Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
352,94 KB
Nội dung
1
MỘT SỐBÀITOÁNBIÊNCỦAPHƯƠNGTRÌNHVẬTLÝTOÁN
Phương pháp tách biến giải các bàitoánbiên cho phươngtrình dao ñộng
§1. Bàitoán dao ñộng của dây với hai mút
0
x
=
và
x
ℓ
=
cột chặt
1. Dao ñộng tự do của dây với hai mút
0x
=
và
x
ℓ
=
cột chặt
Phươngtrình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x t
ℓ
= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0u t u t
ℓ
= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phươngtrình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phươngtrình cho các hàm
( )
X x
và
( )
T t
như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x
+ λ =
+ λ =
Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0u t X T t X
= = ⇒ =
( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u t X T t X
ℓ ℓ ℓ
= = ⇒ =
Nghiệm tổng quát củaphươngtrình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
Từ ñiều kiện
1
(0) 0 0X C= ⇒ =
;
Từ ñiều kiện
2
( ) 0 sin 0 ( 1,2, )X C n n
ℓ ℓ ℓ
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = π =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
n
n
ℓ
π
λ = λ =
(6) ; chọn
2
1
C
=
, ta ñược :
( ) sin
n
n x
X x
ℓ
π
=
(7)
Khi
n
λ = λ
, phươngtrình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát củaphươngtrình
này có dạng :
( ) cos sin cos sin
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
ℓ ℓ
π π
= λ + λ = +
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
1
( , ) cos sin sin
n n
n
n at n at n x
u x t a b
ℓ ℓ ℓ
∞
=
π π π
= +
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x t
ta có :
1
( ,0) sin ( )
n
n
n x
u x a x
∞
=
π
= = ϕ
∑
ℓ
(10)
0
( ,0) sin ( )
t n
n
n a n x
u x b x
∞
=
π π
= = ψ
∑
ℓ ℓ
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2
( )sin
n
n x
a x dx
π
= ϕ
∫
ℓ
ℓ ℓ
0
2
( )sin
n
n x
b x dx
n a
π
= ψ
π
∫
ℓ
ℓ
Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (9) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm .
Các bài tập áp dụng :
1. Tìm các dao ñộng ngang của dây gắn chặt tại hai mút
0,
x x
= =
ℓ
, nếu vận tốc ban ñầu bằng
không và dạng ban ñầu của dây là một cung parabol ñối xứng với ñường vuông góc qua trung
ñiểm của dây.
ðS :
3 3
0
32 1 (2 1) (2 1)
( , ) cos sin
(2 1)
k
h k at k x
u x t
k
∞
=
+ π + π
=
π +
∑
ℓ ℓ
2. Một dây chiều dài
ℓ
ñược gắn chặt tại các mút
0,
x x
= =
ℓ
. ðiểm
x c
=
xủa nó ñược kéo lên
2
khỏi vị trí cân bằng một ñoạn
h
nhỏ và lúc
0
t
=
dây ñược thả ra không vận tốc ñầu. Tìm dao
ñộng của dây ở thời ñiểm
0
t
>
.
ðS :
2
2 2
1
2 1
( , ) sin cos sin
( )
n
h n c n at n x
u x t
c c n
∞
=
π π π
=
π −
∑
ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ
3. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l (
0
x
ℓ
≤ ≤
) với các mút gắn chặt nếu ở thời ñiểm ñầu
tiên dây ở trạng thái yên nghỉ và một ñoạn (a,b) của nó (
0
a b
< < <
ℓ
) ñược truyền cho một vận
tốc ban ñầu không ñổi bằng v
0
4. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l (
0
x
ℓ
≤ ≤
) với các mút gắn chặt nếu ñộ lệch ban ñầu
của các ñiểm trên dây bằng không và ở thời ñiểm ñầu tiên dây ñược truyền cho một xung lực tập
trung với cường ñộ I tại x
0
(
0
0 x
< <
ℓ
).
