Cho(Ω,F, P)là một không gian xác suất vàX, Y là các không gian Banach. Một ánh xạ Φ : Ω×X → Y được gọi là một toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y
nếu với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω 7−→ Φ(ω, x) là một biến ngẫu nhiên Y - giá trị. Một cách tương đương, Φ có thể được xem như là một ánh xạ Φ : X →LY0 (Ω), trong đó LY0 (Ω) là không gian của các biến ngẫu nhiênX - giá trị và được trang bị tôpô hội tụ theo xác suất. Nếu một toán tử ngẫu nhiên Φ : X → LY0 (Ω) là tuyến tính và liên tục thì nó được gọi là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ
X vào Y.
Mục đích chính trong phần này là xác định phiên bản ngẫu nhiên của lý thuyết phổ của các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert, những điều này đóng một vai trò quan trọng trong giải tích hàm và có rất nhiều ứng dụng. Các khái niệm về độ đo phổ ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên chuẩn tắc, và toán tử Hermitian được xác định như là một họ các độ đo phổ, toán tử chuẩn tắc và toán tử Hermitian tương ứng, được đánh số bởi tập tham số Ω thỏa mãn tính chất đo nhất định. Các toán tử ngẫu nhiên này có thể biểu diễn dưới dạng giới hạn của tích phân tương ứng với độ đo phổ ngẫu nhiên xác định. Tiếp theo,
khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên sẽ được tổng quát hóa hơn. Để làm điều này, khái niệm toán tử chiếu ngẫu nhiên sẽ được đưa ra. Sau đó, khái niệm về độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát, tích phân của các hàm bị chặn nhận giá trị phức tương ứng với các độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát sẽ được nghiên cứu. Kết quả chính trong mục này là khẳng định rằng mọi độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát trên (C,B) thỏa mãn một điều kiện nào đó là một độ đo phổ ngẫu nhiên.