Định nghĩa 2.5. Một toán tử tuyến tính bị chặn giữa các không gian Banach được gọi là compact nếu nó ánh xạ hình cầu đơn vị (và bởi vậy mọi tập bị chặn) lên một tập tiền compact.
Ví dụ, nếu T có hạng hữu hạn (dimR(T)< ∞), thì T là compact.
Mệnh đề 2.6. Giả sử M là một không gian metric. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương:
1) M là tiền compact.
2) Với tất cả ε >0 tồn tại hữu hạn các tập có bán kính lớn nhất bằng ε phủ
M.
3) Mọi dãy đều chứa một dãy con Cauchy.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) và (3) ⇒ (1) là đơn giản. Với (2) ⇒ (3) sử dụng một chéo hóa Cantor để trích ra một dãy con Cauchy.
Định lý 2.7. Giả sử X và Y là các không gian Banach và Bc(X, Y) là không gian các toán tử compact từ X vào Y. Khi đó Bc(X, Y) là một không gian con đóng của B(X, Y).
Chứng minh. Giả sử rằngTn ∈Bc(X, Y), T ∈B(X, Y), ||Tn−T|| →0. Chúng ta phải chỉ ra rằng T là compact. Do vậy chúng ta phải chỉ ra rằng T(E) là tiền compact trong Y, trong đó E là hình cầu đơn vị trong X. Để có điều này, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng với ε > 0 bất kỳ, có hữu hạn các hình cầu Ui bán kính ε trong Y sao cho T(E)⊂ T
iUi.
Chọn n đủ lớn sao cho ||T −Tn|| ≤ ε/2 và giả sử V1, V2, ..., Vn là các hình cầu bán kính ε/2 phủ TnE. Với mỗi i, giả sử Ui là hình cầu bán kính ε có cùng tâm với Vi.
Từ đó suy ra rằng bao đóng của các toán tử hạng hữu hạn trong B(X, Y)
được chứa trong Bc(X, Y). Tổng quát, điều này có thể là một bao hàm chặt, nhưng nếu Y là một không gian Hilbert, thì nó là đẳng thức. Để chứng minh điều này, ta chọn một cơ sở trực chuẩn của Y, và xét các toán tử hạng hữu hạn dạng P T trong đó P là phép chiếu trực giao của Y lên không gian căng bởi các phần tử cơ sở. Do T E là compact (E là hình cầu đơn vị của X) và
||P|| = 1, với mỗi ε > 0 chúng ta có thể tìm được một toán tử P có dạng này với supx∈E||(P T −T)x|| ≤ε.
Kết quả sau đây là hiển nhiên nhưng hữu ích.
Định lý 2.8. Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ Bc(X, Y). Nếu Z là một không gian Banach khác và S ∈B(Y, Z) thì ST là compact. Nếu
S ∈ B(Z, X), thì T S là compact. Nếu X = Y, thì Bc(X) := Bc(X, X) là một ideal hai phía trong B(X).
Định lý 2.9. Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ B(X, Y). Khi đó T là compact nếu và chỉ nếu T∗ là compact.
Chứng minh. Giả sử E là hình cầu đơn vị trong X và F là hình cầu đơn vị trong Y∗. Giả sử rằng T là compact. Cho trước ε > 0, chúng ta phải chỉ ra hữu hạn các tập có đường kính lớn nhất là ε phủ T∗F. Đầu tiên chọn m tập có bán kính lớn nhất bằng ε/3 phủ T E, và giả sử T xi thuộc tập thứ i. Giả sử I1, I2, ..., In là n khoảng độ dài ε/3 phủ khoảng [−||T||,||T||]. Với bộ m số nguyên bất kỳ (j1, ..., jm), với 1≤ ji ≤ n, chúng ta xác định tập
{f ∈F| f(T xi) ∈Ij, i= 1,2, ..., m}.
Các tập này rõ ràng là phủ F, vì vậy ảnh của chúng dưới ánh xạ T∗ phủ
T∗F, vì vậy ta chỉ cần chứng minh các ảnh có đường kính lớn nhất bằng ε. Thực vậy, nếu f và g thuộc vào tập bên trên, và x là phần tử bất kỳ của ε, lấy
i sao cho ||T x−T xi|| ≤ ε 3. Chúng ta biết rằng ||f(T xi)−g(T xi)|| ≤ ε 3. Do vậy |(T∗f −T∗g)(x)| = |(f −g)(T x)| ≤ |f(T x)−f(T xi)|+|g(T x)−g(T xi)|+|(f −g)(T xi)| ≤ ε.
Điều này chỉ ra rằng T compact ⇒ T∗ compact. Ngược lại, giả sử rằng
tập con tiền compact của Y∗∗. Nhưng hình cầu đơn vị của X có thể được xem như là một tập con của hình cầu đơn vị trong song đối ngẫu của nó, và hạn chế của T∗∗ xuống hình cầu đơn vị của X trùng với T tại đây. Do vậy ánh xạ hình cầu đơn vị của X tới một tập tiền compact.
Định lý 2.10. Nếu T là một toán tử compact từ một không gian Banach vào chính nó, thì N(1−T) là hữu hạn chiều và R(1−T) là đóng.
Chứng minh. T là một toán tử compact hạn chế tới đồng nhất thức trong
N(1−T). Vì vậy hình cầu đơn vị đóng trong N(1−T) là compact, do chiều của N(1−T) là hữu hạn.
Do các không gian hữu hạn chiều bất kỳ được bổ sung đủ, nên tồn tại một không gian con đóng M củaX sao cho N(1−T) +M = X và N(1−T)∩M = 0. Giả sử S = (1−T)|M, vì vậy S là đơn ánh và R(S) = R(1−T). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng với c > 0 nào đó, ||Sx|| ≥ c||x|| với tất cả x ∈ M, điều này sẽ kéo theo R(S) đóng. Nếu bất đẳng thức trên không đúng với c >0 tùy ý, chúng ta có thể chọn xn ∈M có chuẩn 1 với Sxn → 0. Sau khi chuyển qua một dãy con, chúng ta có thể sắp xếp để T xn hội tụ tới x0 ∈ X nào đó. Nó cho phép rằng
xn → x0, vì vậy x0 ∈ M và Sx0 = 0. Từ đó x0 = 0, điều này là không thể do
||xn|| = 1.
Trong chứng minh trên, chúng ta đã sử dụng phần đầu tiên của bổ đề dưới đây. Chúng ta nói rằng một không gian con đóng N được bổ xung đủ trong một không gian BanachX nếu có một không gian con đóng khác sao choM⊕N =X. Bổ đề 2.11. Một không gian con đóng hữu hạn chiều hay hữu hạn đối chiều của một không gian Banach thì được bổ sung đủ.
Chứng minh. Nếu M là một không gian con hữu hạn chiều, chọn một cơ sở
x1, ..., xn và xác định một hàm tuyến tính φi : M → R bởi φi(xj) = δij. Mở rộng φi thành một hàm tuyến tính bị chặn trên X. Khi đó, chúng ta có thể lấy
N =N(φ1)∩...∩N(φn).
Nếu M là hữu hạn đối chiều, chúng ta có thể lấy N là mở rộng của một tập của các lớp biểu diễn khác 0.
Một tổng quát hóa đơn giản của định lý trên sẽ hữu ích khi chúng ta nghiên cứu phổ của các toán tử compact.
Định lý 2.12. Nếu T là một toán tử compact từ một không gian Banach vào chính nó, λ là một số phức khác 0, và nlà một số nguyên dương, thì N[(λ1−T)n]
là hữu hạn chiều và R[(λ1−T)n] là đóng.
Chứng minh. Khai triển, chúng ta thấy rằng (λ1−T)n = λn(1−S) với toán tử compact S nào đó, vì vậy kết quả suy ra từ định lý trước.
Định lý 2.13. Một toán tử Hilbert - Schmidt trên một không gian Hilbert tách được là một toán tử compact.
Chứng minh. Giả sử {ei} là một cơ sở trực chuẩn. T là một toán tử Hilbert - Schmidt cho trước ( vì vậy P
i||T ei||2 < ∞). Xác định Tn bởi Tnei = T ei nếu