Trong mục này, chúng ta suy ra cấu trúc của một toán tử compact (không nhất thiết là tự liên hợp hay chuẩn) trên một không gian Banach phức X.
Với một toán tử T bất kỳ trên một không gian Banach phức, tập giải thức của T, ρ(T) gồm các λ∈ C sao cho T −λ1 là khả nghịch, và phổ σ(T) là phần bù của ρ(T). Nếu λ ∈ σ(T), thì T −λ1 có thể không khả nghịch. (1) Có thể
N(T−λ1)6= 0, tức là,λlà một giá trị riêng của T. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng λ thuộc vào phổ điểm của T, ký hiệu bởi σp(T). (2) Nếu T −λ1 là đơn ánh, thì miền giá trị của nó có thể là trù mật nhưng không đóng trong X. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng λ thuộc vào phổ liên tục của T, σc(T). (3) Có thể T −λ1 là đơn ánh nhưng miền giá trị của nó thậm chí không trù mật trong X. Đây là phổ dư, σr(T). Rõ ràng chúng ta có một phân tích của C thành các tập rời nhau ρ(T), σp(T), σc(T), và σr(T). Xét một ví dụ về phổ liên tục, xét toán tử T en = λnen trong đó en tạo thành một cơ sở trực chuẩn của một không gian Hilbert và λn tạo thành một dãy các số dương tiến về 0. Khi đó 0∈σc(T). Nếu T en = λnen+1, 0 ∈σr(T).
Bây giờ nếu T là compact và X là vô hạn chiều thì 0 ∈ σ(T) (do nếu T là khả nghịch, ảnh của hình cầu đơn vị sẽ chứa một tập mở, và vì vậy không thể là tập tiền compact). Từ các ví dụ đã cho, chúng ta thấy rằng 0 có thể thuộc vào phổ điểm, phổ liên tục, hay phổ dư. Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng tất cả các giá trị khác của phổ là các giá trị riêng, tức là, σ(T) = σp(T)∪ {0}, và như trong trường hợp chuẩn, phổ điểm bao gồm một tập hữu hạn hay một dãy tiến về 0.
Cấu trúc của phổ của một toán tử compact sẽ được suy ra từ hai bổ đề. Bổ đề đầu tiên thuần túy đại số. Để phát biểu nó, chúng ta cần một vài thuật ngữ: xét một toán tử tuyến tính T từ một không gian vectơ X vào chính nó, và xét chuỗi các không gian con
0 = N(1)⊂ N(T)⊂ N(T2)⊂N(T3) ⊂...
Hoặc là chuỗi này tăng ngặt mãi, hoặc là có ít nhất một số n ≥ 0 sao cho
N(Tn) = N(Tn+1), trong trường hợp này chỉ có n không gian đầu tiên là phân biệt và tất cả các không gian khác bằng với không gian thứ n. Trong trường hợp sau, chúng ta nói rằng nhân của chuỗi T là ổn định tại n. Đặc biệt, nhân của chuỗi ổn định tại 0 nếu và chỉ nếu T là đơn ánh. Tương tự, chúng ta xét chuỗi
X = R(1) ⊃R(T)⊃ R(T2)⊃R(T3)⊃ ...,
và xác định để miền giá trị của chuỗi ổn định tại n > 0. (Vì vậy miền giá trị ổn định tại 0nếu và chỉ nếu T là toàn ánh). Điều này xảy ra khi cả hai hay chỉ một chuỗi trong số chúng ổn định. Tuy nhiên :
Bổ đề 2.20. Giả sử T là một toán tử tuyến tính từ một không gian vectơ X
vào chính nó. Nếu nhân chuỗi ổn định tại m và miền giá trị chuỗi ổn định tại
n, thì m= n và X phân tích như là tổng trực tiếp của N(Tn) và R(Tn).
Chứng minh. Giả sử rằng m < n. Do miền giá trị chuỗi ổn định tại n, tồn tại
x với Tn−1(x) ∈/ R(Tn), và khi đó tồn tại y sao cho Tn+1y = Tnx. Do vậy
x−T y ∈ N(Tn), và do nhân chuỗi ổn định tại m < n, N(Tn) = N(Tn−1). Do vậy Tn−1x =Tny, mâu thuẫn. Do vậy m≥ n. Lập luận tương tự, ta có m ≤n. Bây giờ nếu Tnx ∈ N(Tn), thì T2nx = 0, vì vậy Tnx = 0. Do vậy N(Tn)∩
R(Tn) = 0. Cho trước x, giả sử T2ny = Tnx, vì vậy x phân tích thành Tny ∈
R(Tn) và x−Tny∈ N(Tn).
Bổ đề thứ hai đưa vào tôpô của các toán tử compact.
Bổ đề 2.21. Giả sử T : X → Y là một toán tử compact trên một không gian Banach và λ1, λ2, ...là một dãy các số phức với inf|λn| > 0. Khi đó điều sau đây là không thể: Tồn tại một chuỗi tăng ngặt các không gian con đóng S1 ⊂S2 ⊂ ...
Chứng minh. Giả sử rằng chuỗi như vậy tồn tại. Chú ý rằng mỗi T Sn ⊂ Sn với mỗi n. Do Sn/Sn−1 chứa một phần tử có chuẩn1, chúng ta có thể chọn yn ∈ Sn
với ||yn|| ≤2, dist (yn, Sn−1) = 1. Nếu m < n, thì
z := T ym −(λn1−T)yn
λn ∈Sn−1
và
||T ym−T yn||= |λn| · ||yn−zn|| ≥ |λn|.