ðS :
0
1
2 1
( , ) sin sin sin
n
n x
I n at n x
u x t
a n l l l
∞
=
π
π π
=
π ρ
∑
5. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài
ℓ
(
0
x
ℓ
≤ ≤
) với các mút gắn chặt. Trước lúc t = 0 dây ở trạng
thái cân bằng dưới tác dụng của lực F
0
ñặt tại x
0
trên dây và vuông góc với vị trí cân bằng của
dây.Lúc t = 0, tác dụng của lực F
0
triệt tiêu. Tìm dao ñộng của dây lúc t >0
6. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài
(0 )x
ℓ ℓ
≤ ≤
với các mút gắn chặt ñược kích thích dao ñộng bằng
cách truyền cho nó một vận tốc ban ñầu có dạng :
0
0
0 0 0
0
0 0
( )
( ,0) cos
2
0
t
khi x x
x x
u x v khi x x x
khi x x
≤ ≤ −δ
π −
= −δ ≤ ≤ +δ
δ
−δ ≤ ≤
ℓ
Tìm dao ñộng của dây lúc
0
t
>
nếu ñộ lệch ban ñầu của dây bằng 0
7. Xác ñịnh dao ñộng của dây hữu hạn gắn chặt tại các mút
0,
x x
= =
ℓ
biết rằng ñộ lệch ban
ñầu của dây bằng 0 còn vận tốc ban ñầu của dây cho bởi :
0
cos( ) khi | |
2
( ,0)
0 khi | - |
2
t
v x c x c
u x
x c
π
− − <
=
π
>
ðS :
0
2 2
1
sin cos
4
2
( , ) sin sin
1
n
n c n
v
n at n x
l l
u x t
a l l
n
n
l
∞
=
π π
π π
=
π
π
−
∑
8. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại mút
0
x
=
còn mút
x
=
ℓ
chuyển ñộng theo quy luật
sin
A t
ω
. Biết rằng ñộ lệch ban ñầu và vận tốc ban ñầu của dây bằng 0.
ðS :
1
2
1
2
sin sin
2 ( 1)
( , ) sin sin
sin
n
n
x
A t
A a n at n x
a
u x t
l
l l l
n a
a
l
+
∞
=
ω
ω
ω − π π
= +
ω
π
ω −
∑
9. Giải phươngtrình :
2
+ ( ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x x t
ℓ
= < < >
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
ℓ
= α = β = =
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x
= +
, trong ñó :
( )W x
thoả mãn phương
trình
2
''( ) ( ) 0a W x f x+ =
với ñiều kiện :
(0) , ( )W W
ℓ
= α = β
. Khi ñó , hàm
( , )v x t
sẽ là nghiệm của
bài toánbiên sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x t
ℓ
= < < >
(0, ) ( , ) 0;v t v t
ℓ
= =
( ,0) ( ), ( ,0) 0
t
v x W x v x
= − =
3
ðS :
( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x
= +
, trong ñó :
1
( , ) cos sin
n
n
n at n x
v x t a
l
ℓ
∞
=
π π
=
∑
với :
0
2
( )sin
n
n x
a W x dx
ℓ
ℓ ℓ
π
= −
∫
và
2 2
0 0 0 0
1
( ) ( ) ( )
y y
x
x
W x x f d dy f d dy
a a
ℓ
ℓ ℓ
β − α
= + α − ξ ξ + ξ ξ
∫ ∫ ∫ ∫
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút
0x
=
và mút
x
ℓ
=
cột chặt
Phươngtrình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x t x t
ℓ
= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0u t u t
ℓ
= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
1
( , ) ( )sin
n
n
n x
u x t u t
ℓ
∞
=
π
=
∑
(4).
