Giả sử(Ω,F, P)là một không gian xác suất đầy đủ, và X là một không gian Banach tách được. Một ánh xạ đo được ξ từ (Ω,F) vào (X,B(X)) được gọi là một biến ngẫu nhiên X - giá trị. Tập tất cả các biến ngẫu nhiên X - giá trị được ký hiệu bởi LX0 (Ω). Ta không phân biệt hai X - biến ngẫu nhiên giá trị bằng nhau hầu chắc chắn. Không gian LX0 (Ω) được trang bị tôpô của sự hội tụ theo xác suất. Nếu một dãy (ξn) của LX0 (Ω) hội tụ đến ξ theo xác suất thì ta viết p−limξn = ξ.
Định nghĩa 3.5. Giả sử X, Y là các không gian Banach tách được. Một ánh xạ tuyến tính liên tục A từ X vào LY0(Ω) được gọi là toán tử tuyến tính ngẫu nhiên hoặc một toán tử ngẫu nhiên. (Ta bỏ quả cụm từ “ngẫu nhiên” bởi vì từ nay về sau ta chỉ xét các toán tử tuyến tính).
Định nghĩa 3.6. Một toán tử ngẫu nhiên A: X →LY0(Ω) được gọi là bị chặn nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực k(ω) sao cho với mỗi x∈ X
kAx(ω)k ≤ k(ω)kxk hầu chắc chắn. (3.3) Chú ý rằng tập đặc biệt trong (3.3) có thể phụ thuộc vào x.
Tổng quát, một toán tử ngẫu nhiên không nhất thiết là bị chặn.
Định lý 3.7. Một toán tử ngẫu nhiên A: X →LY0 (Ω) bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ TA : Ω→L(X, Y) sao cho
Dễ dàng thấy rằng ánh xạ TA là duy nhất theo nghĩa: nếu TA(1), TA(2) thỏa mãn (3.4) thì TA(1)(ω) = TA(2)(ω) hầu chắc chắn.
Định lý 3.8. Giả sử A: X →LY0 (Ω) là một toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Xác định một ánh xạ Ae trên LX0 (Ω) bởi
e
Au(ω) = TA(ω)(u(ω)).
Khi đó Ae là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ LX0 (Ω) và LY0(Ω).
Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta chỉ ra rằng nếuu ∈LX0 (Ω)thìAue (ω)∈ LY0 (Ω). Thật vậy, nếu u là một X - biến ngẫu nhiên đơn giá trị có dạng
u(ω) = n X i=1 1Ei(ω)xi thì với hầu hết ω e Au(ω) = TA(ω) n X i=1 1Ei(ω)xi ! = n X i=1 1Ei(ω)TA(ω)xi = n X i=1 1Ei(ω)Axi(ω)∈LY0(ω).
Bây giờ giả sử rằng u ∈ LX0 (Ω). Khi đó tồn tại một dãy (un) của X - biến ngẫu nhiên đơn giá trị hội tụ đến u theo xác suất. Vì vậy p− limnAue n = Aue . Nói một cách khác, tồn tại một dãy con (vnk) sao cho limk→∞unk(ω) = u(ω) hầu chắc chắn. Vì vậy tồn tại một tập D với xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D, ta có lim k→∞unk(ω) =u(ω). Vì TA(ω)∈L(X, Y), ta có e Aunk(ω) = lim k→∞TA(ω)(unk(ω)) =TA(ω)(u(ω)) = Aue (ω) ∀ω ∈D,
điều này dẫn đến lim
k→∞Aue nk(ω) = Ae(ω)(u(ω))hầu chắc chắn. Vì vậyAe(ω)(u(ω)) ∈
k(ω) = kTA(ω)k. Từ (3.5), suy ra tồn tại một tập D với P(D) = 1 sao cho
Axn(ω) =TA(ω)xn với mọi ω ∈D, n= 1,2, ... Với mỗi ω ∈D k(ω) = kTA(ω)k= sup
n
kTA(ω)xnk = sup
n
kAxn(ω)k
điều này dẫn đến k(ω) là một biến ngẫu nhiên không âm. Vì vậy
kAue (ω)k ≤ kTA(ω)k · ku(ω)k= k(ω)ku(ω)k hầu chắc chắn. Với mỗi t, r > 0 và u∈ LX0 (Ω), chúng ta có
P(kAue k> t) = P(kAue k> t,kuk ≤ r) +P(kAue k> t,kuk> r)
≤ P(k(ω)> t/r) +P(kuk> r).
Giả sử (un) là một dãy trong LX0 (Ω) hội tụ theo xác suất đến u. Chúng ta có
P{kAue n −Aue k> t} ≤ P{k(ω)> t/r}+P{kun−uk> r}.
Khi đó
lim sup
n
P{kAue n−Aue k> t} ≤ P{k(ω)> t/r}.
Cho r →0, ta thu được
lim sup
n
P{kAue n−Aue k> t}= 0.
Định lý bên trên khẳng định rằng mỗi toán tử bị chặn A : X → LY0 (Ω) có thể được mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục Ae : LX0 (Ω) → LY0(Ω)
bằng cách đặt e
Au(ω) = TA(ω)(u(ω)) với mỗi u ∈LX0 (Ω).
Định nghĩa 3.9. Nếu A, B : X → LX0 (Ω) là hai toán tử ngẫu nhiên bị chặn thì hợp thành AB: X →LX0 (Ω) được định nghĩa bởi
(AB)(x) = Ae(Bx).
Từ nay trở về sau, mở rộng Aecủa A cũng được ký hiệu là A. Vì vậy, ta viết
Bổ đề 3.10. Nếu A, B : X →LX0 (Ω) là hai toán tử ngẫu nhiên bị chặn thì AB
cũng là một toán tử ngẫu nhiên bị chặn và
TAB(ω) = TA(ω)TB(ω) hầu chắc chắn. (3.5) Chứng minh. Tồn tại một tập D với xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D, chúng ta có
ABx(ω) = A(Bx) = TA(ω)(Bx(ω)) =TA(ω)(TB(ω)x) = (TA(ω)TB(ω))x.
Kết quả là AB cũng là một toán tử bị chặn và (3.5) đúng.
Giả sử H là một không gian Hilbert phức tách được với tích trong < ·,· >. Từ nay trở về sau, toán tử ngẫu nhiên A : H → LH0 (Ω) được gọi là một toán tử ngẫu nhiên trên H.
Định nghĩa 3.11. Giả sử A là một toán tử ngẫu nhiên trên H. Một toán tử ngẫu nhiên B trên H được gọi là một liên hợp của Anếu với mỗi x ∈H, y ∈H, ta có
< Ax(ω), y >=< x, By(ω)> hầu chắc chắn.
Tổng quát, một toán tử ngẫu nhiên không nhất thiết có một liên hợp. Dễ dàng thấy rằng một liên hợp của một toán tử ngẫu nhiên A, nếu tồn tại, là duy nhất. liên hợp của A ký hiệu là A∗.
Bổ đề 3.12. Giả sử rằng toán tử ngẫu nhiên A là một toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Khi đó A có một liên hợp A∗. Hơn nữa A∗ là bị chặn và
1)
TA∗(ω) =TA(ω)∗, hầu chắc chắn. (3.6) 2) Với u, v ∈ LH0 (Ω)
< Au(ω), v(ω)>=< u(ω), A∗v(ω)> hầu chắc chắn.
Chứng minh. 1) Xác định một toán tử ngẫu nhiên B bởi Bx(ω) = TA(ω)∗x. Từ đẳng thức
suy ra rằng B là một liên hợp của A và A∗y(ω) = By(ω) = TA(ω)∗y hầu chắc chắn chỉ ra rằng A∗ là bị chặn và (3.6) đúng. 2) Với hầu hết ω ∈Ω, ta có < Au(ω), v(ω)> =< TA(ω)(u(ω)), v(ω)>=< u(ω), TA(ω)∗v(ω)> =< u(ω), A∗v(ω)> .
Định nghĩa 3.13. Một toán tử ngẫu nhiên P trên H được gọi là một toán tử chiếu ngẫu nhiên trên H nếu P là bị chặn, tự liên hợp (tức là, P = P∗) và
P P = P.
Bổ đề 3.14. 1) Nếu P là một toán tử chiếu ngẫu nhiên trên H thì TP(ω) là một phép chiếu trên H với hầu hết ω.
2) Với mỗi u ∈LH0 (Ω), ta có
kP u(ω)k ≤ ku(ω)k hầu chắc chắn.
3) Với mỗi cặp (u, v) của biến ngẫu nhiên H - giá trị chúng ta có
< P u(ω), v(ω)>=< u(ω), P v(ω)> hầu chắc chắn.
Chứng minh. 1) Từ (3.3) và (3.4) suy ra rằng P là một toán tử chiếu ngẫu nhiên trên H nếu và chỉ nếu với hầu hết ω, toán tử TP(ω)là một toán tử chiếu.
2) Từ (3.1) suy ra rằng
kP u(ω)k= kTP(ω)(u(ω))k ≤ ku(ω)k hầu chắc chắn.
3) Từ Bổ đề 3.12, chúng ta có