Về phổ của toán tử tuyến tính

Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lời nói đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. Các không gian vectơ và họ tôpô . . . . . . . 9 1.1.1. Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Các không gian con và các không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3. Các tính chất cơ bản của không gian Hillbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Toán tử tuyến tính và các phiếm hàm . . . . . . 20 1.2.1. Định lý Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.2. Tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . 27 1.3.1. Định lý ánh xạ mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2. Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3. Định lý miền giá trị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4. Tôpô yếu và tôpô yếu ∗ . . . . . . . . . . 32 1.4.1. Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2. Tôpô yếu ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Toán tử Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . 39 2.2. Toán tử compact. . . . . . . . . . . 41 2.3. Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp . . . . . 44 1 2.4. Phổ của một toán tử compact tổng quát . . . . . 48 2.5. Giới thiệu về định lý phổ tổng quát . . . . . . 52 2.5.1. Phổ và giải thức trong một đại số Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.2. Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert 56 Chương 3. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . 60 3.2. Độ đo phổ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 61 3.3. Toán tử chiếu ngẫu nhiên . . . . . . . . 65 3.4. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . 70 Chương 4. Khái niệm vết của toán tử và không gian L p cho lớp toán tử compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1. Định nghĩa vết . . . . . . . . . . . . 76 4.2. Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt . . . . . . . 77 4.3. Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert - Schmidt. . . . . 82 4.4. Không gian L p của lớp toán tử compact. . . . . . . . 86 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới Thầy: PGS.TS. Phan Viết Thư, người đã tận tình hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tập thể các Thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành cuốn luận văn này. Trong quá trình viết luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của các Thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong được sự góp ý, giúp đỡ của các Thầy cô, các bạn để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng 3 LỜI NÓI ĐẦU Mục đích của lý thuyết phổ là phân lớp các toán tử tuyến tính giữa các không gian Banach mà ta hạn chế xét trên không gian Hilbert do chúng là một đại diện đặc biệt của các không gian Banach. Chúng có liên hệ gần gũi với hình học Euclide. Ta có thể nghĩ đến nhiều cách khác nhau để phân loại các toán tử tuyến tính. Đại số tuyến tính (hữu hạn chiều) gợi ý rằng hai toán tử tuyến tính T 1 , T 2 : H 1 → H 2 liên hệ bởi công thức T 2 ◦ U 1 = U 2 ◦ T 1 , (1) với các toán tử khả nghịch U i : H i → H i thì T 1 , T 2 có chung nhiều tính chất như nhau. Ta có thể coi chúng cùng một lớp. Trong trường hợp hữu hạn chiều, U i tương ứng với đổi cơ sở trong H i , chúng không làm thay đổi bản chất bên trong của các toán tử. Cách giải thích này nói chung không còn đúng trong trường hợp vô hạn chiều bởi ở đó không có khái niệm tốt về cơ sở, nhưng cách định nghĩa trên vẫn có ý nghĩa đáng quan tâm và ta có thể thử mô tả tất cả các toán tử từ H 1 vào H 2 bởi các quan hệ như trên. Để làm đơn giản ý tưởng, ta