Thay biểu thức này vào phươngtrình (1) ta tìm ñược phươngtrình cho
( )
n
u t
dưới dạng :
2
''
( ) ( ) ( )
n n n
n a
u t u t f t
ℓ
π
+ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )sin
n n
f t f x t xdx
ℓ
ℓ
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t
như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
0
( ) ( )sin ( )
t
n n
n a
u t f t t d
n a
ℓ
ℓ
π
= − τ τ
π
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát củaphươngtrình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)
( ) cos sin
n n n
n at n at
u t a b
ℓ ℓ
π π
= +
+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos sin ( )
n n n n n n
n at n at
u t u t u t a b u t
ℓ ℓ
π π
= + = + +
+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,
n n
a b
.
Các bài tập áp dụng :
1. Giải phươngtrình :
2
+ sin (0 , 0)
t
tt xx
x
u a u Ae x tℓ
ℓ
−
π
= < < >
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
ℓ
= = = =
ðS :
2
( , ) cos sin sin
1
t
A a t a t x
u x t e
a
a
ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ
−
π π π
= − +
π
π
+
2. Giải phươngtrình :
2
+ (0 , 0)
t
tt xx
u a u Axe x t
ℓ
−
= < < >
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
ℓ
= = = =
ðS :
1
2
1
2 ( 1)
( , ) cos sin sin
1
n
t
n
A n at n at n x
u x t e
n a
n a
ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ
+
∞
−
=
− π π π
= − +
π π
π
+
∑
3. Giải phươngtrình : sin sin2 (0 1, 0)
tt xx
u u t x x t
= + π < < >
(0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =
4. Giải phươngtrình : 1 (0 1, 0)
tt xx
u u x t
= + < < >
(0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =
4
5. Giải phươngtrình :
2
sh (0 , 0)
tt xx
u a u b x x t
= + < < >
ℓ
(0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =
ℓ
6. Giải phươngtrình :
( ) (0 , 0)
tt xx
u u bx x x t
= + − < < >
ℓ ℓ
(0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =
ℓ
7. Giải phươngtrình :
(0 , 0)
tt xx
u u x t= < < π >
2 3
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin , ( ,0) 0
t
u t t u t t u x x u x= π = = =
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t
= +
, trong ñó
( , )W x t
chọn dưới dạng
2 3 2 2 3
( , ) ( ) 1
x x x
W x t t t t t t
= + − = − +
π π π
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm củabàitoánbiên sau :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
v a v f x t x t= + < < π >
(0, ) ( , ) 0
v t v t
= π =
( ,0) sin , ( ,0) 0
t
v x x v x= =
với
6
( , ) 2 1
tt
x xt
f x t W
= − = − − −
π π
ðS :
2 3
3
1
4 1 ( 1) 3
( , ) 1 cos sin ( 1) 3 1 cos sin sin
n
n
n
x x
u x t t t t x t nt nt nx
n n
∞
=
−
= − + + + − − + −
π π π
∑
8. Giải phươngtrình :
(0 , 0)
tt xx
u u x t= < < π >
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin cos , ( ,0) 1
t
t
u t e u t t u x x x u x
−
= π = = =
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t
= +
, trong ñó
( , )W x t
chọn dưới dạng
( , ) ( ) 1
t t t
x x xt
W x t e t e e
− − −
= + − = − +
π π π
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm củabàitoánbiên sau :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
v a v f x t x t= + < < π >
(0, ) ( , ) 0v t v t
= π =
( ,0) sin , ( ,0) 0
t
v x x v x= =
với
( , ) 1
t
tt
x
f x t W e
−
= − = − −
π
ðS :
2
2
1
1 2 1 1
( , ) 1 cos 2 sin 2 cos 2 sin sin
2 ( 1)
t t
n
x xt
u x t e t x e n nt n nt nx
n n n
∞
− −
=
= − + + − + − +
π π π +
∑
9. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại hai mút
0,
x x
= =
ℓ
trong môi trường có lực cản tỷ lệ
với vận tốc, biết các ñiều kiện ñầu ( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x
= ϕ = ψ
.
§2. Bàitoán dao ñộng của dây với mút
0x
=
cột chặt còn mút
x l
=
ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với mút
0x
=
cột chặt còn mút
x l
=
ñể tự do.
