Một số vấn đề về đại số Banach và phổ của toán tử tuyến tính

Thời gian gần đây, cùng với các lý thuyết khác của toán học, lý thuyết đại số Banach đã phát triển thành một ngành rộng lớn của giải tích hàm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Ban Giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2

Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình và bạn

bè trong suốt quá trình làm luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Đỗ Văn Thịnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là

trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Đỗ Văn Thịnh

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI MỞ ĐẦU 4

Chương 1 Cơ bản về đại số Banach 6

1.1 Định nghĩa đại số Banach 6

1.2 Phổ và bán kính phổ 9

1.2.1 Phần tử khả nghịch 9

1.2.2 Phổ và giải thức 14

1.3 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính 18

1.3.1 Một số định nghĩa và kết quả bổ trợ 18

1.3.2 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính 22

1.4 Phép biến đổi Gelfand 24

1.5 Định lí Wiener 33

Chương 2 Phổ của toán tử tuyến tính 37

2.1 Một số kiến thức cơ bản 37

2.1.1 Định nghĩa và một số tính chất sơ cấp 37

2.1.2 Phân lớp phổ 43

2.2 Ứng dụng của lí thuyết phổ toán tử trong phương trình vi phân và lí thuyết nửa nhóm 47

Chương 3 Một số ví dụ và ứng dụng 57

3.1 Một vài ví dụ về đại số Banach 57

3.2 Một số bài toán ví dụ về phân lớp phổ 58

3.3 Một số bài toán ví dụ về phổ của toán tử 61

3.4 Về vấn đề liên tục của nửa nhóm 𝑼(𝒕) 64

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đại số Banach – một lý thuyết toán học có lịch sử phát triển lâu dài của toán học gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như Von Neumann, Gelfand, Naimark…

Có thể chia lý thuyết đại số Banach thành hai phần chính: lý thuyết đại số giao hoán và lý thuyết đại số không giao hoán I M Gelfand là người đã phát triển một cách có hệ thống lý thuyết đại số giao hoán Một trong những ứng dụng tiêu biểu của lý thuyết này là việc đưa ra một chứng minh đơn giản đến bất ngờ của định lý Wiener về các chuỗi lượng giác Lý thuyết đại số không giao hoán (cụ thể là đại số có phép đối hợp) được xây dựng trong các công trình của I M Gelfand và M A Naimark

Thời gian gần đây, cùng với các lý thuyết khác của toán học, lý thuyết đại số Banach đã phát triển thành một ngành rộng lớn của giải tích hàm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Vì lý do đó tôi đã chọn đề tài “Một số vấn đề về đại số Banach và phổ của toán tử tuyến tính”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu một số ứng dụng của lý thuyết đại số Banach và lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính trong việc chứng minh các vấn đề liên quan

- Góp phần phục vụ cho công tác giảng dạy, học tập của sinh viên các trường đại học, học viên cao học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết đại số Banach và lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính

- Trình bày một ví dụ về ứng dụng của đại số Banach trong lĩnh vực giải tích hàm truyền thống và ứng dụng lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính trong phương trình vi phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các vấn đề của lý thuyết đại số Banach, lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính

và các vấn đề liên quan

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích phức, phương trình vi phân và đại số

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản về đại số Banach

1.1 Định nghĩa đại số Banach

Để thuận tiện, ta quy ước rằng: nếu không giải thích gì thêm thì tất cả các

không gian tuyến tính được nhắc đến trong luận văn đều là không gian trên

trường số phức ℂ

Định nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính 𝕭 được gọi là đại số nếu trên 𝕭 xác

định một phép tính nhân (trong đó tích của hai phần tử 𝑓 và 𝑔, ký hiệu là 𝑓𝑔),

thỏa mãn các tiên đề sau:

Nếu tồn tại phần tử 𝑒 ∈ 𝕭 sao cho, 𝑒𝑓 = 𝑓𝑒 = 𝑓 với mọi 𝑓 ∈ 𝕭 thì 𝑒

được gọi là đơn vị của đại số 𝕭 và bản thân đại số được gọi là đại số có

đơn vị Nếu phần tử đơn vị tồn tại thì nó là duy nhất

Nếu bản thân phép nhân giao hoán, tức là thỏa mãn: 𝑓𝑔 = 𝑔𝑓 với mọi

𝑓, 𝑔 ∈ 𝕭 thì đại số 𝕭 được gọi là đại số giao hoán

có đơn vị và thỏa mãn thêm hai tiên đề:

Từ các định nghĩa trên có thể dễ dàng thấy rằng:

i) Đại số con của đại số định chuẩn là đại số định chuẩn

ii) Bao đóng của đại số con là đại số con

iii) Đại số con đóng đại số Banach là đại số Banach

3) 𝜆𝑓 𝑥 = 𝜆𝑓(𝑥)

Với mỗi hàm 𝑓 ∈ ℓ∞ 𝑆 , chuẩn của nó xác định theo công thức:

𝑓 ∞ = sup𝑥∈𝑆 𝑓(𝑥)

Khi đó không gian ℓ∞ 𝑆 cùng với các phép toán và chuẩn được định nghĩa như

trên sẽ thỏa mãn các đề trong định nghĩa đại số Banach Vậy ℓ ∞ 𝑆 là đại số Banach với phần tử đơn vị là: 𝑓 = 1

Trong các ví dụ đã nêu ở trên, các đại số Banach được nhắc đến đều là giao hoán Các ví dụ về đại số Banach không giao hoán có thể được xem thêm ở

mục 3.1

Định nghĩa 1.1.2 Nếu 𝐵𝝀 𝝀∈𝕭 là một họ các đại số con của đại số 𝕭 thì

𝐵𝝀

𝜆𝜖𝔅 cũng là đại số con

Do đó, nếu 𝑆 là một tập con bất kỳ của 𝕭 thì luôn luôn tồn tại đại số con

nhỏ nhất 𝐵 của 𝕭 chứa 𝑆 (đó chính là giao của tất cả các đại số con chứa 𝑆 của

đại số 𝕭) Đại số này được gọi là đại số con của 𝕭 sinh bởi 𝑆

Nếu 𝑆 là tập chỉ có 1 phần tử 𝑓 thì 𝐵 bao gồm các phần tử có dạng 𝑓𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … )

Nếu 𝕭 là đại số định chuẩn thì đại số đóng 𝐶 sinh bởi tập 𝑆 được định nghĩa là đại số con đóng nhỏ nhất của 𝕭 mà chứa 𝑆 Như vậy : 𝐶 = 𝐵 , trong đó

𝐵 là đại số con sinh bởi 𝑆

Định nghĩa 1.1.3 Một idean trái (tương ứng: idean phải) của đại số 𝕭 là không

gian vector con 𝐼 của 𝕭 thỏa mãn tính chất: nếu 𝑎 ∈ 𝕭 và 𝑏 ∈ 𝕭 thì 𝑎𝑏 ∈ 𝐼

và tính chất trong lý thuyết đại số Banach Mục 1.2 sẽ trình bày về phổ và bán kính phổ của phần tử trong đại số Banach, còn ứng dụng của các khái niệm và tính chất này trong trường hợp phổ của toán tử tuyến tính sẽ được trình bày trong chương 2 của khóa luận

1.2.1 Phần tử khả nghịch

Định nghĩa 1.2.1 𝐶𝑕𝑜 𝕭 𝑙à đạ𝑖 𝑠ố 𝐵𝑎𝑛𝑎𝑐𝑕

 Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi là phần tử khả nghịch nếu tồn tại phần tử

Tập tất cả các phần tử khả nghịch trái trong 𝕭 được kí hiệu là 𝐺𝑙

 Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi là khả nghich phải nếu tồn tại phần tử 𝑓−1 ∈ 𝕭 sao cho:

𝑓𝑓−1 = 𝑒 trong đó e là phần tử đơn vị của 𝕭

Tập tất cả các phần tử khả nghịch phải trong 𝕭 kí hiệu là 𝐺𝑟

Mệnh đề 1.2.1 Nếu f là một phần tử thuộc đại số Banach 𝕭 v 𝑒 − 𝑓 < 1, thì

f khả nghịch và

1 − 𝑒 − 𝑓

Chứng minh

Đặt 𝜂 = 𝑒 − 𝑓 Theo giả thiết 𝑒 − 𝑓 < 1, nên 𝜂 < 1

Khi đó với mọi 𝑁, 𝑀 ∈ ℕ, 𝑀 ≤ 𝑁, 𝑡𝑎 𝑐ó:

𝑛 =𝑀+1

Vì 𝜂 < 1 nên dãy tổng riêng 𝑁 𝑒 − 𝑓 𝑛

𝑛=0 𝑁=0+∞ là dãy Cauchy Từ đó suy ra chuỗi +∞ 𝑒 − 𝑓 𝑛

𝑁

𝑛=0

= lim𝑁→0 𝑒 − 𝑒 − 𝑓 𝑁+1 = 𝑒

Tương tự như vậy ta cũng có : gf = e

𝑁

𝑛=0

≤ lim𝑁→∞ 𝑒 − 𝑓 𝑛𝑁

Mệnh đề 1.2.2 Các tập 𝐺, 𝐺𝑙, 𝐺𝑟 là mở trong đại số Banach 𝕭

Chứng minh

 Giả sử f là phần tử khả nghịch của 𝕭, tức 𝑓 ∈ 𝐺

𝐾𝑕𝑖 đó, 𝑛ế𝑢 𝑓 − 𝑔 < 1

𝑓−1 𝑡𝑕ì 𝑒 − 𝑓−1𝑔 ≤ 𝑓−1 𝑓 − 𝑔 < 1 Vậy 𝑓−1𝑔 là phần tử khả nghịch theo mệnh đề 1.2.1

Từ đó suy ra 𝑔 = 𝑓 𝑓−1𝑔 cũng khả nghịch (vì nó là tích của hai phần tử khả nghịch), hay 𝑔 ∈ 𝐺

Như vậy, nếu 𝑓 ∈ 𝐺 thì hình cầu mở bán kính 1

𝑓 −1 ,tâm f cũng nằm trong G

Từ đó suy ra G là tập mở trong 𝕭

 Nếu 𝑓 ∈ 𝐺𝑙 thì theo định nghĩa tồn tại phần tử 𝑕 ∈ 𝕭 sao cho hf = e

Khi đó, với mọi 𝑔 ∈ 𝕭 sao cho 𝑓 − 𝑔 < 1

Suy ra 𝐺𝑙 là tập mở

 Chứng minh tương tự như đối với trường hợp 𝐺𝑙 ta cũng suy ra được rằng

𝐺𝑟 là tập mở



Hệ quả 1.2.1 Cho 𝕭 là một đại số Banach, f là một phần tử trong 𝕭 Khi đó, ánh xạ:

1.2.2 Phổ và giải thức

Định nghĩa 1.2.2 Cho 𝕭 là đại số Banach và f là một phần tử của 𝕭 Khi đó ta

có định nghĩa như sau:

Để đơn giản, từ nay về sau ta sẽ kí hiệu 𝜍 𝑓 , 𝜌 𝑓 , 𝑟 𝑓 lần lượt là phổ,

tập giải và bán kính phổ của phần tử f thuộc 𝕭

Dưới đây là một số ví dụ đơn giản về phổ, tập giải, giải thức và bán kính phổ: a) Nếu 𝑋 = ℂ thì mọi phần tử khác không của X đều khả nghịch

b) Nếu 𝑋 = 𝐶𝑇 thì hàm 𝑓(𝑡) khả nghịch khi và chỉ khi nó khác không hầu khắp nơi

Khi đó, phổ 𝜍 𝑓 của hàm 𝑓 𝑡 trùng với tập giá trị của 𝑓 𝑡

Giải thức 𝑅𝜆 của 𝑓 là hàm:

Hơn nữa, nếu 𝜆 ∈ 𝜍 𝑓 thì 𝜆 ≤ 𝑓 Từ đây suy ra 𝑟 𝑓 ≤ 𝑓

Mệnh đề đã được chứng minh xong 

Định lí 1.2.1 Nếu 𝕭 là đại số Banach và 𝑓 ∈ 𝕭 thì tập 𝜍 𝑓 khác rỗng

Chứng minh

Để chứng minh định lí 1.2.1 ta cần sử dụng đến định lí Liouville trong lí thuyết hàm biến phức Định lí Liouville được phát biểu như sau:

" Cho f(z) là hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức

Giả sử tồn tại số M > 0 sao cho 𝑓 𝑧 ≤ 𝑀 với mọi 𝑧 ∈ ℂ Khi đó f(z) là hàm hằng với mọi 𝑧 ∈ ℂ "

Vậy, nếu 𝜑 ∈ 𝕭∗ (không gian liên hợp của 𝕭) thì hàm 𝜑 𝐹 là hàm giải tích phức trên 𝜌 𝑓

Hơn nữa, theo mệnh đề 1.2.1 với 𝜆 > 𝑓 ta có:

𝑒 −𝑓

𝜆 𝑘𝑕ả 𝑛𝑔𝑕ị𝑐𝑕 𝑣à ∶ 𝑒 −

𝑓𝜆

𝑓

𝜆− 𝑒

−1 ≤ lim

Giả sử ngược lại rằng 𝜍 𝑓 = ∅ Khi đó, 𝜌 𝑓 = ℂ\𝜍 𝑓 = ℂ

Hàm 𝜑 𝐹 ∶ 𝜌 𝑓 → ℂ bây giờ sẽ có miền xác định là toàn bộ mặt phẳng phức

ℂ Theo như chứng minh phía trên, hàm 𝜑 𝐹 giải tích trên 𝜌 𝑓 , nên suy ra

𝜑 𝐹 là hàm nguyên

Hơn nữa, lim𝜆→∞𝜑 𝐹 𝜆 = 0 Theo định lí Liouville ta suy ra: 𝜑 𝐹 ≡ 0

Cố định 𝜆 ∈ ℂ, khi đó 𝜑 𝐹 𝜆 = 0, với mọi 𝜑 ∈ 𝕭∗

Do đó, 𝐹 𝜆 = 0 (do hệ quả : Nếu 𝜑 𝐹 ≡ 0, ∀𝜑 ∈ 𝑥∗ 𝑡𝑕ì 𝑓 = 0)

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa hàm F, vì: 𝐹 𝜆 = 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 là phần tử khả nghịch trong 𝕭

Vậy 𝜍 𝑓 ≠ ∅

Định lí được chứng minh 

1.3 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính

Phiếm hàm tuyến tính nhân tính là một phần không thể thiếu của lí thuyết đại số Banach Nó là nền tảng cho phép biến đổi Gelfand và rất nhiều kết quả khác Để thuận tiện khi trình bày hai mục “ Phiếm hàm tuyến tính nhân tính” và

“Phép biến đổi Gelfand” sẽ được tách riêng Trong mục “ Phiếm hàm tuyến tính nhân tính” chúng ta cần nêu một số định nghĩa và kết quả của giải tích hàm trong phần tiếp theo của khóa luận

Như vậy, 𝒯 là tôpô sinh bởi tập 𝑓−1 𝑈 : 𝑓 ∈ 𝒯, 𝑈 𝑙à 𝑡ậ𝑝 𝑚ở 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑌

Giả sử 𝑥𝛼 𝛼∈𝐴 là một dãy các phần tử nằm trong X Khi đó, trong tôpô

𝒯 :lim𝛼∈𝐴𝑥𝛼 = 𝑥 khi và chỉ khi lim𝛼∈𝐴𝑓 𝑥𝛼 = 𝑓 𝑥 ∀𝑓 ∈ ℱ

Định nghĩa 1.3.2 Kí hiệu 𝒳∗ là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên không gian Banach 𝒳

Định nghĩa 1.3.3 Với mỗi 𝑓 ∈ 𝒳, gọi 𝑓 là hàm trên 𝒳∗ xác định bởi công thức

𝑓 𝜑 = 𝜑 𝑓 , 𝜑 ∈ 𝒳∗

Khi đó tôpô 𝜔∗ trên 𝒳∗ được định nghĩa là tôpô yếu trên 𝒳∗ sinh bởi họ các hàm 𝑓 ∶ 𝑓 ∈ 𝒳

Mệnh đề 1.3.1 Không gian 𝒳∗, 𝜔∗ là không gian Hausdorff

Mệnh đề 1.3.2 Trong không gian 𝒳∗, 𝜔∗ , dãy 𝜑𝛼 𝛼∈𝐴 ⊂ 𝒳∗ hội tụ tới phần

tử 𝜑 ∈ 𝒳∗ khi và chỉ khi

lim𝛼∈𝐴𝜑𝛼 𝑓 = 𝜑 𝑓 , ∀𝑓 ∈ 𝒳

Định nghĩa 1.3.4 Hình cầu đơn vị của không gian Banach 𝒳 bất kì là tập

Định nghĩa 1.3.5 Ánh xạ F: 𝑋 → 𝑌 được gọi là phép đồng cấu đại số từ đại số

X vào đại số Y nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(1) 𝐹 𝑓 + 𝑔 = 𝐹𝑓 + 𝐹𝑔, ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋

(2) 𝐹 𝛼𝑓 = 𝛼𝐹𝑓, ∀𝛼 ∈ ℂ, ∀𝑓 ∈ 𝑋

(3) 𝐹 𝑓𝑔 = 𝐹𝑓 𝐹𝑔, ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋

Hai đại số X và Y được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ 1-1 thỏa mãn các

điều kiện (1)- (3) Ánh xạ 1-1 này được gọi là một đẳng cấu từ đại số X vào đại

số Y

Hai không gian định chuẩn X và Y được gọi là đẳng cự nếu tồn tại ánh xạ

1-1 𝐹 ∶ 𝑋 ↔ 𝑌, thỏa mãn các điều kiện (1),(2) và điều kiện sau:

𝐹𝑓 𝑌 = 𝑓 𝑋 ∀𝑓 ∈ 𝑋

Hai đại số Banach X và Y được gọi là đẳng cấu đẳng cự với nhau nếu

chúng đẳng cấu đẳng cự với nhau như hai không gian định chuẩn

Không gian thương

Giả sử 𝒳 là không gian Banach và ℳ là không gian con đóng của 𝒳 Kí hiệu

𝒳/ℳ là không gian tuyến tính của các lớp tương đương 𝑓 ∶ 𝑓 ∈ 𝒳 , trong đó

𝑓 = 𝑓 + 𝑔 ∶ 𝑔 ∈ ℳ và chuẩn được xác định theo công thức:

Do ℳ là đóng nên 𝑓 ∈ ℳ và 𝑓 = 0

Ngược lại, nếu 𝑓 = 0 thì 𝑓 ∈ ℳ và 0 ≤ 𝑓 ≤ 𝑓 − 𝑓 = 0

Do vậy, 𝑓 = 0 khi và chỉ khi 𝑓 = 0 Hơn nữa, nếu 𝑓1 và 𝑓2 là các phần tử thuộc 𝒳 và 𝜆 ∈ ℂ thì

𝜆 𝑓1 = 𝜆𝑓1 = inf

𝑔∈ℳ 𝜆𝑓1 + 𝑔 = 𝜆 inf

𝑕∈ℳ 𝑓1 + 𝑕 = 𝜆 𝑓1

Do vậy là một chuẩn trên không gian tuyến tính 𝒳/ℳ

Tiếp theo ta sẽ chứng minh 𝒳/ℳ, là không gian Banach, tức chuẩn là đầy đủ

Thật vậy, nếu 𝑓𝑛 𝑛 =1∞ là một dãy Cauchy trong 𝒳/ℳ thì tồn tại một dãy con

𝑖=1

nên ta có

lim𝑘→∞ 𝑓𝑛𝑘 − 𝑓𝑛1 = 𝑕

Do vậy

lim𝑘→∞ 𝑓𝑛𝑘 = 𝑕 + 𝑓𝑛1

Do vậy 𝒳/ℳ là không gian Banach

1.3.2 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính

Định nghĩa 1.3.6 Cho 𝕭 là một đại số Banach

(multiplicative) nếu 𝜑 𝑓𝑔 = 𝜑 𝑓 𝜑 𝑔 với mọi f,g thuộc 𝕭

Kí hiệu tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính nhân tính trên 𝕭 là 𝑀 = 𝑀𝕭

Do với mọi 𝑓 ∈ 𝕭 ta có:

𝜑 𝑓 = 𝜑 𝑒𝑓 = 𝜑 𝑒 𝜑 𝑓

Suy ra 𝜑 𝑓 − 𝜑 𝑒 𝜑 𝑓 = 0

Do đó, 𝜑 𝑓 1 − 𝜑 𝑒 = 0

Vì phiếm hàm 𝜑 khác không nên 𝜑 𝑒 = 1

Mệnh đề 1.3.3 Nếu 𝕭 là đại số Banach và 𝜑 ∈ 𝑀 thì 𝜑 = 1

Giả sử 𝜑𝛼 𝛼∈𝐴 là một dãy các phiếm hàm tuyến tính nhân tính nằm trong M,

𝜑𝛼 𝛼∈𝐴 hội tụ tới 𝜑 trong tôpô yếu 𝜔∗ trên 𝕭∗ 1

Theo định lí Alaoglu, hình cầu đơn vị 𝕭∗

1 là tập compact trong tôpô yếu 𝜔∗nên để chứng minh 𝜑𝛼 𝛼∈𝐴 là tập compact ta chỉ cần chứng minh nó là tập con đóng của 𝕭∗

1 (vì tập con đóng của một tập compact cũng là một tập compact) Như vậy ta chỉ cần chứng minh 𝜑 cũng là một phiếm hàm tuyến tính nhân tính

Vì 𝜑𝛼 tuyến tính với mọi 𝛼 ∈ 𝐴 nên 𝜑 cũng tuyến tính

Ngoài ra:

𝜑 𝑒 = lim

𝛼∈𝐴𝜑𝛼 𝑒 = lim

𝛼∈𝐴𝜑 𝑒 = 1

Vậy 𝜑 là phiếm hàm tuyến tính nhân tính, hay 𝜑 ∈ 𝑀

Mọi dãy hội tụ trong M đều hội tụ đến một phần tử thuộc M ,suy ra M là tập

đóng Hiển nhiên 𝑀 ⊂ 𝕭∗

1

Vậy M là tập compact của 𝕭∗ 1 xét trong tôpô yếu 𝜔∗ Do vậy 𝜑 ∈ 𝑀

Ta có điều phải chứng minh 

1.4 Phép biến đổi Gelfand

Định nghĩa 1.4.1.Giả sử 𝕭 là đại số Banach Khi đó, phép biến đổi Gelfand Γ

được xác định như sau:

Định lí 1.4.1 ( Định lí Gelfand – Mazur ):

Giả sử 𝕭 là đại số Banach sao cho trong 𝕭 mỗi phần tử khác không đều có phần

tử nghịch đảo Khi đó, tồn tại duy nhất một đẳng cấu đẳng cự từ 𝕭 vào ℂ

Chứng minh

Xét phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 Theo định lí 1.2.1, 𝜍 𝑓 là khác rỗng

Nếu 𝜆𝑓 ∈ 𝜍 𝑓 thì 𝑓 − 𝜆𝑓𝑒 không khả nghịch (theo định nghĩa phổ)

Theo giả thiết, mỗi phần tử khác không trong 𝕭 đều khả nghịch nên 𝑓 − 𝜆𝑓𝑒 = 0

Như vậy, với mọi 𝜆 ≠ 𝜆𝑓 ta có 𝑓 − 𝜆𝑒 = 𝜆𝑓𝑒 − 𝜆𝑒 là phần tử khả nghịch

Do đó, phổ 𝜍 𝑓 của phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 tồn tại (bao gồm đúng một số phức 𝜆𝑓 đối với mỗi 𝑓 ∈ 𝕭 )

Xét ánh xạ:

𝜓 ∶ 𝕭 → ℂ

𝑓 ↦ 𝜓 𝑓 = 𝜆𝑓

Từ định nghĩa của 𝜓 dễ dàng thấy rằng 𝜓 là đẳng cấu đẳng cự từ 𝕭 vào ℂ

Hơn nữa, nếu tồn tại ánh xạ 𝜓′ sao cho 𝜓′ 𝑓 = 𝜆𝑓 với mọi 𝑓 ∈ 𝕭 thì

𝜓′ 𝑓 ∈ 𝜍 𝑓 Suy ra : 𝜓′ 𝑓 = 𝜓 𝑓

Vậy 𝜓 tồn tại duy nhất

Ta có điều phải chứng minh 

Bây giờ, chúng ta xét đến khái niệm đại số thương

Giả sử 𝕭 là đại số Banach và 𝕸 là một idean hai phía và đóng của 𝕭 Vì 𝕸 là một không gian con đóng của 𝕭 nên ta có thể xét đến không gian thương 𝕭/𝕸 Hơn nữa, do 𝕸 là idean hai phía trong 𝕭 nên 𝕭/𝕸 là một đại số

Như vậy,còn hai tiên đề để kiểm tra trước khi khẳng định 𝕭/𝕸 là đại số Banach

Vậy theo định nghĩa 𝕭/𝕸 là một đại số Banach

Mệnh đề 1.4.2 Nếu 𝕭 là một đại số Banach giao hoán thì tập M các phiếm hàm

tuyến tính nhân tính trên 𝕭 là tương ứng 1 – 1 với tập các idean hai phía cực đại của 𝕭

Chứng minh

Giả sử 𝜑 là một phiếm hàm tuyến tính nhân tính trên 𝕭 và

𝕽 = 𝑘𝑒𝑟𝜑 = 𝑓 ∈ 𝕭 ∶ 𝜑 𝑓 = 0 Khi đó, hạt nhân 𝕽 của đồng cấu 𝜑 là idean hai phía thực sự Nếu phần tử 𝑓 ∉ 𝕽 thì 𝜑 𝑓 ≠ 0 và ta có biểu diễn:

𝜑 𝑓 ∈ 𝕽, không gian tuyến tính sinh bởi f và hạt nhân 𝕽 sẽ chứa

phần tử đơn vị e Suy ra, idean chứa cả 𝕽 và f phải trùng với 𝕭

Vậy 𝕽 là idean hai phía cực đại

Giả sử 𝕸 là idean hai phía thực sự cực đại của 𝕭

Vì mỗi phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 không khả nghịch, nên: 𝑒 − 𝑓 ≥ 1 (theo mệnh đề 1.2.1) Suy ra, e không nằm trong bao đóng của 𝔐, hay 𝕸 ≠ 𝕸

Mặt khác, do bao đóng 𝕸 của 𝕸 cũng là idean hai phía và 𝕸 ⊂ 𝕸 ⊄ 𝕭 nên

𝕸 = 𝕸 và 𝕸 là idean đóng

Đại số thương 𝕭/𝕸 là đại số Banach Hơn nữa, do 𝕸 là cực đại và 𝕭 là đại số

giao hoán nên 𝕭/𝕸 là một đại số chia, tức là mọi phần tử khác không trong 𝕭/𝕸 đều khả nghịch Khi đó, theo định lí Gelfand – Mazur, tồn tại duy nhất một đẳng cấu đẳng cự 𝜓 từ 𝕭/𝕸 vào ℂ

Nếu kí hiệu 𝜋 là đồng cấu tự nhiên từ 𝕭 vào 𝕭/𝕸, thì hàm hợp 𝜑 = 𝜓𝜋 là phiếm hàm tuyến tính nhân tính trên 𝕭 Vậy 𝜑 ∈ 𝑀 và 𝕸 = 𝑘𝑒𝑟𝜑

Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra rằng tương ứng 𝜑 ↔ 𝑘𝑒𝑟𝜑 là tương ứng 1 – 1

Thật vậy, nếu 𝜑1, 𝜑2 ∈ 𝑀 và 𝑘𝑒𝑟𝜑1 = 𝑘𝑒𝑟𝜑2 = 𝕸, 𝑓 là một phần tử bất kì của

Bắt đầu từ đây đến hết khóa luận, ta sẽ kí hiệu không gian các idean cực đại của

𝕭 là 𝑀𝕭

Mệnh đề 1.4.3 Nếu 𝕭 là một đại số Banach giao hoán và f là một phần tử của

𝕭 thì f khả nghịch khi và chỉ khi Γ 𝑓 là phần tử khả nghịch trong C(M)

Do vậy Γ 𝑓 𝜑 = 𝜑 𝑓 = 0, nghĩa là Γ 𝑓 không khả nghịch trong C(M)

Vậy mệnh đề đã được chứng minh xong 

Kết hợp các mệnh đề 1.4.1 và 1.4.3 ta thu được định lí Gelfand sau đây:

Định lí 1.4.2 (Định lí Gelfand):

Cho 𝕭 là một đại số Banach giao hoán, M là không gian các idean cực đại của

𝕭, và Γ ∶ 𝕭 → 𝐶(𝑀) là phép biến đổi Gelfand

Khi đó:

(1) M là tập hợp khác rỗng

(2) Γ là đồng cấu đại số

(3) Γ𝑓 ∞ ≤ 𝑓 , với 𝑓 ∈ 𝕭

(4) f khả nghịch trong 𝕭 khi và chỉ khi Γ 𝑓 là khả nghịch trong C(M)

Hệ quả 1.4.1 Giả sử 𝕭 là đại số Banach giao hoán và 𝑓 ∈ 𝕭 Khi đó

Nếu 𝕭 là một đại số Banach, 𝑓 ∈ 𝕭 và 𝜑 là hàm nguyên trên ℂ thì:

Nếu 𝕭0 là đại số con của 𝕭 sinh bởi 𝑒, 𝑓 và các phần tử có dạng: 𝑓 − 𝜆𝑒 −1, trong đó 𝜆 ∈ 𝜌 𝑓 và 𝜑 𝑓 − 𝜇 −1, trong đó 𝜇 ∈ 𝜌 𝜑 𝑓 , thì 𝕭0 giao hoán và

Vậy tồn tại lim𝑛→∞ 𝑓𝑛 1𝑛 và 𝑟 𝕭 𝑓 = lim𝑛→∞ 𝑓𝑛 𝑛1

Định lí được chứng minh xong 

Hệ quả 1.4.4 Giả sử 𝕭 là đại số Banach giao hoán thì phép biến đổi Gelfand là

một đẳng cự khi và chỉ khi 𝑓2 = 𝑓 2 với mọi 𝑓 ∈ 𝕭

Chứng minh

Do 𝑟 𝑓 = Γ𝕭𝑓 ∞ với mọi 𝑓 ∈ 𝕭 , theo hệ quả 1.4.1 nên Γ𝕭 là một đẳng cự khi

và chỉ khi 𝑟 𝑓 = 𝑓 với mọi 𝑓 ∈ 𝕭

Hơn nữa, theo hệ quả 1.4.2 thì 𝑟 𝑓2 = 𝑟 𝑓 2 nên Γ𝕭 là đẳng cự khi và chỉ khi

𝑓2 = 𝑓 2

Như đã trình bày trong lời mở đầu, lí thuyết đại số Banach có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Một số ví dụ diển hình đó là chứng minh định lí Wiener bằng các kiến thức về đại số Banach của I M Gelfand Định lí Wiener được phát biểu như sau:

𝑥 𝜃 cũng khai triển được thành chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối

Tích của hai phần tử 𝑥𝑛 và 𝑦 = 𝑦𝑛 được định nghĩa là tích chập 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 trong đó 𝑧 = … , 𝑧−𝑛, … , 𝑧0, 𝑧1, … , 𝑧𝑛… và

Nếu cho mỗi dãy 𝑥 của 𝑙1 ứng với chuỗi lượng giác

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑘 𝑒𝑖𝑘𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

∞

𝑘=−∞

thì dãy xác định bởi công thức (1.5.2) tương ứng với tích 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡

Có thể thấy rằng đại số 𝑙1 và đại số W các hàm 𝑥 𝑡 có chuỗi Fourier khả tổng tuyệt đối và chuẩn xác định bởi (1.5.1) là đẳng cấu đẳng cự với nhau

Đầu tiên, ta sẽ tìm không gian các phiếm hàm tuyến tính nhân tính của chúng

Dễ thấy rằng một phiếm hàm tuyến tính nhân tính 𝑓𝑀 từ W vào ℂ sẽ xác định nếu biết ảnh 𝑓𝑀 𝑥0 của hàm 𝑥0 𝑡 = 𝑒𝑖𝑡 trong ℂ