Toán tử tuyến tính trên không gian mêtric tuyến tính

Mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng I. Không gian mêtric tuyến tính và một số tính chất cơ bản. 3 Đ1. Định nghĩa không gian mêtric tuyến tính và một số tính chất cơ bản. 3 Đ2. Không gian mêtric tuyến tính đầy đủ 13 Chơng II. Toán tử tuyến tính 18 Đ3. Toán tử tuyến tính và một số tính chất của toán tử tuyến tính 18 Đ4. Cơ sở trong F không gian 25 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 3 Lời nói đầu Một trong các hớng cơ bản của giải tích là nghiên cứu các không gian và các sự kiện trên chúng, trong đó không gian mêtric tuyến tính đợc nhiều nhà toán học nghiên cứu. Khái niệm về không gian này lần đầu tiên đợc Fréchet đa ra vào năm 1926 sau đó đợc Banach và các cộng sự của ông phát triển thêm và đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc nh : Định lý Banach về ánh xạ mở, Định lý Banach-Steihaus về chặn đều, . những kết quả đó không những quan trọng với bản thân giải tích hàm mà còn có nhiều áp dụng đối với hầu hết các ngành khác của toán học. Những năm gần đây toán tử tuyến tính trên không gian mêtric tuyến tính đợc nghiên cứu nhiều,với lí do đó khóa luận tập trung nghiên cứu toán tử tuyến tính trên không gian mêtric tuyến tính và đặc biệt là trên F- không gian. Khoá luận đợc chia làm 2 chơng cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Trong chơng I tác giả trình bày các khái niệm về mêtric, mêtric bất biến, F- chuẩn, không gian mêtric tuyến tính, F * - không gian, F không gian và một số tính chất quan trọng. Kết quả chính của chơng I là Mệnh đề 1.9 và Mệnh đề 1.11. Chơng II dành cho việc nghiên cứu toán tử tuyến tính trên F không gian. Kết quả chính của chơng II là Hệ quả 3.8, Định lý 3.12 và Hệ quả 4.6 các kết quả này cũng cho ta dấu hiệu nhận biết tính liên tục của toán tử tuyến tính trên F không gian. Vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn. Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn của Ts. Tạ Khắc C, nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. 4 x x x Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa và trong tổ Giải tích cùng tập thể lớp 39A 3 - Toán đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Vinh, tháng 05 năm 2002 Tác giả Chơng I Không gian Mêtric tuyến tính và một số tính chất cơ bản Đ1. Định nghĩa không gian Mêtric tuyến tính và một số tính chất cơ bản Một không gian tuyến tính có thể đồng thời đợc trang bị một mêtric trên đó. Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính vừa mêtric, nhng nếu cấu trúc mêtric hoàn toàn độc lập với cấu trúc đại số thì các tính chất của không gian sẽ không có gì mới ngoài những tính chất đã biết về không gian tuyến tính đơn thuần và không gian mêtric đơn thuần. Vấn đề sẽ khác đi nếu giữa hai cấu trúc ấy có một mối liên hệ nhất định làm nảy sinh nhiều tính chất mới. 1.1.Định nghĩa. Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng số thực hoặc phức cùng với hai phép toán Phép cộng: X X X (x,y) x+y, Phép nhân: X X X (t,x) tx. Trên X ta đa vào hàm : X X R thoả mãn các điều kiện: (x,y) (x,y) (1) (x,y) 0 với mọi x, y X, (x,y) = 0 x=y. 5 (2) (x,y) = (y,x) với mọi x, y X. (3) (x,y) (x,z) + (z,y) với mọi x, y, z X. Hàm thoả mãn ba điều kiện trên đợc gọi là một mêtric trên X. X cùng với mêtric là một không gian mêtric, ký hiệu là (X,) hay đơn giản là X. Không gian mêtric (X,) đợc gọi là không gian mêtric tuyến tính nếu phép toán cộng và phép toán nhân là liên tục theo mêtric . 1.2. Định nghĩa. Giả sử (X,) và (X,) là hai không gian mêtric tuyến tính, hai mêtric này đợc gọi là tơng đơng nếu tôpô sinh bởi chúng là tơng đơng, nghĩa là với bất kỳ số dơng đều tồn tại các số , dơng sao cho {y:(x,y) < } {y:(x,y) < }và {y:(x,y) < } {y:(x,y) < } với bất kỳ x X. 1.3. Định nghĩa. Dãy {x n } các phần tử của không gian mêtric tuyến tính (X,) đợc gọi là hội tụ về phần tử x X (hay dần về x) theo mêtric nếu 0)x,x(lim n n = . Khi đó ta ký hiệu là xx n . 1.4. Mệnh đề. Giả sử (X, ) và (X, ) là các không gian mêtric tuyến tính. Khi đó hai mêtric và là t ơng đơng khi và chỉ khi với bất kỳ x X nếu xx n thì xx ' n và ngợc lại nếu xx ' n thì xx n . Chứng minh. Đặt B (x,) = {y :(x,y) < }, B (x,) = {y :(x,y) < }. Điều kiện cần. Lấy bất kỳ x X, giả sử xx n nhng x n không hội tụ về x theo , khi đó ta có: > 0 sao cho n 0 N, n > n 0 thoả mãn (x n ,x) > . Do và tơng đơng nên với > 0, > 0 sao cho B (x, ) B (x, ), nghĩa là x B (x, ) thì x B (x, ). Do vậy > 0, n 0 N, n > n 0 sao cho (x n ,x) hay x n không hội tụ về x theo , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nếu xx n thì xx ' n với bất kỳ x X. Hoàn toàn bình đẳng ta cũng có nếu xx ' n thì xx n với bất kỳ x X. 6 Điều kiện đủ. Lấy bất kỳ x X, giả sử xx ' n kéo theo xx n nhng > 0 sao cho > 0 thì B (x, ) B (x, ), do vậy ta có > 0 sao cho n N thì B (x, n 1 ) B (x, ) hay > 0 sao cho n N thì y n X sao cho (x,y n ) < n 1 nhng (x,y n ) . Điều này dẫn đến xy ' n nhng y n không hội tụ về x theo , mâu thuẫn với giả thiết. Do vậy nếu xx ' n kéo theo xx n thì ta có > 0, > 0 sao cho B (x, ) B (x, ). Hoàn toàn bình đẳng ta có nếu xx n kéo theo xx ' n thì > 0, > 0 sao cho B (x, ) B (x, ). 1.5. Định nghĩa. Giả sử (X,) là không gian mêtric tuyến tính, đợc gọi là mêtric bất biến nếu (x + z, y + z) = (x,y) với mọi x, y, z X. Không gian mêtric tuyến tính với mêtric bất biến đợc gọi là F * - không gian. 1.6. Định nghĩa. Trong không gian mêtric tuyến tính, lân cận V của điểm gốc 0 đợc gọi là lân cận cân nếu với bất kỳ a R mà |a| 1 thì aV V. Nhận xét. Nếu W là lân cận của điểm 0 trong không gian mêtric tuyến tính X thì trong X luôn tồn tại lân cận cân V của điểm 0 sao cho W chứa V. Chứng minh. Do W là lân cận của điểm 0 nên từ tính liên tục của phép nhân với một số thì tồn tại lân cận U của điểm 0 và số dơng sao cho aU W với mọi a, |a| <. Đặt V= < a aU, dễ thấy rằng V đợc chứa trong W và V là lân cận của 0, V cân. 1.7. Định lý. Giả sử (X, ) là không gian