Phươngtrình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phươngtrình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phươngtrình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x
+ λ =
+ λ =
Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0u t X T t X
= = ⇒ =
( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0
x
u l t X l T t X l= = ⇒ =
5
Nghiệm tổng quát củaphươngtrình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
. Từ ñiều kiện
1
(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
2
(2 1)
'( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
n
X l C l l n
+ π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ = λ =
(6) ; chọn
2
1C =
, ta ñược :
(2 1)
( ) sin
2
n
n x
X x
l
+ π
=
(7)
Khi
n
λ = λ
, phươngtrình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát củaphươngtrình
này có dạng :
(2 1) (2 1)
( ) cos sin cos sin
2 2
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
l l
+ π + π
= λ + λ = +
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
0
(2 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin sin
2 2 2
n n
n
n at n at n x
u x t a b
l l l
∞
=
+ π + π + π
= +
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )
u x t
ta có :
0
(2 1)
( ,0) sin ( )
2
n
n
n x
u x a x
l
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
0
(2 1) (2 1)
( ,0) sin ( )
2 2
t n
n
n a n x
u x b x
l l
∞
=
+ π + π
= = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2 (2 1)
( )sin
2
l
n
n x
a x dx
l l
+ π
= ϕ
∫
0
4 (2 1)
( )sin
(2 1) 2
l
n
n x
b x dx
n a l
+ π
= ψ
+ π
∫
Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (9) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm .
Các bài tập áp dụng :
1. Giải phươngtrình :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >
3
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) , ( ,0) sin sin
2 2
x t
x x
u t u l t u x x u x
l l
π π
= = = = +
ðS :
2 2 3 3
( , ) sin sin sin sin
2 2 3 2 2
l a t x l a t x
u x t
a l l a l l
π π π π
= +
π π
2. Giải phươngtrình :
(0 , 0)
tt xx
u u x t= < < π >
(0, ) , ( , ) 1 ; ( ,0) sin , ( ,0) 1
2
x t
x
u t t u t u x u x= π = = =
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t
= +
, trong ñó
( , )W x t
chọn sao cho :
(0, ) , ( , ) 1
x
W t t W t= π =
. Ta có thể chọn :
( , )W x t x t
= +
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm củabàitoánbiên
sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x t= < < π >
(0, ) ( , ) 0
x
v t v l t= =
( ,0) ( ,0) ( ,0) sin
2
x
v x u x W x x
= − = −
,
( ,0) ( ,0) ( ,0) 0
t t t
v x u x W x
= − =
ðS :
2
0
8 ( 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin cos sin
2 2 (2 1) 2 2
k
k
t x k t k x
u x t x t
k
∞
=
− + +
= + + −
π +
∑
3. Một dây ñồng chất chiều dài
ℓ
ñược gắn chặt tại mút
0
x
=
, mút
x
=
ℓ
ñược nối với một vòng
không khối lượng, vòng này có thể trượt theo một thanh nhẵn thẳng ñứng và nó lệch khỏi vị trí
cân bằng một ñoạn
h
, vào lúc
0
t
=
nó ñược thả ra. Tìm dao ñộng của dây lúc
0
t
>
.
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút
0x
=
cột chặt còn mút
x l
=
ñể tự do.
Phươngtrình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t
= =
(2)
6
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )sin
n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phươngtrình (1) ta tìm ñược phươngtrình cho
( )
n
u t
dưới dạng :
'' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )sin
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t
như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
[ ]
0
1
( ) ( )sin ( )
t
n n n
n
u t f t a t d
a
= λ − τ τ
λ
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát củaphươngtrình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)
( ) cos( ) sin( )
n n n n n
u t a a t b a t= λ + λ
+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )
n n n n n n n n
u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ +
+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,
n n
a b
.