Điều này dẫn đến dãy(T yn) không có dãy con Cauchy, điều này mâu thuẫn với tính compact của T.
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để chứng minh kết quả đã trích dẫn ở phần đầu của tiểu mục.
Định lý 2.22. Giả sử T là một toán tử compact trên không gian Banach X. Khi đó một phần tử khác 0 bất kỳ thuộc phổ của T là một giá trị riêng. Hơn nữa, σ(T) hoặc là hữu hạn hoặc là một dãy tiến về 0.
Chứng minh. Xét chuỗi không gian con N[(λ1 − T)n] và R[(λ1 − T)n] (theo kết quả trước thì các không gian con này đều đóng). Rõ ràng λ1− T ánh xạ
N[(λ1−T)n] vàoN[(λ1−T)n−1], vì vậy bổ đề trên dẫn đến nhân chuỗi ổn định tại n. R[(λ1−T)n] = aN[(λ1−T∗)n] (do miền giá trị là đóng), và do vậy các không gian sau là ổn định, miền giá trị chuỗi ổn định.
Do vậy chúng ta có X = N[(λ1−T)n]⊕R[(λ1−T)n]. Do vậy R(λ1−T)6=
X ⇒ R(λ1−T)n 6= X ⇒ N(λ1−T)n 6= 0 ⇒ N(λ1− T) 6= 0. Nói một cách khác λ ∈σ(T)⇒λ ∈σp(T).
Cuối cùng chúng ta chứng minh khẳng định cuối. Nếu điều đó sai, chúng ta có thể tìm một dãy các giá trị riêng λn với inf|λn| > 0. Giả sử x1, x2, ... là các vectơ riêng khác 0tương ứng và đặt Sn = span [x1, ..., xn]. Các tập này tạo thành một chuỗi tăng ngặt các không gian con (nhắc lại rằng các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau là độc lập tuyến tính) và (λn1−T)Sn ⊂ Sn−1, điều này mâu thuẫn với bổ đề.
Định lý 2.23. Giả sử T là một toán tử compact trên một không gian Banach
X và λ là một số phức khác 0. Khi đó hoặc là (1) λ1−T là một đẳng cấu, hoặc là (2) nó không là đơn ánh và cũng không phải toàn ánh.
Chứng minh. Do nhân chuỗi và miền giá trị chuỗi vớiS = λ1−T ổn định, hoặc là chúng cùng ổn định tại 0, trong trường hợp này S là đơn ánh và toàn ánh, hoặc là cả hai đều không ổn định, trong trường hợp này S không là đơn ánh và cũng không là toàn ánh.
Chúng ta kết thúc mục này với một kết quả cơ bản để nghiên cứu các toán tử Fredholm.
Định lý 2.24. Giả sử T là một toán tử compact trên một không gian Banach
X và λ là một số phức khác 0. Khi đó
dimN(λ1−T) = dimN(λ1−T∗) = codim R(λ1−T) = codim R(λ1−T∗).
Chứng minh. Giả sử S = λ1−T. Do R(S) là đóng nên
[X/R(S)]∗ ∼= R(S)a = N(S∗).
Do vậy [X/R(S)]∗ là hữu hạn chiều, vì vậy X/R(S)là hữu hạn chiều, và hai không gian trên có cùng số chiều. Do vậy codim R(S) = dimN(S∗).
Đối với một toán tử tổng quát S, chúng ta chỉ có R(S∗) ⊂ N(S)a, nhưng như bây giờ chúng ta chỉ ra, khi R(S) đóng, R(S∗) = N(S)a. Thực vậy, S cảm sinh một đẳng cấu của X/N(S) lên R(S) và với f ∈ N(S)a bất kỳ, f cảm sinh một ánh xạ X/N(S) vàoR. Từ đó suy ra f = gS với toán tử tuyến tính bị chặn
g trênR(S)nào đó, điều này có thể mở rộng tới một phần tử củaX∗ bởi định lý Hahn-Banach. Nhưng f = gS có nghĩa là f = S∗g, chỉ ra rằng N(S)a ⊂ R(S∗)
(và đẳng thức đúng).
Do vậyN(S)∗ ∼= X∗/N(S)a = X∗/R(S∗), vì vậy codim R(S∗) = dimN(S)∗ =
dimN(S).
Chúng ta hoàn tất định lý bằng cách chỉ ra rằng dimN(S)≤ codim R(S)và dimN(S∗)≤ codim R(S∗). Thực vậy, doR(S)là đóng với đối chiều hữu hạn, nó được bổ sung bởi một không gian hữu hạn chiều M (với dimM = codim R(S)). Do N(S)hữu hạn chiều, nó được bổ sung đủ bởi một không gian N. P là phép chiếu của X lên N(S), phép chiếu này là ánh xạ bị chặn, nó là đồng nhất thức
trênN(S)và bằng0trênN. Bây giờ nếu codim R(S)< dimR(S), khi đó có một ánh xạ tuyến tính từ N(S) lên M và ánh xạ này không là đơn ánh. Nhưng khi đó T−f P là một toán tử compact vàλ1−T +f P là toàn ánh. Theo luân phiên Fredholm, nó cũng là đơn ánh. Điều này dẫn đến f là đơn ánh (mâu thuẫn). Do vậy chúng ta đã chỉ ra rằng dimN(S)≤ codim R(S). Do T∗ là compact, lập luận tương tự ta cũng có dimN(S∗) ≤ codim R(S∗). Chứng minh được hoàn tất.