đảo cực I phương tích k = IA = IB M Điểm M vạch nên đường tròn (O) (C') O nên điểm M’ vạch nên đường tròn (O’) ảnh (O) phép nghịch đảo Đường tròn (O) qua hai điểm A, B hai điểm bất biến phép nghịch M' A I B O' H Hình 2.62 đảo Vậy (O’) đường trịn qua ba điểm A, B, M’ Vẽ tam giác vuông OAH Ta có IO.IH = IA.IB hay IA2 = IO'.IH với O’ điểm đối xứng O qua AB ta có IO' = - IO Vậy tập hợp điểm M’ đường tròn (O’) đối xứng với đường tròn tâm O qua đường thẳng AB 78 Thang Long University Library KẾT LUẬN Đề tài “Sử dụng phép biến hình hình học để giải khai thác số tốn Hình học sơ cấp” giải vấn đề sau: Trình bày đại cương phép biến hình mặt phẳng số vấn đề có liên quan Sử dụng phép biến hình hình học phẳng để giải khai thác số toán Hình học sơ cấp, số hướng khai thác, mở rộng cho tốn Hy vọng nội dung đề tài tiếp tục mở rộng hoàn thiện hơn, nhằm phục vụ cho việc dạy học tốn thuộc chương trình phổ thơng 79 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, Nhà xuất Giáo dục, 2004 [2] Hoàng Trọng Thái, Nguyễn Thanh Hương, Nguyễn Tuyết Thạch, Ứng dung phép biến hình giải tốn hình học, Nhà xuất Đại học sư phạm, 2007 [3] Nguyễn Đăng Phất (trong tập giáo trình học sơ cấp) Giáo trình in Rơnêo, trường Đ.H Sư phạm Hà Nội, 1973 - 1974, 1974 - 1975 [4] V.V Praxolov, Các tốn hình học phẳng (Tập I) đuợc dịch từ tiếng Nga, dịch tiếng Việt Hoàng Đức Chính Nguyễn Đễ NXB Hải Phịng, 1994 [5] Nguyễn Việt Hải, Vũ Hoàng Lâm, Phan Quân, 100 tập sử dụng phép biến hình, (Dành cho học sinh cấp 2), Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, 1993 80 Thang Long University Library