Định nghĩa 3.1. Giả sử (S,A)là một không gian đo được và H là một không gian Hilbert phức tách được.
• Với một độ đo phổ U trên (S,A, H), ta xác định một ánh xạ U : A →
L(H, H) có các tính chất sau
1) U(M) là một phép chiếu với mỗi M ∈A; 2) U(∅) = 0 và E(S) = I;
3) Nếu M, N ∈ A thì U(M ∩N) = U(M)U(N);
4) Nếu(Mi)là một dãy các tập đôi một không giao nhau thuộcA khi đó với mỗi x ∈H U ∞∪ i=1Mix = ∞ X i=1 U(Mi)x,
trong đó, chuỗi hội tụ trên H.
• Một toán tử tuyến tính T trên H được gọi là một toán tử chuẩn nếu T
là bị chặn và T T∗ = T∗T.
• Một toán tử tuyến tính T trên H được gọi là một toán tử Hermitian nếu
T bị chặn và T = T∗.
Định lý phồ về toán tử chuẩn tắc và toán tử Hermitian khẳng định rằng Định lý 3.2. 1) Giả sử T là một toán tử chuẩn trên H và σ(T) ⊂ C là phổ của T. Khi đó σ(T) là một tập compact và tồn tại một độ đo phổ U xác định
trên các tập con Borel của phổ σ(T) thỏa mãn
T =
Z
σ(T)
zU(dz).
2) Giả sử T là một toán tử Hermitian trên H và σ(T) là phổ của T. Khi đó
σ(T)⊂ R là một tập compact và tồn tại một độ đo phổ U xác định trên các tập con Borel của phổ σ(T) thỏa mãn
T =
Z
σ(T)
λU(λ).
Mục đích của chúng ta trong mục này là thu được một phiên bản ngẫu nhiên cho định lý phổ. Khái niệm toán tử chuẩn tắc ngẫu nhiên và khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên có thể được xác định như sau:
Định nghĩa 3.3. Giả sử (S,A)là một không gian đo được và H là một không gian Hilbert phức khả ly.
1) Với một toán tử chuẩn tắc ngẫu nhiênT(ω), ta xác định một họ{T(ω), ω ∈
Ω} gồm các toán tử chuẩn tắc được đánh số bởi tập tham số Ω thỏa mãn với mỗi x∈ H ánh xạ ω 7−→T(ω)x là biến ngẫu nhiên H - giá trị.
2) Với một toán tử Hermitian T(ω), ta xác định một họ {T(ω), ω ∈ Ω} gồm các toán tử Hermitian được đánh số bởi tập tham số Ω thỏa mãn với mỗi x∈ H
ánh xạ ω 7−→T(ω)x là biến ngẫu nhiên H - giá trị.
3) Với một độ đo phổ ngẫu nhiên U(ω) trên (S,A, H), ta xác định một họ
{U(ω), ω ∈ Ω} gồm các độ đo phổ trên (S,A, H) được đánh số bởi tập tham số Ω thỏa mãn với mỗi x ∈ H, M ∈ A, ánh xạ ω 7−→ U(ω)(M)x là biến ngẫu nhiên H - giá trị. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý phổ ngẫu nhiên của các toán tử chuẩn tắc ngẫu nhiên và các toán tử Hermitian ngẫu nhiên được mô tả như sau:
Định lý 3.4. 1) Giả sử T(ω) là một toán tử ngẫu nhiên chuẩn tắc. Khi đó tồn tại một độ đo phổ ngẫu nhiên U(ω) trên (C,B, H) sao cho với mỗi ω ∈Ω,
x ∈ H T(ω)x = lim n Z Bn zU(ω)(dz)x, (3.1)
trong đó Bn = {z ∈ C: |z| ≤ n}.
2) Giả sử T(ω) là một toán tử ngẫu nhiên Hermitian. Khi đó tồn tại một độ đo phổ ngẫu nhiên U(ω) trên (R,B, H) sao cho với mỗi x ∈H
T(ω)x= lim n n Z −n λU(ω)x(ω). (3.2)
Chứng minh. 1) Với mỗi ω, theo Định lý 3.2, tồn tại một độ đo phổ U(ω) xác định trên các tập con Borel của phổ σ(T(ω)) của T(ω) thỏa mãn
T(ω)x =
Z
σ(T(ω))
zU(ω)(dz)x.
Đầu tiên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi x ∈ H, M ∈ B, ánh xạ ω 7−→
U(ω)(M)x là đo được, tức là, U(ω) xác định một độ đo phổ.
