Nghiệm dương của phương trình vi phân trung hòa đối số lệch

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Duy Khương NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Trong q trình học tập hồn thành luận văn mình, tơi nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ, động viên q thầy trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, gia đình bạn bè đồng nghiệp Đầu tiên tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến PGS TS Lê Hồn Hóa, người tận tình hướng dẫn, có ý kiến đóng góp q báu giúp tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy Hội đồng chấm luận văn dành thời gian q báu góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn tơi Tơi xin cảm ơn tất q thầy Khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình hướng dẫn tơi suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn Ủy ban nhân dân Tỉnh Tiền Giang, Sở Nội vụ, Sở Giáo dục Đào tạo Tiền Giang, Q thầy phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Vĩnh Kim tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp trường THPT Vĩnh Kim, bạn học viên cao học Tốn K18 ln động viên, khuyến khích, giúp đỡ tơi q trình học tập Sau tơi xin gửi tất tình cảm u thương lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, người thân u tơi tạo niềm tin, chỗ dựa vững giúp tơi học tập hồn thành tốt luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2010 Nguyễn Ngọc Duy Khương LỜI CAM ĐOAN Trong q trình làm luận văn này, tơi nghiên cứu, tìm hiểu tham khảo sách vở, báo tốn học nhà khoa học luận văn khóa trước, tơi có sử dụng số kết chứng minh để hồn thành tốt luận văn Nhưng tơi xin cam đoan khơng chép luận văn có xin hồn tồn chịu trách nhiệm với lời cam đoan MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng ứng dụng thực tiễn Tốn học Hầu hết q trình tự nhiên tn thủ theo qui luật mà phương trình vi phân mơ tả Bằng chứng ngành Tốn học, Cơ học, Vật lý, Hóa học, Sinh vật, Kinh tế, Sinh thái mơi trường… Xã hội học liên quan đến phương trình vi phân Vì phương trình vi phân mơn học cần thiết cho hầu hết ngành bậc cao đẳng đại học Một vấn đề mà nhà tốn học đã, nghiên cứu phương trình vi phân nghiệm phương trình vi phân trung hòa đối số lệch Hiểu tầm quan trọng vấn đề nên tơi chọn đề tài: “Nghiệm dương phương trình vi phân trung hòa đối số lệch” để nghiên cứu tìm hiểu sâu vai trò ứng dụng sống lĩnh vực liên quan Mục đích: Mục đích luận văn nghiên cứu tính ổn định nghiệm nghiệm dương phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch để chứng tỏ lý thuyết ổn định sử dụng nào, cơng cụ việc thiết lập kết ổn định phương trình vi phân chất khác Đối tượng, phạm vi phương pháp nghiên cứu: Trong phạm vi nghiên cứu luận văn tơi tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm nghiệm dương phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch có dạng:   m d x t  p t x t   t              qi  t  x  t  i  t    0, j j dt  j1  i 1 (*) Một phương pháp sử dụng để nghiên cứu vấn đề luận văn phương pháp khái qt hóa phương trình đặc trưng, dựa vào ý tưởng tìm nghiệm hệ tuyến tính có dạng: t  x  t   exp     s  ds  t  Mục đích áp dụng phương pháp cho phương trình (*) để tìm điều kiện tồn nghiệm dương để khái qt, mở rộng kết chứng minh trường hợp đặc biệt phương trình (*) có dạng: d  x  t   P  t  x  t      Q  t  x  t     0, dt  Luận văn gồm có chương: + Chương 1: Trích từ báo [12] Trình bày số kết tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch có dạng: d  x  t   P  t  x  t      Q  t  x  t     0, dt  + Chương 2: Trích từ báo [11] Khảo sát điều kiện tồn nghiệm dương phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch có dạng:   m d x t  p t x t   t     j   j       q i  t  x  t  i  t    0, dt  j1  i 1 Trong luận văn, số kết sử dụng phát biểu dạng Định lý Bổ đề khơng chứng minh Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu: Cùng với phát triển ngành Tốn Giải tích, Đại số, Hình học vi phân, Đa tạp… phương trình vi phân ln đại hóa Bên cạnh cơng cụ máy tính điện tử với phần mềm chun dùng làm tăng khả ứng dụng thực tiễn mơn học Việc xác định nghiệm, đặc biệt nghiệm dương phương trình vi phân trung hòa đối số lệch có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn dẫn đến phương trình vi phân Từ đó, ta giải tốn biến đổi q trình nghiên cứu tượng Tự nhiên Xã hội Trong năm gần đây, ngày có nhiều nghiên cứu cho thấy tầm quan trọng phương trình vi phân trung hòa đối số lệch ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học đời sống như: Vật lý, Sinh học, Sinh thái học, Sinh lý học, Mơi trường, Kinh tế, Địa chất, Khảo cổ học… Chương TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRUNG HỊA ĐỐI SỐ LỆCH Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch: d  x  t   P  t  x  t      Q  t  x  t     0, t  t , dt  (1.1) đó: ,    0,   , P  C  t ,   ,   Q  C  t ,   ,  0,    Định nghĩa 1.1: Nghiệm xo(t) phương trình (1.1) gọi ổn định với   t    , tồn     , t   cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa điều kiện x  t   x  t    x  t   x  t   , t  t Định nghĩa 1.2: Nghiệm xo(t) phương trình (1.1) gọi ổn định với   , tồn        cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điểm t    điều kiện x  t   x  t    x  t   x  t   , t  t Định nghĩa 1.3: Nghiệm xo(t) phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định với t   , tồn     t   cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa điều kiện x  t   x  t    lim x  t   x  t   0, t  t t  Bổ đề 1: (Xem [7]) Giả sử ,    0,   ,P  C  t ,   ,   Q  C  t ,   , 0,    thỏa với P  t   1   Q  s  ds   t0 Khi nghiệm phương trình d  x  t   x  t      Q  t  x  t     0, t  t dt  dao động Bổ đề 2: (Xem [7])  Giả sử ,    0,   ,P  C  t ,   ,   Q  C  t ,   , 0,     Q  s  ds   thỏa, t0 t  P  t   1 liminf t   Q s      P  s    ds  e t    Khi đó, nghiệm phương trình (1.1) dao động Trong chương thiết lập điều kiện để nghiệm khơng phương trình (1.1) ổn định tất nghiệm phương trình ổn định tiệm cận 1.1 Tính ổn định ổn định tiệm cận trường hợp P(t) khơng hàm 1.1.1 Định lý 1.1  1 Giả sử P  t   p , p   0,   2 p  , 2p + t   Q  s  ds  , (1.2) t  t0, t 1 p , t   Q  s  ds  1  2p  , t  t0 (1.3) t Khi nghiệm khơng phương trình (1.1) ổn định Chứng minh Đặt:   max ,  ,   ,  Chọn số ngun dương m cho m  3 Với   bất kỳ, đặt:  1  p   m 1  p  2p  3 Ta chứng minh với t '  t ,  C  t ' , t ,  ,   , ta có: x  t   , t  t ' (1.4) x(t) nghiệm phương trình (1.1) thỏa điều kiện ban đầu x  s     s  với s   t ' , t ' Đặt: z  t   x  t   P  t  x  t    (1.5) Ta có kết (Xem [15, Định lý 1]) m x  t    2p  3 , t   t ', t ' m (1.6) Kế tiếp ta chứng minh (1.4) Bằng phương pháp phản chứng, giả sử (1.4) khơng đúng, theo (1.6) ta có T  t ' m cho x  T    x  t    với t '  t  T Khơng làm tính tổng qt, giả sử x  T    Ta có: z  T   x  T   P  T  x  T     1  p    (1.7) Suy ra: z  t ' m   x  t ' m   P  t ' m  x  t ' m     1  p    z  T  Từ (1.7) tồn T0   t ' m,T  cho z  T0   max z  t  : t ' m  t  T z  t   z  T0  với t ' m  t  T0 Đặt: y  t   z  t   p, t  t' (1.8) Khi đó:  x  t     z  t     P  t    x  t        z  t     p   y  t    , t' +   t  T0 Từ (1.1) (1.8), ta có: y'  t   z '  t   Q  t  x  t     Q  t  y  t    , t '   t  T0 (1.9) Do  p  , dễ dàng thấy y  T0   z  T   p  1  2p    Tiếp theo ta chứng minh y  T0     Giả sử ngược lại y  T0     Khi có lân cận trái  T0    h,T0     T0    h,T0    T0   , với h > 0, cho y  t   y  t      T0  h,T0  Theo (1.9), ta thấy z  t  khơng tăng  T0  h,T0  Điều trái với z  T0   max z  t  : t ' m  t  T z  t   z  T0  với t ' m  t  T0 Vì y  T0     Do đó, tồn    T0  ,T0  cho y     Từ (1.9), ta có y'  t   Q  t  , t '   t  T0 (1.10) Lấy tích phân vế (1.10) từ t   đến  ta được:   y  t       Q  s  ds,   t  T0 t  Thế vào (1.9), ta có:  y'  t   Q  t   Q  s  ds, t    t  T0 (1.11)