sẽ chọn H 1 = H 2 = H và coi hai toán tử T 1 , T 2 : H → H ở cùng một lớp nếu tồn tại một toán tử khả nghịch U : H → H sao cho T 2 ◦ U = U ◦T 1 tức là T 2 = UT 1 U −1 . (2) Trong đại số tuyến tính, bài toán phân lớp được giải thành công bởi lý thuyết giá trị riêng, không gian riêng, đa thức đặc trưng và tối thiểu (minimal) dẫn đến “dạng chính tắc”. Cho các toán tử tuyến tính từ C n → C n với n ≥ 1. Khi H có số chiều vô hạn, ta không có một định lý tổng quát. Nhưng xuất hiện khả năng là nhiều toán tử rất quan trọng mà ta sử dụng có tính chất mà trong trường hợp số chiều hữu hạn có sự mô tả thậm chí đơn giản hơn. Chúng thuộc một trong các lớp đặc biệt các toán tử trên không gian Hilbert như: toán tử lấy liên hợp T → T ∗ , toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử Unita. Đối với các lớp này, nếu dim H = n thì luôn có một cơ sở trực chuẩn (e 1 , , e n ) của các vectơ riêng của T với giá trị riêng λ 1 , , λ n và trong cơ sở 4 này ta có thể viết T (  i α i e i ) =  i α i λ i e i . (3) (Tương ứng với biểu diễn ma trận đường chéo). Trong trường hợp vô hạn chiều, nói chung ta không thể viết như thế một cách rõ ràng. Tuy nhiên có một cách giải thích của biểu diễn này là cho nó tuân theo sự tổng quát. Xét ánh xạ tuyến tính U : H → C n e i −→ (0, , 0, 1, 0, , 0) với 1 ở vị trí thứ i. Ánh xạ này là một song ánh đẳng cự, do định nghĩa của một cơ sở trực chuẩn, nếu C n là một tích trong tiêu chuẩn và ta định nghĩa T 1 : C n → C n α i −→ (α i λ i ). Thì (3) trở thành T 1 ◦ U = U ◦T. (4) Rõ ràng là khi ta giải nghĩa điều đó theo cách (nó cho ta một cách nhìn hơi khác bài toán phân lớp): Với mọi không gian Hilbert hữu hạn chiều H và toán tử chuẩn T ta nhận được không gian và toán tử “mẫu” (C n , T 1 ) sao cho (H, T ) tương đương với (C n , T 1 ). (Thực ra là unitary tương đương do U là đẳng cự). Định lý phổ mà chúng tôi trình bày trong luận văn này là sự tổng quát hóa của loại đưa về “dạng chính tắc” này. Điều này rất thành công vì các không gian và các toán tử “mẫu” hoàn toàn đơn giản: chúng là loại L 2 (X, µ) với không gian có độ đo (X, µ) nào đó. (Trường hợp C n tương ứng với X = {1, 2, , n} với độ đo đếm). Và toán tử “mẫu” là toán tử nhân (phép nhân): T g : f −→ gf với một hàm g : X → C thích hợp. Toán tử nhân cho ta một “mẫu” cho mọi toán tử (chuẩn) trên không gian Hilbert. Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu hạn (tức là µ(X) < +∞). Giả sử g ∈ L ∞ (X, µ) là một hàm bị chặn thì ta có một ánh xạ tuyến tính liên tục: M g : L 2 (X, µ) → L 2 (X, µ) f −→ gf 5 do  X |g(x)f(x)| 2 dµ(x) ≤ g 2 ∞ · f 2 , nên M g được định nghĩa tốt và liên tục với chuẩn M g  ≤ g ∞ . Chú ý thêm rằng < M g (f 1 ), f 2 > =  X g(x)f 1 (x)f 2 (x)dµ(x) =< f 1 , M g (f 2 ) > với mọi f 1 , f 2 ∈ L 2 (X, µ). Do đó toán tử liên hợp của M g được cho bởi M g = M g , dẫn đến M g là tự liên hợp khi và chỉ khi g là tự liên hợp (hầu khắp nơi). Với g 1 , g 2 ∈ L ∞ (X, µ), ta có M g 1 (M g 2 (f)) = g 1 (g 2 (f)) = g 2 (g 1 (f)) = M g 2 (M g 1 (f)). Do đó mọi toán tử M g với g ∈ L ∞ (X, µ) giao hoán. Suy ra chúng đều là chuẩn tắc. Nếu X ⊂ C là một tập đo được đối với độ đo Lebesgue µ thì trường hợp g(x) = x là đặc biệt quan trọng. Bổ đề sau cho biết ta không thể xây dựng nhiều hơn toán tử nhân bị chặn so với sử dụng hàm bị chặn. Bổ đề. Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu hạn và giả sử g là một hàm đo được X → C. Nếu ϕ −→ gϕ ánh xạ L 2 (X, µ) vào L 2 (X, µ) không nhất thiết liên tục, thì g ∈ L ∞ (X, µ). Trở lại câu hỏi động cơ thúc đẩy đến định lý phổ, tại sao ta muốn phân lớp các toán tử trên không gian Hilbert ? Động cơ căn bản đến từ nguồn chung giống như của giải tích hàm: Trong ứng dụng ta thường cần (hoặc muốn) giải các phương trình tuyến tính T (v) = w giữa các không gian Banach, đặc biệt là các không gian Hilbert. Vì mục đích này có một sự phân lớp cụ thể (dạng hiện) với mô hình mẫu đơn giản sẽ rất có ích. Nếu ta có quan hệ như (1) thì ta có T 1 (v) = w ⇔ T 2 (v 1 ) = w 1 với v 1 = U 1 (v), w 1 = U 2 (w). Như vậy nếu ta hiểu toán tử “mẫu” T 2 và các ánh xạ khả nghịch U 1 , U 2 , ta có thể chuyển lời giải của các phương trình tuyến tính liên quan đến T 1 thành lời giải tương ứng liên quan tới T 2 . Tương tự đối với (2) hay (4). Bây giờ ta nhận thấy là với mẫu toán tử nhân T 2 = M g trên L 2 (X, µ), lời giải của phương trình M g (f) = h thỏa mãn được trực tiếp (ít nhất là về mặt 6 hình thức) là f = g h . Điều này tương ứng một cách trực giác đến chéo hóa hệ các phương trình tuyến tính, và tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận trọng hơn vì hàm g có thể có nghiệm và tỷ số h/g có thể không thuộc L 2 (X, µ). Trường hợp đặc biệt, tuy còn là hình thức, chú ý rằng làm thế nào biến đổi Fourier cùng với (6) gợi ý mạnh mẽ chúng ta hãy thử giải các phương trình liên quan đến toán tử Laplace ∆f = g bằng cách “chuyển sang thế giới của Fourier”. Thực tế đây là ý tưởng rất hiệu quả, nhưng tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận trọng hơn vì các toán tử liên quan không liên tục. Hiểu được ý nghĩa và khả năng ứng dụng to lớn của lý thuyết phổ toán tử, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là “ Về phổ của toán tử tuyến tính”. Để tiếp tục tìm hiểu sâu về vấn đề này: Luận văn được chia làm bốn chương: Chương 1. Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm và toán tử tuyến tính Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert và về khái niệm toán tử tuyến tính trên các không gian này cùng các tính chất cơ bản nhất của chúng. Chương 2. Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan trọng Chương này giới thiệu các định lý về phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ và giải thức trong một đại số Banach và cuối cùng là định lý phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert. Chương 3. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát Chương này giới thiệu về độ đo phổ ngẫu nhiên, độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý hội tụ bị chặn cho độ đo phổ ngẫu nhiên và độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý về bổ sung của một độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát. Chương 4. Khái niệm vết của toán tử và không gian L p cho lớp toán tử compact Chương này giới thiệu khái niệm vết của toán tử và cách sử dụng chúng với vai trò tích phân của các hàm toán tử để xây dựng các không gian L p cho đại số toán tử, ký hiệu là B f (H), chẳng hạn B 1 (H) với chuẩn T  1 = tr (H) là lớp toán tử vết có vai trò như là không gian các hàm khả tích. B 2 (H) là lớp toán 7 tử Hilbert-Schmidt có dạng như trong L 2 là một không gian Hilbert Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng 8 Chương 1 Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm 1.1. Các không gian vectơ và họ tôpô 1.1.1. Các định nghĩa cơ bản (1) Một chuẩn xác định một tôpô Hausdorff trên một không gian vectơ mà các phép toán đại số là liên tục, kết quả là được một không gian tuyến tính chuẩn. Nếu nó là đầy đủ thì được gọi là không gian Banach. (2) Tích trong (tích vô hướng) và nửa tích trong: Trong tập số thực một tích trong là một dạng song tuyến tính xác định dương từ X × X → R. Trong tập số phức, nó là dạng nửa song tuyến tính: X ×X → C xác định dương, đối xứng Hermitian. Một (nửa) tích trong sinh ra một (nửa) chuẩn. Do vậy một không gian tích trong (không gian Unita) là một trường hợp đặc biệt của không gian tuyến tính chuẩn. Một không gian tích trong đầy đủ (không gian Unita đầy đủ) là một không gian Hillbert, một trường hợp đặc biệt của không gian Banach. Sự phân cực đơn vị biểu diễn chuẩn của một không gian có tích trong theo tích trong. Đối với một không gian tích trong thực, đó là: (x, y) = 1 4 (||x + y|| 2 − ||x − y|| 2 ). 