giải tích trong không gian banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Thủy GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 Xin chân thành cảm ơn PGS. TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Quý thầy cô trong khoa đã nhiệt tình giảng dạy em trong suốt quá trình học tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Thủy MỞ ĐẦU Quan hệ thứ tự và các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học như trong lý thuyết tập hợp, trong logic học, trong Đại số, trong Giải tích, … Chẳng hạn, trong lĩnh vực Giải tích, bổ đề Zorn và các dạng tương đương của nó được sử dụng để chứng minh những kết quả phức tạp như định lí Tychonoff, định lí Hahn- Banach, một số định lí về điểm bất động,…Trong các ứng dụng nêu trên các thứ tự được xét trong một tập hợp không có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô. Việc nghiên cứu thứ tự trong các không gian có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô đưa đến việc xây dựng lý thuyết về các không gian Banach có thứ tự và các ánh xạ tác động trong chúng. Lý thuyết này được khởi đầu từ những năm 1940 trong các công trình của M.Krein, A.Rutman, M.Krasnoselskii,… và tiếp tục được phát triển cho tới gần đây. Nó tìm được những ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực Giải tích phi tuyến, Phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, Toán kinh tế,… Trong luận văn này chúng tôi sẽ giới thiệu những khái niệm và kết quả ban đầu về không gian Banach có thứ tự, về một số lớp ánh xạ đặc biệt tác động trong các không gian Banach có thứ tự và tính chất c ủa chúng, sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ trong không gian Banach có thứ tự. Chúng ta sẽ thấy nhiều kết quả về mối liên hệ giữa thứ tự và sự hội tụ trong tập số thực  cũng như một số tính chất của hàm tăng, hàm lồi trên  cũng đúng cho không gian Banach có thứ tự và các ánh xạ đơn điệu tăng, ánh xạ lồi. Vì khả năng và thời gian hạn chế nên bản luận văn chắc chắn không thể thiếu những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và các bạn học viên. Chương 1: KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN Khi ta muốn đưa thứ tự vào một tập hợp đã có cấu trúc vectơ và cấu trúc tôpô thì thứ tự này cần phải tương thích với cấu trúc đã có trong tập hợp đó. Nhà toán học Nga M.Krien đã dùng khái niệm mặt nón để định nghĩa thứ tự trong các không gian định chuẩn. Các định nghĩa này tỏ ra rất thích hợp để xây dựng Giải tích trong các không gian Banach có thứ tự. 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón. Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach trên trường số thực  và K là tập con của X. Khi đó K được gọi là nón nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: i) K đóng, khác rỗng, và khác { } θ , ii) Nếu , ∈ab , , 0, , K thì K,≥ ∈ +∈a b x y ax by iii) Nếu K và K∈ −∈xx thì θ =x . Ví dụ: Cho { } 12 X , K ( , , , ): 0, 1.