Trên không gian đối ngẫu X∗, chúng ta có hai tôpô mới. Chúng ta có thể trang bị cho nó tôpô yếu, tôpô yếu nhất làm cho tất cả các hàm trên X∗∗ là liên tục, hay chúng ta có thể trang bị cho nó tôpô sinh bởi tất cả các nửa chuẩn
f 7−→ |f(x)|, x ∈X. (Đây hiển nhiên là một họ đầy đủ các hàm số). Tôpô cuối cùng được gọi là tôpô yếu∗ và nó yếu hơn tôpô yếu. Nếu X là phản xạ thì tôpô yếu và tôpô yếu∗ là trùng nhau.
Các ví dụ về hội tụ yếu và hội tụ yếu∗:
1) Xét sự hội tụ yếu trong Lp(Ω) trong đó Ω là một tập con bị chặn củaRn. Từ đặc trưng của đối ngẫu của Lp chúng ta thấy rằng
fn w
∗
→ f trong L∞ ⇒fn →w f yếu trong Lp ⇒fn →w f yếu trong Lq
với 1≤q ≤ p <∞. Đặc biệt, chúng ta khẳng định rằng số mũ phứce2πinx w
∗
→0
trong L∞([0,1]) khi n→ ∞. Điều này đơn giản chỉ là khẳng định rằng
lim n→∞ 1 Z 0 g(x)e2πinxdx = 0,
với mọi g ∈ L1([0,1]), tức là, các hệ số trong khai triển Fourier trong L1 tiến tới 0, điều này đã được biết đến trong bổ đề Riemann-Lebesgue. (Chứng minh: tất nhiên đúng nếu g là một đa thức lượng giác. Các đa thức lượng giác trù mật trong C([0,1]) theo định lý xấp xỉ Weierstrass, và C([0,1]) trù mật trong
L([0,1])). Đây là một ví dụ về hội tụ yếu nhưng không hội tụ theo chuẩn, tức là tính yếu triệt tiêu bởi sự dao động.
2) Một tình huống khác là tính yếu triệt tiêu tại vô hạn. Như là một ví dụ đơn giản, ta thấy rằng các vectơ đơn vị trong lp hội tụ yếu tới 0 với 1< p < ∞
(và yếu∗ trong l∞, nhưng không yếu trong l1). Một ví dụ thú vị hơn, giả sử
đó chúng ta khẳng định rằng fn → 0 yếu trong Lp nếu 1 < p < ∞. Do vậy chúng ta phải chỉ ra rằng lim n→∞ Z R fngdx = 0
với tất cả g ∈ Lq. Giả sử Sn = {x ∈ R| |x| ≥ n}. Khi đó limn R
Sn
|g|qdx = 0
(theo định lý hội tụ làm trội). Nhưng Z R fngdx = Z Sn fngdx ≤ ||fn||Lp · ||g||Lq(Sn) ≤ C||g||Lq(Sn) →0.
Chứng minh tương tự chỉ ra rằng nếu fn bị chặn đều thì chúng hội tụ yếu∗ tới 0 trongL∞. Chú ý rằng các hàm đặc trưng χ[n,n+1] không hội tụ yếu đến 0
trong L1.
3) Xét độ đo φn = 2nχ[−1/n,1/n]dx. Về mặt hình thức thì φn tiến tới hàm delta δ0 khi n→ ∞. Sử dụng tôpô yếu∗ trong C([−1,1]), sự hội tụ này trở nên chính xác: φn w
∗
→δ0.
Định lý 1.29. (Định lý Alaoglu).
Hình cầu đơn vị trong X∗ là compact yếu∗.
Chứng minh. Với x ∈ X, giả sử Ix = {t ∈ R : |t| ≤ ||x||}, và đặt Ω = Q x∈X
Ix. Nhắc lại rằng tích Đềcác này là không có gì nhưng tập tất cả các hàm f trên X
với f(x)∈ Ix với tất cả x. Tập này được trang bị tôpô của tích Đềcác trên, tức là tôpô yếu nhất sao cho với mọi x ∈X, các hàm số f 7−→f(x) (từ Ω tới Ix) là liên tục. Định lý Tychonoff phát biểu rằng Ω là compact đối với tôpô này.