mêtric tuyến tính, khi đó trong X có mêtric bất biến t ơng đơng với mêtric ban đầu và (X, ) cũng là không gian mêtric tuyến tính. Chứng minh. Giả sử V là lân cận cân tuỳ ý của điểm 0, 7 ta đặt V(1) = V, V(n) = lầnn V .VV +++ với n N * . Từ tính liên tục của phép toán cộng, ta suy ra rằng có một lận cận V( 2 1 ) của điểm 0 sao cho V( 2 1 ) + V( 2 1 ) V(1). Theo nhận xét trong Định nghĩa 1.6, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng V( 2 1 ) là lân cận cân và V( 2 1 ) S 1/2 = {x: (x,0) <1/2}. Lý luận tơng tự ta có thể tìm đợc lân cận cân của điểm 0 là V( n 2 1 ) sao cho V( n 2 1 ) + V( n 2 1 ) V( 1n 2 1 ) (1) V( n 2 1 ) n 2 1 S = {x: (x,0)< n 2 1 }. (2) Cho r là số dơng tuỳ ý, thì r = n+ . 2 a . 2 a 2 a n n 2 21 ++++ , với a i nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1, i = 1, 2, và n N. Đặt V(r) = V(n) + a 1 V( 2 1 ) + + a n V( n 2 1 ) + Ta dễ dàng chứng minh đợc V(r) là lân cận cân của điểm 0. Với r 1 , r 2 là hai số dơng tuỳ ý, từ (1) ta chứng minh đợc V(r 1 + r 2 ) V(r 1 ) + V(r 2 ) Đặt (x,y) = inf{r: x y V(r)} với mọi x, y X. Ta sẽ chứng minh là mêtric bất biến trên X. Thật vậy, +) (x + z, y + z) = inf {r: (x+z) (y+z)V(r)} = inf {r: x y V(r)} = (x,y) với mọi x, y, zX. +) (x,y) = inf {r: x y V(r)}= inf {r: y x V(r)} (do V là lân cận cân) = (y,x) với mọi x, y X. +) (x,z) + (z,y) = inf {r 1 : x z V(r 1 )} + inf {r 2 : z y V(r 2 )} = inf {r 1 +r 2 : x-zV(r 1 ), z-yV(r 2 )} 8 inf {r 1 +r 2 : (x-z) + (z-y) V(r 1 ) + V(r 2 )} inf {r 1 +r 2 : x-y V(r 1 + r 2 )}=inf {r: x-yV(r)} = (x,y) với mọi x, y, z X. Để chứng minh là mêtric bất biến ta cần chứng minh thêm nó thoả mãn tiên đề thứ nhất của mêtric. Rõ ràng (x,y) 0 với mọi x, y X. Để chứng minh (x,y) = 0 khi và chỉ khi x=y ta chỉ cần chứng minh 0)x,x('lim n n = khi và chỉ khi 0)x,x(lim n n = , vì là mêtric Giả sử (x k ,x) 0 (k ), hay inf{r: x k x U(r)} 0 (k ). Từ (2) ta có (x k x, 0) 0 (k ). Do tính liên tục của phép toán cộng ta có 0)x,x(lim k k = . Giả sử (x k ,x) 0 (k ), từ tính liên tục của phép toán cộng ta suy ra rằng x k x 0 (k ). Do V( ) 2 1 n là lân cận của điểm 0 nên với n tuỳ ý luôn tồn tại k 0 N sao cho mọi k > k 0 ta có x k x V( ) 2 1 n . Do vậy với k > k 0 thì (x k ,x) n 2 1 . Do n tuỳ ý nên 0)x,x('lim k k = . Từ tính chất vừa chứng minh đợc ta có hai mêtric và là tơng đơng, do vậy (X,) cũng là không gian mêtric tuyến tính. 1.8. Định nghĩa. Cho không gian tuyến tính X và hàm || . || : X R x |||x|| thoả mãn các điều kiện sau: (1) ||x|| 0 với mọi x X, ||x|| = 0 x = 0. (2) ||ax|| = ||x|| với mọi a thoả mãn |a| = 1. (3) ||x + y|| ||x|| + ||y||. 9 (4) ||a n x|| 0 (n ) nếu a n 0 (n ). Khi đó hàm ||.|| đợc gọi là F chuẩn . 1.9. Mệnh đề. a) Giả sử X là không gian mêtric tuyến tính với mêtric bất biến . Hàm ||.|| : X R x | ||x|| cho bởi công thức ||x|| = (x,0) khi đó hàm ||.|| là F chuẩn. b) Giả sử X là không gian tuyến tính và F chuẩn ||.|| xác định trên X. Khi đó X là không gian mêtric tuyến tính với mêtric (x,y) = ||x y|| . Chứng minh: a) Hàm ||.