= = ≥∈ n ni xx x x i n thì K là nón trong  n . Định nghĩa 1.1.2: Cho X là không gian Banach với nón K. Thứ tự sinh bởi K được định nghĩa như sau: , K, K.∈ ≤ ⇔ −∈xy x y y x Nếu nón K có intK ≠∅ thì ta định nghĩa xy nếu intK−∈yx . Ở ví dụ trên, thứ tự trong  n sinh bởi nón K được định nghĩa như sau: 12 12 ( , , , ), ( , , , ), 0, 1. = = ≤⇔ −≥ ∈  nn ii x xx x y yy y xy yx i n Mệnh đề 1.1.3: Giả sử ""≤ là thứ tự trong X sinh bởi nón K. Khi đó : i) Nếu ≤xy thì , 0 và , X λλλ ≤ ∀ ≥ + ≤ + ∀∈x y xzyzz , ii) Nếu * nn ( ) và lim , lim thì , nn n n x yn x x y y x y →∞ →∞ ≤∈ = = ≤ iii) Nếu { } n x là dãy tăng và hội tụ về x thì * ,.≤∈  n x xn Chứng minh: i) Ta có : ( ) ( ) K nên ,+ − + = −∈ +≤ +yz xz yx xzyz ( ) K nên . λλλ λλ − = −∈ ≤y x yx x y ii) Do ( ) * K ( ), lim , K →∞ −∈ ∈ − =− nn nn n yx n yx yx đóng nên K hay .−∈ ≤yx xy iii) Giả sử { } n x là dãy tăng. Khi đó * (, ) + ≤∈ n nm x x mn . Cho →∞m ta được ( ) * . n x xn≤∈ 1.2 Nón chuẩn. Định nghĩa 1.2.1: Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số N>0 sao cho với mọi , K, thì ta có x N∈≤ ≤xy x y y . Ví dụ 1: i) Nón [ ] { } 0,1 K ,0=∈≥fC f là nón chuẩn trong [ ] 0,1 C . ii) Nón các hàm không âm, có đạo hàm liên tục không là nón chuẩn trong [ ] 0,1 1 C . Chứng minh: i) Lấy ,K∈fg thoả điều kiện ≤fg . Ta có với [ ] 0,1∈t thì 0 () ()≤≤ft gt . Suy ra [ ] [ ] 0,1 0,1 sup ( ) sup ( ) hay . ∈∈ ≤≤ tt ft gt f g Vậy K là nón chuẩn với hằng số N=1. ii) Xét dãy ()= n n ft t và hàm () 1=ft . Ta có * ,,≤∈ n f fn ' 01 01 max ( ) max ( ) 1 , 1 ≤≤ ≤≤ = + =+= nn n t t f ft ft n f . Do đó không tồn tại hằng số N sao cho bất đẳng thức N≤ n ff đúng với mọi * ∈n . Mệnh đề 1.2.2 : Cho K là nón chuẩn trong X. Khi đó a) Nếu , X,∈≤uv u v thì tập { } , X: = ∈ ≤≤ uv x u x v là tập đóng và bị chặn. b) Nếu ( ) * ≤≤ ∈ nnn x y zn và lim lim →∞ →∞ = = nn nn x zx thì lim . →∞ = n n yx c) Nếu { } n x là dãy đơn điệu tăng có dãy con { } k n x hội tụ về x thì { } n x hội tụ về x. Chứng minh: Giả sử K là nón chuẩn trong X với hằng số N. a) Xét dãy { } n x tùy ý trong tập ,uv và lim . →∞ = n n xx Do * () ≤≤ ∈ n u x vn nên theo mệnh đề 1.1.3 ta có ≤≤uxv hay ,.∈x uv Vậy ,uv là tập đóng. Với ,∈x uv thì ≤≤uxv , do đó xuvu θ ≤−≤− . Vì K là nón chuẩn nên N.−≤ −xu vu Vậy N ,, ≤ − + ∀∈ x v u u x uv hay ,uv là tập bị chặn. b) Ta có * ( ). nnnn y x z xn θ ≤−≤− ∈ Do K là nón chuẩn nên N. −≤ − nn nn yx zx Vì lim( ) nn n zx θ →∞ −= nên ta suy ra lim( ) . nn n yx θ →∞ −= Do đó [ ] lim lim ( ) . →∞ →∞ = −+= n nn n nn y yx x x c) Cố định * ∈n , ta có ≤ k nn xx khi k đủ lớn. Cho k →∞ ta được .≤ n xx Cho 0 ε > , ta chọn 0 0 saocho N ε −< k n k xx . Khi đó với mọi 0 k nn≥ thì 00 nên . kk nn n n x x x xx xx θ ≤ ≤ ≤− ≤− Suy ra 0 N. k nn xx xx ε −≤ − < Vậy lim . n n xx →∞ = Mệnh đề 1.2.3: Trong không gian Banach X với nón chuẩn K, tồn tại chuẩn * . tương đương với chuẩn ban đầu . sao cho ** , K,xy x y x y θ ∀ ∈ ≤≤⇒ ≤ . Chứng minh: Đặt ( ) ( ) ,1 K ,1 K .AB B θθ =+−        • Ta chứng minh (,1) (,)B ABr θθ ⊂⊂ với 0r > đủ lớn. Vì K, K θθ ∈ ∈− nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 ,1 K và ,1 ,1 K.BB BB θθ θθ ⊂+ ⊂− Do đó ( ) ,1BA θ ⊂ . Giả sử (,)ABr θ ⊂ với 0r > đủ lớn là không đúng. Khi đó ta tìm được dãy { } n x trong A sao cho * ,≥ ∀∈ n x nn . Do định nghĩa tập A ta tìm được , ( ,1), , K nn nn yz B uv θ ∈∈ sao cho . n nnnn xyuzv=+=− Ta có nên 2. nnn n nn uvzy uv+=− + ≤ Do K là nón chuẩn nên N 2N, n nn u uv≤ +≤ (với N là hằng số trong định nghĩa nón chuẩn). Do đó * 1 2N,≤ = + ≤ + ≤+ ∀∈ n nn n n nx yu y u n . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy tồn tại ( ) 0 sao cho , . r AB r θ >⊂ • Xét phiếm hàm Minkovski của tập A : * inf 0: , λ λ  = >∈   x xA ta chứng minh *  . Thật vậy, lấy Xx∈ tùy ý, x θ ≠ . Ta có ( ) ,1 2 x B x θ ∈ nên 2 ∈ x A x và do đó * 2.xx≤ Bất đẳng thức này hiển nhiên cũng đúng cho x θ = . Cho 0 ε > , ta tìm được 0 λ > sao cho * Avà . x x λε λ ∈ <+ Ta có ( ) ( ) * B , hay x . x r r xr θ λε λ ∈ <<+ Do * 0 tùy ý, ta có .x rx ε >≤ Vậy *  . • Giả sử xy θ ≤≤ . Ta có 0: 0: λλ λλ  >∈⊂>∈   yx AA . (1) Thật vậy lấy 0 0 y 0 tùy ý sao cho λ λ >∈A , Ta có ( ) 00 ,1 K. xx B θθ λλ =+∈ + Mặt khác, 0 y λ ∈ A nên có ( ) 0 y ,1 , K sao cho .uB v uv θ λ ∈∈ =− Do đó 00 00 00 λλ λλ λλ   =−−=−−−     xy yx yx uv ( ) 0 ,1 K yx uv B θ λ  − =−+ ∈ −   . Vậy 0 x λ ∈ A . Từ (1) ta có ** .xy≤ Định nghĩa 1.2.4: Cho X là không gian Banach, KX⊂ là nón. Khi đó { } * * ** K X : ( ) 0, K= ∈ ≥ ∀∈x xx x gọi là nón liên hợp của K. Mệnh đề 1.2.5: Cho X là không gian Banach, KX⊂ là nón và * K là nón liên hợp. Khi đó * K ( ) 0, K∈ ⇔ ≥ ∀∈x fx f . Chứng minh: Dễ thấy điều kiện cần được thoả. Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử ( ) * 00 ( ) 0 K và K.fx f x≥ ∀∈ ∉ Áp dụng định lí tách tập lồi cho { } 0 x , K ta tìm được * Xf ∈ sao cho 0 ( ) ( ), K. fx fx x< ∀∈ (2) Ta sẽ chứng minh * Kf ∈ và 0 ()0 <fx và do đó sẽ gặp mâu thuẫn. Thật vậy, xét Kx∈ . Ta có với 0 0 thì ( ) ( ). t f x f tx>< Suy ra 0 1 ( ) ( ).fx fx t < Cho t →∞ ta được () 0fx≥ . Do Kx∈ tùy ý nên * K.f ∈ Thay x θ = ở (2) ta được 0 ( ) ( ) 0.fx f θ <= Vậy 0 K.x ∈ Mệnh đề 1.2.6: Cho K là nón chuẩn và { } n x là dãy tăng, hội tụ yếu về x. Khi đó { } n x hội tụ về x. Chứng minh: • Trước tiên ta chứng minh * ()≤∈ n x xn . Theo mệnh đề 1.2.5 ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ** , K ( ).≤ ∀∈ ∈ n fx fx f n Lấy * Kf ∈ tùy ý. Do { } n x là dãy tăng nên ,. nm x x mn≤ ∀≥ (3) Do đó () () .≤ ∀≥ nm fx fx m n Vì { } n x là dãy hội tụ yếu về x nên ( ) ( ) lim . n n fx fx →∞ = Ở (3) cố định n, cho m →∞ ta được ( ) ( ) n fx fx≤ . Vậy * ()≤∈ n x xn . • Cho 0 ε > , do dãy { } n x hội tụ yếu về x nên theo định lí Mazur { } ( ) Co : , N n y x yx ε ∃∈ − < với N là hằng số trong định nghĩa nón chuẩn. Vì { } ( ) 1 Co nên i k n in i yx yx λ = ∈= ∑ , với 12 1 1, 0, 1. , k ii k i i kn n n λλ = = > ∀∈ < < < ∑  . Suy ra 1 . kk k in n i y xx λ = ≤= ∑ Với k n ta có y x kn nn x x≥ ≤ ≤ ≤⇒ n xx xy θ ≤− ≤− N n xx xy ε ⇒− ≤ −< . Như vậy ta đã chứng minh 00 