Một số vấn đề về phương trình sai phân dạng Xn+1 = α + (Xn - 1)/Xn

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn, bảo tận tình TS Nguyễn Văn Khải Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khải, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán khoa phòng chức trường, Thầy, Cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt Thầy, Cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ trình học tập trường Tôi xin cảm ơn bạn học viên người thân gia đình giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà nội, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Dương Thị Minh Thu i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà nội, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Dương Thị Minh Thu ii Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii PHẦN MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn 1.2 Sai phân 1.2.1 Sai phân 1.2.2 Tính chất sai phân 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 1.3.1 Phương trình sai phân 1.3.2 Nghiệm 1.3.3 Nghiệm tổng quát x ˜n ∗ 1.3.4 Nghiệm riêng xn 1.3.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Nghiệm 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 1.5 Tính ổn định tính hút điểm cân 1.5.1 Định nghĩa ổn định ổn định tuyến tính 1.5.2 Tính hút toàn cục điểm cân dương 3 4 6 10 12 12 13 17 18 18 26 Một số vấn đề phương trình sai phân dạng xn+1 = α + xxn−1 31 n 2.1 Trường hợp α < 31 iii 2.2 2.1.1 Sự ổn định tuyến tính hóa 2.1.2 Tính hút toàn cục 2.1.3 Tính dao động Trường hợp α ≥ 2.2.1 Phương trình tuyến tính hóa 2.2.2 Bán chu kì (2.12) 2.2.3 Trường hợp ≤ α < 2.2.4 Trường hợp α = 2.2.5 Trường hợp α > 31 33 38 40 40 44 46 46 47 KẾT LUẬN 51 Tài liệu tham khảo 52 iv PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình sai phân vấn đề quan trọng Giải tích toán học Bên cạnh toán phương trình sai phân hệ số hoàn toàn làm sáng tỏ toán lại vấn đề mở cho toán học đương đại Với mong muốn tìm hiểu phương trình sai phân, hướng dẫn TS.Nguyễn Văn Khải dựa hai công trình nghiên cứu: • On the recursive sequence xn+1 = α + xxn−1 , Alaa E Hamza, Journal n of Mathematical Analysis and Applications , A.M Amleh, E.A Grove, • On the recursive sequence xn+1 = α+ xxn−1 n G Ladas, Journal of Mathematical Analysis and Applications chọn đề tài : "Một số vấn đề phương trình sai phân dạng xn+1 = α + xxn−1 " n Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình sai phân dạng xn+1 = α + xxn−1 n Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình sai phân nói chung phương trình sai phân xn+1 = α + xxn−1 nói riêng n Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trình sai phân xn+1 = α + xxn−1 n Phạm vi nghiên cứu: Phương trình sai phân Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích toán học để tiếp cận vấn đề Dự kiến đóng góp luận văn Luận văn