Một số vấn đề về phương trình mũ và Lôgarit.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Hữu Lương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Phương trình mũ lôgarit thường gặp 1.1 Phương trình mũ lôgarit 1.1.1 Phương trình mũ 1.1.2 Phương trình lôgarit 1.2 Phương pháp biến đổi tương đương đưa số 1.2.1 Biến đổi tương đương 1.2.2 Lôgarit hóa đưa số 1.2.3 Mũ hóa đưa số 1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 1.3.1 Mở đầu phương pháp đặt ẩn phụ 1.3.2 Đặt ẩn phụ phương trình mũ 1.3.3 Đặt ẩn phụ phương trình lôgarit 5 5 6 10 10 12 22 Chương Phương pháp hàm số 2.1 Sử dụng tính liên tục hàm số 2.1.1 Đối với phương trình mũ 2.1.2 Đối với phương trình lôgarit 2.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.2.1 Đối với phương trình mũ 2.2.2 Đối với phương trình lôgarit 2.3 Sử dụng phương pháp giá trị lớn nhất, hàm số 2.3.1 Đối với phương trình mũ 2.3.2 Đối với phương trình lôgarit 2.4 Sử dụng định lý LAGRANGE 30 30 30 31 32 32 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN giá trị nhỏ http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 35 37 38 2.4.1 Đối với phương trình mũ 2.4.2 Đối với phương trình lôgarit 2.5 Sử dụng phương pháp điều kiện cần 2.5.1 Đối với phương trình mũ 2.5.2 Đối với phương trình lôgarit 2.6 Sử dụng phương pháp đánh giá 2.6.1 Đối với phương trình mũ 2.6.2 Đối với phương trình lôgarit đủ Chương Phương pháp đặt nhân tử cho phương trình mũ 3.1 Mở đầu phương pháp nhân tử 3.1.1 Một số ví dụ mở đầu 3.1.2 Phương pháp nhân tử 3.2 Một số dạng phương trình nhân tử 3.2.1 Kiểu 2x2 3.2.2 Kiểu 2x3 3.2.3 Kiểu 2x2x2 3.3 Một số ý tập 3.3.1 Một số ý 3.3.2 Một số tập Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 40 41 41 42 43 43 44 46 46 46 48 50 50 53 58 61 61 62 65 66 Mở đầu Trong hệ thống phương trình học bậc trung học phổ thông, phương trình mũ, phương trình lôgarit chiếm vị trí quan trọng Được đưa vào giảng dạy thức chương trình lớp 12, với thời lượng dài, phương trình mũ, lôgrarit ngày có nhiều đóng góp quan trọng cho toán sơ cấp Khi nghiên cứu loại phương trình người ta thường quan tâm đến cách giải số dạng phương trình số ứng dụng lĩnh vực khác toán như: Phương trình hàm, giải tích phức, Ngoài việc kết hợp phương trình mũ với phương trình đại số giúp cho xây dựng thêm nhiều lớp tập với cách giải hay Hiện việc xây dựng số đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, tốt nghiệp trung học phổ thông, phương trình mũ, lôgarit xuất phần kiến thức chuẩn, thể tính thời vấn đề nghiên cứu Nội dung luận văn "Một số vấn đề phương trình mũ lôgarit" trình bày số phương pháp xây dựng, giải phương trình mũ, lôgarit Mục đích luận văn không dừng việc trình bày phương pháp giải mà muốn hướng tới việc xây dựng số tập, ví dụ phục vụ cho công tác giảng dạy, kiểm tra đánh giá Ngoài luận văn đưa phương pháp để xây dựng phương trình Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương Chương Phương trình mũ lôgarit thường gặp Chương Phương pháp hàm số Chương Phương pháp đặt nhân tử cho phương trình mũ Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Hà Trần Phương - Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn viên bảo hướng dẫn tận tình Thầy hướng dẫn Từ đáy lòng mình, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K3 - Trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ trình học tập làm luân văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Đồng Yên - Huyện Bắc Quang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hoàn thành khóa học Tuy nhiên, thời gian khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong dạy đóng góp ý kiến quý Thầy Cô độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 08 năm 2011 Tác giả Nguyễn Hữu