Biến dạng Chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HÀ BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN HARDY LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương 1. HÀMCHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.Khái niệm về hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.Công thức tích phân Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. Định lý về giá trị tr ung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian H p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. BIẾN DẠNGCHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.Toán tử hợp thành Chaotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Cho đĩa đơn vị mở D := { z ∈ C : | z | < 1 } , ký hiệu H 2 (D) là không gian Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn  f  = lim r→1−   1 2π 2π  0    f  re iθ     2 dθ   1 / 2 . Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành C ψ : H 2 (D) → H 2 (D) được định nghĩa C ψ f = f ◦ψ, là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H 2 (D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai điểm cố định trên ∂D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố định và là hyperbolic nếu nó có hai điểm biên cố định, với γ là một số phức. Luận văn trình bày kết quả sau: 1. Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy cố định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γC ψ là chaotic trên H 2 (D) khi và chỉ khi λ − 1 / 2 < | γ | < λ 1 / 2 2. Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γC ψ là chaotic trên H 2 (D) khi và chỉ khi | γ | = 1. 3. Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γC ψ không là chaotic trên H 2 (D) với mọi γ ∈ C. Đó là kết quả trong bài báo "Chaotic behavior of composition operators on the Hardy space" của Takuya Hosokawa về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H 2 (D) thông qua việc phân loại điểm dính trên biên của dãy trọng lặp. Luận văn gồm 2 chương: • Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy và tính chất của nó. • Chương 2: Trình bày và làm rõ công trình nghiên cứu của Takuya Hosokawa về biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H 2 (D), như các tính chất cơ bản của toán tử hợp thành trên không gian Hardy, đặc biệt là tính hypercyclic của toán tử này, áp dụng định lý Denjoy-Wolf về phân loại các điểm dính hyperbolic, elliptic nằm trên đường tròn đơn vị để nghiên cứu chaotic của toán tử hợp thành. Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS - TSKH Nguyễn Quang Diệu, người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường trung học phổ thông Dương Tự Minh, thành phố Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG GIAN HARDY Trong chương trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy H 2 (D) và tính chất. 1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình 1.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ∈ C. Xét giới hạn lim ∆z→0 f (z + ∆z) − f (z) ∆z , với z, z + ∆z ∈ Ω. Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, ký hiệu f  (z) hay d f dz (z). Như vậy f  (z) = lim ∆z→0 f (z + ∆z) − f (z) ∆z . Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.2. Hàm f xác định trong miền Ω ∈C với giá trị trong C gọi là hàm chỉnh hình tại z 0 ∈Ω nếu tồn tại r > 0 để f C-khả vi tại mọi z ∈D(z 0 , r) ⊂ Ω. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω. Định lý 1.1.3. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình trên Ω. Khi đó 1. H(Ω) là một không gian véc tơ trên C. 2. H(Ω) là một vành. 3. Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) = 0, ∀z ∈ Ω thì 1 f ∈ H(Ω). 4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Chứng minh. Chứng minh 4. Do f chỉ nhận giá trị thực ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt khác ∂ f ∂ x = i ∂ f ∂ y , ta suy ra ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0. Vậy f = const. 