Bài tập áp dụng :
1. Giải phươngtrình :
2
+ sin (0 , 0)
tt xx
u a u A t x l t= < < >
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
x t
u t u l t u x u x= = = =
ðS :
2
0
4 1 2 (2 1) (2 1)
( , ) sin sin sin
(2 1) 2 2
(2 1)
(2 1) 1
2
k
A l k at k x
u x t t
k a l l
k a
k
l
∞
=
+ π + π
= −
π + π
+ π
+ −
∑
§3. Bàitoán dao ñộng của dây với mút
x l
=
cột chặt còn mút
0x
=
ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với mút
x l
=
cột chặt còn mút
0x
=
ñể tự do.
Phươngtrình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t
= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phươngtrình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phươngtrình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x
+ λ =
+ λ =
Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0
x
u t X T t X= = ⇒ =
( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u l t X l T t X l
= = ⇒ =
Nghiệm tổng quát củaphươngtrình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
. Từ ñiều kiện
2
'(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
1
(2 1)
( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
n
X l C l l n
+ π
= ⇒ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ = λ =
(6) ; chọn
1
1C =
, ta ñược :
(2 1)
( ) cos
2
n
n x
X x
l
+ π
=
(7)
7
Khi
n
λ = λ
, phươngtrình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát củaphươngtrình
này có dạng :
(2 1) (2 1)
( ) cos sin cos sin
2 2
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
l l
+ π + π
= λ + λ = +
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
0
(2 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin cos
2 2 2
n n
n
n at n at n x
u x t a b
l l l
∞
=
+ π + π + π
= +
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x t
ta có :
0
(2 1)
( ,0) cos ( )
2
n
n
n x
u x a x
l
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
0
(2 1) (2 1)
( ,0) cos ( )
2 2
t n
n
n a n x
u x b x
l l
∞
=
+ π + π
= = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2 (2 1)
( )cos
2
l
n
n x
a x dx
l l
+ π
= ϕ
∫
0
4 (2 1)
( )cos
(2 1) 2
l
n
n x
b x dx
k a l
+ π
= ψ
+ π
∫
Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (9) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm .
Bài tập áp dụng
1. Giải phươngtrình :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >
3 5
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) cos , ( ,0) cos cos
2 2 2
x t
x x x
u t u l t u x u x
l l l
π π π
= = = = +
ðS :
2 3 3 2 5 5
( , ) cos cos sin cos sin cos
2 2 3 2 2 5 2 2
at x l at x l at x
u x t
l l a l l a l l
π π π π π π
= + +
π π
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút
x l
=
cột chặt còn mút
0x
=
ñể tự do.
Phươngtrình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )cos
n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phươngtrình (1) ta tìm ñược phươngtrình cho
( )
n
u t
dưới dạng :
'' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )cos
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t
như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6)
Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
[ ]
0
1
( ) ( )sin ( )
t
n n n
n
u t f t a t d
a
= λ − τ τ
λ
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát củaphươngtrình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)
( ) cos( ) sin( )
n n n n n
u t a a t b a t= λ + λ
+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )
n n n n n n n n
u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ +
+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,
n n
a b
.
8
Bài tập áp dụng
1. Giải phươngtrình :
2
+ cos (0 , 0)
2
t
tt xx
x
u a u Ae x l t
l
−
π
= < < >
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
x t
u t u l t u x u x= = = =
ðS :
2
2
( , ) cos sin cos
2 2 2
1
2
t
A a t l a t x
u x t e
l a l l
a
l
−
π π π
= − +
π
π
+
§4. Bàitoán dao ñộng của dây với các mút
0x
=
và
x l
=
ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với các mút
0x
=
và
x l
=
ñể tự do.
Phươngtrình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phươngtrình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phươngtrình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x
+ λ =
+ λ =
Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0
x
u t X T t X
= = ⇒ =
( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0
x
u l t X l T t X l= = ⇒ =
+ Khi
0
λ =
, phươngtrình (5) trở thành :
''( ) 0 ( )X x X x Ax B
= ⇒ = +
. Từ ñiều kiện
'(0) '( ) 0X X l
= =
ta tìm ñược :
0 , 0A B
= ≠
. Ta có thể chọn
1
B
=
. Như vậy khi
0
0λ = λ =
,
phương trình (5) có nghiệm :
0
( ) 1X x =
.
