Tài liệu Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán pdf

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình dao ñộng §1.. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l 0≤ ≤ với các mút

Trang 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN

Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình dao ñộng

§1 Bài toán dao ñộng của dây với hai mút x = 0 và x = ℓ cột chặt

1 Dao ñộng tự do của dây với hai mút x = 0 và x = ℓ cột chặt

Phương trình dao ñộng : 2

tt xx

u = a u < < x ℓ t > (1) ðiều kiện biên : u (0, ) t = u ( , ) ℓ t = 0 (2)

ðiều kiện ñầu : u x ( , 0) = ϕ ( ) , ( , 0) x u xt = ψ ( ) x (3)

Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : u x t ( , ) = X x T t ( ) ( ) Thay biểu thức này vào

Trang 2

khỏi vị trí cân bằng một ñoạn h nhỏ và lúc t= dây ñược thả ra không vận tốc ñầu Tìm dao 0ñộng của dây ở thời ñiểm t> 0

4 Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l ( 0≤ ≤ ) với các mút gắn chặt nếu ñộ lệch ban ñầu x ℓcủa các ñiểm trên dây bằng không và ở thời ñiểm ñầu tiên dây ñược truyền cho một xung lực tập trung với cường ñộ I tại x0 (0<x0< ℓ )

6 Một sợi dây ñàn hồi chiều dài (0ℓ ≤ ≤x ℓ) với các mút gắn chặt ñược kích thích dao ñộng bằng cách truyền cho nó một vận tốc ban ñầu có dạng :

0 0

Tìm dao ñộng của dây lúc t> nếu ñộ lệch ban ñầu của dây bằng 0 0

7 Xác ñịnh dao ñộng của dây hữu hạn gắn chặt tại các mút x=0,x= ℓ biết rằng ñộ lệch ban ñầu của dây bằng 0 còn vận tốc ban ñầu của dây cho bởi :

0cos( ) khi | |

2( , 0)

Trang 3

ðiều kiện ñầu : u x ( , 0) = u xt( , 0) = 0 (3)

Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :

Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm

Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :

+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :

Trang 4

n n

§2 Bài toán dao ñộng của dây với mút x = 0 cột chặt còn mút x = l ñể tự do

1 Dao ñộng tự do của dây với mút x = 0 cột chặt còn mút x = l ñể tự do

tt xx

u = a u < < x l t > (1) ðiều kiện biên : u (0, ) t = u l tx( , ) = 0 (2)

Trang 5

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : X x ( ) = C1cos λ + x C2sin λ x Từ ñiều kiện

T t + λ a T t = ; Nghiệm tổng quát của phương trình

2 Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút x = 0 cột chặt còn mút x = l ñể tự do

tt xx

u = a u + f x t < < x l t > (1) ðiều kiện biên : u (0, ) t = u l tx( , ) = 0 (2)

Trang 6

§3 Bài toán dao ñộng của dây với mút x = l cột chặt còn mút x = 0 ñể tự do

1 Dao ñộng tự do của dây với mút x = l cột chặt còn mút x = 0 ñể tự do

tt xx

u = a u < < x l t > (1) ðiều kiện biên : ux(0, ) t = u l t ( , ) = 0 (2)

Trang 7

Khi λ = λn , phương trình (4) trở thành : 2 2

T t + λ a T t = ; Nghiệm tổng quát của phương trình

Trang 8

§4 Bài toán dao ñộng của dây với các mút x = 0 và x = l ñể tự do

1 Dao ñộng tự do của dây với các mút x = 0 và x = l ñể tự do

tt xx

u = a u < < x l t > (1) ðiều kiện biên : ux(0, ) t = u l tx( , ) = 0 (2)

+ Khi λ ≠ 0, nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : X x ( ) = C1cos λ + x C2sin λ x

Từ ñiều kiện X '(0) = ⇒ 0 C2 = 0 ; Từ ñiều kiện X l '( ) 0 C1sin l 0 l n ( n )

Trang 9

Thay các biểu thức tìm ñược của a bn, n vào (6) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng ( , ) ( , ) t ( )

u x t = v x t + e f x− Trong ñó f x ( ) chọn sao cho thoả mãn ñiều kiện sau : 2

0 ( ) 0 ( )

u t = f t (7) với ñiều kiện ñầu (6) trở thành : '

0 (0) 0 (0) 0

u = u = (8) Nghiệm của (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng : 0

Chú ý : Nghiệm của (5) khi n > 0 có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :

(0)

Trang 10

+ Giả sử u tn( ) là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :

l n

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng u x t ( , ) = v x t ( , ) + f x ( ) sin 2 t Trong ñó f x ( ) ñược chọn sao

+ = − = = Khi ñó v x t ( , ) là nghiệm của bài toán biên sau : 2

Trang 11

Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình truyền nhiệt

§1 Bài toán truyền nhiệt trên thanh với hai mút x = 0 và mút x = l ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng 0

1 Truyền nhiệt tự do trên thanh với hai mút x = 0 và mút x = l ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng 0

Phương trình truyền nhiệt : 2

t xx

u = a u < < x l t > (1) ðiều kiện biên : u (0, ) t = u l t ( , ) = 0 (2)

ðiều kiện ñầu : u x ( , 0) = ϕ ( ) x (3)

l n

Trang 12

n n

0

t n a n

u ℓ t = Ae− Tìm phân bố nhiệt trong thanh lúc t> 0

ðS :

2 2

2 2 2 1

Trang 13

10 Cho một thanh mỏng, ñồng chất chiều dài ℓ với các mặt bên cách nhiệt; ñầu x= của thanh 0ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng u , ñầu x1 = ℓ ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng u Tìm 2phân bố nhiệt trên thanh lúc t> Biết rằng nhiệt ñộ ban ñầu của thanh là 0 u không ñổi 0

11 Cho một thanh mỏng, ñồng chất chiều dài ℓ với các mặt bên cách nhiệt; các mút x= và 0

x= ℓ ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng 0 Tìm phân bố nhiệt trên thanh lúc t> Biết rằng 0nhiệt ñộ ban ñầu của thanh có dạng :

ðiều kiện ñầu : u x ( , 0) = 0 (3)

t

u t =∫ f τ − λ a t − τ d τ (7) Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm

Trang 14

1 Truyền nhiệt tự do trên thanh với mút x = 0 có nhiệt ñộ bằng 0, mút x = l cách nhiệt

t xx

u = a u < < x l t > (1) ðiều kiện biên : u (0, ) t = u l tx( , ) = 0 (2)

Trang 15

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : u x t ( , ) = v x t ( , ) + w x ( ), trong ñó w x ( ) là nghiệm của bài toán sau : 2

k k

1 cos

k

a t t

ðiều kiện ñầu : u x ( , 0) = 0 (3)

t

+ Từ ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh hệ số Cn

§3 Bài toán truyền nhiệt trên thanh với mút x = l có nhiệt ñộ bằng 0, mút x = 0 cách nhiệt

1 Truyền nhiệt tự do trên thanh với mút x = l có nhiệt ñộ bằng 0, mút x = 0 cách nhiệt

t xx

u = a u < < x l t > (1)

Trang 16

ðiều kiện biên : ux(0, ) t = u l t ( , ) = 0 (2)

ðiều kiện ñầu : u x ( , 0) = 0 (3)

Trang 17

= ∫ λ Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm u tn( )

như sau : un(0) = 0 (6) Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :

2 2 0

t

+ Từ ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh hệ số Cn

§4 Bài toán truyền nhiệt trên thanh với các mút x = 0 và x = l cách nhiệt

1 Truyền nhiệt tự do trên thanh với các mút x = 0 và x = l cách nhiệt

t xx

u = a u < < x l t > (1) ðiều kiện biên : ux(0, ) t = u l tx( , ) = 0 (2)

Trang 18

Thay biểu thức tìm ñược của cn vào (6) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm

2 Truyền nhiệt trên thanh với hai mút x = 0 và x = l cách nhiệt khi có nguồn nhiệt

t xx

u = a u + f x t < < x l t > (1) ðiều kiện biên : ux(0, ) t = u l tx( , ) = 0 (2)

Nghiệm của (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng : 0 0

0

t

u t =∫ f τ τ d (9) + Khi n > 0, nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :

Trang 19

2 2 0

u t =∫ f τ − λ a t − τ d τ (10) Thay (9) và (10) vào (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm dưới dạng :

Chú ý : Nghiệm của (5) khi n > 0 có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :

n n

Trang 20

Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình Laplace trong

Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : u x y ( , ) = X x Y y ( ) ( ) Thay biểu thức này

Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược : X (0) = X p ( ) = 0 (6)

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : X x ( ) = C1cos λ + x C2sin λ x

Từ ñiều kiện (6) ta có : X (0) = ⇒ 0 C1= 0 ; X p ( ) = ⇒ 0 C2sin λ = ⇒ λ = π p 0 p n ( n = 1, 2, )

p n

Giải hệ (12), (13) ta tìm ñược a bn, n; thay vào (9) ta ñược nghiệm của phương trình cho