0, 0, n n nn xx εε ∀> ∃ > ∀≥ ⇒ − < , hay dãy { } n x hội tụ về x. 1.3 Nón sinh. Định nghĩa 1.3.1: Nón K gọi là nón sinh nếu X, , K:∀∈ ∃ ∈ = −x uv x u v . Nói cách khác XKK= − . Ví dụ 2: i) Trong không gian [ ] 0,1 C , nón các hàm không âm là nón sinh. Chứng minh: Đặt [ ] { } 0,1 K :0=∈≥fC f Lấy [ ] 0,1 ∈fC tuỳ ý. Đặt { } () max (),0,=gt ft { } () min (),0= −ht f t thì ta có ,K∈gh và = −f gh . Vậy K là nón sinh. ii) Trong không gian  , nón các số thực không âm không là nón sinh trong  . Mệnh đề 1.3.2: Cho K là nón sinh. Khi đó tồn tại số M0> sao cho X, , K : , , M . x uv x u v u v x ∀∈ ∃ ∈ = − ≤ Chứng minh: Đặt ( ) 1 K K B ,1 θ = ∩ . Ta có ( ) 1 1 11 11 1 XKK K K K K nn n nn n ∞∞ ∞ = = = =−= − = −   . Do X là không gian Banach nên theo định lí Baire tồn tại ( ) * 0 0 01 1 , K K, 0∈ ∈− >n xn r sao cho ( ) ( ) 0 01 1 , K K.Bxr n⊂− Ta có ( ) ( ) 0 01 1 0 01 1 K K nên K K .xn xn ∈− −∈− Từ đây ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 01 1 01 1 01 1 , KK KK 2KK.Br n n n θ ⊂ −+ −⊂ − Lấy { } X\x θ ∈ tùy ý thì ( ) , 2 rx y Br x θ = ∈ và do đó ( ) 01 1 2KKyn∈− . Từ đây ta suy ra ( ) 01 1 0, 2 K K : . εε ∀> ∃∈ − − <w n yw Với 2 r ε = ta tìm được 1 01 01 22w nu nv= − , với 11 1 ,Kuv∈ sao cho 1 . 2 r yw−< Khi đó ( ) ( ) ( ) 1 01 1 2 ,2y w B r nK K θ −∈ ⊂ − . [...]... Chương 2: ÁNH XẠ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Trên tập số thực  với thứ tự thông thường ta đã biết các tính chất sau đây của hàm đơn điệu tăng 1 Hàm có đạo hàm dương thì đơn điệu tăng 2 Tập các điểm gián đoạn của hàm đơn điệu tăng là không quá đếm được Trong chương này chúng ta thấy các kết quả tương tự cũng đúng cho ánh xạ đơn điệu tăng trong các không gian Banach có th ứ tự Ngoài ra chúng ta... được u , v ∈ K X sao cho x =u , v ≤ M x u − v, Do đó T ( x) ≤ T (u ) + T (v) ≤ L ( u + v ) ≤ 2 LM x Vậy T là ánh xạ liên tục Định lí 2.1.3 (định lí Hahn- Banach trong không gian có thứ tự) : Cho X là không gian vectơ trên trường số thực  , M là không gian con của X sao cho ∀x ∈ X, ∃y ∈ M : x ≤ y (7) Giả sử f : M →  là phiếm hàm tuyến tính và f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ M ∩ K Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính... bị chặn trên trong X đều hội tụ Ví dụ 3: i) Nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L[0,1] là nón chính qui ii) Nón các hàm không âm trong C[0,1] không là nón chính qui Chứng minh: i) Giả sử { f n } là dãy tăng, bị chặn trên bởi g trong L[0,1] Ta có thể coi f n (t ), g (t ) hữu hạn tại mọi t ∈ [ 0,1] Bằng cách xét dãy f n − f1 nếu cần, ta có thể coi f n ≥ 0 Lấy t ∈ [ 0,1] tuỳ ý, ta có 0 ≤ f1 (t... các hàm không âm hầu khắp nơi trong L[0,1] là nón chính qui ii) Xét dãy { f n } trong C[0,1] , với f n (t ) = 1 − t n Ta có { f n } là dãy hàm tăng, bị chặn trên bởi 1 trong C[0,1] và lim f n (t ) f 0 (t ), t ∈ [ 0,1] , với = n→∞ hàm f 0 : [ 0,1] → [ 0,1] định bởi 0 neáu t = 1 f0 (t ) =  1 neáu 0 ≤ t ≤ 1  Ta có f 0 ∉ C[0,1] nên dãy { f n } không