Với mỗi nđặt Dn = {ω : kT(ω)k< n}, Bn = {z ∈ C: |z| ≤n}. Từ bất đẳng thức r(T(ω)) ≤ kT(ω)k, trong đó r(T(ω)) là bán kính phổ của toán tử T(ω), suy ra rằng ω ∈Dn dẫn đến σ(T(ω)) ⊂Bn. Vì vậy với mỗi ω ∈Dn
T(ω)x= Z σ(T(ω)) zU(ω)(dz)x = Z Bn zU(ω)(dz)x. Bước 1. Giả sử P(z) = P kakzk là một đa thức. Nếu P(T(ω)) = Z σ(T(ω)) P(z)U(ω)(dz)
thì ánh xạ ω 7−→P(T(ω))x từ Dn vào H là đo được. Thực vậy,
P(U(ω))x = Z σ(T(ω)) P(z)U(ω)(dz)x = X k akT(ω)kx.
Với mỗi biến ngẫu nhiên H - giá trị , ω →T(ω)u(ω) là một biến ngẫu nhiên
H - giá trị. Từ điều này bằng cách quy nạp theo k, ánh xạ ω 7−→ T(ω)k là đo được. Vì vậy, ánh xạ ω 7−→P(T(ω))x từ Dn vào H là đo được.
Bước 2. Nếu f(z) là một hàm liên tục xác định trên Bn thì ánh xạ ω 7−→
các đa thức Pk(z) hội tụ đều đến f(z) trên Bn. Vì vậy |Pk(z)| bị chặn đều. Bởi vì σ(T(ω)) ⊂Bn với mỗi ω ∈ Dn, ta có
limPk(T(ω))x = f(T(ω))x
với mỗi ω ∈ Dn. Vì vậy kết luận suy từ Bước 1.
Bước 3. Với mỗi tập đóng M của C và x ∈ H, ánh xạ ω 7−→ U(ω)(M)x từ
Ω vào H là đo được. Thật vậy với mỗi n, đặt Mn = {s : (d(s, M)) ≥ 1/n} thì
Mn là tập đóng và M ∩Mn =∅. Theo Bổ đề Urysohn tồn tại một hàm liên tục
fn thỏa mãn fn(z) = 1 với z ∈ M và fn(z) = 0 nếu z ∈ Mn và 0≤ fn(z) ≤ 1. Nếu z /∈ M thì tồn tại n0 sao cho d(z, M) ≥ 1/n0 ≥ 1/n với n ≥ n0. Vì vậy
fn(z) = 0vớin ≥n0. Kết quả làlimfn(z) = 1M(z). Vì ánh xạ M →E(ω)(M)x
là biến ngẫu nhiên H - giá trị, với mỗi ω ∈ Dn ta có
lim n Z σ(T(ω)) fn(z)U(ω)(dz)x = Z σ(T(ω)) 1M(s)U(ω)(dz)x, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tức là, limnfn(T(ω))x = U(ω)(M)x với mọi ω ∈ Dn. Từ Bước 2, suy ra rằng ánh xạ ω 7−→ U(ω)(M)x từ Dn vào H là đo được. Nhưng Dn là đo được và
Ω = ∪nDn nên ánh xạ ω 7−→U(ω)(M)x từ Ω vào H là đo được.
Bước cuối cùng. Giả sử M là lớp các tập Borel của M sao cho ánh xạ
ω 7−→U(ω)(M)x từ Ω vào H là đo được. Khi đó M là σ - đại số. Thật vậy theo định nghĩa của độ đo phổ với mỗi ω
U(ω)(M ∩N)x = U(ω)(M)[U(ω)(N)x]
U(ω)(M ∪N)x = U(ω)(M)x+U(ω)(N)x−U(M ∩N)(ω)x U(ω)(∩An)x = limU(ω)(An)x nếu (An)↓
U(ω)(∪An)x = limU(ω)(An)x nếu (An)↑.
Từ điều này, thấy rằng M là đóng dưới phép giao và phép hợp và nó là một lớp đơn điệu. Vì vậy M là σ - đại số. Theo Bước 3, M chứa các tập đóng. Vì vậy
M đồng nhất với lớp tất cả các tập Borel. Kết quả là chúng ta đã chỉ ra rằng với mỗi x ∈H, M ∈B, ánh xạ ω 7−→U(ω)(M)x là đo được.
Tiếp theo ta chứng minh rằng (3.1) đúng. Thật vậy, cố định ω ∈ Ω. Bởi vì Dn ↑ Ω nên tồn tại n0(ω) sao cho ω ∈ Dn với mỗi n > n0(ω). Do vậy nếu
n > n0(ω) thì σ(T(ω)) ⊂Bn, điều này dẫn đến T(ω)x= Z σ(T(ω)) zU(ω)(dz)x = Z Bn zU(ω)(dz)x, tức là, T(ω)x = lim n Z Bn zU(ω)(dz)x.
2) Theo Định lý 3.2 với mỗi ω, tồn tại một độ đo phổ U(ω) xác định trên các tập con Borel của phổ σ(T(ω)) ⊂R của T(ω). Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được rằng (3.2) đúng.