tài liệu bước đầu phương trình sai phân xn+1 = α + xxn−1 n Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị sai phân số tính chất sai phân; phương trình sai phân tuyến tính cấp n, cấp 1, cấp 2; số khái niệm chung ổn định phương trình sai phân Chương 2: Một số vấn đề phương trình sai phân dạng xn+1 = α + xxn−1 n • Trường hợp α < nghiên cứu tính ổn định toàn cục, tính không đổi đặc trưng dao động phương trình sai phân xn+1 = α + xxn−1 với điều kiện ban đầu x−1 , x0 số thực âm n • Trường hợp α ≥ nghiên cứu tính ổn định toàn cục, đặc trưng giới hạn tính tuần hoàn tự nhiên nghiệm dương phương trình sai phân xn+1 = α + xxn−1 với điều kiện ban đầu x−1 , n x0 số thực dương Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (cn )∞ n=1 dãy bị chặn số thực Kí hiệu: an = inf{ck : k ≥ n}; bn = sup{ck : k ≥ n} Dãy (an ) dãy tăng bị chặn, có giới hạn Giới hạn gọi lim inf dãy (cn ) kí hiệu lim inf cn n lim inf cn = lim inf{ck : k ≥ n} n n→∞ Tương tự, dãy (bn ) dãy giảm bị chặn, có giới hạn Giới hạn gọi lim sup dãy (cn ) kí hiệu lim sup cn n lim sup cn = lim sup{ck : k ≥ n} n n→∞ Ví dụ 1.1.2 (i) Xét dãy un = (−1)n n Ta có: lim u2k = lim (−1)2k 2k = +∞; k→+∞ k→+∞ lim u2k+1 = lim (−1)2k+1 (2k + 1) = −∞ k→+∞ k→+∞ Do đó: lim inf un = −∞, lim sup un = +∞ n n (ii) Xét dãy = (−1)n Ta có: lim v2k = lim (−1)2k = 1; k→+∞ k→+∞ lim v2k+1 = lim (−1)2k+1 = −1 k→+∞ k→+∞ Do đó: lim inf = −1, lim sup = n n (iii) Xét dãy 2nπ wn = cos Ta có: lim w3k = lim cos 2kπ = 1; k→+∞ k→+∞ 2π −1 = ; k→+∞ 4π −1 = lim cos = k→+∞ lim w3k+1 = lim cos k→+∞ lim w3k+2 k→+∞ Do đó: lim inf wn = n 1.2 Sai phân 1.2.1 Sai phân −1 , lim sup wn = n Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi sai phân cấp hàm số x(n) = xn với n ∈ Z (hoặc n thuộc tập Z) hiệu: ∆xn = xn+1 − xn Định nghĩa 1.2.2 Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn qui nạp ta sai phân cấp k hàm xn sai phân sai phân cấp k − hàm số Như vậy, sai phân cấp hàm xn là: ∆2 xn = ∆(∆xn ) = ∆xn+1 − ∆xn = xn+2 − xn+1 − (xn+1 − xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn Sai phân cấp hàm xn là: ∆3 xn = ∆(∆2 xn ) = ∆2 xn+1 − ∆2 xn = xn+3 − 2xn+2 + xn+1 − (xn+2 − 2xn+1 + xn ) = xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn Qui nạp sai phân cấp k hàm xn ∆k xn = ∆(∆k−1 xn ) = ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn k (−1)i Cki xn+k−i , = (1.1) i=0 k! Từ công thức (1.1) suy số tính chất i!