Lúc này phươngtrình (4) trở thành
0 0 0
''( ) 0 ( )T t T t a b t= ⇒ = +
+ Khi
0
λ ≠
, nghiệm tổng quát củaphươngtrình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
Từ ñiều kiện
2
'(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
1
'( ) 0 sin 0 ( )
n
X l C l l n
l
π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = ∈ℕ
.
Từ ñó ta nhận ñược :
n
n
l
π
λ = λ =
; chọn
2
1C =
, ta ñược :
( ) cos
n
n x
X x
l
π
=
Khi
n
λ = λ
, phươngtrình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát củaphươngtrình
này có dạng :
( ) cos sin cos sin
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
l l
π π
= λ + λ = +
Như vậy nghiệm tổng quát củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
0 0
0 1
( , ) ( ) ( ) cos sin cos
n n n n
n n
n at n at n x
u x t X x T t a b t a b
l l l
∞ ∞
= =
π π π
= = + + +
∑ ∑
(6)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (6) cho
( , )
u x t
ta có :
0
1
( ,0) cos ( )
n
n
n x
u x a a x
l
∞
=
π
= + = ϕ
∑
(7)
0
0
( ,0) cos ( )
t n
n
n a n x
u x b b x
l l
∞
=
π π
= + = ψ
∑
(8)
Từ (7) và (8) ta tìm ñược :
0
0 0
1 2
( ) , ( )cos ( 1)
l l
n
n x
a x dx a x dx n
l l l
π
= ϕ = ϕ >
∫ ∫
0
0 0
1 2
( ) , ( )cos ( 1)
l l
n
n x
b x dx b x dx n
l n a l
π
= ψ = ψ >
π
∫ ∫
9
Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (6) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm .
Bài tập áp dụng.
1. Giải phươngtrình :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t
= < < >
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) , ( ,0) 1
x x t
u t u l t u x x u x= = = =
ðS :
2 2
0
4 1 (2 1) (2 1)
( , ) cos cos
2 (2 1)
k
l l k at k x
u x t t
k l l
∞
=
+ π + π
= + −
π +
∑
2. Giải phươngtrình :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >
ch ch
(0, ) 0, ( , ) ; ( ,0) , ( ,0)
sh sh
t
x x t
x x
Aa Aa
a a
u t u l t Ae u x u x
l l
a a
−
= = = = −
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( )
t
u x t v x t e f x
−
= +
. Trong ñó
( )f x
chọn sao cho thoả
mãn ñiều kiện sau :
2
''( ) ( ) 0 , '(0) 0, '( )a f x f x f f l A− = = =
. Khi ñó,
( , )v x t
là nghiệm củabàitoán
biên sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x l t= < < >
(0, ) ( , ) 0 , ( ,0) ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ,0) ( )
t t
v t v l t v x u x f x v x u x f x= = = − = +
ðS :
( , )
t
Aa x
u x t e ch
l
a
sh
a
−
=
.
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với các mút
0
x
=
và
x l
=
ñể tự do.
Phươngtrình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm củaphươngtrình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )cos
n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với
n
n
l
π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phươngtrình (1) ta tìm ñược phươngtrình cho
( )
n
u t
dưới dạng :
'' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t
+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )cos
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t
như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6)
+ Khi
0n
=
, phươngtrình (5) trở thành :
''
0 0
( ) ( )u t f t=
(7)
với ñiều kiện ñầu (6) trở thành :
'
0 0
(0) (0) 0u u= =
(8)
Nghiệm của (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng :
0
0 0
( ) ( )
t
n
u t d f d
τ
= τ ξ ξ
∫ ∫
(9)
+ Khi
0n
>
, nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
[ ]
0
1
( ) ( )sin ( )
t
n n n
n
u t f t a t d
a
= λ − τ τ
λ
∫
(10)
Thay (9) và (10) vào (4) ta nhận ñược nghiệm củabàitoán cần tìm dưới dạng :
0
1
( , ) ( ) ( )cos
n n
n
u x t u t u t x
∞
=
= + λ
∑
Chú ý
: Nghiệm của (5) khi
0n
>
có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát củaphươngtrình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)
( ) cos( ) sin( )
n n n n n
u t a a t b a t
= λ + λ
10
+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )
n n n n n n n n
u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ +
+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,
n n
a b
.