hội tụ trong C[0,1] Vậy nón các hàm không âm trong. .. ∀x ∈ K F Định lí được chứng minh đầy đủ Bổ đề 2.1.4: Giả sử X là không gian Banach, M là không gian con của X và một trong các điều kiện sau được thoả mãn 1) K là nón sinh, M ⊃ K 2) K là nón có intK ≠ ∅ và M ∩ int K ≠ ∅ Khi đó M có tính chất sau: ∀x ∈ X , ∃y ∈ M : x ≤ y Chứng minh: 1) Nếu K là nón sinh, M ⊃ K thì với x ∈ X tùy ý ta có ∃u , v ∈ K : x= u − v ⇒ x ≤ u∈M ( do M ⊃ K, u ∈ K ) Vậy ∀x ∈... ∀x ∈ K, F = f ( x) ∀x ∈ M ( x) Vì nón K là nón sinh và nón [ 0, ∞ ) trong  là nón chuẩn nên F liên tục theo định lí 2.1.2 Định nghĩa 2.1.6: Cho X là không gian tôpô, A ⊂ X 1) Tập A gọi là không đâu trù mật nếu int A ≠ ∅ 2) Tập A gọi là tập thưa nếu A là hợp của đếm được tập không đâu trù mật Định lí 2.1.7: Cho các không gian Banach ( X1 , 1 ) , ( X 2 , 2 ) với các nón K1 ⊂ X1 ,K 2 ⊂ X 2 thoả... để B(e, r ) ⊂ K Khi đó với x ∈ X, x ≠ θ thì e ± r Đặt u= x ∈K x   1 x 1 x =  e − x  e + x , v 2 r 2 r   Ta có x =v, u , v ∈ K u− ⇒ x≤u += v x e ∈ M (do e ∈ M) r Vậy ∀x ∈ K, ∃w ∈ M: x ≤ w Định lí 2.1.5: Giả sử: i) M là không gian con của không gian Banach X, K là nón có intK ≠ ∅ và M ∩ int K ≠ ∅ ii) f : M →  là phiếm hàm tuyến tính và f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ K ∩ M Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến... ( x + t ( y − x) ) ∀t ∈ ( 0,1) , ∀x, y ∈ D, x, y so sánh được Vậy f là hàm lồi Định lí 2.2.10: Cho ( E , P ) , ( F , Q ) là các không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, D ⊂ E là tập lồi và P mở Giả sử f : D → F liên tục, có đạo hàm phải f +' : D → L ( E , F ) liên tục và có đạo hàm phải cấp hai f +'' ( x) ∀x ∈ D Khi đó f là lồi khi và chỉ khi f +'' ( x) xác định dương, nghĩa là f +'' ( x)(h, h) >... các không gian Banach X,Y được sắp thứ tự bởi các nón K X , K, D ⊂ X là tập lồi Y Ánh xạ f : D → Y gọi là lồi nếu: f  x + t ( y − x )  ≤ f ( x) + t [ f ( y ) − f ( x) ] ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x, y so sánh được   Định lí 2.2.6: Giả sử D ⊂ X là tập lồi, K X mở, f : D → Y là ánh xạ liên tục, khả vi theo nón tại mọi x ∈ D Khi đó các mệnh đề sau là tương đương 1) f là ánh xạ lồi 2) ∀x, y ∈ D, x ≤ y ta có f... n→∞ Vì { f n } là dãy hàm đo được, không âm hầu khắp nơi, bị chặn trên bởi g và f (t ) = lim f n (t ) n→∞ nên f cũng là hàm đo được, không âm hầu khắp nơi, bị chặn trên bởi g ∈ L[0,1] nên f ∈ L[0,1] Bây giờ ta chứng minh f n → f1 trong L[0,1] Ta có f n (t ) − f1 (t ) → 0 trên [ 0,1] và f n (t ) − f1 (t ) ≤ 2 g (t ) Do đó, theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta có lim n→∞ Từ đó suy ra lim f n − f . hợp để xây dựng Giải tích trong các không gian Banach có thứ tự. 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón. Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach trên trường. và kết quả ban đầu về không gian Banach có thứ tự, về một số lớp ánh xạ đặc biệt tác động trong các không gian Banach có thứ tự và tính chất c ủa chúng,