Không gian banach có trọng các hàm chỉnh hình với hàm trọng loga lõm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY AN KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI HÀM TRỌNG LOGA-LÕM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY AN KHƠNG GIAN BANACH CĨ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VỚI HÀM TRỌNG LOGA-LÕM Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG i Mục lục Danh mục ký hiệu iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian véctơ tôpô 1.1.2 Không gian Banach 1.2 Một số vấn đề hàm lồi Rn 1.3 Một số vấn đề giải tích phức 1.3.1 Hàm chỉnh hình khơng gian hàm chỉnh hình 1.3.2 Miền chỉnh hình lồi chỉnh hình 10 Khơng gian có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng 12 1.4 Một số kiến thức giải tích hàm 1.4.1 Khơng gian trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng 1.4.2 Khơng gian Banach có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng 1.4.3 12 17 Phân loại đẳng cấu khơng gian có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng Một số kết hàm lồi 19 24 2.1 Các định nghĩa ký hiệu 24 2.2 Một số kết ví dụ 26 ii Không gian với trọng loga-lõm hàm chỉnh hình 44 3.1 Điều kiện để không gian trọng không tầm thường 44 3.2 Sự đẳng cấu không gian trọng 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU K : Trường số thực R số phức C C : Mặt phẳng phức R : Trường số thực G : Nửa mặt phẳng mặt phẳng phức C D : Hình trịn đơn vị C Ω : Tập mở C H(Ω) : Đại số tất hàm chỉnh hình Ω τco : Tôpô compact mở (H(G), τco ) : Không gian Fréchet Hv (Ω) : Không gian với trọng v hàm chỉnh hình Ω Hv0 (Ω) : Khơng gian Hv0 (G) := {f ∈ Hv (G) : v.|f | triệt tiêu vô hạn} H∞ : Không gian tất hàm chỉnh hình bị chặn G MỞ ĐẦU Ta ký hiệu G = {z = x + iy : x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞)} nửa mặt phẳng mặt phẳng phức C Một trọng G hàm v : G → (0, ∞) cho v(z) = v(x + iy) = v(iy) với z = x + iy ∈ G inf v(iy) > 0, y∈[ 1c ,c] ∀c > (A) Chú ý đặt ϕv (y) = (−1) log v(iy), y ∈ (0, +∞), (A) tương đương với sup ϕv (y) < +∞, ∀c > (A’) y∈[ 1c ,c] Ký hiệu H(G) đại số tất hàm chỉnh hình G τco tôpô hội tụ tất tập compact G (thường gọi tôpô compact mở ) Không gian (H(G), τco ) khơng gian Fréchet Ta xét khơng gian có trọng sau: Hv (G) := {f ∈ H(G) : f v = sup v(z)|f (z)| < +∞}; z∈G Hv0 (G) := {f ∈ Hv (G) : v.|f | triệt tiêu vô hạn} trang bị nửa chuẩn f v := sup v(z)|f (z)| z∈G Ở hàm v.|f | triệt tiêu vô hạn hiểu theo nghĩa sau: Với ε > tồn tập compact Kε ⊂ G cho sup v(z)|f (z)| < ε z∈G\Kε Nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tốn phân loại đẳng cấu khơng gian trọng v thỏa mãn số điều kiện tăng trưởng (xem, chẳng hạn, [7, 14]) Nhiều cơng trình, chẳng hạn [10, 12] giải toán tốn tử khơng gian có trọng hàm chỉnh hình hình trịn đơn vị mặt phẳng phức trọng liên kết sử dụng để đánh giá chuẩn toán tử trọng Dựa sở lý thuyết hàm lồi số tính chất đặc biệt khơng gian có trọng, mục đích luận văn nghiên cứu số tính chất trọng liên kết, từ tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga-lõm nhỏ v Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu số tính chất số lớp hàm lồi ϕ có liên quan đến giới hạn aϕ = lim inf x→+∞ ϕ(x) x nó, vấn đề liên quan hàm lồi liên hợp Young-Fenhel thứ hai ϕ∗∗ nó, ϕ∗∗ : (0, +∞) → R, ϕ∗∗ (x) = sup (ax + b) (a,b)∈Mϕ với Mϕ = {(a, b) : a, b ∈ R, inf t∈(0,+∞) (ϕ(t) − at) > b} Áp dụng kết tốn nói đưa điều kiện để khơng gian có trọng Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với khơng gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga-lõm nhỏ v Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương Chương dành cho việc tóm tắt sơ lược số kiến thức cần thiết khơng gian có trọng hàm chỉnh hình miền phẳng số kiến thức không gian có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng mặt phẳng phức Trong chương tập trung giải số toán lớp hàm lồi có liên quan đến giới hạn chúng mối quan hệ hàm lồi với liên hợp Young - Fenhel thứ hai Chương trình bày số vận dụng kết hàm lồi để tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga - lõm nhỏ v Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm Ký hiệu K trường số thực R phức C Chúng sử dụng ký hiệu sau: ❼ Phần thực z ∈ C ký hiệu Rez ❼ Phần ảo z ∈ C ký hiệu Imz 1.1.1 Không gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Giả sử E không gian véctơ trường K Một tôpô E gọi tương thích với cấu trúc đại số E phép tốn + : E × E −→ E × : K × E −→ E (x, y) −→ x + y (λ, x) −→ λx liên tục theo tôpô Một không gian véctơ với tôpô tương thích với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Cho E không gian véctơ tôpô Một tập A ⊂ E gọi bị chặn lân cận U ∈ E tồn ε > cho tA ⊂ U với |t| < ε Mệnh đề 1.1.3 ([3]) Giả sử E khơng gian véctơ tơpơ Khi (i) Bao đóng tập bị chặn bị chặn; (ii) Bội vô hướng tập bị chặn bị chặn; (iii) Hợp tổng hữu hạn tập bị chặn bị chặn Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Cho M tập không gian véctơ tôpô E Tập M gọi đầy đủ lọc Cauchy tập M hội tụ đến điểm thuộc M Mệnh đề 1.1.5 ([3]) Các điều kiện sau tương đương: a) M tập đầy đủ; b) Mọi dãy suy rộng Cauchy phần tử M hội tụ tới phần tử thuộc M Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Cho E không gian véctơ tôpô Một tập A ⊂ E gọi compact A không gian compact với tôpô cảm sinh tôpô E Mệnh đề 1.1.7 ([3]) Trong không gian véctơ tôpô E (i) Hợp số hữu hạn tập compact compact; (ii) Tập đóng tập compact compact; (iii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn tập compact compact 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.8 ([4]) Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh chuẩn) Định lý 1.1.9 ([3]) Không gian định chuẩn E Banach chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ Định lý 1.1.10 ([3]) Cho hai không gian tôpô E F Ánh xạ f : E → F gọi liên tục thỏa mãn khẳng định tương đương sau: (i) f −1 (V ) mở với tập mở V F ; (ii) f −1 (U ) đóng với tập đóng U F ; 43 ❼ ψ không hàm lồi (0, +∞)    −1, ∗∗ ψ =   x2 + x − 7, x ∈ (0; 2] x ∈ (2, +∞) Khi đó, ta có inf (ϕ(x) − ψ(x)) = = = x∈(0,+∞) inf (ϕ∗∗ (x) − ψ ∗∗ (x)) x∈(0,+∞) Do đó, khơng có trường hợp tương tự Định lý 2.2.9 ϕ∗∗ ψ Hệ 2.2.15 Hệ 2.2.16 44 Chương Không gian với trọng loga-lõm hàm chỉnh hình Ở chương luận văn chúng tơi trình bày số vận dụng kết hàm lồi để tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga - lõm nhỏ v 3.1 Điều kiện để không gian trọng không tầm thường Trong phần ta áp dụng Định lý 2.2.9, 2.2.11, 2.2.13 cho lý thuyết không gian Hvp (G) Hv0 (G) Chúng sử dụng ký hiệu sau: M f (y) = sup |f (x + iy)|, x∈(−∞,+∞) ψf (y) = ln M f (y), ∀y > 0, f hàm chỉnh hình xác định nửa mặt phẳng G Chú ý (−1) ln f v = inf (ϕv (y) − ψf (y)) y>0 v hàm trọng cho v(z) = p(Imz) với z ∈ G Ta nhắc lại số kết [28] Định lý 3.1.1 ([28]) Giả sử p : (0, ∞) → (0, ∞) thỏa mãn điều kiện (2.1.2) Khi Hv (G) = {0} có hai số thực a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > 45 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Hv (G) = {0} có hai số a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > Giả sử Hv (G) = {0} cho f ∈ Hv (G) \ {0} hàm tùy ý không thuộc vào Hv (G) Theo Bồ đề 1.4.17, tồn hai số a0 , b0 cho ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > Hơn nữa, f ∈ Hv (G) p(t)M f (t) ≤ f p với t > 0, ta có (−1) ln p(t) ≥ (−1) ln f p + ln M f (t) ≥ (−1) ln f p + a0 t + b0 , ∀t > Ta đặt a = a0 , b = b0 − ln f p có (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > Ngược lại, để chứng minh Hv (G) = {0}, ta giả sử hàm p thỏa mãn điều kiện (1.4.7) ngồi cịn tồn hai số a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > Do đó, cho số a, b ta đặt f (z) = e−iaz+b , z ∈ D Khi f p ≤ Vì f ∈ Hv (G) \ {0} Do định lý chứng minh xong Định lý 3.1.2 ([28]) Cho hàm p : (0, ∞) → (0, ∞) thỏa mãn điều kiện (1.4.7) Khi khơng gian Hv0 (G) = {0} hai điều kiện sau hàm p thỏa mãn (1) Có hai số thực a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > (2) limt→0+ p(t) = 46 Chứng minh Giả sử Hv0 (G) = {0} xét hàm f ∈ Hv0 (G) \ {0} Rõ ràng, từ định nghĩa ta có bao hàm Hv0 (G) ⊂ Hv (G) f ∈ Hv (G) \ {0} Vì vậy, Định lý 3.1.1 điều kiện hàm p thỏa mãn Hơn nữa, dựa theo Định nghĩa 1.4.15 ta có lim p(t)M f (t) = t→0+ Hơn nữa, theo Bổ đề 1.4.17, tồn hai số a0 , b0 cho ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > Vì ≤ lim+ inf p(t) ≤ lim+ sup p(t) t→0 t→0 ≤ lim+ sup p(t)eat+b e−(at+b) t→0 ≤ lim+ sup p(t)M f (t) lim+ e−(at+b) = t→0 t→0 Suy limt→0+ p(t) = Do đó, khẳng định Định lý 3.1.1, hai điều kiện hàm p thỏa mãn Hơn nữa, ta giả sử hàm p thỏa mãn điều kiện (1.4.7) hai điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tồn hai số a, b cho (−1) ln p(t) ≥ at + b, ∀t > 0; (2) limt→0+ p(t) = Ta cho Hv0 (G) = {0} Thật vậy, xét hàm f định nghĩa f (z) = ei(a+1)z , ∀z ∈ G z+i Do f (z) ∈ Hv0 (G) \ {0} Vậy Định lý 3.1.2 chứng minh xong Định lý 3.1.3 ([28]) Cho hàm p : (0, ∞) → (0, ∞) cho inf p(t) > 0, ∀c > 1, Hv0 (G) = {0} t∈[ 1c ] 47 Nếu hàm chỉnh hình f ∈ Hv0 (G) = {0} cho lim inf t→∞ ln M f (t) < ∞, t a = lim inf t→∞ ln M f (t) t Ta có a > −∞ lim (ln M f (t) − at) = −∞ t→∞ Chứng minh Cho f ∈ Hv0 (G) \ {0} cho lim inf t→∞ ln M f (t) t < ∞ Rõ ràng, từ định nghĩa ta có bao hàm Hv0 (G) ⊂ Hv (G) f ∈ Hv (G) \ {0} Theo Bổ đề 1.4.17, tồn hai số a0 , b0 cho ln M f (t) ≥ a0 t + b0 , ∀t > Vì lim inf t→∞ ln M f (t) t ≥ a0 Ta đặt a = lim inf t→∞ ln M f (t) t (3.1.1) Vì a0 ≤ a < ∞ Rõ ràng, F (z) = eiaz f (z), ∀z ∈ G, hàm chỉnh hình xác định nửa mặt phẳng G Ta chứng minh hàm F có tính chất sau: ln M F (t) = ln M f (t) − at với t > Đó điều hiển nhiên chúng tơi bỏ qua chi tiết ln M F lồi (0, ∞) Thật vậy, ln M f lồi (0, ∞) theo Bổ đề 1.4.17 theo mục trước ln M F lồi lim inf t→∞ ln M f (t) = t Điều xảy phương trình (3.1.1) mục xảy 48 ln M F hàm giảm dần (0, ∞) Ta suy điều từ mục thứ hai mục thứ ba, tức cho tùy ý t1 t2 cho < t1 < t2 < ∞ cho t > t2 Từ mục thứ hai ta có ln M F (t2 ) ≤ t − t2 t2 − t1 ln M F (t1 ) + ln M F (t), t − t1 t − t1 từ mục thứ ba ta có ln M F (t2 ) ≤ ln M F (t1 ), tức ln M F giảm (0, ∞) ln M F bị chặn [ 21 , ∞) Nó suy từ mục 4, tức ln M F (t) ≤ ln M F ( 12 ) với t ≥ 12 Hơn nửa, f ∈ Hv0 (G) suy ln M f ( 21 ) hữu hạn mục ln M F ( 12 ) hữu hạn Khi đó, ta có ln M F bị chặn [ 12 , ∞) F (x + iy) dần đến |x| → ∞, với y ∈ [ 1c , c], c ≥ Ta có điều tính chất hàm f ∈ Hv0 (G), cụ thể theo Định nghĩa 1.4.15, f (x + iy) có tính chất Ta đặt A = supz,Imz≥1 |F (z)| Theo mục A < ∞ Hơn nữa, A = F ∈ Hv (G) = {0} Chú ý rằng, theo mục 5, khẳng định Định lý 3.1.3 nêu dạng hàm F sau: lim M F (t) = t→∞ (3.1.2) Để chứng minh phương trình (3.1.2), ta có với ε > 0, tồn số yε > cho M F (t) ≤ ε với t > yε Cho ε ∈ (0, A) tùy ý Theo mục tính chất liệt kê hàm F tồn số x1 > cho ε sup |F (x + i)| ≤ |x|≥x1 Hơn nữa, ta đặt yε > Vì vậy, ta có sup y≥yε x1 + ε ≤ 2 x1 + (y + 1) 2A Ta cần chứng minh M F (t) ≤ ε với t > yε 49 Cho z0 ∈ D cho Imz0 > yε Lấy η > bất kỳ, ta đặt yη = + max Imz0 , 2A ln η ε Khi từ mục 5, tồn xη với xη > max{|Rez0 |, x1 } cho ε |F (z)| ≤ z,|Rez|≥xη ,Imz∈[1,yη ] sup Ta xây dựng hình chữ nhật R R = {z| |Rez| ≤ xη , Imz ∈ [1, yη ]}, định nghĩa hàm chỉnh hình G nửa mặt phẳng G G(z) = eiηz z F (z), z + iyη ∀z ∈ G Bằng cách chọn xη , yη , yε ta có mơđun hàm G, |G| ≤ ε đường biên hình chữ nhật R Thật vậy, ❼ Cho z cho Rez ∈ [−xη , xη ], Imz = yη , ta có |G(z)| = eηyη z ε |F (z)| ≤ e−ηyη A ≤ z + iyε ❼ Cho z cho Rez ∈ [−xη , xη ], Imz = yη , ta có |G(z)| = e−η z z |F (z)| ≤ |F (z)|, z + iyε z + iyε có hai trường hợp: (1) Nếu |Rez| ≤ x1 ta phải tiếp tục với bất đẳng thức sau ta sử dụng ký hiệu x = Rez |G(z)| ≤ x2 + |F (z)| x2 + (yε + 1)2 x1 + |F (z)| x1 + (yε + 1)2 ε ε ≤ A= 2A ≤ 50 (2) Nếu |Rez| ≥ x1 rõ ràng |G(z)| ≤ 2ε Tức là, hai trường hợp |G(z)| ≤ 2ε ❼ Cho z cho Imz ∈ [1, yη ], |Rez| = xη , ta có |G(z)| = e−ηImz z ε |F (z)| ≤ |F (z)| ≤ z + iyε Do đó, mơđun hàm G |G| ≤ ε đường biên hình chữ nhật R Khi đó, theo ngun lý mơđun tối đa ta có ε sup |G(z)| ≤ , z∈R ta có |G(z0 )| ≤ 2ε Do |F (z0 )| ≤ eηImz0 ≤ eηImz0 ≤ eηImz0 z0 + iyε ε z0 yε ε 1+ |z0 | ε yε 1+ Imz0 ≤ ε.eηImz0 Vậy |F (z0 )| ≤ ε cách chọn η Như vậy, M F (Imz0 ) ≤ ε Do đó, M F (t) ≤ ε với t > yε Vậy Định lý 3.1.3 chứng minh xong 3.2 Sự đẳng cấu không gian trọng Định lý 3.2.1 ([30]) Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện (2.1.2) ϕ ∈ Φ (Hv (G), · v) ≡ (Hω (G), · ω) ∗∗ v = e(−1)ϕ ω = e(−1)ϕ ∗∗ Chứng minh Xét hai hàm v = e(−1)ϕ ω = e(−1)ϕ Chú ý rằng, ❼ ϕ > ϕ∗∗ ⇒ ϕ∗∗ thỏa mãn điều kiện (2.1.2) ❼ ϕ ∈ Φ ⇒ ϕ∗∗ ∈ Φ, Mϕ∗∗ = Mϕ = ∅ 51 Do đó, Hv (G) = {0} Hω (G) = {0} Định lý 3.1.1 Vì f v ≤ f ω < +∞ với f ∈ Hω (G) nên Hv (G) ⊃ Hω (G) Chú ý với f ∈ Hv (G) = {0} hàm ψf = ln M f hàm lồi (0, +∞) ψf ∈ Φ Do đó, theo Định lý 2.2.9 ta có (ϕ(x) − ψf (x)) = inf x∈(0,+∞) Do f ∈ Hω (G) = {0} f v = f inf (ϕ∗∗ (x) − ψf (x)) x∈(0,+∞) ω Định lý 3.2.2 ([30]) Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện (2.1.2), ϕ ∈ Φ ϕ(0+ ) = +∞ (Hv0 (G), · v) ≡ (Hω0 (G), · ω) ∗∗ v = e(−1)ϕ ω = e(−1)ϕ ∗∗ Chứng minh Xét hai hàm v = e(−1)ϕ ω = e(−1)ϕ Chú ý rằng, ❼ ϕ > ϕ∗∗ ⇒ ϕ∗∗ thỏa mãn điều kiện (2.1.2) ❼ ϕ ∈ Φ ⇒ ϕ∗∗ ∈ Φ, Mϕ∗∗ = Mϕ = ∅ ❼ ϕ∗∗ (0+ ) = ϕ(0+ ) = +∞, theo Bổ đề 2.2.3 Do đó, Hv0 (G) = {0} Hω0 (G) = {0} Định lý 3.1.2 Vì ≤ v(iy)|f (x + iy)| ≤ ω(iy)|f (x + iy)| với f ∈ Hω0 (G) với x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞) nên Hv0 (G) ⊃ Hω0 (G) Chú ý rằng, f v = f ω với f ∈ Hv0 (G) = {0} Định lý 3.2.1 Bây ta phải chứng minh f ∈ Hω0 (G) = {0}, với f ∈ Hv0 (G) = {0} Lấy f ∈ Hv0 (G) = {0} Theo định nghĩa Hv0 (G) ta có lim sup v(z)|f (z)| = K↑G z∈G\K K ⊂ G K compact Vì vậy, lim v(iy)M f (y) = 0, y→0+ lim v(iy)M f (y) = y→+∞ 52 sau cải cách ta có lim (ϕ(y) − ψf (y)) = +∞, lim (ϕ(y) − ψf (y)) = +∞ y→+∞ y→0+ Chú ý ψf ∈ Φ \ Φ3 Định lý 3.1.3 Do đó, theo Định lý 2.2.11 Định lý 2.2.13 ta có lim (ϕ∗∗ (y) − ψf (y)) = +∞, lim (ϕ∗∗ (y) − ψf (y)) = +∞, y→+∞ y→0+ tức lim ω(iy)M f (y) = 0, lim ω(iy)M f (y) = y→+∞ y→0+ Lấy số thực ε cho ε > Lấy số thực c cho c > sup ω(iy)M f (y) < ε, sup ω(iy)M f (y) < ε y>c y< 1c Đặt sup ≤y≤c ω(iy) c m= inf ≤y≤c v(iy) c ∗∗ Vì ϕ ∈ Φ nên m < +∞ inf ≤x≤c ϕ∗∗ (x) > −∞, với c > Vì vậy, c < m < +∞ Theo định nghĩa Hv0 (G) tồn hai số x1 , x2 cho x1 > 0, c1 > c tập compact K1 = x + iy| − x1 ≤ x ≤ x1 , ≤ y ≤ c1 c1 thỏa mãn điều kiện v(iy)|f (x + iy)| ≤ sup x+iy∈G\K1 ε m Đặt K = {x + iy| − x1 ≤ x ≤ x1 , 1c ≤ y ≤ c} Do sup ω(iy)|f (x + iy)| = max sup ω(iy)M f (y), x+iy∈G\K y< 1c ≤ max ε, sup |x|>x1 , 1c ≤y≤c f ∈ Hω0 (G) sup ω(iy)M f (y), sup ω(iy)M f (y) |x|>x1 , 1c ≤y≤c v(iy)m|f (x + iy)|, ε ≤ ε y>c 53 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu Luận văn nghiên cứu không gian Banach có trọng hàm chỉnh hình với hàm trọng loga-lõm Luận văn tìm hiểu, hệ thống chi tiết hóa số kết sau liên quan đến đề nói Cụ thể là: ❼ Hệ thống số kiến thức giải tích hàm như: khơng gian Banach, hàm chỉnh hình khơng gian Banach, khơng gian có trọng hàm chỉnh hình miền phẳng, ❼ Trình bày số kiến thức khơng gian có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng mặt phẳng phức ❼ Nghiên cứu số toán lớp hàm lồi có liên quan đến giới hạn chúng mối quan hệ hàm lồi với liên hợp Young-Fenhel thứ hai ❼ Vận dụng kết hàm lồi để tìm điều kiện để không gian Hv (G) Hv0 (G) tương ứng trùng với không gian Hw (G) Hw0 (G) w trội loga-lõm nhỏ v 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu (2009), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2004), Giải tích hàm, NXB Đại Học Sư Phạm [3] Thái Thuần Quang (2011), Bài giảng không gian vector topo, Trường Đại học Quy Nhơn [4] Thái Thuần Quang (2013), Cơ sở lý thuyết Giải tích hàm, Trường Đại học Quy Nhơn Tiếng Anh: [5] S Agethen (2004), Weighted Banach spaces of holomorphic functions on the upper hafl-plane, Bull Soc Roy Sci Liège 73, 69-80 [6] J M Anderson, J Clunie, Ch Pommerenke (1974), On Bloch functions and normal functions, Jour fur die reine und angew Mathematik 270, 12-37 [7] M Ardalani, W Lusky (2012), Weighted Spaces of Holomorphic Functions on the Upper Halfplane, Math Scand 111, 244-260 [8] K D Bierstedt, W H Summers (1993), Biduals of weighted Banach spaces of analytic functions, J.Austral Math Soc (A) 54, 70-79 [9] J Bonet, E Wolf (2003), A note on weighted Banach spaces of holomorphic functions, Arch Math (Basel) 81, 650-654 55 [10] J Bonet, P Domanski, M Lindstrom, J Taskinen (1998), Composition Operators Between Weighted Banach Spaces of Analytic Functions, J Austral Math Soc (Series A) 64, 101-118 [11] K Bierstedt, J Taskinen (1998), Associated Weight and Spaces of Holomorphic Functions, Stud Math 127 (2), 137-168 [12] M Contreras, A Hernandez - Diaz (2000), Weighted Composition Operators in Weighted Banach Spaces of Analytic Functions, J Austral Math Soc (Series A) 69, 41-60 [13] P Domanski, M Lindstrom (2002), Sets of interpolation and sampling for weighted Banach spaces of holomorphic function, Ann Polon Math 79, 233-264 [14] A Harutyunyan, W Lusky (2013), A remark on the isomorphic classification of weighted spaces of holomorphic functions on the upper half plane, Ann Univ Sci Budap Sect Comp 39, 125-135 [15] S Holtmanns (2000), Operator representation and biduals of weighted function spaces, PhD thesis, Inst for Math., Univ of Paderborn [16] W B Johnson, M Zippin (1972), On subspaces of quotients of ( and ( [17] Gn )lp Gn )c0 , Israel J Math 13, 311-316 W.B Johnson, J Lindenstrauss (2001), Basic concepts in the geometry of Banach spaces, in: Handbook of the Geometry of Banach Spaces, Elsevier, 1-84 [18] M I Kadec, M G Snobar (1997), Certain functionals on the Minkowski compactum, Mat Zametki 10, 453-458 English translation: Math Notes 10 (1971), 695-696 [19] J Lindenstrauss, H P Rosenthal (1969), The Lp spaces, Israel J Math 7, 325-349 56 [20] J Lindenstrauss, L Tzafriri (1977), Classical Banach Spaces I, Ergebn Math Grenzgeb 92, Springer, Berlin [21] W Lusky (1995), On weighted spaces of harmonic and holomorphic functions, J London Math Soc (2) 59, 309-320 [22] W Lusky (2006), On the isomorphism classes of weighted spaces of harmonic and holomorphic functions, Studia Math 175, 19-45 [23] W Lusky (2000), On the isomorphic classification of weighted spaces of holomorphic functions, Acta Universitatis Carolinae, Mat et Phys 41, 5160 [24] R Meise, D Vogt (1997), Introduction to Functional Analysis, The Crlarendon Press Oxford University Press, New York, NY, USA [25] A L Shields, D L Williams (1971), Bounded projections, duality, and multipliers in spaces of analytic functions, Trans Amer Math Soc 162, 287-302 [26] A L Shields, D L Williams (1978), Bounded projections, duality, and multipliers in spaces of harmonic functions, J Reine Angew Math 299/300, 256-279 [27] A L Shields, D L Williams (1982), Bounded projections and the growth of harmonic conjugates in the unit disc, Michigan Math J 29, 3-25 [28] M A Stanev (1999), Weighted Banach spaces of holomorphic functions in the upper half plane, e-preprint http://arxiv.org/abs/math/9911082 [29] M A Stanev (31 Oct - Nov 2013), Log-convexity of the Weight of a Weighted Function Space "Complex Analysis and Applications’ 13" (International Memorial Conference for the 100th Anniversary of Acad Ljubomir Iliev) IMI-Sofia http://www.math.bas.bg/complan/caa13/ [30] M A Stanev (22 Apr 2015), Weighted Banach spaces of holomorphic functions with log-concave weight function, arXiv:1504.05697v1 [math.CV] 57 [31] A Torchinsky (1986), Rael-Variable Methods in Harmonic Analysis, Pure Appl Math 123, Academic Press, Orlando, FL [32] P Wojtaszczyk (1991), Banach Spaces for Analysts, Cambridge Studies Adv Math 25, Cambridge Univ Press, Cambridge [33] P Wojtaszczyk (1997), On projections in spaces of bounded analytic functions with applications, Studia Math 65, 147-173 ... 1.3.1 Hàm chỉnh hình khơng gian hàm chỉnh hình 1.3.2 Miền chỉnh hình lồi chỉnh hình 10 Khơng gian có trọng hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng 12 1.4... 26 ii Không gian với trọng loga- lõm hàm chỉnh hình 44 3.1 Điều kiện để không gian trọng không tầm thường 44 3.2 Sự đẳng cấu không gian trọng 50... (H(G), τco ) : Không gian Fréchet Hv (Ω) : Không gian với trọng v hàm chỉnh hình Ω Hv0 (Ω) : Khơng gian Hv0 (G) := {f ∈ Hv (G) : v.|f | triệt tiêu vô hạn} H∞ : Không gian tất hàm chỉnh hình bị chặn