9 Đối với không gian phức, đó là: (x, y) = 1 4 (||x + y|| 2 + i||x + iy|| 2 − ||x − y|| 2 − i||x − iy|| 2 ). Trong các không gian tích trong, chúng ta cũng có quy tắc hình bình hành: ||x + y|| 2 + ||x − y|| 2 = 2(||x|| 2 + ||y|| 2 ). Điều này đưa ra một tiêu chuẩn để một không gian định chuẩn là một không gian tích trong. Bất kỳ một chuẩn nào sinh ra từ một tích trong đều thỏa mãn quy tắc hình bình hành và, ngược lại, nếu một chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình hành chúng ta có thể chỉ ra rằng (điều này không dễ) sự phân cực đơn vị xác định một tích trong, cái mà sinh ra chuẩn đó. (3) Một không gian vectơ tôpô là một không gian vectơ được trang bị một tôpô Hausdorff sao cho các phép toán đại số là liên tục. Chú ý rằng chúng ta có thể mở rộng khái niệm dãy Cauchy cũng như khái niệm đầy đủ trong một TVS: một dãy x n trong một TVS là Cauchy nếu với mọi lân cận U của 0 đều tồn tại N sao cho x m − x n ∈ U với mọi m, n ≥ N . Một không gian tuyến tính định chuẩn là một TVS, nhưng có một phép toán khác, tổng quát hơn liên quan đến chuẩn, nó trang bị không gian vectơ với một tôpô. Cho X là một không gian vectơ và giả sử rằng một họ {|| · || α } α∈A của các nửa chuẩn trên X cho trước là đủ theo nghĩa ∩ α {||x|| α = 0} = 0. Khi đó tôpô sinh bởi các tập {||x|| α < r}, α ∈ A, r > 0 biến X thành một TVS. Một dãy (hay lưới) x n hội tụ đến x nếu và chỉ nếu ||x n −x|| α → 0 với mọi α. Chú ý rằng, |||x n || α − ||x|| α | → 0, chỉ ra rằng mỗi nửa chuẩn là liên tục. Nếu số lượng các nửa chuẩn là hữu hạn, chúng ta có thể bổ sung chúng để thu được một chuẩn sinh ra cùng một tôpô. Nếu số lượng các nửa chuẩn là đếm được, chúng ta có thể xác định một metric d(x, y) =  n 2 −n ||x −y|| n 1 + ||x −y|| n , bởi vậy tôpô là metric hóa được. Các ví dụ: (1) Trên R n hoặc C n chúng ta có thể đưa vào chuẩn l p , 1 ≤ p ≤ ∞, hoặc l p chuẩn có trọng số với trọng số dương nào đó. Tất cả các chuẩn này là tương đương (thực vậy, trong không gian hữu hạn chiều thì mọi chuẩn là tương 10 [...]... Schauder 1.2 Toán tử tuyến tính và các phiếm hàm B(X, Y ) là ký hiệu tập các toán tử tuyến tính bị chặn giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn Một toán tử tuyến tính là bị chặn nếu và chỉ nếu nó bị chặn trên mọi hình cầu; nếu và chỉ nếu nó bị chặn trên hình cầu nào đó; nếu và chỉ nếu nó liên tục tại mọi điểm; nếu và chỉ nếu nó liên tục tại điểm nào đó Định lý 1.7 Nếu X là một không gian tuyến tính định... bằng cách sử dụng tính tuyến tính của T Có hai hệ quả quan trọng của định lý ánh xạ mở, hai hệ quả đó là tương đương nhau Định lý 1.17 (Định lý ánh xạ ngược hay định lý Banach.) Nghịch ảnh của một toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch giữa các không gian Banach là liên tục Chứng minh Ánh xạ là mở, vì vậy nghịch ảnh của nó là liên tục Định lý 1.18 (Định lý đồ thị đóng.) Một toán tử tuyến tính giữa các... gian con đóng tuyến tính của X, trong trường hợp đó PK là một toán tử chiếu tuyến tính Phép chiếu và tính trực giao Nếu S là một tập con bất kỳ của không gian Hillbert X, cho S ⊥ = {x ∈ X :< x, s >= 0 với tất cả s ∈ S} Khi đó S ⊥ là một không gian con đóng của X Hiển nhiên là chúng ta có S ∩ S ⊥ = 0 và S ⊂ S ⊥⊥ Khẳng định: Nếu S là một không gian con đóng của X, x ∈ X, và PS x là hình chiếu của x lên... ngẫu của một không gian tuyến tính định chuẩn không tầm thường cũng là một không gian không tầm thường (Chú ý: chuẩn là rất quan trọng đối với khẳng định này Tồn tại các không gian vectơ tôpô , chẳng hạn, Lp với 0 < p < 1 không có phiếm hàm tuyến tính liên tục và khác 0 nào) Định lý 1.8 (Hahn - Banach) Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên một không gian con của một không gain tuyến tính định... sự phân tích (duy nhất) x thành tổng của các phần tử thuộc S ⊥ và S ⊥⊥ Do vậy PS ⊥ = I − PS Với bất kỳ tập con S của X, S ⊥⊥ là không gian con đóng nhỏ nhất chứa S Các tập trực chuẩn và cơ sở trong không gian Hillbert Cho e1 , e2 , , eN là các phần tử trực chuẩn của một không gian Hillbert X, và S là một mở rộng của chúng (họ các tổ hợp tuyến tính của các phần tử trên) Khi đó n n < x, en > en ∈ S... tục nếu và chỉ nếu đồ thị của nó là đóng Một ánh xạ giữa các không gian tôpô được gọi là đóng nếu đồ thị của nó là đóng Trong một không gian Hausdorff tổng quát, điều này là một tính chất yếu hơn tính liên tục, nhưng định lý trên lại khẳng định rằng với các toán tử tuyến tính giữa các không gian Banach thì nó là tương đương Sự hữu ích là ở chỗ một chứng minh trực tiếp của tính liên tục đòi hỏi chúng... tập con hoàn toàn sắp thứ tự của tập này, thì khi đó hợp sẽ là một tập con độc lập tuyến tính chứa tất cả các phần tử của nó Sau đó áp dụng Bổ đề Zorn ta thấy rằng có một tập độc lập tuyến tính cực đại Từ tính cực đại suy ra rằng tập này cũng mở rộng, tức là, nó là một cơ sở Trong không gian tích trong chúng ta có thể sử dụng lập luận tương tự để chứng minh sự tồn tại của một cơ sở trực chuẩn Thực... một không gian Banach và S là một tập con Đặt S a = {f ∈ X ∗ | f (s) = 0, ∀s ∈ S} và gọi là toán tử triệt tiêu của S Nếu V là một tập con của X ∗ , tương tự ta đặt a V = {x ∈ X| f (x) = 0, ∀f ∈ V } 22 Chú ý rằng sự khác biệt giữa a V và V a là ở chỗ: V a là tập con của X ∗∗ , a V là tập con của X Tất cả các toán tử triệt tiêu đều là các không gian con đóng Dễ dàng thấy rằng nếu S ⊂ T ⊂ X thì dẫn đến T... khẳng định rằng S = a (S a ) trong trường hợp S là một không gian con đóng của X (nhưng có thể xảy ra V a (V a ) với V là một không gian con đóng của X ∗ ) Với S ⊂ X bất kỳ, a (S a ) là không gian con đóng nhỏ nhất của X chứa S, tức là nó là bao đóng của không gian căng bởi S Bây giờ giả sử rằng T : X → Y là một toán tử tuyến tính bị chặn giữa các không gian Banach Giả sử g ∈ Y ∗ Khi đó g(T x) = 0... là một đẳng cự tuyến tính của Lq lên (Lp )∗ Với p = ∞, nó là một đơn ánh đẳng cự, nhưng trong trường hợp tổng quát nó không là toàn ánh Do vậy đối ngẫu của Lp là Lq với p hữu hạn Đối ngẫu của L∞ là rất lớn, lớn hơn L1 rất nhiều và hiếm khi được sử dụng Đối ngẫu của c0 Áp dụng những sự xem xét bên trên cho đối ngẫu của không gian các dãy lp Bây giờ chúng ta chứng minh rằng đối ngẫu của c0 là l1 Với . cơ sở Schauder. 1.2. Toán tử tuyến tính và các phiếm hàm B(X, Y ) là ký hiệu tập các toán tử tuyến tính bị chặn giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn. Một toán tử tuyến tính là bị chặn nếu. nghĩa và khả năng ứng dụng to lớn của lý thuyết phổ toán tử, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là “ Về phổ của toán tử tuyến tính . Để tiếp tục tìm hiểu sâu về vấn đề này: Luận văn được chia. thuộc một trong các lớp đặc biệt các toán tử trên không gian Hilbert như: toán tử lấy liên hợp T → T ∗ , toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử Unita. Đối với các lớp này, nếu