Toán tử đạo hàm trên không gian banach có trọng các hàm chỉnh hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN PHI MINH TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN PHI MINH TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM TRỌNG TIẾN Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn biết ơn sâu sắc đến thầy TS Phạm Trọng Tiến, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Thầy không giúp em mặt kiến thức mà giúp em cách trình bày vấn đề cách rõ ràng khoa học Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên dạy bảo em suốt hai năm học vừa qua Cuối em xin lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, tập thể lớp cao học khóa 2015 -2017 giúp đỡ em trình học tập vừa qua Hà Nội, ngày 04 tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Phi Minh Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình 1.2 Các tính chất động lực học 5 Tính bị chặn compact tốn tử đạo hàm 12 2.1 Tính bị chặn tốn tử đạo hàm 12 2.2 Tính compact tốn tử đạo hàm 24 Tính chất động lực học toán tử đạo hàm 32 3.1 Tính chất có tập điểm tuần hồn trù mật 33 3.2 Tính siêu lặp tính trộn 35 KẾT LUẬN 40 Tài liệu tham khảo 41 LỜI MỞ ĐẦU Không gian có trọng hàm chỉnh hình tốn tử xác định đóng vai trò quan trọng lý thuyết xấp xỉ lý thuyết phổ, giải tích phức giải tích Fourier, phương trình tích chập phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết phân phối siêu phân phối ([15]) Vì chúng nghiên cứu nhiều nhà toán học theo nhiều hướng khác ([4], [5], [7], [8], [10], [11], [15] - [20], [23], [29], [31] - [34]) Tuy nhiên, đến năm 2008 có nghiên cứu kết Harutyunyan Lusky [29] tính bị chặn tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình hình cầu đơn vị toàn mặt phẳng phức Dựa kết Harutyunyan Lusky, có nhiều báo nghiên cứu tính chất khác tốn tử đạo hàm khơng gian có trọng (xem [1] tính bị chặn; [6], [7], [8], [16], [17] tính hệ động lực phổ) Dù tính compact tốn tử đạo hàm D có nhiều ứng dụng, lại khơng có nhiều nghiên cứu tính compact toán tử đạo hàm thực Trên khơng gian có trọng hàm ngun, Bogachev [12] đưa điều kiện đủ để toán tử đạo hàm compact Động lực học tuyến tính giới thiệu báo Godefroy Shapiro [24] Grosse-Erdmann [25], [26] MacLane [35] chứng minh toán tử đạo hàm D siêu lặp khơng gian hàm chỉnh hình H(C) Dáng điệu ca toỏn t o hm trờn i s cu Hăormander hàm nguyên nghiên cứu Bonet [13] Luận văn trình bày nghiên cứu kết tính bị chặn, tính compact tính chất động lực học toán tử đạo hàm khơng gian có trọng hàm chỉnh hình Ngồi phần Mở đầu, Kết luận luận văn chia làm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, khái niệm tính chất khơng gian có trọng hàm chỉnh hình trình bày chi tiết Ngồi ra, khái niệm mở đầu tính chất động lực đưa Chương 2: Tính bị chặn compact toán tử đạo hàm Trong chương này, tác giả trình bày nghiên cứu tính bị chặn tính compact tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình, đặc biệt khơng gian hình cầu đơn vị D toàn mặt phẳng phức C Các điều kiện cần đủ cho hai tính chất đưa Chương 3: Tính chất động lực tốn tử đạo hàm Trong chương này, tác giả đưa điều kiện cần đủ cho tính chất động lực học tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm ngun Nội dung luận văn tham khảo tài liệu [1], [2], [14] MỤC LỤC Do thời gian làm luận văn có hạn hiểu biết hạn hẹp nên có nhiều cố gắng để hồn thành luận văn q trình làm khơng thể trách khỏi mắc phải sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q