Giả sử E là hình cầu đơn vị trong X∗. Khi đó E ⊂ Ω và tôpô sinh ra trên
E chính xác là tôpô yếu∗. Với mỗi cặp x, y ∈ X và với mỗi c ∈ R, xác định
Fx,y(f) = f(x) +f(y)−f(x+y), Gx,c =f(cx)−cf(x).
Đây là các hàm liên tục trên Ω và
E = \
x,y∈X
Fx,y−1(0)∩ \
x∈X,c∈R
G−c,x1(0).
Do vậy E là tập con đóng của một tập compact, và do vậy nó là một tập compact.
Hệ quả 1.30. Nếu fn w
∗
→f trong X∗, thì ||f|| ≤lim inf
Chứng minh. Giả sử C = lim inf||fn|| và ε > 0 tùy ý. Khi đó tồn tại một dãy con (cũng ký hiệu là fn) với ||fn|| ≤C+ε. Hình cầu bán kínhC+ε là compact yếu∗, và vì vậy đóng yếu∗, ||f|| < C+ε. Do ε tùy ý nên ta có điều phải chứng minh.
Trên X∗∗, tôpô yếu∗ được sinh ra từ các hàm trên X∗.
Định lý 1.31. Hình cầu đơn vị của X là trù mật yếu∗ trong hình cầu đơn vị của X∗∗.
Chứng minh. Giả sử z thuộc vào hình cầu đơn vị của X∗∗. Chúng ta cần phải chỉ ra rằng với f1, ..., fn ∈ X∗ bất kỳ và có chuẩn 1, và với ε >0 bất kỳ, tập
{w ∈X∗∗| |(w−z)(fi)|< ε, i = 1,2, ..., n}
chứa một điểm của hình cầu đơn vị của X. (Do một lân cận bất kỳ của z chứa một tập có dạng này).
Do vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại y ∈ X với ||y|| < 1 + ε sao cho
(y−z)(fi) = 0 với mỗi i. Khi đó y/(1 +ε) thuộc vào hình cầu đơn vị đóng của
X và
|((1 +ε)−1y−z)(fi)| =|((1 +ε)−1y−y)(fi)|
≤ ||(1 +ε)−1y−y||= ||y|| · ε
1 +ε < ε.
Giả sử S căng bởi fi trong X∗. Do S là hữu hạn chiều nên ánh xạ chuẩn tắc X →S∗ là toàn ánh. (Điều này tương đương với việc nói rằng không gian rỗng của một hàm tuyến tính g chứa giao của các không gian rỗng của một tập hữu hạn các hàm tuyến tính g, thì g là một tổ hợp tuyến tính của các gi, điều này là đơn giản, kết quả thuần túy đại số [Chứng minh: Khoogn gian rỗng của ánh xạ (g1, ..., gn) : X → Rn được chứa trong không gian rỗng của g, vì vậy
g = T ◦(g1, ..., gn) với T : Rn → R tuyến tính nào đó]). Do vậy X/aS là đẳng cự, đẳng cấu tới S.
Đặc biệt z|S đồng nhất vớiy+aS vớiy ∈ X nào đó. Do||z||S∗ ≤1, và chúng ta có thể chọn biểu diễn lớp của y với ||y|| ≤1 +ε như yếu cầu.
Hệ quả 1.32. Hình cầu đơn vị đóng của một không gian Banach X là compact yếu nếu và chỉ nếu X là phản xạ.
Chứng minh. Nếu hình cầu đơn vị đóng củaX là compact yếu, thì nó là compact yếu∗ khi được xem như là một tập con của X∗∗. Do vậy hình cầu đơn vị là đóng yếu∗, và vì vậy, theo định lý trước, nhúng của hình cầu đơn vị của X chứa hình cầu đơn vị của X∗∗. Suy ra rằng nhúng của X là tất cả X∗∗.
Chương 2
Một số dạng định lý phổ
cho một số lớp toán tử quan trọng