Một số dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ MINH TUYÊN MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ MINH TUYÊN MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẨN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình trình bày riêng Các kết nêu luận văn trung thực Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Dương Thị Minh Tuyên ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Nhân dịp xin cám ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Yên Thủy A, Huyện Yên Thủy, Tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Dương Thị Minh Tuyên iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các điểm kì dị đơn giản 1.1.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa 1.1.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 1.1.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định 1.2 Một vài ví dụ 1.2.1 Hệ học chiều 1.2.2 Các tính chất phương trình vi phân đạo hàm riêng hỗn hợp 1.2.3 Mạng đường giới hạn bất đẳng thức vi phân 11 1.3 Các khái niệm quan trọng lý thuyết phương trình vi phân ẩn cấp 12 1.4 Phơi điểm kì dị 18 Một số dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn 20 2.1 Các dạng chuẩn 20 2.1.1 Các ánh xạ đối hợp tốt 20 2.1.2 Các điểm kì dị chuẩn 25 iv 2.1.3 Các điểm kì dị gấp lùi 27 2.1.4 Các điểm kì dị gấp chuẩn tắc 29 2.1.5 Các lùi elliptic hyperbolic 32 2.2 Dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng 33 2.2.1 Dạng elliptic hyperbolic 33 2.2.2 Dạng chuẩn Cibrario 34 2.2.3 Dạng chuẩn lân cận điểm kì dị gấp 35 2.3 Dạng chuẩn chuyển động chậm phương trình tích đường gián đoạn 37 2.4 Các kì dị biên bất đẳng thức vi phân điển hình mặt 39 2.4.1 Các định nghĩa 39 2.4.2 Các kì dị gấp miền giới hạn xác định 40 2.4.3 Các kì dị gấp vào bên miền dốc 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Phương trình vi phân khơng giải đạo hàm cấp cao (hay phương trình vi phân ẩn) xuất tốn học mơ tả tượng tự nhiên Chẳng hạn, phân tích trạng thái đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp mặt phẳng dạng hỗn hợp (xem [26], [18], [27]) nghiên cứu dáng điệu trường hướng đường tiệm cận bề mặt trơn không gian ba chiều (xem [8], [25], [12]) Vấn đề nghiên cứu phương trình vi phân ẩn bắt đầu tuyên bố vào đầu năm 1885 thi Thụy Điển quốc vương Oscar đệ nhị đề xuất Cuộc thi yêu cầu mơ tả đường cong, đưa đến phương trình vi phân bao gồm không nghiên cứu dáng điệu đặc biệt đường cong pha trường véctơ, mà cịn phân tích nghiệm đặc biệt đưa đến phương trình vi phân ẩn Từ vấn đề cần thiết phân tích dáng điệu nghiệm trơn phương trình vi phân, nhận dạng chuẩn tắc trơn phương trình vi phân hay họ đường cong pha với độ xác cho lựa chọn nhóm cải tiến Đối với trường véctơ trơn điển hình mặt phẳng, lý thuyết dạng chuẩn trơn hoàn thành chưa lâu nhận dạng chuẩn tắc quỹ đạo trơn yên ngựa không cộng hưởng (xem [4]) Trong trình nghiên cứu, tìm dạng chuẩn tắc phương trình vi phân khơng giải đạo hàm, kết phương trình điển hình lân cận điểm kì dị, với điểm kì dị mà đường  cong trơn biệt thức, đến dạng chuẩn y = dy + kx dx 2 phép vi đồng phôi mặt phẳng (x, y) (với đồng phơi đạt k = 1, , hay ) Phương trình điển hình với hàm số trơn F có dạng F (x, y, p) = 0, (1) dy , mặt trơn xác định không gian ba chiều dx 1−tia hàm số y(x) (với tọa độ x, y, p) bề mặt trơn Mặt p = gọi bề mặt phương trình (1) Ánh xạ gấp phương trình (1) gọi phép chiếu dọc theo trục p lên mặt phương trình (1) mặt phẳng (x, y) Điểm tới hạn gấp gọi điểm kì dị phương trình, điểm kì dị phương trình tạo thành criminant phương trình Phép chiếu criminant mặt phẳng (x, y) gọi biệt tuyến Mỗi điểm criminant phương trình có điểm tới hạn gấp lùi Whitney gấp phương trình (1) Trong khơng gian 1−tia xác định trường mặt phẳng tiếp xúc dy = pdx Điểm kì dị phương trình F = gọi quy, thỏa mãn điều kiện criminant trơn điểm rank((x, y, p) 7→ (F, Fp )) = criminant không tiếp xúc điểm mặt phẳng tiếp xúc Dạng chuẩn p2 = x phương trình F = lân cận điểm kì dị quy phương trình tìm thấy, có lẽ là, đồng thời Dara L [15] Bruce I W., người mà sử dụng dạng p2 = xE(x, y), E hàm số trơn, nhận Thom R [26] Dara L nghiên cứu rằng, hàm F từ tập mở trù mật hầu khắp không gian hàm số với tơpơ mịn C Whitney phương trình F = có điểm kì dị khơng quy năm dạng : yên ngựa gấp tốt, điểm nút gấp tốt, tiêu điểm gấp tốt, nếp gấp elliptic, nếp gấp hyperbolic Từ năm dạng điểm kì dị trên, ba dạng đầu gọi gấp tốt, hai dạng cuối gọi dạng đặc biệt Ba dạng đầu mơ tả tương ứng Hình 1.8a-c Dara L trình bày giả thuyết rằng, phương trình (1) địa phương lân cận điểm kì dị gấp tốt tôpô tương đương nhận 1 p2 + χx2 χ < 0, < χ < , χ > tương ứng phương trình y = 4 với yên ngựa, điểm nút, tiêu điểm, phương trình x = p3 − yp trường hợp nếp xếp elliptic, phương trình x = p3 + yp trường hợp nếp xếp hyperbolic Nội dung luận văn chủ yếu trình bày lại kết báo [14] số kiến thức liên quan tài liệu [12] Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày vài ví dụ dẫn đến vấn đề nghiên cứu khái niệm hàm ẩn Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn Trong chương chúng tơi trình bày số định lý dạng chuẩn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày vài ví dụ dẫn đến vấn đề nghiên cứu định nghĩa khái niệm lý thuyết hàm ẩn 1.1 Các điểm kì dị đơn giản Xét hệ phương trình vi phân  dx   = P (x, y); dt   dy = Q(x, y) dt (1.1) Điểm (x0 , y0 ) mà P (x0 , y0 ) = 0, Q(x0 , y0 ) = gọi điểm cân hệ (1.1) điểm kì dị Bây ta xét hệ vi phân tuyến tính với hệ số hệ phương trình  dx   = a11 x + a12 y; dt (1.2)   dy = a21 x + a22 y, dt 18 Dara L [15] trình bày phương trình ẩn điển hình có năm kiểu điểm kì dị khơng biệt tuyến : yên ngựa gấp, điểm nút gấp, tiêu điểm gấp, lùi elliptic, lùi hyperbolic Phương trình giả định phương trình điển hình lân cận điểm kì dị tơpơ (nghĩa hệ tọa độ liên tục phù hợp) p2 + χx2 tương đương với phương trình y = với χ < 0, < χ < , < χ, tương ứng yên ngựa gấp, điểm nút gấp, tiêu điểm gấp, với phương trình x = p3 − yp điểm lùi elliptic, phương trình x = p3 + yp điểm lùi hyperbolic Trong Mục 2.1.4 chúng tơi trình bày tính tương đương với ba dạng chuẩn điểm kì dị gấp thực thực tế nơi lấy, C ∞ −phương trình rút gọn chúng (dưới điều kiện bổ xung tác động giá trị riêng tuyến tính hóa trường hướng phương trình điểm kì dị, điều kiện cơng thức sau nhận xét Định lý 2.3) phương pháp phép C ∞ −vi đồng phôi mặt phẳng x, y Tôpô tương đương khử bỏ tham số χ lực ba lực chuẩn Do đó, điểm kì dị gấp lời giải phương trình với quan hệ đạo hàm có môđun đơn giản phép vi đồng phôi điểm kì dị phương trình thông thường cấu trúc ổn định với mối quan hệ phép vi đồng phôi Trong Mục 2.1.5 trình bày rằng, Dara L trình bày trường hyperbolic khơng với tính kì dị lùi dạng chuẩn tơpơ chúng phải chứa hàm mơđun 1.4 Phơi điểm kì dị Định nghĩa 1.6 Hai đối tượng có tính chất giống (các tập hợp, trường véctơ, họ đường cong, phép ánh xạ, ) gọi tương đương điểm chúng trùng lân cận điểm Lớp tương đương đối tượng điểm gọi phơi điểm x + |x| có phơi chung điểm nửa trục x dương phôi khác Ví dụ 1.3 Các hàm số biến g1 (x) = x g2 (x) = 19 điểm khác Định nghĩa 1.7 Hai phơi (có tính chất nhau) gọi phép C k −vi đồng phơi tồn phơi phép C k −vi đồng phôi dịch chuyển phôi thứ phôi thứ hai Lớp phôi phép C k −vi đồng phôi gọi điểm C k −kì dị hay đơn giản kì dị Nhận xét Một phép C k −vi đồng phôi ánh xạ − mà với nghịch đảo khả vi k lần, cịn phép C −vi đồng phôi gọi phép đồng phôi Ví dụ 1.4 Tập hợp y = x2 − mặt phẳng có điểm kì dị điểm (−1, 0) (1, 0) trùng với điểm kì dị tập hợp y = |x| O (Hình 1.10) Hình 1.10: Định nghĩa 1.8 Hai biến dạng (của phơi) phương trình ẩn gọi tương đương trơn hai biến dạng tạo thành phép vi đồng phôi trơn khác (tương ứng phôi phép vi đồng phôi trơn) Định nghĩa 1.9 Sự biến dạng (của phơi) phương trình vi phân ẩn gọi quy nạp từ phôi khác phôi thứ từ phôi nhận ánh xạ trơn phôi sở phôi sở thứ hai 20 Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn Trong chương dạng chuẩn tìm thấy phương trình vi phân điển hình khơng giải đạo hàm lân cận điểm kì dị Kết lân cận điểm kì dị điểm mà đườngcong biệtthức trơn, phương trình rút gọn theo dạng chuẩn dy y = + kx vi đồng phôi mặt phẳng với biến dx x, y (bằng cách sử dụng phép đồng phôi mà thuộc quỹ đạo 1 k = −1, , hay ) 2.1 Các dạng chuẩn Ở chúng tơi trình bày định lý sở dạng chuẩn Trừ đặt điều kiện khác, xét đối tượng trơn (nghĩa lớp C ∞ ) 2.1.1 Các ánh xạ đối hợp tốt Một trường hướng mặt gọi trơn lân cận điểm mặt trường hướng