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trên miền Ω ∈C. Hàm f được gọi là R 2 - khả vi tại z = x + iy nếu hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x , y) (theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực). Định lý 1.1.4. Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là f R 2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z.        ∂ u ∂ x (x, y) = ∂ v ∂ y (x, y) ∂ u ∂ y (x, y) = − ∂ v ∂ x (x, y). (1.1.1) 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f C - khả vi tại z = x +iy ∈Ω. Khi đó tồn tại giới hạn f  (z) = lim ∆z→0 f (z + ∆z) − f (z) ∆z với ∆z = ∆x + i∆y. Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của ∆z nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có : f  (z) = lim ∆z→0 u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) −u(x, y) −iv(x, y) ∆x = = lim ∆z→0 u(x + ∆x, y) −u(x, y) ∆x + i lim ∆z→0 v(x + ∆x, y) −v(x, y) ∆x tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x, y) và f  (z) = ∂ u ∂ x (x, y) + i ∂ v ∂ x (x, y). (1.1.2) Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có f  (z) = −i ∂ u ∂ y (x, y) + ∂ v ∂ y (x, y). (1.1.3) So sánh (1.1.2) và (1.1.3) ta được        ∂ u ∂ x (x, y) = ∂ v ∂ y (x, y) ∂ u ∂ y (x, y) = − ∂ v ∂ x (x, y). Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y). Vì f C- khả vi tại z nên ∆ f = f (z + ∆z) − f (z) = f  (z)∆z + o(∆z) với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là lim ∆z→0 o(∆z) ∆z = 0. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Rõ ràng ∆ f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y. theo (1.1.2) ta có ∆u + i∆v = ( ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x )(∆x + i∆y) + o(∆z) + io(∆z). Từ đó ∆u = ∂ u ∂ x ∆x − ∂ v ∂ x ∆y + o(∆z) = ∂ u ∂ x ∆x + ∂ u ∂ y ∆y + o(|∆z|), ∆v = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ u ∂ x ∆y + o(∆z) = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ v ∂ y ∆y + o(|∆z|). điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x, y). Điều kiện đủ: Vì u và v khả vi tại (x, y) nên ∆u = ∂ u ∂ x ∆x + ∂ u ∂ y ∆y + o(  ∆x 2 + ∆y 2 ) và ∆v = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ v ∂ y ∆y + o(  ∆x 2 + ∆y 2 ). Theo điều kiện (1.1.1) hai đẳng thức này có thể viết thành ∆u = ∂ u ∂ x ∆x − ∂ v ∂ x ∆y + o(|∆z|), (1.1.4) ∆v = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ u ∂ x ∆y + o(|∆z|). (1.1.5) Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta có ∆ f ∆z = ∆u ∆z + i ∆v ∆z = ∂ u ∂ x ∆x − ∂ v ∂ x ∆y + o(∆z) ∆z + i ∂ u ∂ x ∆x + ∂ v ∂ x ∆y + o(∆z) ∆z = ∂ u ∂ x ∆x + i ∂ u ∂ x ∆y ∆z + − ∂ v ∂ x ∆y + i ∂ v ∂ x ∆x ∆z + o(∆z) ∆z = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x + o(∆z) ∆z . 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì vậy lim ∆z→0 ∆ f ∆z = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x tức là f C- khả vi tại z = x +iy. Nhận xét 1.1.5. (1.) Giả sử f là R 2 -khả vi tại z ∈ Ω ⊂ C Xét vi phân d f = ∂ f ∂ x dx + ∂ f ∂ y dy. (1.1.6) Vì dz = dx + idy và d ¯z = dx −idy nên dx = 1 2 (dz + d ¯z), dy = 1 2i (dz −d ¯z). Thế các đẳng thức này vào (1.1.6) ta có d f = 1 2 ( ∂ f ∂ x −i ∂ f ∂ y )dz + 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y )d ¯z. Nếu đặt ∂ f ∂ z = 1 2 ( ∂ f ∂ x −i ∂ f ∂ y ), ∂ f ∂ ¯z = 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y ) (1.1.7) thì d f = ∂ f ∂ z dz + ∂ f ∂ ¯z d ¯z. (1.1.8) Bởi vì ∂ f ∂ ¯z = 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y ) = 1 2 [( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) + i( ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y )] nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu ∂ f ∂ ¯z (z) = 0. Nói cách khác hàm R 2 -khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu ∂ f ∂ ¯z (z) = 0. (2.) Từ (1.1.1) và (1.1.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có ∂ f ∂ z (z) = 1 2  ∂ u ∂ x (z) + i ∂ v ∂ x (z) −i ∂ u ∂ y (z) + ∂ v ∂ y (z)  = 1 2  2 ∂ u ∂ x (z) + 2i ∂ v ∂ x (z)  = ∂ u ∂ x (z) + i ∂ v ∂ x (z) = f  (z). 