Định nghĩa 4.1. Cho {ej|j ∈ J} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert phức H. Với mỗi toán tử dương T thuộc B(H), ta định nghĩa vết của
T, ký hiệu là tr(T), bởi:
tr(T) = X < T ej, ej >
có giá trị trong [0,+∞].
Nhận xét 4.2. Với mỗi T ∈ B(H), ta có tr(T∗T) =tr(T T∗). Chứng minh. Với mỗi i, j ta có
< T ei, ej >< ej, T ei >=< T∗ej, ei >< ei, T∗ej >
có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0.
Lấy tổng vế trái theo j và vế phải theo i, ta có X j << T ei|ej > ej, T ei >=< T ei, T ei >=< T∗T ei, ei > X i << T∗ej, ei > ei, T∗ej >=< T∗ej, T∗ej >=< T T∗ej, ej > .
Với từng hạng tử dương, hai tổng trên không phụ thuộc vào thứ tự các hạng tử. Do đó tr(T∗T) = X i < T∗T ei, ei >= X j < T T∗ej, ej >= tr(T T∗).
Nhận xét 4.3. Nếu U là unita và T ≥ 0 thì tr(U T U∗) = tr(T). Đặc biệt định nghĩa vết không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở. Do đó ||T|| ≤tr(T).
Nhận xét 4.4. Nếu T ∈ B(H) thỏa mãn tr(|T|p)<∞ với p >0 nào đó, thìT
là compact.
Chứng minh. Cho {ej|j ∈ J} là một cơ sở trực chuẩn của H và ε > 0, có một tập con hữu hạn λ của J thỏa mãn P
j /∈λ
<|T|pej, ej > < ε. Đặt Pλ là phép chiếu từ H lên span {ej|j ∈ λ} ={P
j∈λcjej|cj ∈C}. Ta có
Do ε nhỏ tùy ý nên |||T|p/2(I −Pλ)|| = 0. Theo định lý Atkinson, ta có
|T|p/2 ∈ B0(H). Với cơ sở trực chuẩn phù hợp (ta vẫn ký hiệu là {ej|j ∈ J}). Ta có
|T|p/2 = Xλjej ej
và {λj} triệt tiêu tại vô cùng. Do p nguyên nên |T| = Pλ2j/pej ej. Từ đó
|T| ∈ B0(H). Từ phép phân tích cực T = U|T|, ta có T ∈ B0(H) hay T
compact.