(k − i)! sai phân sau Cki = 1.2.2 Tính chất sai phân Tính chất Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số k k (−1)i Cki xn+k−i ∆ xn = i=0 Tính chất Sai phân cấp hàm số toán tử tuyến tính Tính chất Sai phân cấp k đa thức bậc m (i) Đa thức bậc m − k, k < m (ii) Hằng số, k = m (iii) Bằng k > m Tính chất N ∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xa , k ∈ Z+ n=a 1.3 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính Phương trình sai phân Định nghĩa 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính hệ thức tuyến tính sai phân cấp: F (xn , ∆xn , ∆2 xn , , ∆k xn ) = (1.2) đó, xn hiểu sai phân cấp hàm xn , cấp lớn sai phân (ở k), cấp phương trình sai phân; hàm phải tìm xn = x(n) Định nghĩa 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính hàm xn biểu thức tuyến tính giá trị hàm xn điểm khác ao xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = fn (1.3) a0 , a1 , , ak với a0 = 0, ak = số hàm số n, gọi hệ số phương trình sai phân; fn hàm số biết n, gọi vế phải ; xn hàm cần tìm, gọi ẩn Phương trình (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k (còn gọi bậc k), để tính xn , ta phải cho trước k giá trị liên tiếp xn , tính giá trị lại xn theo công thức truy hồi (1.3) Định nghĩa 1.3.3 Nếu fn ≡ (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính Nếu fn ≡ (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính không ⇒ M0 < • Với α ≤ −4 f + Từ điều kiện (2.8), ta có f 1 + α + = α 1 + α − 1 + −θ α 2.1.3 + Tính dao động Mục đích phần khảo sát tính dao động phương trình sai phân xn+1 = α + xn−1 , xn n = 0, 1, (2.11) Khi α < −1 Bổ đề 2.1.10 Giả sử α < −1 {xn } nghiệm không tầm thường phương trình (2.11) Khi đó, mệnh đề sau : (i) Nếu ∃ n0 ∈ N cho xn ≥ α + , ∀n ≥ n0 − {xn } hội tụ đơn điệu (ii) Nếu ∃ n0 ∈ N cho xn < α + 1, ∀n ≥ n0 − {xn } giảm −∞ Chứng minh: (i) Giả sử ∃ n0 ∈ N cho xn ≥ x ¯ = α + 1, Ta có: xn0 +1 = α + ∀n ≥ n0 − xn0 −1 xn −1 ≥ α + ⇔ ≥ x n0 xn0 Khi đó, ta có hai trường hợp sau: • Trường hợp 1: xn0 −1 > 38 Trong trường hợp < xn0 ≤ xn0 −1 Bằng qui nạp, ta có: xn0 −1 ≥ xn0 ≥ xn0 +1 ≥ > Vậy {xn } giảm, bị chặn 0, nên có giới hạn L ≥ Nếu L > 0, cho n → +∞ (2.11) có L = + α < α < −1 mâu thuẫn, từ có L = Vậy {xn } giảm • Trường hợp 2: xn0 −1 < Trong trường hợp > xn0 > xn0 −1 Bằng qui nạp, ta có: α + ≤ xn0 −1 ≤ xn0 ≤ < Vậy {xn } tăng, bị chặn {xn } khác tầm thường Nếu có giới hạn L (α + 1) < L ≤ Giả sử L < , cho n → ∞ (2.11) có L = α + dẫn đến mâu thuẫn Vậy {xn } tăng tới (ii) Giả sử tồn n0 ∈ N cho xn < x ¯ = α + 1, Ta có: ∀n ≥ n0 − xn0 −1 xn −1 < α + ⇔ < xn0 xn0 ⇒ xn0 < xn0 −1 < α + xn0 +1 = α + Bằng qui nạp ta có: α + > xn0 −1 > xn0 > xn0 +1 > Vậy {xn } đơn điệu giảm Nếu có giới hạn L hữu hạn L < α + 1, mặt khác cho n → ∞ (2.11) ta có L = + α (vô lý) Vậy {xn } giảm −∞ Định lý 2.1.11 Giả sử θ thỏa mãn bất đẳng thức (2.8) α ≤ −4 thỏa mãn bất đẳng thức (2.9) −4 < α < −3 Nếu m0 ∈ , nghiệm hàm xác định : f (x) = x2 − x − (θ + x), (x ≥ 0) α 39 nghiệm không tầm thường phương trình (2.11) với điều kiện [kα(m0 + θ), αkm0 ]2 dao động ban đầu x−1 , x0 cho (x−1 , x0 ) ∈ k∈N Chứng minh: Giả sử ngược lại {xn } nghiệm không dao động Bằng bổ đề 2.10 suy {xn } hội tụ giảm −∞ Từ định lý 2.1.9 suy x ¯= α + điểm hút toàn cục phương