Chú ý : Nếu ñiều kiện biên ñược cho theo y thì trong các công thức ở trên ta chỉ cần thực hiện việc ñổi lẫn vai trò của các ñại lượng như sau : x ↔ y ; X ↔ Y ; p ↔ q , ta sẽ nhận ñược nghiệm của bài toán tương ứng

Trang 21

Bài 2 Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật D{0 ≤ ≤ x a , 0 ≤ ≤ y b}, thoả mãn ñiều kiện biên sau : u (0, ) y = Ay b ( − y u a y ), ( , ) = 0 (0 ≤ ≤ y b );

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng u x y ( , ) = u x y1( , ) + u x y2( , ), trong ñó :

- u x y1( , ) là hàm ñiều hoà trong D và thoả mãn ñiều kiện biên :

Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược : X '(0) = X p ( ) = 0 (6)

Từ ñiều kiện (6) ta có : X '(0) = ⇒ 0 C2 = 0 ; ( ) 0 2cos 0 (2 1) ( 0,1, )

Trang 22

Giải hệ (12), (13) ta tìm ñược a bk, k; thay vào (9) ta ñược nghiệm của phương trình cho

Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược : X (0) = X '( ) p = 0 (6)

Từ ñiều kiện (6) ta có : X (0) = ⇒ 0 C1= 0 ; '( ) 0 2cos 0 (2 1) ( 0,1, )

Giải hệ (12), (13) ta tìm ñược a bk, k; thay vào (9) ta ñược nghiệm của phương trình cho

p k

Trang 23

Bài 2 Giải phương trình : ∆ = u 0 (0 < < ∞ < < x , 0 y l )

Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược : X '(0) = X p '( ) = 0 (6)

Từ ñiều kiện (6) ta có : X '(0) = ⇒ 0 C2 = 0 ; X '( ) p = ⇒ λ 0 C1sin λ = ⇒ λ = π p 0 p k ( k = 0,1, )

p

p + = ∫ψ (13)

0

2

( ) cos

p k

Trang 24

Phương pháp tách biến giải các bài toán biên trong cho phương trình Laplace

( , ) :

Bài toán : Tìm hàm u x y ( , ) xác ñịnh và liên tục trong miền hình tròn D với biên là ñường tròn

( ) C tâm O bán kính R, thoả mãn phương trình :

( , ) 0 ; ( , )

với ñiều kiện biên : uC = f P ( ) ( , ) P x y ∈ ( ) C (2)

Sử dụng hệ toạ ñộ cực ( , ) r ϕ : x = r cos , ϕ y = r sin (0 ϕ ≤ < r R , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 ) Khi ñó phương trình (1) và ñiều kiện (2) trở thành :

Nghiệm tổng quát của (6) có dạng : Φ ϕ =λ( ) aλcos λϕ + bλsin λϕ (8)

Thay (8) vào (7) ta nhận ñược : sin λϕ = sin(λϕ + λπ 2 ) và cos λϕ = cos(λϕ + λπ 2 ) Từ ñó ta tìm

tìm dưới dạng : F r ( ) = rk ( k = const ) Thay biểu thức này vào phương trình (11) ta nhận ñược phương trình : 2 2

F r = r Như vậy, khi λ = λ = n n, phương trình (3) có nghiệm riêng là u rn( , ) ϕ = F rn( ) Φ ϕn( ) Do

bằng cách thay (12) vào ñiều kiện biên tương ứng

Bài tập áp dụng

Bài 1 Trong hình tròn 0 ≤ < r R tìm hàm ñiều hòa thỏa mãn các ñiều kiện biên sau :

Trang 25

c u Rr( , ) ϕ + hu R ( , ) ϕ = + T Q sin ϕ + U cos 3 ϕ

ðS : a

2

2 1

k

α + π

với ñiều kiện biên : uC = f P ( ) ( , ) P x y ∈ ( ) C (2)

Sử dụng hệ toạ ñộ cực ( , ) r ϕ : x = r cos , ϕ y = r sin ( ϕ R ≤ < +∞ ≤ ϕ ≤ π r , 0 2 ) Khi ñó phương trình (1) và ñiều kiện (2) trở thành :

Trang 26

= = α = β (16) Thay (16) vào (12) ta nhận ñược nghiệm của bài toán Dirichlet trong cho phương trình Laplace trong miền hình tròn dưới

bằng cách thay (12) vào ñiều kiện biên tương ứng

Trang 27

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	352,94 KB