Giả sử X là một không gian Banach. Với mỗi f ∈ X∗, ánh xạ x 7−→ |f(x)|
như vậy là đầy đủ theo định lý Hahn-Banach. Vì vậy chúng ta có thể trang bị cho X một cấu trúc không gian vectơ tôpô từ họ các nửa chuẩn này. Tôpô này được gọi là tôpô yếu trên X. Đặc biệt, xn hội tụ yếu đến x (viết là xn →w x) nếu và chỉ nếu f(xn)→f(x) với mọi f ∈ X∗. Do vậy tôpô yếu là yếu hơn tôpô chuẩn, nhưng tất cả các phần tử của X vẫn còn liên tục khi mà X được trang bị tôpô yếu (điều này là do định nghĩa của tôpô yếu nhất mà với tôpô này mọi phần tử của X là liên tục).
Chú ý rằng các tập mở theo tôpô yếu là khá lớn. Nếu U là một lân cận yếu của 0 trong một không gian Banach vô hạn chiều thì theo định nghĩa, tồn tại
ε > 0 và một số hữu hạn các fn ∈ X∗ sao cho {x| |fn(x)| < ε, ∀n} được chứa trongU. Do vậyU chứa các không gian con đóng vô hạn chiềuN(f1)∩...∩N(fn). Nếu xn →w x, thì xem xn như là các hàm tuyến tính trên X∗ (thông qua phép nhúng chuẩn tắc của X vàoX∗∗), chúng ta thấy rằng dãy các số thực thu được bằng cách áp dụng xn cho f ∈ X∗ bất kỳ là hội tụ và vì vậy bị chặn đều theo n. Theo nguyên lý bị chặn đều suy ra rằng xn là bị chặn.
Định lý 1.24. Nếu một dãy các phần tử của một không gian Banach hội tụ yếu, thì dãy đó có chuẩn bị chặn.
Nói một cách khác, nếu xn có chuẩn nhỏ, thì giới hạn của sự hội tụ yếu của chúng cũng vậy.
Định lý 1.25. Nếu xn →w x trong một không gian Banach nào đó, thì
||x|| ≤lim inf
n→∞ ||xn||.
Chứng minh. Lấyf ∈ X∗ có chuẩn1sao chof(x) =||x||. Khi đóf(xn)≤ ||xn||, và lấy lim inf ta có điều phải chứng minh.
Đối với các tập lồi (đặc biệt là các không gian con) thì bao đóng yếu trùng với bao đóng chuẩn:
Định lý 1.26. 1) Bao đóng yếu của một tập lồi bằng với bao đóng chuẩn của tập lồi đó.
2) Một tập lồi là bao đóng yếu nếu và chỉ nếu nó là bao đóng chuẩn. 3) Một tập lồi là trù mật nếu và chỉ nếu nó là trù mật chuẩn.
Chứng minh. Khẳng định thứ hai và thứ ba hiển nhiên suy ra từ khẳng định thứ nhất, và bao đóng yếu hiển nhiên là chứa bao đóng chuẩn. Vì vậy ta chỉ còn phải chứng minh rằng nếu x không thuộc bao đóng chuẩn của một tập lồi E, thì có một lân cận yếu của x không giao với E. Điều này suy trực tiếp từ định lý tách tập lồi sau đây.
Định lý 1.27. Giả sử E là một tập con lồi đóng khác rỗng của một không gian Banach X và x là một điểm nằm trong phần bù của E. Khi đó tồn tại f ∈ X∗
sao cho f(x)< inf
y∈Ef(y).
Ta sẽ chứng minh một kết quả mạnh hơn như sau:
Định lý 1.28. Giả sử E và F là các tập con lồi đóng, khác rỗng và rời nhau của một không gian Banach X với F mở. Khi đó tồn tại f ∈ X∗ sao cho
f(x)< inf
y∈Ef(y) với mọi x ∈ F.
(Kết quả bên trên nhận được từ kết quả này bằng cách lấy F là một hình cầu mở bất kỳ bao quanh x ∈E).
Chứng minh. Đây là một hệ quả của định lý Hahn-Banach tổng quát. Lấy
x0 ∈ E, y0 ∈ F và đặt z0 = x0−y0 và G = F −E +z0. Khi đó G là một tập mở chứa 0 nhưng không chứa z0. (Tính lồi của G suy trực tiếp từ E và F; G
là mở được suy ra từ biểu diễn G= ∪y∈EF −y+z0, hợp của các tập mở; hiển nhiên 0 = y0−x0+z0 ∈ G, và z0 ∈/ G vì E và F rời nhau).
Do G là mở, lồi chứa 0 nên với mỗi x ∈ X, tập {t > 0| t−1x ∈ G} là một khoảng mở nửa vô hạn. Xác định p(x) ∈ [0,∞) là điểm đầu nút bên trái của khoảng này. Theo định nghĩa, p là thuần nhất dương. Do G là lồi, t−1x∈ G và
s−1y∈ G kéo theo
(t+s)−1(x+y) = t
s+t ·t−1x+ s
s+t ·s−1y∈ G,
do p là cộng tính dưới. Do vậy p là một hàm tuyến tính dưới. Hơn nữa G =
{x ∈X| p(x)<1}.
Xác định một hàm tuyến tính f trên X0 := Rz0 bởi f(x0) = 1. Khi đó
f(tz0) =t ≤ tp(z0) =p(tz0) với t ≥ 0 và f(tz0) < 0 ≤ p(tz0) với t < 0. Do vậy
Hahn-Banach, ta có thể mở rộng lên X thỏa mãn bất đẳng thức trên. Điều này kéo theo f bị chặn (bởi 1) trên tập mở G, vì vậy f thuộc vào X∗.
Nếux∈ F, y ∈ E, thìx−y+z0 ∈ G, vì vậyf(x)−f(y)+1 =f(x−y+z0)<1, hay f(x) < f(y). Bởi vậy supx∈F f(x) ≤ infy∈E f(y). Do f(F) là một khoảng mở, f(xe)≤ supx∈F f(x) với mọi xe∈F, vậy ta có điều phải chứng minh.