trình (2.11) ⇒ lim xn = x ¯ = α + (vô lý α < −1) n→∞ Vậy giả sử sai hay nghiệm không tầm thường (2.11) dao động 2.2 Trường hợp α ≥ Chúng ta nghiên cứu tính ổn định toàn cục, đặc trưng giới hạn tính tuần hoàn tự nhiên nghiệm dương phương trình sai phân xn+1 = α + xn−1 , xn n = 0, 1, đó, α ∈ [0, ∞), điều kiện ban đầu x−1 , x0 số thực dương tùy ý 2.2.1 Phương trình tuyến tính hóa Chúng ta nghiên cứu tính ổn định toàn cục, đặc trưng giới hạn tính tuần hoàn tự nhiên nghiệm dương phương trình sai phân xn+1 = α + xn−1 , xn n = 0, 1, (2.12) đó, α ∈ [0, ∞), điều kiện ban đầu x−1 , x0 số thực dương tùy ý Rõ ràng, điểm cân phương trình x ¯= α + Ta điều kiện cần đủ để nghiệm dương (2.12) bị chặn α ≥ Hơn nữa, ta α = nghiệm dương (2.12) hội tụ chu kì 2, α > x ¯= α + điểm cân ổn định 40 tiệm cận toàn cục phương trình (2.12) Phương trình tuyến tính hóa (2.12) điểm cân x ¯ =α+1 : yn+1 + 1 yn − yn−1 = 0, α+1 α+1 n = 0, 1, (2.13) Bổ đề 2.2.1 Các mệnh đề sau đúng: (i) Điểm cân ¯x = α + phương trình (2.12) ổn định tiệm cận địa phương α > (i) Điểm cân ¯x = α + phương trình (2.12) không ổn định ( điểm yên ngựa ) ≤ α < Chứng minh: Phương trình đặc trưng (2.13) là: λ2 + 1 λ2 − =0 α+1 α+1 (2.14) (i) Với α < ta có: α −1 = < = −1 − ; α+1 α+1 α+1 α+1 α 2a + 1− = < =2 α+1 α+1 α+1 −1 ⇒ 1− α+1 α+1 α+1 α+1 41 Lại có: > + α+1 α+1 Từ định lý 1.5.6 (iii) chương suy x ¯ = α + điểm yên ngựa, hay x ¯ = α + điểm không ổn đinh Bổ đề 2.2.2 Các mệnh đề sau đúng: (i) Phương trình (2.12) có nghiệm tuần hoàn với chu kì sở α = (ii) Giả sử α = {xn }∞ n=−1 nghiệm (2.12) Khi đó, ∞ {xn }n=−1 tuần hoàn với chu kì nếu: x−1 x−1 = x0 = x−1 − Chứng minh (i) Phương trình (2.12) có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ sở ⇔ xn+2 = xn Khi đó: xn+1 = xn−1 xn+2 = xn Ta có: xn−1 • xn+1 = α + xn ⇔ xn+1 xn = αxn + xn−1 ⇔ xn+1 xn = αxn + xn+1 xn • xn+2 = α + xn+1 ⇔ xn+2 xn+1 = αxn+1 + xn ⇔ xn+1 xn = αxn+1 + xn Do đó: αxn + xn+1 = αxn+1 + xn ⇔ α(xn − xn+1 ) = xn − xn+1 ⇔ α = (ii) Với α = 1, ta có: xn−1 xn+1 = + xn {xn }∞ n=−1 tuần hoàn với chu kì ⇔ x1 = x−1 x−1 ⇔1+ = x−1 x0 x−1 ⇔ x0 = với x−1 = x−1 − 42 Bổ đề 2.2.3 Giả sử {xn }∞ n=−1 nghiệm phương trình (2.12) nghiệm số không đổi Khi đó, {xn }∞ n=−1 nghiệm tầm thường xn = α + 1, n = −1, 0, Chứng minh xn−1 Ta có: xn+1 = α + xn xn ⇔ xn = α + xn ⇔ xn = α + Bổ đề 2.2.4 Giả sử {xn }∞ n=−1 nghiệm (2.12) L > α Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) lim x2n = L lim x2n+1 = L , L−α (ii) lim x2n+1 = L lim x2n = L L−α n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Chứng minh x2n (i) Ta có: x2n+2 = α + x2n+1 Giả sử lim x2n = L, đó: n→∞ lim x2n lim x2n+2 = α + n→∞ n→∞ lim x2n+1 n→∞ ⇔L=α+ L lim x2n+1 n→∞ ⇔ lim x2n+1 = n→∞ (ii) Ta có: x2n+1 = α + x2n−1 x2n 43 L L−a Giả sử lim x2n+1 = L, đó: n→∞ lim x2n−1 lim x2n+1 = α + n→∞ n→∞ lim x2n n→∞ ⇔L=α+ L lim x2n n→∞ ⇔ lim x2n = n→∞ 2.2.2 L L−a Bán chu kì (2.12) Phần đưa số kết bán chu kì (2.12) Định nghĩa 2.2.5 Cho {xn }∞ n=−1 nghiệm dương phương trình (2.12) • Một bán chu kì dương {xn }∞ n=−1 gồm số số hạng {xl , xl+1 , , xm }, tất lớn ¯x, với l ≥ −1 m ≤ ∞ cho: l = −1 l > −1 xl−1 < ¯x m = ∞ m < ∞ xm+1 < ¯x • Một bán chu kì âm {xn }∞ n=−1 gồm số số hạng {xl , xl+1 , , xm }, tất bé ¯x, với l ≥ −1 m ≤ ∞ cho: l = −1 l > −1 xl−1 ≥ ¯x m = ∞ m < ∞ xm+1 ≥ ¯x • Một nghiệm {xn }∞ n=−1 (2.12) gọi không dao động tồn N ≥ −1 cho: xn > ¯x, ∀n ≥ N xn < ¯x, ∀n ≥ N ∗ {xn }∞ n=−1 gọi dao dộng không dao động Bổ đề 2.2.6 Giả sử {xn }∞ n=−1 nghiệm dương (2.12) bao gồm bán chu kì đơn Khi đó, {xn }∞ x = α + n=−1 hội tụ đơn điệu ¯ 44 Chứng minh: Giả sử < xn−1 < α + 1, ∀n ≥ Trường hợp xn−1 ≥ α + (∀n ≥ 0) tương tự bỏ qua Chú ý với n ≥ xn−1 0≤α+ = xn+1 < α + xn Cho nên : < xn−1 < xn < α + Kết chứng minh Bổ đề 2.2.7 Giả sử {xn }∞ n=−1 nghiệm dương (2.12) bao gồm hai bán chu kì Khi đó, {xn }∞ n=−1 dao động Hơn nữa, ngoại lệ bán chu kì (with the possible exception of the first semi-cycle), bán chu kì có độ dài số hạng {xn }∞ n=−1 hoàn toàn lớn α ngoại lệ bán chu kì đầu tiên, số hạng {xn }∞ n=−1 α + Chứng minh: • Trường hợp 1: Giả sử x−1 < α + ≤ x0 , đó: x−1 x0 x1 = α + < α + x2 = α + > α + x0 x−1 Bằng qui nạp, ta có: x2n > α + (n = 0) x2n+1 < α + • Trường hợp 2: Giả sử x0 < α + ≤ x−1 Khi đó: x−1 x0 x1 = α + > α + x2 = α + < α + x0 x−1 Bằng qui nạp, ta có: x2n < α + x2n+1 > α + (n = −1) Bổ đề 2.2.8 giả sử {xn }∞ n=−1 nghiệm dương (2.12) N ≥ số nguyên không âm Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) xN +1 > xN −1 xN −1 + αxN − xN −1 xN > (ii) xN +1 = xN −1 xN −1 + αxN − xN −1 xN = (iii) xN +1 < xN −1 xN −1 + αxN − xN −1 xN < 45 Chứng minh Dựa vào phép tính: xN +1 − xN −1 = 2.2.3 α+ xN −1 xN − xN −1 = αxN + xN −1 − xN −1 xN xN −1 Trường hợp ≤ α < Trong phần ta xét trường hợp ≤ α < tồn nghiệm dương (2.12) vô hạn Định lý 2.2.9 Giả sử ≤ α < {xn }∞ n=−1 nghiệm phương trình (2.12) cho: < x−1 ≤ x0 ≥ 1−α Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) lim x2n = ∞ n→∞ (ii) lim x2n+1 = α n→∞ Chứng minh: Chú ý rằng: > α + 1, x0 > α + Ta ra: 1−α x1 ∈ (α, 1] x2 ≥ α + x0 x−1 > α; x0 x−1 ≤α+ ≤ α + (1 − α) = x1 = α + x0 x0 Do đó: x1 ∈ (α, 1] x0 Khi đó: x2 = α + ≥ α + x0 x1 Thật vậy: x1 = α + 2.2.4 Trường hợp α = Trong phần ta xét α = nghiệm dương (2.12) hội tụ nghiệm chu kì Rõ ràng, α = điểm cân (2.12) x ¯ = 46 Định lý 2.2.10 Giả sử α = {xn }∞ n=−1 nghiệm dương phương trình (2.12) Khi đó, mệnh đề sau đúng: ∞ (i) Giả sử {xn }∞ n=−1 gồm bán chu kì đơn Khi đó, {xn }n=−1 hội tụ đơn điệu ¯x = ∞ (ii) Giả sử {xn }∞ n=−1 gồm hai bán chu kì Khi đó, {xn }n=−1 hội tụ nghiệm chu kì sở phương trình (2.12) Chứng minh Ta biết từ bổ đề 2.2.6 {xn }∞ n=−1 gồm bán chu kì đơn ∞ {xn }n=−1 hội tụ đơn điệu x ¯ Như vậy, cần xét trường hợp ∞ {xn }n=−1 gồm hai bán chu kì Vậy giả sử {xn }∞ n=−1 gồm hai bán chu kì Từ bổ đề 2.2.7, ∞ {xn }n=−1 dao động ngoại lệ với bán chu kì thứ nhất, bán chu kì có độ dài số hạng {xn }∞ n=−1 lớn α = Bây quan sát với n ≥ xn + xn+1 − xn xn+1 = xn−1 + xn − xn−1 xn , xn Và bổ đề 2.2.8 mệnh đề sau đúng: (a) Nếu x−1 < x1 x−1 < x1 < x3 < x0 < x2 < x4 < (b) Nếu x−1 = x1 x−1 = x1 = x3 = x0 = x2 = x4 = (c) Nếu x−1 > x1 x−1 > x1 > x3 > x0 > x2 > x4 > Việc chứng minh định lý dựa vào bổ đề 2.2.4 mệnh đề (a), (b), (c) 2.2.5 Trường hợp α > Trong phần ta xét α > định lý 2.2.12, điểm cân x ¯ = α + phương trình (2.12) ổn định tiệm cận toàn cục Bổ đề 2.2.11 Giả sử α > {xn }∞ n=−1 nghiệm dương phương trình (2.12) Khi đó: 47 α2 α−1 ≤ lim inf xn ≤ lim sup xn ≤ α+ n→∞ n→∞ α α−1 Chứng minh: Từ bổ đề 2.2.6 2.2.7, ta giả sử bán chu kì {xn }∞ n=−1 có độ dài Giả sử α < xn (∀n ≥ −1) α < x0 < α + < x−1 α2 Đầu tiên rằng: lim sup xn ≤ n→∞ α−1 x2n−1 Chú ý với n ≥ x2n+1 < α + α Vì nghiệm phương trình sai phân ym+1 = α + ym , α m = 0, 1, α2 nên: hội tụ α−1 α2 lim sup xn ≤ n→∞ α−1 Tiếp theo ra: α−1 ≤ lim inf xn n→∞ α Lấy ε > 0, rõ ràng tồn N ≥ cho với n ≥ N α+ x2n−1 α2 + ε < α−1 Lấy n ≥ N , đó: x2n = α + x2n−2 α−1 >α+α x2n−1 α2 + ε = α3 + αε + α(α − 1) α2 + ε Và đó: α3 + αε + α(α − 1) lim inf xn ≥ n→∞ α2 + ε Cho nên với ε tùy ý ta có: α3 + α(α − 1) α−1 lim inf xn ≥ = α + n→∞ α2 α 48 Định lý A Giả sử f : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞) hàm liên tục xét phương trình sai phân xn+1 = f (xn , xn−1 ), n = 0, 1, (2.15) x−1 , x0 ∈ (0, ∞) Giả sử f thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tồn số dương a, b với a < b cho: a ≤ f (x, y) ≤ b , ∀x, y ∈ [a, b]; (ii) f (x, y) không tăng theo biến x ∈ [a, b] với y ∈ [a, b] không giảm theo biến y ∈ [a, b] với x ∈ [a, b]; (iii) Phương trình (2.15) nghiệm tuần hoàn với chu kì sở [a, b] Khi đó, tồn điểm cân ¯x phương trình (2.15) nằm [a, b] Hơn nữa, nghiệm (2.15) nằm [a, b] hội tụ ¯x Định lý 2.2.12 Cho α > Khi đó, ¯x = α + điểm cân ổn định tiệm cận toàn cục phương trình (2.12) Chứng minh: Ta biết từ bổ đề 2.2.6 x ¯ = α + điểm cân ổn định tiệm cận địa phương phương trình (2.12) Vì vậy, giả sử {xn }∞ n=−1 nghiệm dương phương trình (2.12) Ta : lim xn = α + n→∞ Với x, y ∈ (0, ∞), đặt: y f (x, y) = α + x Khi đó: f : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞) hàm liên tục, f (x, y) giảm theo biến x ∈ (0, +∞) với y ∈ (0, +∞) tăng theo biến y ∈ (0, +∞) với x ∈ (0, +∞) Nhắc lại từ bổ đề 2.2.2, không tồn nghiệm phương trình (2.12) với chu kì sở Lấy ε > đặt: 49 α2 + ε a = α b = α−1 Chú ý rằng: f f α2 + ε α, α−1 α2 + ε ,α α−1 =α+α α−1 α2 + ε > α; α3 + ε α3 + εα α2 + ε α2 + ε = < = =α+ α α−1 α −α α −α α−1 α2 + ε α2 + ε , ∀x, y ∈ α, Vậy α < f (x, y) < α−1 α−1 Cuối cùng, ý từ bổ đề (2.2.11) : α