Cấu trúc toán tử tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ———————o0o——————– TÔ THỊ LỊCH CẤU TRÚC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ———————o0o——————– TÔ THỊ LỊCH CẤU TRÚC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: Th.S Phạm Thanh Tâm HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện để em có thể hoàn thành khóa luận này. Qua đây em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình học và các thầy cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt qua trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vừa qua. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tô Thị Lịch LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm em đã hoàn thành bài khóa luận của mình. Em xin cam đoan bài khóa luận là kết quả của quá trình làm việc nghiêm túc, sự cố gắng, nỗ lực tự bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm. Trong khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu ghi trong mục Tài liệu tham khảo. Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tô Thị Lịch Mục lục Mở đầu 4 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN . . . . . . . . . . . . 7 1.3 ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 TOÁN TỬ ĐA THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 KHÔNG GIAN XÍCH 17 2.1 KHÔNG GIAN XÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 KHÔNG GIAN BẤT KHẢ QUY . . . . . . . . . . . . 30 2.3 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN 41 3.1 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN . . . . . . . . . . . . 41 3.2 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 3 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số tuyến tính là một môn học cơ bản của toán học cao cấp. Ngày nay, đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt các lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân và Lý thuyết nửa nhóm, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, . Những kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính như ánh xạ tuyến tính, cấu trúc của toán tử tuyến tính là những kiến thức quan trọng, không thể thiếu. Hơn nữa việc tìm cho mỗi toán tử tuyến tính (trong trường hợp có thể) một cơ sở của không gian, sao cho trong cơ sở đó toán tử tuyến tính có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần ma trận đường chéo càng tốt là một bước cơ bản trong các bài toán. Để làm được điều đó việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính đóng vai trò quan trọng. Thấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.S. Phạm Thanh Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “CẤU TRÚC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cấu trúc toán tử tuyến tính. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về cấu trúc toán tử tuyến tính trong phạm vi của môn Đại số tuyến tính. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị và cấu trúc của toán tử tuyến tính. Tô Thị Lịch 4 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp. 6. Kết cấu khóa luận Ngoài phần mở đầu, danh mục và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 phần: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Không gian xích và không gian bất khả quy Chương 3: Dạng chuẩn tắc Jordan. Dù đã hết sức cố gắng nhưng do đây là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên còn nhiều bỡ ngỡ, đồng thời vì thời gian thực hiện không nhiều và kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, mong nhận được những góp ý quý báu của quý thầy cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tô Thị Lịch Tô Thị Lịch 5 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Cho E là một không gian vectơ trên trường K. ĐỊNH NGHĨA. Một ánh xạ tuyến tính từ E vào E được gọi là một toán tử tuyến tính của E. Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính của E ký hiệu là L(E). Khi đó L(E) là một không gian vectơ với các phép cộng và nhân vô hướng. Nếu dimE = n thì ta có dimL(E) = n 2 . Ánh xạ hợp thành của 2 toán tử tuyến tính luôn tồn tại và lại là một toán tử tuyến tính. Ta có thể coi việc lấy ánh xạ hợp thành như là một phép nhân trong L(E). Đặc biệt, ánh xạ đồng nhất id E là một toán tử tuyến tính có vai trò như một phần tử đơn vị trong L(E). Ngoài những tính chất chung của không gian các ánh xạ tuyến tính, không gian các toán tử tuyến tính còn có những tính chất sau: BỔ ĐỀ 1.1.1. Cho ϕ, ψ, µ là những toán tử tuyến tính của E và c ∈ K. Ta có: i) (ϕψ + ϕ)µ = ϕµ + ψµ ii) ϕ(ψ + µ) = ϕψ + ϕµ iii) c(ϕψ) = (cϕ)ψ = ϕ(cψ). ĐỊNH LÝ 1.1.2. Không gian véc tơ L(E) là một vành có đơn vị. BỔ ĐỀ 1.1.3. Cho ϕ là một toán tử tuyến tính của một không gian vectơ hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương: 6 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính i) ϕ là một đơn ánh. ii) ϕ là một toàn ánh. iii) ϕ là một tự đẳng cấu. Bây giờ ta sẽ xem ma trận của một toán tử tuyến tính thay đổi như thế nào khi ta đổi cơ sở. ĐỊNH LÝ 1.1.4. Cho S và T là hai cơ sở của không gian véc tơ E và P là ma trận chuyển cơ sở từ S sang T . Nếu A và B là các ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính ϕ của E theo các cơ sở S và T thì: B = P −1 AP. ĐỊNH NGHĨA. Hai ma trận vuông A và B có cùng cấp được gọi là đồng dạng (kí hiệu A ≈ B) nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho: B = P −1 AP. BỔ ĐỀ 1.1.5. Hai ma trận vuông đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng là những ma trận của cùng một toán tử tuyến tính. 1.2 KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN Cho E là một không gian vectơ hữu hạn trên trường K và ϕ là một toán tử tuyến tính của E. ĐỊNH NGHĨA. Một không gian con E  của E được gọi là một không gian bất biến của ϕ nếu ϕ(E  )⊆ E  . Nhận xét: E 0 = 0, E 1 = E là hai không gian con bất biến tầm thường của ϕ. BỔ ĐỀ 1.2.1. Không gian con E  của E là một không gian con bất biến khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E  nằm trong E  . BỔ ĐỀ 1.2.2. Cho E  là một không gian con của E với dimE  = r. Giả sử S = {x 1 , x 2 , , x n } là một cơ sở của E sao cho R = {x 1 , , x r } là một cơ sở của E  . Khi đó E  là một không gian bất biến của ϕ khi và chỉ khi ma trận A của ϕ theo S có dạng: A =  A  B 0 C  Tô Thị Lịch 7 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính với A  là một ma trận vuông cấp r. Khi đó A  là một ma trận của ánh xạ thu hẹp ϕ  của ϕ lên E  . ĐỊNH LÝ 1.2.3. Giả sử E=E 1 ⊕ E 2 ⊕ ⊕ E r là tổng trực tiếp các không gian bất biến E 1 , , E r . Cho S, S 1 , , S r là những cơ sở của E, E 1 , , E r sao cho S là hợp của S 1 , , S r . Gọi A là ma trận của toán tử tuyến tính ϕ theo S, gọi A 1 , , A r lần lượt là ma trận của các ánh xạ thu hẹp của ϕ trên E 1 , , E r theo S 1 , , S r . Khi đó A =           A 1 0 0 0 A 2 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 A r           Một ma trận A có dạng như trên sẽ càng đơn giản nếu các ma trận A 1 , , A r có cấp càng nhỏ. Như vậy là ta phải tìm một sự phân tích E thành một tổng trực tiếp các không gian bất biến sao cho các không gian này có số chiều nhỏ nhất có thể được. Vấn đề trên dẫn đến việc tìm các không gian bất biến một chiều. Cần phải nhớ lại rằng mọi không gian con một chiều của E đều được sinh bởi một véc tơ x = 0 và được viết dưới dạng E x = {ax|a ∈ K}. BỔ ĐỀ 1.2.4. E x là một không gian bất biến của toán tử tuyến tính ϕ khi và chỉ khi tồn tại số c ∈ K sao cho ϕ(x) = cx. ĐỊNH NGHĨA. Một số c ∈ K được gọi là một giá trị riêng của ϕ nếu tồn tại véc tơ x = 0 của E sao cho ϕ(x) = cx. Véc tơ x được gọi là một véc tơ riêng của ϕ. Tập tất cả các giá trị riêng của ϕ được gọi là phổ của ϕ. ĐỊNH NGHĨA. Một toán tử tuyến tính được gọi là chéo hóa được nếu nó có thể biểu diễn được bởi một ma trận đường chéo. ĐỊNH LÝ 1.2.5. Giả sử S = {x 1 , , x n } là một cơ sở của E. Ma trận của toán tử tuyến tính ϕ đối với cơ sở S là một ma trận đường chéo khi và chỉ khi x 1 , , x n là những vectơ riêng của ϕ. Khi đó các phần tử trên đường chéo của ma trận là các giá trị riêng của x 1 , , x n . Tô Thị Lịch 8 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 [...]... nghiệp 1.4 Cấu trúc toán tử tuyến tính TOÁN TỬ ĐA THỨC Cho E là một không gian vectơ hữu hạn sinh trên trường K và ϕ là một toán tử tuyến tính của E ĐỊNH NGHĨA Các toán tử lũy thừa của ϕ là các toán tử tuyến tính: ϕ0 = idE , ϕr = ϕ.ϕr−1 (r > 0) Ứng với mỗi đa thức f = f (t) = c0 + c1 t + + cr tr ∈ K[t] ta có toán tử đa thức f (ϕ) = c0 idE + c1 ϕ + + cr ϕr Nhận xét: Phép nhân các toán tử đa thức...Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính Cho x1 , , xr là các véc tơ riêng của toán tử tuyến tính ϕ và c1 , , cr là các giá trị riêng tương ứng Nếu c1 , , cr là hoàn toàn khác nhau thì x1 , , xr là độc lập tuyến tính ĐỊNH LÝ 1.2.6 Nếu dimE = n thì mỗi toán tử tuyến tính của E chỉ có nhiều nhất n giá trị riêng phân biệt HỆ QUẢ 1.2.7 Nếu dimE = n và toán tử tuyến tính ϕ có n giá trị riêng... nhất sao cho f (A) = 0 ĐỊNH NGHĨA BỔ ĐỀ 1.4.3 Giả sử A là một ma trận của toán tử tuyến tính ϕ Ta có: i) f (A) là ma trận của toán tử đa thức f(ϕ), với mọi đa thức f ∈ K[t] ii) gA = gϕ Tô Thị Lịch 13 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính i) Đa thức cực tiểu một ma trận (hay của một toán tử tuyến tính) là ước của đa thức đặc trưng ii) Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức... vì ϕ(f (ϕ)(x)) = [ϕ.f (ϕ)](x) = (tf )(ϕ)(x) ∈ E(x), ∀f (ϕ)(x) ∈ E(x) 17 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính Nếu E là một không gian con bất biến của ϕ chứa x thì ϕk (x) ∈ E , ∀k ≥ 0 Do toán tử đa thức f (ϕ) là một tổ hợp tuyến tính các toán tử lũy thừa ϕk nên f (ϕ)(x) cũng là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ ϕk (x) Vì vậy f (ϕ)(x) ∈ E Do đó E(x) ⊆ E HỆ QUẢ 2.1.2 E(x) là giao của... thuộc tuyến tính Khi đó hệ {idE (x1 ), ϕ(x1 ), , ϕ(xn−1 )} phụ thuộc tuyến tính Hay hệ idE (x1 ), ϕ(x1 ), , ϕn−1 (x1 ) phụ thuộc tuyến tính Suy ra: dimE < n Điều này vô lý vì dimE = n Do đó hệ {x1 , x2 , , xn } độc lập tuyến tính Vậy hệ {x1 , x2 , , xn } là cơ sở của E Điều kiện đủ: Giả sử E có cơ sở {x1 , x2 , , xn }, thỏa mãn điều Tô Thị Lịch 23 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán. .. 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính Ta cần chứng minh (1) đúng với r = k + 1 Thật vậy: Giả sử p p p k+1 gϕ = g1 1 gkk gk+1 ta có p p p p p p k+1 k+1 E = H(g1 1 gkk gk+1 ) = H(g1 1 gkk ) ⊕ H(gk+1 ) (theo 1.4.3) p p = E = H(g1 1 ) ⊕ ⊕ H(gr r ) Vậy (1) đúng với r = k + 1 Nên (1) đúng với r ∈ N 1.5 BÀI TẬP Bài 1.1 Chứng minh rằng nếu ϕ và ψ là hai toán tử tuyến tính của E thỏa mãn điều... phần tử khác 0 của E (luôn có dạng f (ϕ)(x)), chọn một phần tử x = g(ϕ)(x) (*) sao cho g là đa thức có bậc bé nhất Theo thuật toán Euclide, ta có: f = pg + q (1) với q = 0 hoặc degq < degg Lấy phần tử x1 bất kỳ trong E , x1 = f (ϕ)(x) ta có: (1) : f (ϕ)(x) = p(ϕ)g(ϕ)(x) + q(ϕ)(x) ⇔ x1 = p(ϕ)(x ) + q(ϕ)(x) Tô Thị Lịch 29 (theo (*)) K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính. .. cực tiểu gϕ của toán tử tuyến tính ϕ có bậc là n Và gϕ là lũy thừa của một đa thức bất khả quy trên K Khi đó E là không gian bất khả quy và là không gian xích của ϕ HỆ QUẢ 2.2.3 CHỨNG MINH: Trước tiên ta chứng minh E là không gian xích của ϕ Thật vậy: Giả sử gϕ = g k , với g ∈ K[t] là đa thức bất khả quy Tô Thị Lịch 31 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính Suy ra, g... xích E(x) có các tính chất: i) g là ước của mọi đa thức h ∈ K[t] thỏa mãn tính chất h(ϕ)(x) = 0 ii) deg(g) = dimE(x) Tô Thị Lịch 18 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính CHỨNG MINH: i) Với mọi f (ϕ)(x) ∈ E(x), ta có h(ϕ)(f (ϕ)(x)) = f (ϕ)(h(ϕ)(x)) = f (ϕ)(0) Theo bổ đề 1.4.1 thì h phải là bội của g ii) Đặt deg(g) = m Với mọi đa thức f ∈ K[t], theo thuật toán Euclide, ta... nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính CHỨNG MINH: Xét ma trận D = (dij ), trong đó dij là phần bù đại số của phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận A − tI(i, j = 1, , n) Khi đó theo tính chất của ma trận phụ hợp ta có: (A − It)D = fA (t)I Do dij là những đa thức của t có bậc nhỏ hơn n nên ta có thể viết D dưới dạng D = D0 + D1 t + + Dn−1 tn−1 , trong đó D0 , D1 , , Dn−1 là những ma trận cấp n với phần tử trong . tài nghiên cứu “CẤU TRÚC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cấu trúc toán tử tuyến tính. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về cấu trúc toán tử tuyến tính trong phạm. nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính 1.4 TOÁN TỬ ĐA THỨC Cho E là một không gian vectơ hữu hạn sinh trên trường K và ϕ là một toán tử tuyến tính của E. ĐỊNH NGHĨA. Các toán tử lũy thừa của ϕ là các toán. số tuyến tính. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị và cấu trúc của toán tử tuyến tính. Tô Thị Lịch 4 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính 5.