Lương Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương trình mũ lôgarit thường gặp 1.1 Phương trình mũ lôgarit 1.1.1 Phương trình mũ Phương trình mũ dạng có dạng ax = m, m số cho, phương trình xác định với x Dễ thấy rằng, m 0, đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = ax , m > 0, đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = m điểm Do đó: Nếu m phương trình ax = m vô nghiệm Nếu m > phương trình ax = m có nghiệm Nói cách khác ∀m ∈ (0; +∞), ax = m ⇔ x = loga m Ví dụ 1.1 a, 3x = 27 ⇔ x = log3 27 ⇔ x = b, 10x = ⇔ x = log ⇔ x = 1.1.2 Phương trình lôgarit Phương trình lôgarit có dạng loga x = m, m số cho Điều kiện xác định phương trình x > Dễ thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = loga x điểm Do với giá trị tuỳ ý m, phương trình loga x = m có nghiệm x = am Nói cách khác, ∀m ∈ (−∞; +∞), loga x = m ⇔ x = ax Ví dụ 1.2 √ 1 ⇔ x = 2 = 2 b, ln x = ⇔ x = e0 ⇔ x = a, log2 x = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 1.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương đưa số Biến đổi tương đương Ta sử dụng phép  biến đổi tương đương sau: a=1 f (x) g(x) a =a ⇔ 00 af (x) = ag(x) ⇔ (nếu số a không đổi) (a − 1) [f (x) − g(x)] = Ví dụ 1.3 Giải phương trình x+17 x+5 32 x−7 = 0, 25.128 x−3 (1.1) Giải Điều kiện x = 3, x = (1.1) ⇔ 5(x+5) x−7 = 2−2 7(x+17) x−3 7(x+17) 5(x+5) ⇔ x−7 = x−3 −2 5(x + 5) 7(x + 17) ⇔ = −2 x−7 x−3 ⇔ x = 10 So với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = 10 Ví dụ 1.4 Giải phương trình √ 10 + x−3 x−1 = √ 10 − x+1 x+3 (1.2) Giải Điều kiện x = −3, x = Nhận xét √ 10 − √ 10 + = ⇒ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN √ 10 − = √ −1 10 + , http://www.lrc-tnu.edu.vn √ (1.2) ⇔ 10 + x−3 x−1 = √ x+1 10 + − x+3 x+1 x−3 =− x−1 x+3 ⇔x =5 √ ⇔ x = ± ⇔ √ So với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = ± Ví dụ 1.5 Giải phương trình √ x − 2x + 4−x2 = (1.3) Giải √ (1.3) ⇔ x − 2x + ⇔ 4−x2 = x2 − 2x + −2 x √ (x2 − 2x + − 1) − x2 =   −2 x ⇔ x2 − 2x + =  − x2 =   −2 x ⇔ x=1  x = ±2 ⇔ x=1 x = ±2 Vậy nghiệm phương trình x = 1, x = ±2 1.2.2 Lôgarit hóa đưa số Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta lôgarit theo số hai vế phương trình, ta có dạng: < a = 1, b > Dạng Phương trình af (x) = b ⇔ f (x) = loga b f (x) g(x) Dạng Phương trình a =b ⇔ loga a f (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN = loga b g(x) ⇔ f (x) = g(x).loga b http://www.lrc-tnu.edu.vn logb af (x) = logb bg(x) ⇔ f (x).logb a = g(x) Ví dụ 1.6 Giải phương trình = Giải Lấy lôgarit số hai vế phương trình ta log2 2x −2x = log2 2 ⇔ x − 2x = log2 − 2x −2x (1.4) ⇔ x2 − 2x + − log2 = 0, ∆ = − + log2 = log2 > Suy phương trình có nghiệm x = ± log2 Ví dụ 1.7 Giải phương trình 5x x−1 x = 500 (1.5) Giải Ta có (1.5) ⇔ 5x 23 x−1 x ⇔ 5x−3 = 53 22 x−3 x = Lấy lôgarit số hai vế, ta log2 5x−3 x−3 x =0 ⇔ log 5x−3 + log2 x−3 x =0 x−3 log2 = x ⇔ (x − 3) log2 + =0 x  x=3  ⇔ x=− log2 ⇔ (x − 3) log2 + log2 Chú ý 1.1 Đối với phương trình cần thiết phải rút gọn trước lôgarit hoá Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = − Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... thời vấn đề nghiên cứu Nội dung luận văn "Một số vấn đề phương trình mũ lôgarit" trình bày số phương pháp xây dựng, giải phương trình mũ, lôgarit Mục đích luận văn không dừng việc trình bày phương. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương trình mũ lôgarit thường gặp 1.1 Phương trình mũ lôgarit 1.1.1 Phương trình mũ Phương trình mũ dạng có dạng ax = m, m số cho, phương trình xác định với x Dễ thấy... loại phương trình người ta thường quan tâm đến cách giải số dạng phương trình số ứng dụng lĩnh vực khác toán như: Phương trình hàm, giải tích phức, Ngoài việc kết hợp phương trình mũ với phương trình