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... và chỉ khi T −1 là hypercyclic Áp dụng trường hợp này, nếu |γ| < T −1 thì γ −1 T −1 không là hypercyclic và do vậy γT cũng không là hypercyclic Mục đích chính của chương là nghiên cứu sự mở rộng vô hướng các toán tử hợp thành là chaotic trên không gian Hardy H 2 (D) 2.2 Toán tử hợp thành Chaotic Giả sử H 2 (D) là không gian Hardy của các hàm f chỉnh hình trên đĩa đơn vị mở D với chuẩn  1 f = lim ... tục trên không gian tôpô Trong [7], tác giả đã trình bày biến dạng chaotic của các hệ thống động học phi tuyến hữu hạn chiều Bằng cách tương tự, ta có thể định nghĩa các toán tử tuyến tính bị chặn chaotic trên không gian Banach tách được X như sau: 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X là một không gian Banach tách được và T là một toán tử tuyến tính bị chặn trên X T được gọi là toán tử chaotic. .. không tiếp xúc L tại eiθ0 nếu f (z) → L khi z → eiθ0 bên trong mỗi miền Sα (θ0 ) , α < π Vậy mỗi hàm f ∈ H ∞ có giới hạn 2 không tiếp xúc hầu khắp nơi 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN HARDY 2.1 Mở đầu Robert L.Devaney đã định nghĩa các hệ thống động học chaotic của các ánh xạ liên tục trên. .. kết quả của định lý 2.2.1 Trong phần tiếp theo ta sẽ nghiên cứu biến dạng chaotic của các toán tử hợp thành trên không gian H 2 (D) Trong định lý 2.2.1, cho γ = 1 ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.3.1 Giả sử ψ là tự đẳng cấu của D Khi đó Cψ là chaotic trên H 2 (D) nếu và chỉ nếu ψ không có điểm cố định trong D Chú ý: Hệ quả 2.3.1 được sử dụng trong một số kết quả khác (xem [5], [9]) Trong trường hợp này,... này, tính hypercyclic của các toán tử hợp thành đã được nghiên cứu, tuy nhiên tính trù mật của các điểm tuần hoàn không được chứng minh Trong phần tiếp theo ta sẽ xây dựng một trường hợp đơn giản của các điểm tuần hoàn trù mật với các toán tử hợp thành, nó là cảm sinh bởi các tự đẳng cấu P.S.Bourdon và J.H.Shapiro có phân loại trên tính hypercyclic của Cψ theo vị trí điểm cố định của tự đẳng cấu ψ Các... đẳng cấu của D và γ là một số phức (i) Giả sử ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy cố định của ψ Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic 1 1 trên H 2 (D) nếu và chỉ nếu λ − /2 < |γ| < λ /2 (ii) Giả sử ψ là tự đẳng cấu parabolic của D Khi đó γCψ là chaotic trên H 2 (D) nếu và chỉ nếu |γ| = 1 (iii) Giả sử ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trên. .. Điều đó có nghĩa chuỗi Taylor của ϕ tại 0 bằng 0, song ϕ không đồng nhất bằng không trong bất cứ lân cận nào của 0 1.4 Không gian Hardy 1.4.1 Không gian L p Ta ký hiệu T là đường tròn đơn vị phức và L 1 (p = 1) là không gian tuyến tính các hàm khả tích Lebesgue trên T với phép cộng điểm và nhân vô hướng, đặt N =   f ∈L1 :    2π 1 2π 0 | f | dθ = 0  Ký hiệu L1 là không gian thương L N với chuẩn [... r→1− 2π 2π f reiθ 1/ 2 2 dθ  0 Khi đó H 2 (D) là không gian Hilbert Cho ϕ là tự đồng cấu chỉnh hình của D Theo định lý Littlewood (xem [14], Ch.1), toán tử hợp thành Cϕ được định nghĩa Cϕ f = f ◦ ϕ, là một toán tử tuyến tính bị chặn trên H 2 (D) Giả sử ψ là một tự đẳng cấu của D và không có điểm cố định trong D Khi đó ψ có một hoặc hai điểm cố định trên ∂ D Ta gọi ψ là 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... trên T Khi đó hàm h (x) = ∑ fn (x) đo được và bị chặn hầu khắp n=1 N nơi bởi M Do đó h ∈ L ∞ và dễ thấy lim [h] − ∑ [ fn ] N→∞ = 0 Vậy L∞ là không n=1 ∞ gian Banach Ký hiệu C là tập hợp các hàm liên tục trên T, dễ thấy C ⊂ L∞ ⊂ Lr ⊂ Ls ⊂ L1 với 1 < s 1.4.2 r M} có độ . thành trên không gian Hardy H 2 (D), như các tính chất cơ bản của toán tử hợp thành trên không gian Hardy, đặc biệt là tính hypercyclic của toán tử này,. về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H 2 (D) thông qua việc phân loại điểm dính trên biên của dãy trọng lặp.