phương trình vi phân trơn a(u, ω)du + b(u, ω)dω = 0, u ω tọa độ địa phương 21 Các điểm mà hệ số a b đồng thời triệt tiêu gọi điểm kì dị trường hướng Một điểm kì dị trường hướng gọi không suy biến hàm số a b chọn giá trị giá trị riêng với tuyến tính hóa trường véctơ (−b, a) điểm khác không tỉ số giá trị riêng khác ±1 Các hướng véctơ riêng tương ứng gọi hướng riêng trường hướng Giả sử v trường hướng có điểm kì dị khơng suy biến O Tại ánh xạ đối hợp có đường điểm cố định qua O gọi tương thích với trường v đường thẳng hướng trường ảnh ánh xạ đối hợp trùng Định nghĩa 2.1 Một ánh xạ đối hợp tương ứng với trường v gọi v−tốt hướng riêng trường v đạo hàm ánh xạ đối hợp O riêng biệt đơi Ví dụ 2.1 Giả sử coi x p tọa độ mặt phương trình 2y = p2 +χx2 , 6= χ 6= O điểm không suy biến trường hướng v phương trình Ánh xạ đối hợp (x, p) 7→ (x, −p) mặt xét v−tốt Định nghĩa 2.2 Hai đối tượng (phôi ánh xạ đối hợp hay đường cong, hướng điểm, ) gọi tương đương dọc theo trường v hay v−tương đương chúng biến đổi phép C ∞ −vi đồng phôi mặt phẳng, mặt phẳng mà đường cong tích phân trường ánh xạ vào Bổ đề 2.1 ([14]) Trường véctơ h trường biến dạng vi phân phép đối hợp σ σ∗ h = −h Bổ đề 2.2 ([14]) Nếu g biến dạng phép biến đổi đồng với vận tốc h phép đối hợp biến dạng với vận tốc h − σ∗ h (nếu phép vi đồng phôi g đối hợp σ đến phép đối hợp ghg −1 ) Bổ đề 2.3 ([14]) Các phôi hai phép đối hợp v−tốt O với đường điểm cố định v−tương đương 22 Chứng minh Cho σ1 σ2 đối hợp v−tốt có đường điểm cố định Chúng ta lấy hàm số trơn ϕ, ϕ(0) = 0, có đạo hàm khác không O theo hướng từ hướng riêng đối hợp σ1 O, địa phương lân cận O, tọa độ x = ϕ + σ1∗ ϕ, y = ϕ − σ1∗ ϕ phép đối hợp σ1 σ2 có dạng σ1 : (x, y) 7→ (x, −y), σ2 : (x, y) 7→ (x + y r(x, y), −y + y s(x, y)), với r s hàm số trơn, phép đối hợp σ1 σ2 có đường điểm cố định, đạo hàm đối hợp giống đường điểm cố định x y nhỏ, hai phép đối hợp σ1 σ2 v− tốt Do đó, tồn tọa độ ξ = x + y R(x, y) η = y + y S(x, y), với R S hàm số trơn mà phép đối hợp có dạng σ2 : (ξ, η) 7→ (ξ, −η) Chúng ta xét biến dạng trơn γt : (ξt , ηt ) 7→ (ξt , −ηt ) địa phương lân cận O đối hợp σ1 σ2 với ξt = x + ty R(x, y), ηt = y + ty S(x, y) Ta có γ0 = σ1 , γ1 = σ2 Ký hiệu Vt vận tốc biến dạng Lấy trường véctơ trơn v˜, cho trường v˜ trường hướng có điểm kì dị khơng suy biến O Bổ đề 2.3 chứng minh địa phương lân cận đoạn [0, 1] trục t, vận tốc biến dạng cần tìm biểu diễn dạng Vt = ft v˜ − (γt∗ ft )γt ∗ v˜, (2.1) với ft hàm số trơn phụ thuộc t biến x, y Chỉ rằng, biểu diễn thực xảy Thật vậy, giải phương trình đồng điều (2.1) ft xây dựng trường v˜, ảnh trường phép đối hợp γt khơng cộng tuyến ngồi đường điểm cố định Vận tốc biến dạng V (chỉ số t bỏ đi), ta thấy có O đường cong y = 0(η = 0) Do Bổ đề 2.1, ta có γ∗ V = −V nên V (ξ, η) = η p(ξ, η ) ∂ ∂ + η q(ξ, η ) , ∂ξ ∂η (2.2) 23 với p q hàm số trơn Trên đường điểm cố định với phép đối hợp γ ta có γ∗ v˜ = −˜ v Do đó, ∂ ∂ (2.3) v˜(ξ, η) = ηl(ξ, η) + m(ξ, η) , ∂ξ ∂η với l m hàm số trơn Giả sử f tổng hàm chẵn không lẻ theo η cho f (ξ, η ) = u(ξ, η ) + ηω(ξ, η ), với u ω hàm số trơn Đây giả thiết phép f biểu thức (2.2) (2.3) phương trình (2.1) dẫn tới hệ sau u ω : ( uη(l(ξ, η) + l(ξ, −η)) + ωη (l(ξ, η) − l(ξ, −η)) = η p(ξ, η ); u(m(ξ, η) + m(ξ, −η)) + ωη(m(ξ, η) − m(ξ, −η)) = η q(ξ, η ) Chia hai vế phương trình thứ hệ cho η , nhận hệ tuyến tính u, ω Định thức hệ có dạng η (4l(0, 0)mη (0, 0)+H(ξ, η )), với H hàm số trơn Chúng ta có m(0, 0) = 0; l(0, 0)mη (0, 0) 6= 0, điểm kì dị không suy biến Tiếp theo, xét tới vế phải hệ sau chia cho η , nhận địa phương lân cận đoạn [0, 1] trục t tồn nghiệm trơn u, ω hệ Bổ đề 2.3 chứng minh Bổ đề 2.4 ([14]) Các phôi O hai đường cong trơn nhúng được, tiếp tuyến với O v−tương đương đường cong trơn trường v theo hướng riêng không tiếp xúc với đường cong O Chứng minh Cho v trường véctơ, với trường hướng v có điểm kì dị suy biến O Ký hiệu g t ánh xạ luồng pha trường thời gian t Tồn trình σ với trung tâm O Hai đường cong biểu diễn hai đường cong trơn, qua điểm đường hoành đến cặp phép chiếu trực tiếp dính vào Trường véctơ kéo dài điểm quy tiếp tuyến dính trực tiếp Do đó, thời gian chuyển động khỏi từ đường cong xét đến đường cong khác hàm số trơn τ đường cong thứ v−tương đương cần tìm 24 có ánh xạ g T (.) (.), với T kéo dài trơn hàm số τ mặt phẳng Bổ đề 2.4 chứng minh Hình 2.1: Bổ đề 2.5 ([14]) Hai hướng O v−tương đương khác chúng nối (trong khơng gian hướng O) đường cong liên tục, không qua hướng riêng trường v O Chứng minh Phép vi đồng phơi chuyển dịch đường cong tích phân trường v , chuyển dịch hình quạt mở từ hình quạt mở, hình quạt mà khơng gian hướng C (đây không gian phép chiếu chiều) phân chia hướng riêng trường v O Ngược lại, hai hướng từ hình quạt trường v˜ = Ax + (với z = (x, y) ba chấm nghĩa phần tử lũy thừa cấp cao theo z ) có điểm kì dị khơng suy biến O, đến ánh xạ ánh xạ khác eAt t thích hợp (Hình 2.1) Do đó, dẫn đến phép chiếu luồng pha trường v Bổ đề 2.5 chứng minh Bây cố định trường hướng v với điểm kì dị khơng suy biến O Định lý 2.1 ([14]) Các phôi O hai đối hợp v−tốt v−tương đương tiếp tuyến O dẫn đến đường cố định 25 phép đối hợp kết hợp khơng gian hướng với đường cong liên tục O, không qua trường v theo hướng riêng O Chứng minh Cho tiếp tuyến O đến đường điểm kì dị hai phép đối hợp v−tốt, kết hợp khơng gian hướng đường cong liên tục O không qua trường v theo hướng riêng O Khi v−tương đương thuộc tiếp tuyến theo Bổ đề 2.5 Suy ra, phôi đường điểm cố định O đối hợp v−tương đương theo Bổ đề 2.4 Từ nhận phôi O hai đối hợp v− tương đương theo Bổ đề 2.3 Ngược lại, phôi O hai đối hợp v−tốt v−tương đương, phơi O đường điểm cố định hướng tiếp tuyến tới đường điểm cố định O v−tương đương Theo Bổ đề 2.4 trường kết hợp khơng gian hướng O với đường cong liên tục, không qua trường hướng v O Định lý 2.2 Các v−tương đương phôi số lớp O phép đối hợp v−tốt (tương ứng 1), O yên ngựa hay điểm nút (tương ứng tiêu điểm) trường v Nhận xét Các phép đối hợp v−tốt hình thành khơng gian phù hợp với trường v đối hợp C −tôpô tập mở trù mật hầu khắp C ∞ −tơpơ 2.1.2 Các điểm kì dị chuẩn Số mũ điểm kì dị khơng suy biến trường hướng xê dịch yên ngựa điểm nút liên quan lớn theo mơđun với giá trị riêng tuyến tính hóa trường véctơ tương ứng với mơđun dẫn đến nhỏ nhất, cịn tiêu điểm mơđun tương quan phần ảo với giá trị riêng đến phần thực, hiển nhiên số mũ bảo toàn phép vi đồng phôi trường hướng gọi điểm kì dị khơng suy biến C k −chuẩn phôi điểm họ đường cong tích phân trường phép C k −vi phôi đưa đến phôi O họ quỹ 26 đạo pha trường véctơ tuyến tính v2 , v2 v3 tương ứng yên ngựa, điểm nút tiêu điểm,    x v2 (x, y) = , (2.4) α y  v3 (x, y) = −α α  x y  , (2.5) với α số mũ điểm kì dị Đối với trường hướng, cho phương trình vi phân với trường véctơ trên, sử dụng ký hiệu v2 v3 trường hướng định nghĩa phương trình vi phân với trường véctơ Thấy đối hợp   (α + 1)x − 2αy 2x − (α + 1)y θ1 : (x, y) 7→ , α−1 α−1 v2 −tốt phép đối hợp  2y θ2 : (x, y) 7→ x − , −y α  v3 −tốt Đặt O điểm kì dị C ∞ −chuẩn trường v với số mũ α Định lý 2.3 ([14]) Các phôi O trường hướng v , họ đường cong tích phân trường, đối hợp v−tốt tương thích nhận phép C ∞ −vi đồng phôi mặt phẳng đến phôi O trường hướng v2 (hoặc v3 ) họ đường cong tích phân phép đối hợp θ1 (hoặc θ2 ) yên ngựa điểm nút (tương ứng tiêu điểm) Chứng minh Đối với trường hợp tiêu điểm Định lý 2.3 suy trực tiếp từ Định lý 2.1 2.2 Trường hợp yên ngựa điểm nút Định lý 2.3 suy từ Định lý 2.1 2.2 với phép đối hợp (x, y) 7→ (−x, y) dẫn đến họ quỹ đạo pha trường (2.4), hai phần tử liên thông suy từ Định lý 2.2, phần tử lại suy từ Định lý 2.1 Nhận xét Các điều kiện C ∞ −chuẩn yêu cầu Định lý 2.3 luôn thỏa mãn, là: 27 Tương ứng định lý Siegel, yên ngựa C ∞ −chuẩn điểm (1, α) điểm dạng (M, v) (nghĩa min|1 − m1 − m2 α|, |α − m1 − m2 α| ≥ M v tất véctơ m = (m1 , m2 ), m ∈ Z với phần tử không |m| âm, m1 + m2 ≥ 2) Biết độ đo tập hợp điểm không điểm dạng (M, v) với M > v > (xem [3]) Điểm nút C ∞ −chuẩn số mũ điểm nút không số tự nhiên Đối với trường véctơ trơn mặt phẳng từ mở C −tôpô trù mật hầu khắp nơi C ∞ −tôpô tập không gian trường vận tốc trơn, điều kiện thỏa mãn điểm nút trường Một tiêu điểm không suy biến luôn C ∞ −chuẩn Sử dụng phép đồng phôi (nghĩa phép C −vi đồng phơi) Nó triệt tiêu số mũ α điểm kì dị với điều kiện C ∞ −chuẩn điểm Lấy O điểm kì dị khơng suy biến Định lý 2.4 ([14]) Phôi O trường hướng v , họ đường cong tích phân trường, phép đối hợp v−tốt tương thích nhận phép đồng phơi mặt đến phôi O trường hướng v2 (v2 v3 ), họ đường cong tích phân trường, phép đối hợp θ1 (θ1 θ2 ) α = −2 (α = 2, α = 1) yên ngựa (tương ứng với điểm nút, tiêu điểm) Chứng minh định lý suy trực tiếp từ chứng minh Định lý 2.5 2.8 2.1.3 Các điểm kì dị gấp lùi Một ánh xạ gấp phương trình (1.8) xác định phép đối hợp gấp phương trình lân cận điểm tới hạn gọi gấp Whitney Trên mặt phương trình, phép đối hợp hoán vị điểm mà ảnh ánh xạ gấp phương trình trùng Điểm kì dị khơng quy phương trình (1.8), điểm mà phương trình gấp có điểm tới hạn gấp Whitney, gọi yên ngựa gấp, điểm nút gấp, tiêu điểm gấp, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: Trường hướng v phương trình có điểm n ngựa không suy biến, điểm nút không suy biến, tiêu điểm không suy biến, tương ứng điểm 28 Phép đối hợp phương trình xác định địa phương lân cận điểm v−tốt Các điểm kì dị ba dạng gọi điểm kì dị gấp Xét Ví dụ 2.1 Mục 2.1.1 ta có 2y = p2 + χx2 ⇒ 2y = y + 4χy ⇒ y = 1 ⇒ y2 − =0 4χ 4χ có yên ngựa gấp, điểm nút gấp, tiêu điểm gấp O tương ứng 1 với χ < 0, < χ < , < χ 4 Phơi phép đối hợp gấp điểm kì dị gấp phương trình (1.8) tốt trường hướng phương trình Điều ngược lại Định lý 2.5 ([14]) Phôi O cặp (trường hướng v với điểm kì dị khơng suy biến O, phép đối hợp v−tốt) phép C ∞ −vi đồng phơi đến phơi diểm kì dị gấp cặp (trường hướng, phép đối hợp gấp) phương trình (1.8) Chứng minh Cho trường hướng trơn v có điểm kì dị khơng suy biến O phép đối hợp σ v−tốt Chúng ta lấy hệ tọa độ x, y lân cận O với gốc O phép đối hợp chuẩn σ : (x, y) 7→ (x, −y) Lấy v˜(x, y) = (yA(x, y ) + y B(x, y ), C(x, y ) + yD(x, y )) trường véctơ trơn xác định trường hướng có điểm kì dị khơng suy biến O Lân cận O Trong mặt phẳng (ξ, η) phương trình vi phân họ ảnh đường cong tích phân trường v ánh xạ trơn Whitney (x, y) 7→ (ξ = x, η = y ) thỏa mãn điều kiện định lý Phương trình có dạng  2   dη dη A(ξ, η) − 2C(ξ, η) = η 2D(ξ, η)) − B(ξ, η) dξ dξ Định lý 2.5 chứng minh Định nghĩa 2.3 Điểm kì dị khơng quy phương trình (1.8) nếp xếp Whitney phương trình gấp gọi điểm kì dị lùi hay kì dị lùi phương trình Phơi mặt phương trình (1.8) điểm kì dị lùi phương trình trùng với phơi O mặt x = pf (x, p), với ... khái niệm hàm ẩn Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn Trong chương chúng tơi trình bày số định lý dạng chuẩn 4 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày vài... trình vi phân ẩn gọi quy nạp từ phôi khác phôi thứ từ phôi nhận ánh xạ trơn phôi sở phôi sở thứ hai 20 Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình vi phân ẩn Trong chương dạng chuẩn tìm thấy phương. .. chuẩn trơn hoàn thành chưa lâu nhận dạng chuẩn tắc quỹ đạo trơn yên ngựa không cộng hưởng (xem [4]) Trong trình nghiên cứu, tìm dạng chuẩn tắc phương trình vi phân không giải đạo hàm, kết phương