báu từ thầy, người đọc để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình Trong phần đưa khái niệm tính chất khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình Những kiến thức chuẩn bị sử dụng toàn luận văn Cho G miền mặt phẳng phức C H(G) không gian gồm tất hàm chỉnh hình G với tơpơ hội tụ tập compact Một hàm liên tục v : G → (0, ∞) gọi hàm trọng G Với hàm trọng v , ta định nghĩa hai khơng gian có trọng hàm chỉnh hình sau Hv (G) := Hv0 (G) := |f (z)| 0, tồn tập compact K G cho |g(z)| < ε với z ∈ G \ K Các tính chất hai khơng gian trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.1 Các khẳng định sau (1) Hv (G) không gian Banach với chuẩn · v; (2) Hv0 (G) khơng gian đóng Hv (G) Chứng minh (1) Dễ thấy, Hv (G) không gian định chuẩn với chuẩn · v Ta Hv (G) đầy đủ Lấy (fn )n dãy Cauchy Hv (G), ta (fn )n hội tụ tới hàm f Hv (G) Theo định nghĩa dãy Cauchy, ta có với ε dương, tồn n0 ∈ N cho ||fm − fn ||v < ε, ∀n, m ≥ n0 ∀z ∈ G Chương Kiến thức chuẩn bị Tức là, |fm (z) − fn (z)| < εv(z), ∀n, m ≥ n0 ∀z ∈ G (1.1) Khi đó, với K compact G, ta có max |fm (z) − fn (z)| < ε max v(z), ∀n, m ≥ n0 z∈K z∈K Do đó, (fn )n dãy Cauchy H(G), nên (fn )n hội tụ tới hàm f H(G) Trong (1.1), cho m → ∞, ta |fn (z) − f (z)| ≤ εv(z), ∀n ≥ n0 ∀z ∈ G Tức là, fn − f v ≤ ε với n ≥ n0 Từ ta thu f v ≤ fn0 − f v + fn0 v < ∞ Vậy ta có (fn )n hội tụ tới f Hv (G) (2) Đầu tiên ta Hv0 (G) không gian Hv (G) Lấy f ∈ Hv0 (G), tức |f (z)| = z→∂G v(z) lim Khi đó, tồn K compact G cho |f (z)| < 1, ∀z ∈ G/K v(z) Mặt khác, K compact |f (z)|/v(z) liên tục K nên tồn M > cho |f (z)|/v(z) < M, với z thuộc K Do đó, ta có |f (z)| ≤ M, z∈G v(z) sup nên f ∈ Hv (G) Vậy Hv0 (G) ⊂ Hv (G) Bây giờ, ta Hv0 (G) đóng Hv (G) Thật vậy, lấy dãy (fn )n Hv (G) (fn )n hội tụ tới hàm f ta phải f ∈ Hv0 (G) Vì (fn )n hội tụ tới f nên với ε dương bất kỳ, tồn n0 ∈ N cho ε ||fn − f ||v < , ∀n ≥ n0 tức Mặt khác, fn0 ε |fn (z) − f (z)| < v(z), ∀z ∈ G ∀n ≥ n0 ∈ Hv (G), nên tồn tập compact K G cho ε |fn0 (z)| < v(z), ∀z ∈ G \ K Suy ra, với z ∈ G \ K ta có |f (z)| |fn0 (z)| |fn0 (z) − f (z)| < + < ε v(z) v(z) v(z) Vậy f ∈ Hv0 (G) Chương Kiến thức chuẩn bị Khi nghiên cứu vấn đề liên quan đến hai không gian Banach có trọng Hv (G) Hv0 (G) người ta thường sử dụng hàm trọng liên kết v trọng v Chúng ta nhắc lại định nghĩa số tính chất trọng liên kết Bierstedt-BonetTaskinen [10] đưa định nghĩa trọng liên kết sau v(z) := sup{|f (z)| : f ∈ Hv (G) : f v ≤ 1}, z ∈ C Một số tính chất trọng liên kết đưa mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.2 Các khẳng định sau (i) Hàm v liên tục G ≤ v ≤ v G (ii) Không gian Hv (G) = Hv (G) f v = f v với f ∈ Hv (G) Chứng minh Các chứng minh tham khảo [10] Trong khơng gian có trọng Hv (G) Hv0 (G) người ta đặc biệt quan tâm tới trường hợp G toàn mặt phẳng phức C G hình cầu đơn vị D hàm trọng v trọng cầu, tức v(z) = v(|z|), z ∈ G, v : [0; a) → (0, ∞) hàm tăng liên tục [0; a) cho log r = o(log v(r)) với r → ∞ G = C lim v(r) = ∞ G = D, r→1− a = +∞ với G = C a = với G = D Với giả thiết hàm trọng cầu v thấy không gian Hv (C) Hv0 (C) chứa tất đa thức, chúng khơng gian vơ hạn chiều Còn khơng gian Hv (D) Hv0 (D) chứa tất hàm chình hình bị chặn D Trong trường hợp đặc biệt này, có tính chất quan trọng sau Mệnh đề 1.1.3 Giả sử v trọng cầu G = C G = D Khi đó, tập tất đa thức trù mật khơng gian Hv0 (G), đó, Hv0 (G) khơng gian khả ly Chứng minh Chúng ta chứng minh cho