|| là F chuẩn, vì: (1) ||x|| = (x,0) 0 với mọi x X, ||x|| = 0 (x,0) = 0 x = 0. (2) Chứng minh ||ax|| = ||x|| với mọi a thoả mãn |a| = 1. - Nếu a R và |a| = 1. Khi đó a = 1 hoặc a = -1. Với a = 1 thì ||ax|| = ||x|| với mọi x X. Với a = -1 thì ||ax|| = ||-x|| = (-x,0). ||ax|| = (-x + x, 0 +x). ||ax|| = (0,x) = (x,0). ||ax|| = ||x|| với mọi x X. - Nếu a C ta cũng kiểm tra đợc ||ax|| = ||x|| với mọi x X và mọi a C thoả mãn |a| = 1. (3) ||x + y|| = (x + y, 0) = (x, - y). ||x + y|| (x,0) + (0, - y). ||x + y|| (x,0) + (y,0). ||x + y|| ||x|| + ||y|| với mọi x, y X. 10 (4) Giả sử {a n } là dãy bất kỳ và a n 0 ( n ), lấy bất kỳ x X thì x x. Do tính liên tục của phép nhân với một vô hớng theo mêtric nên ta có a n x 0 hay (a n x,0) 0 ( n ) ||a n x|| 0 ( n ). Vậy ||.|| là F chuẩn. b) Dễ dàng kiểm tra đợc rằng là một mêtric và hơn thế nó còn là một mêtric bất biến. Bây giờ ta chứng minh rằng phép toán cộng phép toán nhân với một vô hớng là liên tục theo mêtric . +) Giả sử rằng xx n và yy n ta chứng minh x n + y n x + y Do yy xx n n nên ta có )n(0||yy|| )n(0||xx|| n n Mà ||(x n + y n ) - (x + y)|| ||x n -x|| + ||y n -y||, nên ||(x n + y n ) - (x + y)|| 0 (n ). ( x n + y n , x + y) 0 (n ), hay x n + y n x + y. Vậy phép toán cộng là liên tục. +) Giả sử xx n và a n a (n ), ta cần chứng minh a n x n ax, thật vậy, ta có ||a n x n - ax|| || a n x n - a n x|| + || a n x - ax|| Do (a n - a) 0 (n ) nên theo tính chất (4) của F chuẩn ta có: ||(a n x-ax)|| 0(n ) Do xx n nên x n - x 0 do vậy a n (x n - x) 0. Dẫn tới ||(a n x n - a n x)|| 0(n ). Vậy ||(a n x n - ax)|| 0(n ) hay a n x n ax. Ta có phép toán nhân với vô hớng là liên tục. Nhận xét. Trong F * - không gian có sự tơng ứng 1- 1 giữa mêtric bất biến và F- chuẩn. 1.10. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tuyến tính, chuẩn trên X là hàm: ||.||: X R thoả mãn các điều kiện sau 11 x ||x|| +) ||x|| 0 với mọi xX, ||x|| = 0 x=0. +) ||x||=||.||x|| với mọi K, mọi x X. +) ||x+y|| ||x|| + ||y|| với mọi x, yX. Không gian X với chuẩn xác định trên nó đợc gọi là không gian định chuẩn tuyến tính. 1.11. Mệnh đề. a) Chuẩn là F-chuẩn. b) F-chuẩn có thể không là chuẩn. Chứng minh. a) Giả sử ||.||: X R là chuẩn trên X, khi đó ta có: (1) ||x|| 0 với mọi xR và ||x|| = 0 x=0. (2) ||ax||=|a|.||x||=||x|| với mọi a thoả mãn |a| = 1 và mọi xX. (3) ||x+y|| ||x|| + ||y|| với mọi x, yX. (4) ||a n x|| = |a n |.||x|| với mọi dãy {a n } K và mọi xX. Nếu a n 0 (n ) thì |a n |.||x|| 0 (n ) hay ||a n x|| 0 (n ) nếu a n 0 (n ). Do vậy || . || là F- chuẩn trên X. b) Đặt : R R t | (t) = | t | p với 0 < p < 1. Ta sẽ chứng minh rằng (t) là F chuẩn nhng không phải là chuẩn. Thật vậy, (1) (t) = | t | p 0 với mọi t R và (t) = 0 | t | p = 0 t = 0 . (2) Với mọi a R mà |a| = 1, ta có (at) = |at| p = |a| p .|t| p = |t| p = (t) với mọi t R. (3) Trớc hết ta chứng minh rằng |t 1 + t 2 n m | n m 2 n m 1 |t||t| + với t 1 , t 2 R và với n N * , m N và m n. 12