Về phổ của toán tử tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN HƯNG VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN HƯNG VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phan Viết Thư Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương Các khái niệm sở giải tích hàm 1.1 Các không gian vectơ họ tôpô 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các không gian không gian thương 12 1.1.3 Các tính chất không gian Hillbert 14 1.2 Toán tử tuyến tính phiếm hàm 20 1.2.1 Định lý Hahn - Banach 21 1.2.2 Tính đối ngẫu 22 1.3 Các định lý 27 1.3.1 Định lý ánh xạ mở 27 1.3.2 Nguyên lý bị chặn 29 1.3.3 Định lý miền giá trị đóng 31 ∗ 1.4 Tôpô yếu tôpô yếu 32 1.4.1 Tôpô yếu 32 ∗ 1.4.2 Tôpô yếu 35 Chương Một số dạng định lý phổ cho số lớp toán tử quan trọng 39 2.1 Toán tử Hilbert - Schmidt 39 2.2 Toán tử compact 41 2.3 Định lý phổ toán tử compact tự liên hợp 44 2.4 Phổ toán tử compact tổng quát 48 2.5 Giới thiệu định lý phổ tổng quát 52 2.5.1 Phổ giải thức đại số Banach 52 2.5.2 Định lý phổ toán tử tự liên hợp bị chặn không gian Hilbert 56 Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 60 3.1 Giới thiệu 60 3.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên 61 3.3 Toán tử chiếu ngẫu nhiên 65 3.4 Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 70 Chương Khái niệm vết toán tử không gian Lp cho lớp toán tử compact 75 4.1 Định nghĩa vết 76 4.2 Lớp toán tử vết lớp toán tử Hilbert-Schmidt 77 4.3 Một dạng cụ thể lớp toán tử Hilbert - Schmidt 82 4.4 Không gian Lp lớp toán tử compact 86 Kết luận 87 Tài liệu tham khảo 88 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy: PGS.TS Phan Viết Thư, người tận tình hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể Thầy cô giáo, nhà khoa học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Trong trình viết luận văn, đạo ân cần chu đáo Thầy cô giáo thân cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì vậy, tác giả mong góp ý, giúp đỡ Thầy cô, bạn để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng LỜI NÓI ĐẦU Mục đích lý thuyết phổ phân lớp toán tử tuyến tính không gian Banach mà ta hạn chế xét không gian Hilbert chúng đại diện đặc biệt không gian Banach Chúng có liên hệ gần gũi với hình học Euclide Ta nghĩ đến nhiều cách khác để phân loại toán tử tuyến tính Đại số tuyến tính (hữu hạn chiều) gợi ý hai toán tử tuyến tính T1 , T2 : H1 → H2 liên hệ công thức T2 ◦ U1 = U2 ◦ T1 , (1) với toán tử khả nghịch Ui : Hi → Hi T1 , T2 có chung nhiều tính chất Ta coi chúng lớp Trong trường hợp hữu hạn chiều, Ui tương ứng với đổi sở Hi , chúng không làm thay đổi chất bên toán tử Cách giải thích nói chung không trường hợp vô hạn chiều khái niệm tốt sở, cách định nghĩa có ý nghĩa đáng quan tâm ta thử mô tả tất toán tử từ H1 vào H2 quan hệ Để làm đơn giản ý tưởng, ta chọn H1 = H2 = H coi hai toán tử T1 , T2 : H → H lớp tồn toán tử khả nghịch U : H → H cho T2 ◦ U = U ◦ T1 tức T2 = U T1 U −1 (2) Trong đại số tuyến tính, toán phân lớp giải thành công lý thuyết giá trị riêng, không gian riêng, đa thức đặc trưng tối thiểu (minimal) dẫn đến “dạng tắc” Cho toán tử tuyến tính từ Cn → Cn với n ≥ Khi H có số chiều vô hạn, ta định lý tổng quát Nhưng xuất khả nhiều toán tử quan trọng mà ta sử dụng có tính chất mà trường hợp số chiều hữu hạn có mô tả chí đơn giản Chúng thuộc lớp đặc biệt toán tử không gian Hilbert như: toán tử lấy liên hợp T → T ∗ , toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử Unita Đối với lớp này, dim H = n có sở trực chuẩn (e1 , , en ) vectơ riêng T với giá trị riêng λ1 , , λn sở ta viết T( αi ei ) = i αi λi ei (3) i (Tương ứng với biểu diễn ma trận đường chéo) Trong trường hợp vô hạn chiều, nói chung ta viết cách rõ ràng Tuy nhiên có cách giải thích biểu diễn cho tuân theo tổng quát Xét ánh xạ tuyến tính U : H → Cn ei −→ (0, , 0, 1, 0, , 0) với vị trí thứ i Ánh xạ song ánh đẳng cự, định nghĩa sở trực chuẩn, Cn tích tiêu chuẩn ta định nghĩa T1 : Cn → Cn αi −→ (αi λi ) Thì (3) trở thành T1 ◦ U = U ◦ T (4) Rõ ràng ta giải nghĩa điều theo cách (nó cho ta cách nhìn khác toán phân lớp): Với không gian Hilbert hữu hạn chiều H toán tử chuẩn T ta nhận không gian toán tử “mẫu” (Cn , T1 ) cho (H, T ) tương đương với (Cn , T1 ) (Thực unitary tương đương U đẳng cự) Định lý phổ mà trình bày luận văn tổng quát hóa loại đưa “dạng tắc” Điều thành công không gian toán tử “mẫu” hoàn toàn đơn giản: chúng loại L2 (X, µ) với không gian có độ đo (X, µ) (Trường hợp Cn tương ứng với X = {1, 2, , n} với độ đo đếm) Và toán tử “mẫu” toán tử nhân (phép nhân): Tg : f −→ gf với hàm g : X → C thích hợp Toán tử nhân cho ta “mẫu” cho toán tử (chuẩn) không gian Hilbert Giả sử (X, µ) không gian có độ đo hữu hạn (tức µ(X) < +∞) Giả sử g ∈ L∞ (X, µ) hàm bị chặn ta có ánh xạ tuyến tính liên tục: Mg : L2 (X, µ) → L2 (X, µ) f −→ gf |g(x)f (x)|2 dµ(x) ≤ g ∞ · f , X nên Mg định nghĩa tốt liên tục với chuẩn Mg ≤ g ∞ Chú ý thêm g(x)f1 (x)f2 (x)dµ(x) < Mg (f1 ), f2 > = X =< f1 , Mg (f2 ) > với f1 , f2 ∈ L2 (X, µ) Do toán tử liên hợp Mg cho Mg = Mg , dẫn đến Mg tự liên hợp g tự liên hợp (hầu khắp nơi) Với g1 , g2 ∈ L∞ (X, µ), ta có Mg1 (Mg2 (f )) = g1 (g2 (f )) = g2 (g1 (f )) = Mg2 (Mg1 (f )) Do toán tử Mg với g ∈ L∞ (X, µ) giao hoán Suy chúng chuẩn tắc Nếu X ⊂ C tập đo độ đo Lebesgue µ trường hợp g(x) = x đặc biệt quan trọng Bổ đề sau cho biết ta xây dựng nhiều toán tử nhân bị chặn so với sử dụng hàm bị chặn Bổ đề Giả sử (X, µ) không gian có độ đo hữu hạn giả sử g hàm đo X → C Nếu ϕ −→ gϕ ánh xạ L2 (X, µ) vào L2 (X, µ) không thiết liên tục, g ∈ L∞ (X, µ) Trở lại câu hỏi động thúc đẩy đến định lý phổ, ta muốn phân lớp toán tử không gian Hilbert ? Động đến từ nguồn chung giống giải tích hàm: Trong ứng dụng ta thường cần (hoặc muốn) giải phương trình tuyến tính T (v) = w không gian Banach, đặc biệt không gian Hilbert Vì mục đích có phân lớp cụ thể (dạng hiện) với mô hình mẫu đơn giản có ích Nếu ta có quan hệ (1) ta có T1 (v) = w ⇔ T2 (v1 ) = w1 với v1 = U1 (v), w1 = U2 (w) Như ta hiểu toán tử “mẫu” T2 ánh xạ khả nghịch U1 , U2 , ta chuyển lời giải phương trình tuyến tính liên quan đến T1 thành lời giải tương ứng liên quan tới T2 Tương tự (2) hay (4) Bây ta nhận thấy với mẫu toán tử nhân T2 = Mg L2 (X, µ), lời giải phương trình Mg (f ) = h thỏa mãn trực tiếp (ít mặt g Điều tương ứng cách trực giác đến chéo hóa hệ h phương trình tuyến tính, tất nhiên đòi hỏi nhiều thận trọng hình thức) f = hàm g có nghiệm tỷ số h/g không thuộc L2 (X, µ) Trường hợp đặc biệt, hình thức, ý làm biến đổi Fourier với (6) gợi ý mạnh mẽ thử giải phương trình liên quan đến toán tử Laplace ∆f = g cách “chuyển sang giới Fourier” Thực tế ý tưởng hiệu quả, tất nhiên đòi hỏi nhiều thận trọng toán tử liên quan không liên tục Hiểu ý nghĩa khả ứng dụng to lớn lý thuyết phổ toán tử, tác giả chọn đề tài luận văn “ Về phổ toán tử tuyến tính” Để tiếp tục tìm hiểu sâu vấn đề này: Luận văn chia làm bốn chương: Chương Các khái niệm sở giải tích hàm toán tử tuyến tính Chương giới thiệu khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert khái niệm toán tử tuyến tính không gian tính chất chúng Chương Một số dạng định lý phổ cho số lớp toán tử quan trọng Chương giới thiệu định lý phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ giải thức đại số Banach cuối định lý phổ toán tử tự liên hợp bị chặn không gian Hilbert Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát Chương giới thiệu độ đo phổ ngẫu nhiên, độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý hội tụ bị chặn cho độ đo phổ ngẫu nhiên độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý bổ sung độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát Chương Khái niệm vết toán tử không gian Lp cho lớp toán tử compact Chương giới thiệu khái niệm vết toán tử cách sử dụng chúng với vai trò tích phân hàm toán tử để xây dựng không gian Lp cho đại số toán tử, ký hiệu Bf (H), chẳng hạn B1 (H) với chuẩn T = tr (H) lớp toán tử vết có vai trò không gian hàm khả tích B (H) lớp toán tử Hilbert-Schmidt có dạng L2 không gian Hilbert Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng Chương Các khái niệm sở giải tích hàm 1.1 Các không gian vectơ họ tôpô 1.1.1 Các định nghĩa (1) Một chuẩn xác định tôpô Hausdorff không gian vectơ mà phép toán đại số liên tục, kết không gian tuyến tính chuẩn Nếu đầy đủ gọi không gian Banach (2) Tích (tích vô hướng) nửa tích trong: Trong tập số thực tích dạng song tuyến tính xác định dương từ X × X → R Trong tập số phức, dạng nửa song tuyến tính: X × X → C xác định dương, đối xứng Hermitian Một (nửa) tích sinh (nửa) chuẩn Do không gian tích (không gian Unita) trường hợp đặc biệt không gian tuyến tính chuẩn Một không gian tích đầy đủ (không gian Unita đầy đủ) không gian Hillbert, trường hợp đặc biệt không gian Banach Sự phân cực đơn vị biểu diễn chuẩn không gian có tích theo tích Đối với không gian tích thực, là: (x, y) = (||x + y||2 − ||x − y||2 ) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập II, NXB Giáo Dục [2] Trịnh Minh Nam (2007), Toán tử đo được, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN [3] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú ( 2006), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQG HN [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Phạm Thị Phương Thúy (2007), Phiếm hàm tuyến tính độ đo, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [7] Edward Nelson (1974), Notes on Non – commutative integration, Journal of functional anylysic [8] Dang Hung Thang, Nguyen Thinh and Tran Xuan Quy (2014), Generalized Random Spectral Measures, Journal of Theoretical Probability, Volum 27, Number 2, Springer – Verlag New York Inc [9] R.V.Kadison, J.R.Ringrose ( 1986), Fundamentals of the theory of operator algebras, Volum I, II [10] Pederson (1989), Anlysis now, Springer – Verlag New York Inc 88 [...]... dạng nửa song tuyến tính: X × X → C xác định dương, đối xứng Hermitian Một (nửa) tích trong sinh ra một (nửa) chuẩn Do vậy một không gian tích trong (không gian Unita) là một trường hợp đặc biệt của không gian tuyến tính chuẩn Một không gian tích trong đầy đủ (không gian Unita đầy đủ) là một không gian Hillbert, một trường hợp đặc biệt của không gian Banach Sự phân cực đơn vị biểu diễn chuẩn của một không... cơ sở của giải tích hàm 1.1 Các không gian vectơ và họ tôpô 1.1.1 Các định nghĩa cơ bản (1) Một chuẩn xác định một tôpô Hausdorff trên một không gian vectơ mà các phép toán đại số là liên tục, kết quả là được một không gian tuyến tính chuẩn Nếu nó là đầy đủ thì được gọi là không gian Banach (2) Tích trong (tích vô hướng) và nửa tích trong: Trong tập số thực một tích trong là một dạng song tuyến tính. .. Nam (2007), Toán tử đo được, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN [3] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú ( 2006), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQG HN [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Phạm Thị Phương Thúy (2007), Phiếm hàm tuyến tính và độ