trường hợp G = C Trường hợp lại hồn toàn tương tự Lấy hàm f ∈ Hv0 (C) Đặt M (f, r) := max{|f (z)| : |z| = r}, r > Với t ∈ (0, 1) đặt ft (z) := f (tz), z ∈ C Theo nguyên lý cực đại, dễ thấy M (ft , r) = M (f, tr) ≤ M (f, r) với t ∈ (0, 1) r > Ta chứng minh ft hội tụ tới f Hv0 (C) t → Thật vậy, lấy ε > tùy ý Tồn R > cho M (f, r) ε < , ∀r > R v(r) Do M (ft , r) ε < , ∀r > R t ∈ (0, 1) v(r) Chương Kiến thức chuẩn bị Mặt khác, dễ thấy max |ft (z) − f (z)| = max |f (tz) − f (z)| → 0, t → |z|≤R |z|≤R Do đó, tồn t0 ∈ (0, 1) cho |ft (z) − f (z)| < ε, ∀t ≥ t0 v(z) |z|≤R max Suy ra, với t ≥ t0 ta có ft − f v |ft (z) − f (z)| |ft (z) − f (z)| , max v(z) v(z) |z|≤R |z|>R = max max |f (z)| |ft (z)| + max |z|>R v(z) |z|>R v(z) < max ε, max < ε Vậy ft hội tụ tới f Hv0 (C) t → Tiếp theo, với t ∈ (0, 1) ta xấp xỉ hàm ft dãy đa thức Từ đó, ta kết luận hàm f xấp xỉ dãy đa thức, tức là, tập tất đa thức phức trù mật không gian Hv0 (C) Thật vậy, giả sử hàm f có biểu diễn ∞ an z n , a n ∈ C f (z) = n=0 Theo cơng thức tích phân Cauchy ta có |an | = |f (n) (0)| = n! 2iπ Suy ra, |an | z n v ≤ f v |z|=r f (z) M (f, r) dz ≤ f ≤ z n+1 rn v v(r) , ∀r > rn với n ∈ N Sử dụng bất đẳng thức ta có n ak tk z k ft (z) − k=0 ak tk z k = v k>n Do đó, với t ∈ (0, 1) cố định, ft (z) − ta có điều phải chứng minh ≤ f v tk = f v k>n n k k k=0 ak t z v tn+1 v 1−t → n → ∞ Từ Ngoài ra, hàm trọng liên kết v với trọng cầu v có thêm tính chất sau Mệnh đề 1.1.4 Giả sử v trọng cầu G = C G = D Khi (i) Hàm v trọng cầu G, tức là, v(z) = v(|z|) với z ∈ G (ii) Hàm log(v(z)) hàm điều hòa G, điều tương đương với v hàm lồi logarit (−∞, log a), tức là, hàm ϕv (x) := log v(ex ) lồi (−∞, log a) (d) Không gian Hv0 (G) = Hv0 (G) Chứng minh Các chứng minh tham khảo [10] Chương Tính bị chặn compact tốn tử đạo hàm đó, lim sup r→∞ v (r) = > v(r) L Áp dụng Định lý 2.2.3 cho trọng lồi logarit v ta có tốn tử đạo hàm D compact Hv (C) Lại có Hv (C) = Hv (C) đẳng cự, nên toán tử D compact Hv (C) Mặt khác, hàm trọng v không thỏa mãn điều kiện (3) Định lý 2.2.3 Bây đưa kết cho tính compact tốn tử D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình hình cầu đơn vị D Định lý 2.2.6 Cho v w hai trọng cầu D v lồi logarit Xét điều kiện sau: (1) Toán tử D : Hv (D) → Hw (D) compact; (2) lim n||z n ||w/v = 0; n→∞ (3) v(r) = o((1 − r)w(r)) r → 1− Khi đó, (1) =⇒ (2) Hơn nữa, (1 − r)v (r) = O(v(r)) r → 1− (2.4) (1) ⇐⇒ (2) ⇐⇒ (3) Chứng minh (1) =⇒ (2) Theo giả thiết v lồi logarit, nên theo [3] tồn hai hàm ∞ ∞ a2j+1 z n2j+1 g2 (z) = g1 (z) := j=0 a2j z n2j , j=1 cho cv(z) ≤ |g1 (z)| + |g2 (z)| ≤ v(z), r0 ≤ |z| < (2.5) đó, ak > với k ≥ 1, (nk )k dãy số nguyên tăng, c, r0 ∈ (0, 1) Đặt g(z) := g1 (z) + g2 (z) Khi đó, g(z) = z n1 g0 (z) với g0 (z) = a1 + a2 z n2 −n1 + n a3 z −n1 + · · · Dễ thấy, g0 ∈ H(D) g0 (0) = a1 Hơn nữa, ta có ∞ max |g(z)| = |z|=r ∞ a2j+1 r n2j+1 j=0 a2j r2j = g(r) + j=1 Vì a1 > 0, nên từ (2.5), tồn số dương C cho C −1 rn1 v(r) ≤ g(r) ≤ Cv(r), ∀r ∈ [0, 1) (2.6) Đặt fn (z) := z n g(z), n ∈ N Dễ thấy, (fn )n hội tụ tới theo tôpô co Thật vậy, với r ∈ [0, 1), ta có max |fn (z)| = max |z n g(z)| = rn g(r) → 0, n → ∞ |z|≤r |z|≤r 29 Chương Tính bị chặn compact toán tử đạo hàm Tiếp theo ta có |z n g(z)| rn g(r) = sup ≤ C, 0≤r Theo (2), tồn số n0 ≥ cho w(r) ≥ n n r v(r), ε với r ∈ [0, 1) n ≥ n0 Theo giả thiết (1 − r)v (r) = O(v(r)) r → 1− , nên theo Bổ đề 2.1.7, giả thiết tương đương với ý (6) Bổ đề 2.1.7, tức là, tồn số C ≥ cho v(r) ≤ Cv(r2 ) với r ∈ [0, 1) Mặt khác, n2 n−1 < , ∀n ≥ 2, (n + 1) n nên n−1 w n n n−1 ≥ ε n n n−1 > ε n n n−1 n n n2 v (n + 1)2 v > n n v , ∀n ≥ n0 4Cε n+1 Với r ∈ [(n0 − 1)/n0 , 1) ta lấy n ≥ n0 cho n−1 n ≤r< n n+1 Khi đó, w( n−1 n w(r)(1 − r) n ) ≥ > n v(r) (n + 1)v( n+1 ) 4Cε n + hay, lim inf r→1− w(r)(1 − r) ≥ v(r) 4Cε Vậy nên lim r→1− w(r)(1 − r) = ∞ v(r) 30 Chương Tính bị chặn compact tốn tử đạo hàm (3) =⇒ (1) Đặt w0 (r) := v(r) , ≤ r < 1−r Theo Định lý 2.1.8, ta toán tử D : Hv (D) → Hw0 (D) liên tục Mặt khác, v(r) = o((1 − r)w(r)) r → 1− , nên w0 (r) = o(w(r)) r → 1− Do đó, Hw0 (D) ⊂ Hw (D) phép nhúng compact Vậy nên (1) thỏa mãn Hệ 2.2.7 Giả sử v trọng lồi logarit D w(r) = v(r)/(1 − r), với r ∈ [0, 1) Khi đó, D : Hv (D) → Hw (D) khơng compact Chứng minh Thật vậy, giả sử toán tử D : Hv D → Hw (D) compact, liên tục Theo Định lý 2.1.8 ta có (1 − r)v (r) = O(v(r)), r → 1− Áp dụng Định lý 2.2.6, ta v(r) = o((1−r)w(r)) r → 1− , hay v(r) = o(v(r)) r → 1− Điều vô lý Nhận xét 2.2.8 Cho v trọng lồi lôgarit D Hệ 2.2.7 trọng w(r) := v(r)/(1 − r) trọng nhỏ để toán tử D : Hv (D) → Hw (D) liên tục Thật vậy, với trọng cầu w0 D với w0 (r) = o(w(r)) r → 1− , toán tử D : Hv (D) → Hw0 (D) khơng bị chặn, điều ngược lại kéo theo toán tử D : Hv (D) → Hw (D) compact, điều 31 Chương Tính chất động lực học tốn tử đạo hàm Trong Chương toán tử đạo hàm D có đầy đủ tính chất động lực học không gian H(C) Trong chương trình bày nghiên cứu tính chất động lực học tốn tử D không gian Hv0 (C) với v trọng cầu Chú ý, quan tâm đến khơng gian Hv0 (C), khơng gian tách được, khơng gian Hv (C) khơng tách được, Hv (C) khơng tồn tốn tử siêu lặp Hơn nữa, tốn tử đạo hàm D khơng liên tục Hv0 (D) Hv (D) Thật vậy, với n ∈ N, ta có Dz n v = n z n−1 v ≥ n zn v Trước tiên, ta có kết sau cho tính liên tục toán tử D Hv0 (C) Mệnh đề Cho v trọng cầu C Toán tử đạo hàm D : Hv (C) → Hv (C) liên tục D : Hv0 (C) → Hv0 (C) liên tục Chứng minh Điều kiện cần Giả sử toán tử D : Hv (C) → Hv (C) liên tục Cố định g ∈ Hv0 (C), ta cần g thuộc Hv0 (C) Thật vậy, theo Bierstedt - Bonet - Galbis [9] dãy trung bình Cesàro (pn )n dãy tổng riêng chuỗi Taylor hàm g hội tụ tới g Hv0 (C) Từ giả thiết, ta có dãy (pn )n hội tụ tới g Hv (C) Mặt khác, Hv0 (C) chứa đa thức, g ∈ Hv0 (C) Vậy D liên tục Hv0 (C) Điều kiện đủ Giả sử toán tử D : Hv0 (C) → Hv0 (C) liên tục Khi đó, tồn số dương C cho ||g ||v ≤ C||g||v , ∀g ∈ Hv0 (C) Cố định hàm f ∈ Hv (C), ||f ||v ≤ Theo [9], tồn dãy đa thức (qn )n hội tụ tới f theo tôpô co ||qn ||v ≤ với n ∈ N Do toán tử D liên tục theo tơpơ co H(C), nên ta có (qn )n hội tụ tới f theo tôpô co ||qn ||v ≤ C||qn ||v ≤ C, n ∈ N Do dãy (C −1 qn ) bị chứa hình cầu đơn vị Bv Hv (C) Vậy f ∈ CBv ⊂ Hv (C), tức D(Bv ) ∈ CBv Suy ra, toán tử D liên tục Hv (C) 32 Chương Tính chất động lực học tốn tử đạo hàm 3.1 Tính chất có tập điểm tuần hoàn trù mật Bây trình bày tiêu chuẩn để tốn tử D Hv0 (C) có tập điểm tuần hồn trù mật Định lý 3.1.1 Giả sử toán tử đạo hàm D : Hv0 (C) → Hv0 (C) liên tục Các khẳng định sau tương đương: (1) D có tập điểm tuần hồn trù mật; (2) D có điểm tuần hồn khác 0; er = r→∞ v(r) (3) lim Chứng minh (1) =⇒ (2) Hiển nhiên (2) =⇒ (3) Giả sử D có điểm tuần hồn khác 0, tức là, tồn g ∈ Hv0 (C), g = n ∈ N cho g (n) = g Giải phương trình vi phân ta tìm c1 , , cn ∈ C không đồng thời θ1 , , θn ∈ C với |θi | = 1, θjn = 1, cho g(z) = c1 eθ1 z + · · · + cn eθn z ∈ Hv0 (C) Khơng tính tổng qt ta giả sử c1 = |c1 | ≥ |cj |, j = 2, · · · , n Khi đó, dễ thấy hàm số f (z) := eθ1 z 1+ c2 (θ2 −θ1 )z cn e + · · · + e(θn −θ1 )z c1 c1 , z ∈ C, thuộc vào Hv0 (C) Do đó, max |f (z)| lim ϕ(r) = với ϕ(r) := r→∞ |z|=r v(r) Cố định z ∈ C, z = 0, θz ∈ C với |θz | = θz z = |z| Vì e|z| = eθ1 θ1 θz z , nên ϕ(|z|) ≥ |f (θ1 θz z)| v(θ1 θz z) e|z| = 1+ c2 (θ2 −θ1 )θ1 θz z cn e + · · · + e(θn −θ1 )θ1 θz z c1 c1 v(|z|) e|z| − e(θ2 θ1 −1)|z| − · · · − e(θn θ1 −1)|z| ≥ v(|z|) Mặt khác với j = 2, 3, · · · , n, ta có e(θj θ1 −1)|z| = exp((Re(θj θ1 − 1)|z|)) 33 Chương Tính chất động lực học tốn tử đạo hàm Lại có, |θj θ1 | = θj = θ1 , nên Re(θj θ1 − 1) < Vì vậy, tồn R0 dương cho, với j = 2, 3, · · · , n, eRe(θj θ1 −1)|z| < , ∀|z| > R0 2n Do đó, ta có e|z| ≤ 2ϕ(|z|), với |z| > R0 v(z) Suy ra, er = r→∞ v(r) lim (3) =⇒ (1) Đặt P := span hθ (z) := eθz , θ ∈ C, θn = 1, n ∈ N Rõ ràng, phần tử P điểm toàn hồn tốn tử D Điều kiện (3) P ⊂ Hv0 (C) Ta P trù mật Hv0 (C) Để làm điều đó, ta xét ánh xạ H : D → Hv0 (C) xác định H(ζ)(z) := eζz , ζ ∈ D, z ∈ C Dễ thấy, ánh xạ H định nghĩa tốt bị chặn Bởi ||H(ζ)||v ≤ sup r≥0 er := M, ∀ζ ∈ D v(r) Ta thấy H chỉnh hình D Thật vậy, để điều theo [28, Định lý 1] ta cần tồn tập σ((Hv0 (C) ), Hv0 (C))-trù mật G (Hv0 (C)) cho u ∈ G ta có u ◦ H : D → C chỉnh hình Gọi G tập chứa tất phần tử u ∈ (Hv0 (C) liên tục theo tơpơ co Vì Hv0 (C) chứa tất đa thức nên Hv0 (C) trù mật H(C) theo tơpơ co Do (Hv0 (C)) , H(C) cặp đối ngẫu Suy ra, (H(C)) G σ((Hv0 (C) ), Hv0 (C))trù mật G (Hv0 (C)) Lại có, ánh xạ C → H(C), ζ → eζz chỉnh hình C, nên giới hạn D chỉnh hình Điều kéo theo ánh xạ u ◦ H : D → C chỉnh hình với u ∈ G Vậy H chỉnh hình D Tiếp theo, ta H : D → Hv0 (C) liên tục Ta cần chứng minh H liên tục biên D Cố định điểm ζ0 ∈ ∂ D dãy (ζj )j D hội tụ tới ζ0 Ta có |eζj z − eζ0 z | v(z) z∈C ||H(ζj ) − H(ζ0 )||v = sup Cố định ε > 0, tồn r0 > cho er /v(r) < ε/4 với r ≥ r0 Do đó, |z| > r0 , ta |eζj z − eζ0 z | ε < v(z) 34 Chương Tính chất động lực học tốn tử đạo hàm Vì ánh xạ C → H(C), ζ → eζz liên tục, nên tồn δ > cho sup |eζz − eζ0 z | < |z|≤r0 ε max v(r), với |ζ − ζ0 | < δ 0≤r≤r0 Lấy j0 ∈ N cho |ζj − ζ0 | < δ, j ≥ j0 Do vậy, với |z| ≤ r0 j ≥ j0 , ta |eζj z − eζ0 z | ε < v(z) Tức là, ||H(ζj ) − H(ζ0 )||v < ε Vậy H liên tục D Giả sử u ∈ (Hv0 (C)) triệt tiêu P Ta u = theo định lý Hahn - Banach ta P trù mật Hv0 (C) Theo chứng minh phần trên, H chỉnh hình D thác triển liên tục biên D Do vậy, u ◦ H : D → C chỉnh hình D thác triển liên tục biên D Ta có u ◦ H triệt tiêu tất phức Mặt khác đơn vị trù mật ∂ D, nên u ◦ H triệt tiêu ∂ D Do đó, u ◦ H triệt tiêu toàn miền D Đặc biệt, (u ◦ H)(n) (0) = u(H (n) (0)) = với n ∈ N Ta có (H (n) (ζ))(z) = z n eζz nên (H (n) (0))(z) = z n với n ∈ N Vậy u triệt tiêu toàn đơn thức, u = 3.2 Tính siêu lặp tính trộn Tiếp theo đưa điều kiện cần đủ theo trọng v để toán tử D siêu lặp hay trộn Hv0 (C) Để làm điều đó, cần bổ đề sau đây: Bổ đề 3.2.1 Cho T tốn tử khơng gian Banach tách X (1) Nếu T siêu lặp dãy ((T t )n (u))n không bị chặn X với u thuộc X , u = (2) Nếu T trộn lim ||(T t )n (u)|| = ∞, ∀u ∈ X , u = n→∞ Chứng minh (2) Ta chứng minh phản chứng Giả sử T tôpô trộn X tồn u ∈ X , u = 0, dãy tăng (nk )k M > cho ||(T t )nk (u)|| ≤ M Do đó, |u(T nk (x))| ≤ M với x ∈ X ||x|| < Đặt U hình cầu đơn bị X V := {x ∈ X : | u, x | > M } Theo giả thiết T tôpô trộn, nên tồn N ∈ N cho T n (U ) ∩ V = ∅, với n > N Do vậy, với nk > N tồn x ∈ U cho T nk (x) ∈ V , tức |u(T nk (x))| > M Mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2.2 Giả sử toán tử đạo hàm D : Hv0 (C) → Hv0 (C) liên tục Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) D thỏa mãn điều kiện tiêu chuẩn siêu lặp; 35 Chương Tính chất động lực học toán tử đạo hàm (2) D siêu lặp Hv0 (C); ||z n ||v n! n→∞ (3) lim inf = Chứng minh (1) =⇒ (2) Hiển nhiên (2) =⇒ (3) Giả sử D siêu lặp Hv0 (C) Theo Bổ đề 3.2.1, với phiếm hàm δ0 : Hv0 (C) → C xác định δ0 (f ) = f (0), ta có dãy ((Dt )n (δ0 ))n không bị chặn Hv0 (C) Do vậy, tồn f ∈ Hv0 (C) cho (f (n) (0))n không bị chặn C Cố định n ∈ N, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hệ số Taylor, với r > ta có max |f (z)| |f (n) (0)| n r ≤ v(r)n! Nên |z|=r v(r) ≤ ||f ||v |z n | ||z n ||v |f (n) (0)| sup ≤ ||f ||v , tức là, |f (n) (0)| ≤ ||f ||v , ∀n ∈ N n! n! z∈C v(z) Do (f (n) (0))n không bị chặn, nên lim inf n→∞ ||z n ||v = n! (3) =⇒ (1) Đầu tiên, D liên tục Hv0 (C), nên tồn C ≥ cho ||f (j) ||v ≤ C j ||f ||v với f ∈ Hv0 (C) j ∈ N Đặt n0 = 0, theo quy nạp ta tìm dãy (nk )k cho nk+1 > nk + k + ||z nk +k+1 ||v ≤ (nk + k + 1)! kC k Đặt V = W tập chứa tất đa thức Snk := S nk W , với S tốn tử tích phân xác định đơn thức sau: S(z n ) := z n+1 , ∀n ∈ N n+1 Điều kiện (1) (3) tiểu chuẩn siêu lặp Định lý 1.2.12 thỏa mãn D ◦ S(g) = g với đa thức g Do vậy, ta cần lim S nk g = k→∞ Hv0 (C), với đa thức g Thật vậy, cố định s ∈ N lấy k ≥ s Ta có S nk (z s ) = s! z s+nk = z nk +s , (s + 1)(s + 2) · · · (s + nk ) (nk + s)! Dk+1−s (z nk +k+1 ) = (nk + k + 1)(nk + k) · · · (nk + s + 1)z nk +s = 36 (nk + k + 1)! nk +s z (nk + s)! Chương Tính chất động lực học tốn tử đạo hàm Suy s! ||z nk +s ||v (nk + s)! s! = ||Dk+1−s (z nk +k+1 )||v (nk + k + 1)! ||z nk +k+1 ||v ≤ s!C k+1−s < s! (nk + k + 1)! k ||S nk (z s )||v = Cho k → ∞ ta điều phải chứng minh Định lý 3.2.3 Giả sử toán tử D : Hv0 (C) → Hv0 (C) liên tục Khi mệnh đề sau tương đương: (1) D trộn; ||z n ||v = n→∞ n! (2) lim Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử D trộn Theo Bổ đề 3.2.1, ta lim ||δ0 ◦ Dn || = ∞, n→∞ δ0 ∈ (Hv0 (C)) trọng Định lý 3.2.2 Hoàn toàn tương tự, với r > f ∈ Hv0 (C) với ||f ||v ≤ 1, ta có rn rn 1 |δ0 ◦ Dn (f )| = |f (n) (0)| ≤ max |f (z)| ≤ v(r) n! v(r) n! v(r) |z|=r Do đó, với n ∈ N r dương, ||z n ||v rn ||δ0 ◦ Dn || ≤ 1, tức là, ≤ v(r)n! n! ||δ0 ◦ Dn || Cho n → ∞ ta điều phải chứng minh (2) =⇒ (1) Theo Costakis, Sambarino [20] ta cần D thỏa mãn điều kiện tiêu chuẩn siêu lặp Định lý 1.2.12 với dãy (nk )k dãy số tự nhiên Như Định lý 3.2.2, ta đặt V, W tập tất đa thức tốn tử S tốn tử tích phân Ta cần (S n (g))n hội tụ tới Hv0 (C) với đa thức g Với k cố định, ta có S n (z k ) = k! Khi ||S n (z k )||v = z k+n (k + n)! |z k+n | k!||z k+n ||v k! sup = → 0, n → ∞ (k + n)! z∈C v(z) (k + n)! Vậy ta điều phải chứng minh 37 Chương Tính chất động lực học tốn tử đạo hàm Các điều kiện Định lý 3.2.2 3.2.3 với hàm trọng v tương đối khó kiểm tra Chúng ta đưa số điều kiện cụ thể theo độ tăng v sau Hệ 3.2.4 Cho v trọng cho toán tử D : Hv0 (C) → Hv0 (C) liên tục Khi (1) Nếu tồn A dương cho v(r) ≤ Ar−1/2 er D khơng siêu lặp Hv0 (C) Trong trường hợp riêng, D không siêu lặp v(r) = elog r v(r) = eαr với < α < (2) Nếu tồn số B r0 dương, α ≥ cho v(r) ≥ Beαr , ∀r ≥ r0 tốn tử D trộn Hv0 (C) Hơn nữa, D trộn với v(r) = eαr với α ≥ Chứng minh (1) Ta xét rn ≥ A−1 sup rn+ e−r = A−1 n + ||z ||v = sup r≥0 v(r) r≥0 n n+ 12 e−n− Áp dụng cơng thức Strirling, ta có ||z n ||v ≥ n! n+ An!e ||z n ||v n! n→∞ hay ta lim inf n+ 21 n+ 1 en(n+ ) √ , ≥ √ ≥ e eAn!en Ae e > 0, theo Định lý 3.2.2 D khơng siêu lặp (2) Ta có ||z n ||v = sup r≥0 rn rn rn nn e−n ≤ + B sup rn e−αr = + B v(r) v(0) v(0) αn r≥0 Khi đó, áp dụng cơng thức Strirling, ta r0n r0n ||z n ||v nn B ≤ +B n ≤ + → 0, n → ∞ n n! v(0)n! e n!α v(0)n! n!αn Do ||z n ||v = 0, n→∞ n! lim D trộn theo Định lý 3.2.3 38 Chương Tính chất động lực học tốn tử đạo hàm Cụ thể với trọng vα (r) = eαr , α > ta có kết sau Hệ 3.2.5 Cho vα (r) = eαr , α > Toán tử đạo hàm D Hv0α (C) thỏa mãn (1) Nếu < α < 1, D khơng siêu lặp khơng có điểm tuần hồn khác 0; (2) Nếu α = 1, D trộn khơng có điểm tuần hồn khác 0; (3) Nếu α > 1, D trộn có tập tuần hồn trù mật, đó, D hỗn loạn 39 KẾT LUẬN Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày khái niệm kết khơng gian có trọng hàm chỉnh hình số tính chất dộng lực Đưa tiêu chuẩn cho tính bị chặn tính compact tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình D C Trình bày điều kiện cần đủ cho tính siêu lặp, tính trộn tính hỗn loạn tốn tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm ngun Hv0 (C) 40 Tài liệu tham khảo [1] Abanin, A.V., Tien, P.T., Differentiation and integration operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions Math Nachr., 290 (2017), 1144–1162 [2] Abanin, A.V., Tien, P.T., Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions, Collect Math (to appear) [3] E Abakumov and E Doubtsov, Moduli of holomorphic functions and logarithmically convex radial weighted, Bull Lond Math Soc 47, 519532(2015) [4] A V Abanin and Pham Trong Tien, Painlevè null sets, dimension and compact embedding of weighted holomorphic spaces, Studia Math 213, 169187(2012) Xem thêm: A V Abanin and Pham Trong Tien, Erratum, Painlevè null sets, dimension and compact embedding of weighted holomorphic spaces, Studia Math 213(2), 169-187(2012) Studia Math 215, 287-288(2013) [5] M Basallote, M D Contreras, C Hernández-mancera, M J Martín, and P J Pẳl, Volterra operators and semigroups in weighted Banach spaces of analytic functions Collect Math 65, 233-249(2014) [6] Beltrán,M.J., Dynamics of differentiation and integration operators on weighted spaces of entire functions Stud Math 221, 35–60 (2014) [7] M J Beltrán, J Bonet, and C Fernández, Classical operators on weighted banach spaces of entire functions, Proc Amer Math Soc 41,42934303(2013) [8] M J Beltran, J Bonet and C Fernỏndez, Classical operators on the Hăormander algebras, Dirsrete Contin Dyn Syst 35,637-652(2015) [9] K.D Bierstedt, J Bonet, A Galbis, Weighted spaces of holomorphic functions on bounded domains, Michigan Math J 40, 271–297 (1993) [10] K D Bierstedt, J Bonet and J Taskinen, Associated weighted and spaces of holomorphic functions, Studia Math 127, 137-168(1998) [11] K D Bierstedt, W H Summers, Biduals of weighted and spaces of analytic functions, J Austral Math Soc (Series A) 54, 70-79(1993) 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [12] Bogachev, V.A., Differentiation and integration operators in some spaces of entire functions, Izv Severo- Kavkaz Nauchn Tsentra Vyssh Shkoly Ser Estestv Nauk, pp 24–27 (1983) (in Russian) [13] J Bonet, Hypercyclic and chaotic convolution operators, J London Math Soc 62, 253-262 (2000) [14] J Bonet, Dynamics of the differentiation operator on weighted spaces of entire functions, Math Z 261 (2009), no 3, 649-657 [15] J Bonet, Weighted spaces of holomorphic functions and operators between them, 2002/2003, presented at the Seminar of Mathematical Analysis, pp 117-138, Collect Abierta 64, Univ Sevilla Secr Publ, Seville [16] J Bonet, Dynamics of the differentiation operator on weighted of entire functions, Math Z 261, 649-677(2009) [17] J Bonet and A Bonilla, Chaos of the differentiation operator on weighted Banach spaces of entire functions, Complex Anal Oper Theory 7.3342(2013) [18] J Bonet, P Domỏnski, and M Lindstrăom, Essential norm and weak compactness of composition operators on weighted Banach spaces of analytic functions, Canad Math Bull 42, 139-148(1999) [19] J Bonet, P Dománski, M Lindstrăom, and J Taskinen, Composition operators between weighted Banach spaces of analytic functions, J Austral Math Soc (Series A) 64, 101-118(1998) [20] J Bonet and E Wolf, A note on weighted Banach spaces of holomorphic functions, Arch Math 81, 650-654(2003) [21] G G Braichev, An Introduction to the Growth Theory of Convex and Entire Functions, (Prometheus, Moscow, 2005) (in Russian) [22] J Clunie andT Kăovỏri, On integral functions having prescribed asymptotic growth ,Canad J Math 20, 7-20(1968) [23] P Dománski and M Lindstrăom, Sets of interpolation and sampling for weighted Banach spaces of holomorphic functions, Ann Polon Math 79, 233-264(2002) [24] G Godefroy, J.H Shapiro, Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds, J Funct Anal 98, 229-269 (1991) [25] K.G Grosse-Erdmann, Universal families and hypercyclic operators, Bull Amer Math Soc 36, 345-381 (1999) [26] K.G Grosse-Erdmann, Recent developments in hypercyclicity RACSAM Rev R Acad Cienc Exactas Fís Nat Ser A Mat 97, 273-286 (2003) 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [27] K G Grosse - Erdmann, Linear Chaos, Universitext, 2011 [28] K.G Grosse-Erdmann, A weak criterion for vector-valued holomorphy Math Proc Cambridge Philos Soc 136, 399–411 (2004) [29] A Harutyunyan and W Lusky, On the boundedness of the differentiation operator between weighted spaces of holomorphic functions, Studia Math 184, 233-247 (2008) [30] C Horowitz, Zero sets and radial zero in function spaces, J Anal Math 65, 145-159(1995) [31] W Lusky, On the structure of Hv0 (D) and hv0 (D), Math Nachr 159, 279289(1992) [32] W Lusky, On weighted spaces of harmonic and holomorphic functions, J Lond Math Soc, 51 309-320(1995) [33] W Lusky, Growth conditions for harmonic and holomorphic functions, 1996, presented in Functional Analysis, pp 281-291, S Dierolf et al (eds), (de Gruyter Trier) [34] W Lusky, On the isomorphism classes of weighted spaces of harmonic and holomorphic functions, Studia Math 75, 19-45(2006) [35] G.R MacLane, Sequences of derivatives and normal families, J Analyse Math 2, 72-87 (1952/53) 43 ... compact tốn tử đạo hàm D có nhiều ứng dụng, lại khơng có nhiều nghiên cứu tính compact toán tử đạo hàm thực Trên khơng gian có trọng hàm ngun, Bogachev [12] đưa điều kiện đủ để toán tử đạo hàm compact... bị chặn compact toán tử đạo hàm Trong chương này, trình bày nghiên cứu tính bị chặn compact toán tử đạo hàm D khơng gian có trọng hàm chỉnh hình 2.1 Tính bị chặn toán tử đạo hàm Trong [29], Harutyunyan... ta xét toán tử đạo hàm khơng gian có trọng hàm ngun 21 Chương Tính bị chặn compact tốn tử đạo hàm Định lý 2.1.10 Cho v trọng lồi logarit C Các khẳng định sau tương đương (1) Toán tử đạo hàm D