Bài tập áp dụng
1. Giải phươngtrình :
2
+ ( ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x x l t= < < >
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
x x t
u t u l t u x x u x x= α = β = ϕ = ψ
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x
= +
với :
2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )W x a x b x a x b x= + α + + β
, các hệ số
1 2 1 2
, , ,a a b b
ñược chọn sao cho hàm
( )W x
thoả
mãn ñiều kiện biên
'(0) , '( )W W l
= α = β
.
ðS :
2 2
0
0 0
( , )
2 2
f
u x t x x t t
l
β − α
= + α + ϕ + ψ + +
2 2
1
1
cos sin cos
n n n n
n
l n at l n at n x
f f
n a n a l n a l l
∞
=
π π π
+ + ϕ − + ϕ
π π π
∑
Trong ñó :
2
0
( )
( ) cos
l
n
n
a n x
f f x dx
l l l
δ
β − α π
= +
∫
,
2
0
( )
( ) cos
2
l
n
n
x n x
x x dx
l l l
δ
β − α π
ϕ = ϕ − − α
∫
0
0
( )cos , 1, 2 ( 1,2, )
l
n
n k
n x
x dx k
l l
δ
π
ψ = ψ δ = δ = =
∫
2. Giải phươngtrình :
2
sin 2 (0 , 0)
tt xx
u a u t x l t
= + < < >
2 2 2
(0, ) 0, ( , ) sin sin 2 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 2cos
x x t
l x
u t u l t t u x u x
a a a
= = = = −
Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( )sin 2u x t v x t f x t
= +
. Trong ñó
( )f x
ñược chọn sao
cho thoả mãn ñiều kiện sau :
2
2 2
''( ) 4 ( ) 1, '(0) 0, '( ) sin
l
a f x f x f f l
a a
+ = − = =
. Khi ñó
( , )v x t
là
nghiệm củabàitoánbiên sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x l t= < < >
(0, ) ( , ) 0 , ( ,0) 0 , ( ,0) ( ,0) 2 ( )
x x t t
v t v l t v x v x u x f x= = = = −
ðS :
1 2
( , ) cos sin 2
2 4
t x
u x t t
a
= − +
.
[...]... thay vào (9) ta ñư c nghi m c a phươngtrình cho Bài t p áp d ng Bài 1 Gi i phươngtrình : ∆u = 0 (0 < x < p, 0 < y < s) u x (0, y ) = u x ( p, y ) = 0 ; u ( x, 0) = A, u ( x, s ) = Bx ðS : u (, y ) = ( pB − 2 A) y 4 pB ∞ 1 (2k + 1)πx (2k + 1)πy + A− 2 ∑ cos sh 2s π k =0 (2k + 1) 2 sh (2k + 1)πs p p p 23 Phương pháp tách bi n gi i các bàitoán biên trong cho phươngtrình Laplace trong mi n hình tròn... 3r 4r r k =3 4 − k r Phương pháp tách bi n gi i các bàitoán biên cho phươngtrình Laplace trong mi n hình vành khăn D = {( x, y ) : R1 < x 2 + y 2 < R 2 } Bàitoán : Tìm hàm u ( x, y ) xác ñ nh và liên t c trong mi n D v i biên là các ñư ng tròn (C1 ), (C2 ) tâm O bán kính l n lư t b ng R1 , R2 ; tho mãn phươngtrình : ∆u ( x, y ) = 0 ; (x, y ) ∈ D (1) v i ñi u ki n biên : u C = fi ( P) P( x,.. .Phương pháp tách bi n gi i các bàitoán biên cho phươngtrình truy n nhi t §1 Bàitoán truy n nhi t trên thanh v i hai mút x = 0 và mút x = l ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0 1 Truy n nhi t t do trên thanh v i hai mút x = 0 và mút x = l ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0 Phươngtrình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u (0, t ) = u (l , t )... ñó : α (2k + 1)πϕ dϕ 2α Bài 3 Tìm phân b nhi t d ng trong m t t m m ng hình bán nguy t bán kính R n u nhi t ñ trên biên cong b ng U 0 và nhi t ñ trên biên th ng b ng 0 4U ðS : u (r , ϕ) = 0 π ∞ 1 r ∑ 2k + 1 R k =0 2 k +1 sin(2k + 1)ϕ Phương pháp tách bi n gi i các bàitoán biên ngoài cho phươngtrình Laplace trong mi n hình tròn D = {( x, y ) : x 2 + y 2 > R 2 } Bàitoán : Tìm hàm u ( x, y... i các bàitoán biên cho phươngtrình Laplace trong mi n hình ch nh t D = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ p, 0 ≤ y ≤ q} §1 D ng th nh t : ∆u ( x, y ) = 0 ( x, y ) ∈ D (1) u (0, y ) = u ( p, y) = 0 (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , u( x, q) = ψ( x) (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phươngtrình (1) dư i d ng : u ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) Thay bi u th c này X ''( x) Y ''( y ) =− = −λ 2 vào phươngtrình (1) ta ñư c phương trình. .. khi có ngu n nhi t Phươngtrình dao ñ ng : ut = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u (0, t ) = u x (l , t ) = 0 (2) ði u ki n ñ u : u ( x, 0) = 0 (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phươngtrình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t )sin λ n x (4) v i λ n = n=0 (2n + 1)π 2l Thay bi u th c này vào phươngtrình (1) ta tìm ñư c phươngtrình cho un (t ) dư... khi có ngu n nhi t Phươngtrình truy n nhi t : ut = a 2u xx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 (2) ði u ki n ñ u : u ( x, 0) = (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phươngtrình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) v i λ n = n =0 nπ l Thay bi u th c này vào phươngtrình (1) ta tìm ñư c phươngtrình cho un (t ) dư... t Phươngtrình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 (2) ði u ki n ñ u : u ( x, 0) = ϕ( x) (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phươngtrình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) Thay bi u th c này vào phươngtrình (1) ta ñư c phươngtrình : X ( x)T '(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ X ''( x) T '(t ) = = −λ 2 T ñó ta X ( x) a 2T (t ) tìm ñư c các phương. .. Thay bi u th c này vào phươngtrình (1) ta ñư c phươngtrình : X "( x)Y ( y ) + X ( x )Y ''( y ) = 0 ⇒ X ''( x) Y ''( y ) =− = −λ 2 X ( x) Y ( y) T ñó ta tìm ñư c các phươngtrình cho các hàm X ( x) và Y ( y ) như sau : Y ''( y ) − λ 2Y ( y ) = 0 (4) 2 (5) X ''( x) + λ X ( x) = 0 T ñi u ki n biên (2) ta tìm ñư c : X (0) = X '( p ) = 0 (6) Nghi m t ng quát c a phươngtrình (5) có d ng : X (... Gi i h (12), (13) ta tìm ñư c ak , bk ; thay vào (9) ta ñư c nghi m c a phươngtrình cho Chú ý : N u ñi u ki n biên ñư c cho theo y thì trong các công th c trên ta ch c n th c hi n vi c ñ i l n vai trò c a các ñ i lư ng như sau : x ↔ y ; X ↔ Y ; p ↔ q , ta s nh n ñư c nghi m c a bàitoán tương ng Bài t p áp d ng Bài 1 Gi i phươngtrình : ∆u = 0 (0 < x < p, 0 < y < s) u (0, y ) = 0, u x ( p, y ) = 0 ; .
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN
Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình dao ñộng
§1. Bài toán dao ñộng của. nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần