Một số vấn đề về phương trình vi phân và tích phân

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Trần Hoàng LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích toán học, phương trình tích phân phương trình vi phân môn học quan trọng cho hầu hết ngành bậc cao đẳng đại học.Phương trình tích phân phương trình vi phân công cụ để nghiên cứu vấn đề KHTN, KHKT số ngành KHXH Đề tài cuả có tên”Một số vấn đề phương trình vi phân tích phân”,được chia làm chương: ChươngI: Các dạng phương trình vi phân cấp1, cấp thường gặp gồm định nghiã,cách giải ví dụ Chương II: Đại cương không gian Banach phép tính vi phân Chương III: Sự tồn tại-tính nhất-tính liên tục nghiệm phương trình tích phân(phương trình tích phân Voltera) chứng minh định lí Do hạn chế thời gian kiến thức nên luận văn không tránh khỏi sai sót,kính mong quý thầy cô góp ý dẫn Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy hướng dẫn Trần Hoàng, người nhiệt tình dẫn cho em suốt thời gian làm đề tài.Em xin cảm ơn quý thầy cô phản biện góp ý kiến quý giá giúp em bổ sung kiến thức sai sót Xin cảm ơn tất thầy cô khoa nhiệt tình dạy năm Đại học Xin cảm ơn bạn bè giúp đỡ động viên thời gian làm đề tài SVTH:Nguyễn Khoa Hải Thy Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng Chương 1: VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 VI PHÂN I Định nghóa vi phân hàm số 1.Định nghóa 1: Cho hàm số y=f(x) liên tục x lân cận U(x ) Cho x số gia ∆ x cho x + ∆ x XU(x ) Nếu tồn số A phụ thuộc vào x α ( ∆ x) vô bé bậc cao ∆ x ∆ xY cho: ∆ y= f(x+ ∆ x)-f(x )=A ∆ x + α ( ∆ x) biểu thức A ∆ x vi phân hàm y=f(x) x kí hiệu dy(x ) hay df(x ) tức dy=df(x )=A ∆ x Khi ta nói y=f(x) khả vi x Định nghóa 2: Nếu y= f(x) khả vi xX(a,b) ta nói y= f(x) khả vi (a,b) Khi biểu thức vi phân A ∆ x hàm theo x (a,b) Kí hiệu: dy=df(x)=A ∆ x II Vi phân cấp cao Cho y=f(x) với x biến số độc lập, ta biết: dy = y ′dx d y = y ′′dx d n y = y (n ) dx n Do muốn tính vi phân cấp n, ta việc tính đạo hàm cấp n nhân thêm với dxn Ví dụ: Cho y=cos2x Tính d3y Giải: Ta có: y’=2cosx(cosx)’=-2sinx.cosx= -sin2x y"=(-sin2x)’=- cos2x.(2x) ’= -2cos2x y ′′′ = (−2 cos x)' = −2(− sin x).(2 x)' = sin x Vaäy: d3y= y ′′′ dx3=4sin2xdx3 SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng i2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1: I Định nghóa: Phương trình có dạng F(x,y,y’)=0 Hoặc y’=f(x,y) (I) (I0) (x biến, y hàm x, y’là đạo hàm y ) gọi phương trình vi phân cấp II Nghiệm phương trình vi phân cấp - Nếu hàm y=ϕ(x) thỏa( mãn phương trình (I), hay (I o ) y= ϕ(x) nghiệm hệ phương trình vi phân (I) (I o ) - Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (I) hay (I o ) hàm số y= ϕ(x, c) với c số tuỳ ý thoả mãn phương trình vi phân với giá trị c - Nếu y=ϕ(x,c) hay φ(x,y,c)=0 nghiệm tổng quát củaphương trình vi phân (I) hay (I o ) cách xác định số c dựa vào điều kiện cho trước c=c y=ϕ(x, c ) hay φ(x,y, c ) nghiệm riêng phương trình vi phân (I) hay (I o ) III Sự tồn nghiệm toán Cauchy: Bài toán Cauchy: nghiệm phương trình vi phân cấp vô số Nghiệm phụ thuộc vào số c tuỳ ý Nhưng thực tế người ta quan tâm đến nghiệm phương trình vi phân cấp thoả mãn điều kiện gọi điều kiện ban đầu Bài toán tìm nghiệm phương trình y ′ = f ( x, y ) thoả mãn điều kiện ban đầu gọi toán Cauchy Điều kiện Cauchy:Xét phương trình: y ′ = f ( x, y ) với f xác định miền GXR Điều kiện Cauchy-Picar (Định lý tồn nghiệm) Giả sử hàm f thoả mãn điều kiện sau: - f liên tục miền G SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng - f thoả mãn điều kiện Lipschitz theo y G Khi ứng với điểm (x , y ) XG, l nghiệm y = y (x) phương trình y ′ = f ( x, y ) thoả mãn điều kiện ban đầu y(x )=y Nghiệm xác định đoạn [x0 − h, x0 + h] Trong đó: h = min{ a, b M } • Chú ý: Điều kiện Lipschitz: ta nói miền G hàm f(x,y) thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến f tồn số L>0 cho hai ñieåm (x, y ) ∈ G; x, y ∈ G ta có ( ) f ( x, y ) − f ( x, y ) ≤ L y − y Dãy xấp xỉ Picar: giả sử hàm f(x,y) liên tục miền G; (x0 , y ) điểm miền G Chọn số dương a,b cho hình chữ nhật:  x − x0 ≤ a chứa G Q   y − y ≤ b b   M Đặt M = max f ( x, y ) kí hiệu h = a, Ta xây dựng dạng nghiệm xấp xỉ phương trình: y ( x) ≡ y x y1 ( x) = y + ∫ f (τ , y (τ ))dτ ; x ∈ [x0 − h, x0 + h] x0 x y n ( x) = y + ∫ f (τ , y n −1 (τ ))dτ ; x ∈ [x0 − h, x0 + h] x0 IV Các dạng phương trình vi phân cấp Phương trình biến số phân ly: a Định nghóa: Nếu ta thay y’= dy vào phương trình (I)hay (I o ) dx biến đổi chúng để phương trình dạng f (y)dy=f (x)dx (*) ta gọi (*) phương trình có biến số phân li b Cách giải: Lấy tích phân bất định hai vế phương trình vi phân c Ví dụ: Giải phương trình vi phân cấp đưa phương trình phân ly biến số (1+e2x)y2y’=ex ; biết y(0)=0 Giải (1+e x )y y’=e x (*) SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng dy dx ex dx ⇔ y dy= + e2x ex dx ⇔ ∫ y dy = ∫ + e2x y3 = arctg e x +c ⇔ Thay: y’= ⇔ y= 3(arctge x + c ) nghiệm tổng quát cuûa (*) Do y(0)=0 ⇔ 3(arctg1+c)=0 ⇔ π + c =0 ⇔ c= - π π Vậy nghiệm riêng phương trình: y= 3(arctge x − ) Phương trình đẳng cấp a Định nghóa: Phương trình vi phân dạng y= f(x,y) với f(x,y) thoả mãn ∀ λ ≠ ta coù: f( λ x, λ y)=f(x,y) gọi phương trình vi phân đẳng cấp cấp b Cách giải: Đặt u = y thay y=u.x y’=u’.x+u vào phương trình x cho ta phương trình biến số phân li u x Giải phương trình thay u = y ta tích phân tổng quát phương trình cho x c Ví dụ: Giải phương trình vi phân đẳng cấp cấp y’= y y π +tg biết y(1)= x x Giải y y y’= + tg x x Đặt: u = (*) y ⇒ y= ux ⇒ y’=u’x+u x Phương trình trở thành: u’x+u = u+tgu dx du = x tgu cos u dx ⇔∫ du = ∫ sin u x d sin u dx ⇔∫ =∫ x sin u ⇔ ln sin u =ln x +ln c ⇔ SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng ⇔ sin u = Cx ⇔ sinu = ± C.x y ⇔ sin = ± C.x x y x Vaäy sin = ± C.x nghiệm tổng quát phương trình vi phân(*) Do y(1)= π thay vào nghiệm tổng quát: Vậy nghiệm cần tìm: sin π sin =C=1 y =x x Phương trình tuyến tính a Định nghóa: Phương trình dạng: y’ + p(x).y= q(x) (3) ( p(x), q(x) liên tục [a,b] ) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp - Nếu q(x)=0 (3) gọi phương trình vi phân tuyến tính - Nếu q(x) ≠ (3) gọi phương trình vi phân tuyến tính không b Cách giải: Công thức tìm nghiệm tổng quát phương trình (3): y=y (x).z(x) − p ( x ) dx q( x) đó: y (x)=e ∫ ; z(x)= ∫ dx +C y1 ( x) Chú ý: - Nếu (3) vi phân tuyến tính nghiệm tổng quát là: y=C.e ∫ - Nếu hệ số y’ a (với a ≠ 1) phải chia hai vế phương trình (3) cho a áp dụng công thức nghiệm tổng quát c Ví dụ: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: y’+2.y=cos x Giải Ta có: p(x)= 2; q(x)= cos x Theo công thức tìm nghiệm trên: − dx − p ( x ) dx =e ∫ =e −2 x y(x)= e ∫ − p ( x ) dx z(x)= ∫ cos x dx + C = ∫ e x cos x.dx + C =I+C −2 x e Với I= ∫ e x cos x.dx Sử dụng tính tích phân phần ta được: SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng e x (sin x + cos x) 2x e (sin x + cos x) Vậy z(x)= +C I= Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y=y (x).z(x)=e −2 x [ y=C.e −2 x + e x (sin x + cos x) +C] sin x + cos x Phương trình Becnuli a Định nghóa: phương trình vi phân dạng: y’+p(x).y=q(x).y α (với α ≠ 0; α ≠ ) gọi phương trình Becnuli b Cách giải: - Nếu y=0( α 〉 o ) ⇒ y’=0 ⇒ phương trình (4) thoả, nên y=0 nghiệm phương trình (4) - Nếu y ≠ 0:chia veá cho y α : y’.y α +p(x).y 1−α =q(x) Đặt z= Phương trình (4): (4) y 1−α ⇒ z ' = y '.y −α 1−α (4’) phương trình vi phân tuyến tính theo z x p dụng cách phng z '+(1 − α ) p ( x).z = q ( x) trình tuyến tính tìm nghiệm (4’) thay z= (4) c Ví dụ: Giải phương trình Becnuli sau: y '+2 xy = xy Giaûi y’ +2xy=2xy (*4) Chia hai vế cho y2: y 1−α tìm đựơc nghieäm 1−α ⇔ y '.y −2 + x y −1 = x y Đặt z = − ⇒ z ' = y' = y '.y − ⇔ z '−2 x.z = x y (*4’) phng trình tuyến tính cấp p dụng công thức ta tìm nghiệm tổng quát (*4): z = C.e x + y Thay z = − = C.e x + SVTH: Nguyeãn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng Vậy nghiệm tổng quát (*4) : y = − C.e x2 +1 B PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I Định nghóa: phương trình dạng: (II) (II ) Hoaëc y ′′ = f ( y ′, y, x) (trong x biến, y hàm x, y ′, y ′′ đạo hàm cấp 1, cấp y) gọi phương trình vi phân cấp F ( y ′′, y ′, y, x) = II Nghiệâm phương trình vi phân cấp - Nếu có hàm y = ϕ(x) hay φ(x,y)=0 thoả mãn phương trình(II)hay (II ) y = ϕ(x) hay φ(x,y)=0 nghiệm phương trình - Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (II) hay (II ) hàm số y = ϕ ( x, C1 , C ) hay φ( x, y, C1 , C ) với C1 ,C tuỳ ý thoả mãn phương trình vi phân với giá trị C1 ,C - Nếu hàm y = ϕ ( x, C1 , C ) hay φ( x, y, C1 , C )=0 nghiệm tổng quát (II) hay (II ) cách dựa vào điều kiện cho trước, ta xác định C1 = C 01 ; C = C 02 y = ϕ ( x, C 01 , C 02 ) hay φ( x, y, C 01 , C 02 ) gọi nghiệm riêng phương trình (II) hay (II ) III Các dạng phương trình vi phân Phương trình cấp hai giảm cấp được: a) Định nghóa: Phương trình cấp hai có dạng F ( x, y ′′) = (I 1a ) hay F ( x, y ′, y ′′) = (I 1b ) hay F ( y, y ′, y ′′) = (I 1c ) gọi phương trình cấp hai giảm cấp b) Cách giải: - Đối với phương trình (I 1a ): lấy tích phân hai vế phương trình lần, tìm đựơc nghiệm tổng quát - Đối với phương trình (I 1b ): đặt y ′ = p( x); y ′′ = p ′( x) Thay y ′, y ′′ vào phương trình ta phương trình vi phân cấp với hàm số phải tìm SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng p(x), tìm nghiệm tổng quát tích phân vế nghiệm tổng quát ta tìm nghiệm tổng quát phải tìm phương trình (I 1b ) - Đối với phương trình (I ): đặt y’=p(y), y”=p 1c dp Thay y’, y” vào dy phương trình (I 1c )được phương trình vi phân cấp với hàm số phải tìm p(y), nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp có dạng: p(y)= ϕ (y,C ) Do ta đặt y’= li: dy =p(y) nên ta phương trình biến số phân dx dy = ϕ ( y, C1 ) hàm số phải tìm y(x) Giải phương trình biến dx số phân li ta tìm nghiệm tổng quát c) Ví du: Giải phương trình cấp hai giảm caáp y y ′′ − ( y ′) = Giải Đây phương trình cấp hai không chứa x dạng (I 1c ) Đặt: y ′ = p( y ) = dy dp ; y ′′ = p dx dy dp − p2 = dy dp ⇔ p[ y − p ] = dy ⇔ y p - Neáu p = ⇒ p = trình vi phân cho dy = rút y = c Do y = c nghiệm phương dx dp =p dy dp dy ⇔ = p y ⇔ ln p = ln y + ln C1 - Nếu p ≠ , phương trình tương đương : y ⇔ ln p = ln y.C1 ⇔ p = y.C1 dy dy dy Do y ′ = p( y ) = = yC1 ⇒ = C1 dx ⇔ ∫ = ∫ C1 dx dx y y ⇔ ln y = C1 x + C ⇔ y = e C1 x +C2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = e C Phương trình vi phân tuyến tính cấp SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy x +C2 Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng a Định nghóa: phương trình vi phân cấp có dạng: (II ) y ′′ + p ( x) y ′ + q ( x) y = f ( x) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp - Nếu f(x)=0 (II ) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp - Nếu f(x) ≠ (II ) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp không b Cách giải: • b1: Phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất: (II a ) y ′′ + p ( x) y ′ + q ( x) y = - Neáu bieát y1 ( x), y ( x) nghiệm độc lập tuyến tính ( y1 ( x) ≠ số) y ( x) nghiệm tổng quát phương trình (II a ) : y = C1 y1 ( x) + C y ( x) - Nếu biết nghiệm y1 ( x) ta tìm thêm nghiệm y ( x) cách đặt y ( x) = y1 ( x).u ( x) ( với u ( x) ≠ số) Ví dụ: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp nhaát: (2 x − x )y ′′ + (x − 2)y ′ + 2(1 − x )y = biết nghiệm riêng y1 ( x) = e x Giải Đặt y ( x) = y1 ( x).u ( x) (với y ( x) là1 nghiệm độc lập tuyến tính với y1 ( x) ) y2′ ( x) = e x u ( x) + e x u ′( x.) y2′′ ( x) = e x u ( x) + e x u ′( x) + e x u ′( x) + e x u ′′( x) y2′′ ( x) = e x u ′′( x) + 2e x u ′( x) + e x u ( x) Hay : Thay vào phương trình vi phân cho (2 x − x )[e x ] ( )( ) u ′′( x) + 2e x u ′( x) + e x u ( x) + x − e x u ′( x) + e x u ( x) + 2(1 − x ) y = ( ) ⇔ x(2 − x )u ′′( x) + − x + x − u ′( x) = Đây phương trình vi phân giảm cấp không chứa u(x) Đặt u ′ = p( x); u ′′( x) = p ′( x) thay vào phương trình trên: Phương trình vi phân: SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng v ′(0) v ( n ) (0)  M + +  ||≤ n!  (n + 1)! 1!  Khi đó: || v ′(1) + v(0) +  Định lý: Giả sử ƒ: [a,b] → R có đạo hàm liên tục cấp n [a,b] có đạo hàm cấp (n+1) (a,b) Khi tồn ξ ∈ (a,b) cho: n f (b) = ∑ k =0 f (k ) a f ( n +1) (ξ ) k (b − a ) + (b − a ) n +1 k! (n + 1)! Ví dụ: Khai triển hàm theo công thức Taylor: ƒ(x)=ex Giải: x Hàm ƒ(x)=e khả vi cấp ∀ x ∈ R Và ƒ(n) (x)=ex, n ∈ N Với a=0, b-a=x Ta có: x2 xn e = + x + + + + O( x n ) 2! n! x Chương3: SỰ TỒN TẠI-TÍNH DUY NHẤT -TÍNH LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Xét phương trình vi phân VOLTERRA x(t ) = f (t ) + ∫ a (t , s ).g ( x( s ), s ).ds t (*) §1 CÁC GIẢ THIẾT SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 21 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng Cho R n với chuẩn Euclide |.|, W tập mở R n I khoảng mở chứa R Ta có giả thiết sau: I Giả thiết A: f hàm liên tục khoảng I, có giá trị W II Giả thiết B P : Cho ≤ p < ∞ : g(x) hàm đo xác định WxI có giá trị R n , cho: i ∀ t cố định, g ( x, t ) liên tục theo x ii ∀ tập compact K ⊂ W tập compact J ⊂ I , tồn hàm thoả: | g ( x, t ) |≤ m(t ); ∀x ∈ K , t ∈ I p ∫ m(t ) dt < ∞ J Điều kiện Lipschitz: Hàm g (t ) thoả giả thiết B p gọi thoả điều kiện Lipschitz cặp tập compact K,J (với K ⊂ W , J ⊂ I ) , tồn hàm k (t ) đo được, có giá trị thực cho: | g ( x, t ) − g ( y, t ) |≤ k (t ) | x − y | ; x,y ∈ K, t ∈ J vaø ∫ k (t ) p dt < ∞ J Với khoảng J, ta xác định không gian Banach B p (J) B p (J)= L p ( J , R n ) ; ≤ p < ∞ ( L p ( J , R n ) không gian hàm đo Lebesgues J, lấy giá trị R n ∫ | x(t ) | p < ∞ J -Khoâng gian đo Lebesgues (L p (J,Rn ): Là tập hợp hàm thực x=x(t); x : X → Rn đo X cho hàm /x(t)/p hàm khả tích X Chính xác hơn: x ∈ Lp tồn tập A ∈ δ cho µ ( X \A)=0 p x đo A ∫ / x(t ) / dµ < ∞ A -Đặt B ( J ) không gian liên hợp B p (J) * p B *p ( J ) =B p (J) ≤ p < ∞ SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy 1 + = p q Trang 22 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng III Giả thiết CP: Cho M n không gian toán tử tuyến tính R n Cho ≤ p< ∞ a(t,s) ánh xạ từ IxI vào M n cho: i Mỗi khoảng compact J ⊂ I ánh xạ t ∈ I nh xạ S: B p (J) → R n định bởi: S ( x)(t ) = ∫ a (t , s ) x( s )ds ánh xạ tuyến tính bị chặn J ii nh xạ biến t thành a(t ,.) liên tục tôpô chuẩn B *p ( J ) n Với giả thiết C p bất đẳng thức Holder, ta tìm chuẩn R n M n cho: + Nếu < p < ∞ vaø + = Ta coù: p q   | ∫ a(t , s) x( s)ds | ≤ ∫ | a(t , s) | q ds  J J  q   p ∫ | x( s ) | ds  J  p (1) + Neáu p = Ta coù: (2) || ∫ a (t , s ).x( s )ds |≤|| a (t ,.) || ∞ ∫ | x( s ) | ds J J Trong ñoù: || a(t ,.) ||∞ = sup{∫ | a(t , s) |: s ∈ J } (3) - Tính liên tục ánh xạ biến t thành a(t ,.) dẫn đến: t thuộc tập compact J ′ ⊂ I tập {a(t ,.) : t ∈ J ′} tập compact B *p ( J ) n với   chuẩn (3) nghóa là: sup ∫ | a(t , s) | q ds  < ∞ ; Neáu < p < ∞ vaø + = (đúng t∈J ′ J ′  p q cho trường hợp q = ∞ ) - Do tính liên tục ánh xạ biến t thành a(t ,.) tôpô chuẩn, nên: ∫ | a(t + h, s) − a(t , s) | J q ds → h → Neáu < p < ∞ ; + = ( với p q trường hợp q = ∞ ) - Ta đưa vào tôpô sau: + Trên C = C ( I ,W ) tôpô hội tụ tập compact + Trên C p tập hợp hàm thoả giả thiết B p , ta xác định tôpô Tc Tb : SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 23 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng • Ta nói: g n → g Tc với khoảng compact J ⊂ I tập compact K ⊂ C (T ,W ) , daõy ( g n ( x(.),.)) hội tụ g (x(.),.) L p ( J , R n ) với hội tụ x(.) ∈ K • Ta nói: g n → g Tb với khoảng compact J ⊂ I tập compact K ⊂ W ,dãy ( g n ( x(.),.)) hội tụ g (x(.),.) L p ( J , R n ) với hội tụ x(.) ∈ K * , đó: { K * = C ( J , K ) = x ∈ C ( J , R n ) : x(t ) ∈ K ; ∀t ∈ J } Trong trường hợp W = R n , tôpô có điều kiện xác định: sup ∫ | g n ( x(t ), t ) − g ( x(t ), t ) | p dt → x (.)∈K K -Đối với tôpô Tc tập K đòi hỏi phải compact -Đối với tôpô Tb tập K * đòi hỏi phải bị chặn A*p tập hợp tất hàm thỏa điều kiện C p Bổ đề 1: Cho f ∈ C , g ∈ G p vaø a ∈ A*p , ≤ p < ∞ Nếu tồn nghiệm x phương trình (*) [0, α ) x hàm liên tục Bổ đề 2: Cho x(t ) , ≤ t ≤ ∞ laø nghiệm phương trình (*) y(t) , ≤ t ≤ β nghiệm phương trình: t y (t ) = fˆ (t ) + ∫ a (t + a , s + a ).g ( y ( s ), s + a )ds (*’) t ñoù: fˆ (t ) = f (t + a ) + ∫ a(t + a , s + a ).g ( y ( s), s)ds  x(t );  y (t − α ); Thì: x(t ) =  ≤ t ≤α α ≤ t ≤α + β nghiệm (*) ≤ t ≤ α + β §2 ĐẠI CƯƠNG SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 24 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng I Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue: Cho ( f m ) dãy hàm khả tích R n cho: lim f m ( x) = f ( x) hữu hạn m →∞ Nếu có hàm khả tích cho; | f m ( x) |≤ g ( x) hữu hạn f khả tích, lim ∫ | f m ( x) − f ( x) | dx = m →∞ Vaø lim ∫ f m ( x)dx = ∫ f ( x)dx m →∞ II Tập đồng liên tục: Cho X không gian tôpô, F không gian chuẩn Tập H ⊂ BF ( X ) gọi đồng liên tục (hay liên tục đồng bậc) x0 ∈ X ε > tồn lân cận U x cho || f ( x) − f ( x0 ) ||< ε với x ∈ U , f ∈ H Tập H gọi đồng liên tục đồng liên tục x∈ X Nếu H đồng liên tục x0 f ∈ H liên tục x0 Nếu H đồng liên tục f ∈ H hàm liên tục Định nghiã B F (X): giả sử X tập hợp tùy ývà F không gian thực (tương ứng phức) nh xạ xạ f X vào Fgọi bị chặn tập hợp f(X) bị chặn F Tập hợp B F (X)tất ánh xạ bị chặn X vào F,là không gian vectơ thực (tương ứng phức) vì: // f(t)+g(t) // ≤ //f(t)//+//g(t)// Ngoài ra://f//= sup //f(t)// chuẩn gian t∈ X III Tập bị chặn bị chặn đều: - Tập A gọi bị chặn x0 ∈ [a, b] có K>0 cho với f ∈ A ta coù: | f ( x0 ) |≤ K - Tập A đựơc gọi bị chặn điểm (bị chặn đều) [a, b] A bị chặn điểm x ∈ [a, b] (tương ứng ∃M > cho với f ∈ A , x ∈ [a, b] | f ( x) |≤ M ) IV Tập compact-compact tương đối: Cho X không gian mêtric A tập X Ta gọi A tập ( x n ) hội tụ điểm thuộc x ∈ A k SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 25 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng - Nếu thân X compact không gian X không gian compact - Tập A ⊂ X gọi compact tương đối A tập compact Mệnh đề: + A compact ⇔ ∀{x n } ⊂ A, ∃( x n ) ⊂ {x n }, ∃a ∈ A : lim x n = k n →∞ k + Tập A ⊂ X compact tương đối dãy {x n } ⊂ A có dãy hội tụ đến điểm X (không cần thuộc A) V Định lý Ascoli: Cho không gian compact Khi tập H ⊂ k ( X ) compact tương đối thoả mãn điều kiện i H bị chặn theo điểm ii H đồng liên tục VI Bất đẳng thức Holder Giả sử p > 1, q > số thực thoả mãn: + = Nếu f ∈ L p (x) , p q g ∈ L q (x) fg ∈L (x) || f g ||≤|| f || p || g || q VII nh xạ compact: Cho E không gian Banach, D tập mở bị chặn E nh xạ f : D → E gọi ánh xạ compact (hay hoàn toàn liên tục) f liên tụcvà f ( D ) tập compact E VIII Định lý điểm bất động Schauder: Cho T ánh xạ từ tập A → A (vào nó) Phần tử x ∈ A cho T ( x) = x gọi diểm bất động, ánh xạ T Điểm bất động ánh xạ T nghiệm phương trình T ( x) = x Định lý Schauder: Cho K tập lồi, đóng không gian Banach T : K → K ánh xạ liên tục cho bao đóng T (K ) T (K ) compact Thì T có điểm bất động SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 26 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng §3 ĐỊNH LÝ SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT Xét phương trình tích phân: (*) x(t)= f(t)+ ∫ a(t , s) g ( x( s), s)ds I Định lí 1: (sự tồn ) Phát biểu: Cho f ∈ c, g ∈ G p vaø a ∈ AP* , ≤ p < ∞ Ta có: i) Thì tồn khoảng [0, α ], α > hàm liên tục x, x : [0, α ] → W cho (*) thoả mãn với ≤ t < α ii) Nếu [0, α ] khoảng xác định cực đại x α điểm biên I x(t) tiến đến biên W t → α iii) Tồn αˆ >0 cho với t, ≤ t < αˆ K t = {y ∈ W : y = x(t ) : x nghiệm (*) } tập hợp compact (αˆ chọn cực đại theo nghóa αˆ = α , α cho (ii) Chứng minh Chứng minh (i): Để chứng minh tồn nghiệm ta chứng minh định lí điểm bất động Schauder - t Toán tử T: T ( x)(t ) = f (t ) + ∫ a (t , s ) g ( x( s ), s )ds Chứng minh T có điểm bất động + Choïn β > 0; [0, β ] ⊂ I Ta tìm ε > cho: D[0, β ] = {x(.) ∈ C ([0, β ], W ) : f (t ) − x(t ) ≤ ε ,0 ≤ t ≤ β } tập lồi đóng khoâng gian Banach C ([0, β ], R n ) β q q Đặt B = sup∫ a(t , s) ds    Theo giả thiết B p ta có: ; với + = p q g ( x, t ) ≤ m(t ); với x ∈ K ;0 ≤ t ≤ β β ∫ m(t ) p dt < ∞  p + Choïn β ' cho < β ' < β vaø B ∫ m(t ) p dt  ≤ ε   SVTH: Nguyeãn Khoa Hải Thy Trang 27 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng (i ) Chứng minh T biến D[0, β ′] vào nó: Thật ta có: | x(t ) − f (t ) |≤| ∫0 a(t , s).g ( x( s), s)ds | t Theo baát đẳng thức Holder: {∫ a(t, s) ds} {∫ g ( x(s), s) ds} Do g ( x, s) ≤ m( s)hay{∫ g ( x( s), s ds} ≤ {∫ m( s) ds} {∫ a(t, s) ds} ≤ sup {∫ a(t, s) ds} = B Neân x(t ) − f (t ) ≤ B.{∫ m( s) ds} ≤ ε x(t ) − f (t ) ≤ q q t p p t t q p p p p q β q q 0≤t ≤ β p p Do x ∈ D[0, β ′] (i ) Chứng minh T ánh xạ compact – nghóa chứng minh tập hợp T (D[0, β ′] đồng liên tục lấy t cố định ; ≤ t ≤ β ′; ε > cho trước t T ( x)(t ) = f (t ) + ∫ a (t , s ).g ( x( s ), s )ds T ( x)(t + h) = f (t + h) + ∫ t +h t a (t + h, s ).g ( x( s ), s )ds T ( x)(t + h) = f (t + h) + ∫ a (t + h, s ) g ( x( s ), s )ds + ∫ t +h a (t + h, s ).g ( x( s ), s )ds Ta coù: Tx (t + h) − Tx (t ) ≤ f (t + h) − f (t ) + + ∫ [a(t + h, s) − a(t , s)]g ( x(s), s)ds t a (t + h, s ).g ( x( s ), s )ds + t ≤ f (t + h) − f (t ) + + ∫ t +h {∫ t {∫ t +h t }{ q a (t + h, s ) ds ∫ q t +h t } p g ( x( s ), s ds }+ p 1 q p p  t  a (t + h, s ) − a (t , s ) ds ∫ g ( x( s ), s )  0  q p ≤ f (t + h) − f (t ) + B  ∫ m( s ) p ds  +   {∫ β′ a (t + h, s ) − a (t , s ) ds q } {∫ q β′ p m( s ) ds } p Ta choïn δ > cho h ≤ δ thì: f (t + h) − f (t ) ≤ ε B∫ t +h t {∫ β′ SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy p m( s ) ds p ≤ε a (t + h, s ) − a (t , s ) } {∫ q q β′ p m( s ) ds } ≤ε p Trang 28 Luận Văn Tốt Nghiệp Suy ra: GVHD: Trần Hoàng Tx(t + h) − Tx(t ) ≤ 3ε , h ≤ εV → T laø tập bị chặn δ phụ thuột vào t ε không phụ thuột hàm x nên T đồng liên tục ⇒ T tập compact tương đối Vậy T biến tập bị chặn thành tập compact tương đối Lấy {x n } dãy D[0, β ′] Ta coù: lim x n = x n →∞ Do tính liên tục g(x,t) theo x ta có: lim g ( x n ( s ), s ) = g ( x( s ), s ); ∀δ ; ≤ δ ≤ β ′ n →∞ lim a (t , s ).g ( x n ( s ), s ) = a (t , s ) g ( x( s ), s ) n →∞ Mặt khác dãy {a(t , s).g ( x n ( s), s} bò chặn bởi: a(t , s ) g ( x n ( s ), s ) ≤ a(t , s )m( s ) → Theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgues, ta coù: ∫ t t a (t , s ) g ( x n ( s ), s )ds → ∫ a (t , s ) g ( x( s ), s )ds Suy ra: ∀t;0 ≤ t ≤ β ' Ta coù: lim Tx n (t)= Tx(t) n →∞ Để áp dụng định lí Schauder, ta phải chứng minh T ( D[0, β ′]) tập compact Theo định lí Ascoli điều tương đương với T(D[0, β ′ ]) đồng liên tục bị chặn C([0, β ′ ],R n ) ,ta chứng minh Do theo định lí Schauder, T có điểm bất động x, nghiệm phương trình (*) Chứng minh (ii): Ta chứng minh phản chứng Giả sử α không điểm biên I:x(t) nằm tập compact K ⊂ W với ≤ t ≤ α Ta chứng minh tồn nghiệm xˆ (t ) xác định [0, α ′], α < α ′ , cho: xˆ (t ) = x(t );0 ≤ t ≤ α Điều trái với tính cực đại [0, α ) - Tồn lim x(t ) đặt lim x(t ) = x(α ) (giới hạn tồn với n →∞ n →∞ < τ < α cho x(t ) − x(u ) ≤ ε ; ∀t , u thoaû: τ < τ < α;τ ≤ u < α ) - Theo giả thiết B p , tồn hàm m(t) cho: α g ( x, t ) ≤ m(t ); ∀x ∈ K ;0 ≤ t ≤ α vaø ∫ m( s ) p ds < ∞ SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 29 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng Nếu τ ≤ τ ≤ u ≤ α thì: x(u ) − x(t ) ≤ f (u ) − f (t ) + ∫ [a(t , s) − a(u, s)]g ( x(s), s)ds + ∫ t u t q p ≤ f (u ) − f (t ) +  ∫ a (t , s ) − a (u , s ) ds  +   {∫ a q a (u , s ) g ( x( s ), s )ds a (u , s ) ds } {∫ m(s) ds} q a p p t Neáu τ ≤ u ≤ α α - τ đủ nhỏ x(u ) − x(t ) < ε Vậy x(t) nghiệm phương trình (*) [0, α ] Theo bổ đề nghiệm x nối dài ≤ t ≤ α + β ( β > 0) Dẫn đến mâu thuẩn với tính cực đại [0, α ) Chứng minh (iii) Ở (i) tồn α cho mổi nghiệm (*) xác định [0, α ] Gọi S nghiệm (*) [0, α ] Nên S đồng liên tục bị chặn nghóa S compact tương đối (theo định lí Ascoli) X nghiệm (*) [0, α ] , dãy {x n } nghiệm (*) hội tụ x [0, α ] nên S tập đóng Vậy S tập compact C ([0, α ], R n ) ∀t ∈ [0, α ] , ánh xạ biến x ∈ S thành x(t) liên tục nên K t compact ∀t ∈ [0, α ] ( α chọn cực đại cách chứng minh tương tự (ii) ) II Định lí (tính nhất) : Cho f ∈ C , g ∈ G p ; a ∈ A*p , ≤ p < ∞ ø giả sử g thoả điều kiện Lipschitz tồn nghiệm (*) SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 30 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng §4 ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH LIÊN TỤC Khảo sát phụ thuộc nghiệm theo ba tham biến f , g , a I Định lí: Cho ( f n ) , ( g n ) , (a n ) lần lược dãy C , G p , A*p với ≤ p < ∞ Giả sử dãy có giới hạn: lim f n = f , lim g n = g , lim a n = a n ←∞ n →∞ n →∞ Cho ( x n ) dãy nghiệm của: (*1) t x n (t ) = f n (t ) + ∫ a n (t , s ).g n ( x( s ), s )ds khoảng cực đại [0, α n ) thì: - Dãy ( x n ) có dãy hội tụ khoảng ≤ t ≤ σ , σ > Haøm giới hạn x nghiệm phương trình: (*2) t x n (t ) = f n (t ) + ∫ a (t , s ).g ( x( s ), s )ds - Daõy (x n ) dãy ( x n ) chọn cho x n (t ) hội tụ j j x(t ) tập compact [0, αˆ ) [0, αˆ ) khoảng cực đại K t compact [0, αˆ ) ⊂ lim inf [0, α ) n →∞ II Chứng minh: ∀β ,0 < β < αˆ , ta coù: - [0, β ] ⊂ [0, α n ) với n đủ lớn, n ≥ N - Trên [0, β ] dãy hàm ( x n ) bị chặn đồng liên tục - Nếu (x n ) dãy hội tụ ( x n ) có giới hạn x(t ) [0, β ], J x(t ) nghiệm (*2) [0, β ] Ta chứng minh trường hợp < p < ∞ (p=1 chứng minh tương tự) Lấy β ,0 ≤ β < αˆ Thì: K t = {y ∈ W : y = x(t ) , với nghiệm x (*2) } tập compact W Lấy K tập compact W, chứa K* phần Theo giả thieát B p :| g ( x, t ) ≤ m(t ), ∀x ∈ K ,0 ≤ t ≤ β - Trong T c hội tụ g n → g dẫn đến ε n → β Với ε n sup ∫0 | g n ( x, s) − g ( x, s) | p ds x∈K - Mặt khác, ≤ σ ≤ β thì: SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 31 Luận Văn Tốt Nghieäp  s | g ( x, s ) | p ds    ∫0 n GVHD: Trần Hoàng p s ≤  ∫ | g n ( x, s ) − g ( x, s ) | p ds    s ≤ ε n +  ∫ m( s ) p ds    Đặt s M (s , n) = ε n +  ∫ m( s ) p ds    p p p s +  ∫ m( s ) p ds   1 p - Tương tự, ta có chặn chung cho dãy (a n ) là:  β q B = sup  sup  ∫ | a n (t , s ) | q ds   < ∞   n 0≤t ≤ β   (2) Và B chặn hàm giới hạn a(t , s) - Do cách chọn tập hợp K, tồn ε > cho x nghiệm | y − x(t ) |≤ ε y ∈ K ε Cố định δ cho < δ < cố định số N cho n ≥ N1 2 Bε n < δ | f n (t ) − f (t ) < δ ; ∀0 ≤ t ≤ ∞, n ≥ N1 σ - Ta choïn δ ch B ∫0 m( σ) p δσ   p  (3) = ε − 2δ o < δ ≤ β vaø (nếu không thỏa ta chọn σ = β ) Giả sử: | x n (t ) − x(t ) |≤ ε với ≤ t ≤ ξ ≤ σ ξ | ξ n (ξ ) − ξ(ξ ) |≤| f n (ξ ) − f (ξ ) | + | ∫ a n (ξ , s ).g ( ξ n ( s ), s )ds | + + ∫ ξ a (ξ , s ).g ( ξ( s ), s )ds Aùp duïng (1) , (2) , (3) ta coù: ξ n (ξ ) − ξ(ξ ) ≤ δ + BM (ξ , n) ≤ δ + BM (σ , n) < ε Như ≤ t ≤ ξ , khoảng cực đại [0, ξ ] phải chứa [0, σ ] Chứng minh dãy hàm (x n : n ≤ N ) đồng liên tục [0, σ ] Neáu ≤ t ≤ t + h ≤ σ thì: | ( x n (t + h ) − x n (t ) |≤ f n (t + h) − f (t ) + + ∫ t +h t ∫ [a t n (t + h, s ) − a n (t , s )].g n ( x n ( s ), s )ds + a n (t + h, s ).g n ( x n ( s, ), s )ds t +h ≤ f n (t + h) − f n (t ) + B ∫ m( s ) p ds   t  p s q q +  ∫ a n (t + h, s ) − a n (t , s ) ds  M (s , n)   Vì f n → f [0, σ ] nên dãy (f n ) đồng liên tục a n (t ,.) → a (t ,.) theo t ∈ [0, σ ] nên (a n ) đồng liên tục hàm theo t có giá trị Bq (0, σ )n SVTH: Nguyễn Khoa Hải Thy Trang 32 Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: Trần Hoàng Vì B số M (σ , n) bị chặn theo n, (n ≤ N ) neân (x n : n ≤ N ) đồng liên tục [0, σ ] Chứng minh x(t) nghiêm (*2) [0, σ ] Chọn dãy hội tụ (x n ) , dể đơn giản ta chon dãy dó (x n ) tồn hàm x cho x n (t ) → x(t ) [0, σ ] Vì K = {x, x1 , } tập compact C ([0, σ ], R n ),0 ≤ t ≤ σ Neân t ∫a n (t , s ).g n ( x n ( s ), s )ds → t ∫a n (t , s ).g ( x( s ), s )ds Vậy x(t) nghiêïm (*2) [0, σ ] Bây ta chứng minh khoảng [0, σ ] mở rộng cho [0, β ] Sự mở rộng thực qua số bước cách lập lại lý luận Nghóa là, tịnh tiến (*2) cho t (*3) x(t ) = fˆ (t + ∫ a (t + s , s + s ).g ( x( s ), s + s )ds s fˆ (t ) = f (t + s ) + ∫ a (t + s , s ) g ( x( s ), s )ds đó: Theo lý luận trên, ta tìm τ > cho dãy nghiệm ( x n (t )) hội tụ nghiệm x(t) [0, τ ] Theo bổ đề 2, ta có:  x(τ ) x(τ ) =   x(τ − τ ) ≤ t ≤σ σ ≤ t ≤σ + t nghiệm phương trình (*2) [0, σ + τ ] , giới hạn ( x n (t )) treân ≤ τ ≤ σ ≤ τ Quá trình lặp lại Có thể mở rộng cho [0, β ] qua số bước hữu hạn Nghóa số τ chọn cho: