bài toán cauchy cấp hai trong thang các không gian banach

1 BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH F  G Nguyễn Thanh Hà BÀI TOÁN CAUCHY CẤP HAI TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 2 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với PGS.TS. Lê Hoàn Hoá, TS. Nguyễn Anh Tuấn, PGS.TS. Dương Minh Đức, TS. Nguyễn Thành Long, quý thầy đã trực tiếp trang bò cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu. Đồng thời, thông qua giảng dạy, quý thầy đã giúp tôi quen dần với công việc nghiên cứu. Tôi vô cùng cám ơn BGH, quý thầy cô trong khoa Toán, trong phòng KHCN Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; UBND cùng với Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bến Tre, quý thầy cô trường THPT Bình Đại A, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu. Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè gần xa đã giúp đỡ, hổ trợ tinh thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2005. Nguyễn Thanh Hà. 3 CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU Nhiều bài toán từ các lónh vực khác nhau của khoa học, dẫn đến việc khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân trong không gian Banach với điều kiện đầu (bài toán Cauchy). Có nhiều lớp phương trình vi phân được khảo sát, mỗi lớp phương trình lại có phương pháp nghiên cứu riêng. Bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach có nhiều ứng dụng khi nghiên cứu các bài toán chứa kỳ dò. Ovsjannikov, Treves, Nirenberg, Nishida, Deimling và một số tác giả khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy cấp một trong thang các không gian Banach và tìm ra nhiều ứng dụng khác cho Phương trình Vi phân, Vật lý và Cơ khí. Sau đó, Barkova và Zabreik đã tìm ra một kết quả tương tự cho bài toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện Lipschitz. Ở luận văn này chúng tôi đặc biệt quan tâm các đến bài toán Cauchy cấp hai trong thang các không gian Banach dạng 01 (, ) (0) , (0) ′′ = ′ == uftu uuu u và cùng với các kết quả đó là một vài ứng dụng đơn giản. Trong suốt luận văn, hàm (, ) f tu được xét các dạng khác nhau ứng với các điều kiện khác nhau, và ta giả thiết ( ) [ ] ( ) ,. , , 0, λ λ λ ∈ ⊂+∞Eab là 4 thang các không gian Banach cho trước thoã mãn: nếu ' λ λ < thì ' λ λ ⊂EE và ' λ λ ≤uu , với mọi λ ∈ uE . Trong chương hai, chúng tôi trình bày bài toán Cauchy cấp hai với (, ) f tu được thay thế bởi ,, ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ du ftu dt thoảđiều kiện Lipschitz. Đây là một kết quả tương tự với bài toán Cauchy cấp một. Khi (, ) f tu lần lượt được thay bởi hàm () ()+ A tu ft rồi hàm ( ) (), A Bu t u , các giả thiết cũng được thay đổi theo nhằm đủ cho việc nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán đó. Kết quả này được trình bày ở chương ba. Ở chương bốn, điều kiện nhiễu compact được xét đến thay cho điều kiện Lipschitz. Kết quả thu được cho bài toán cấp hai tương tự với kết quả của K. Deimling về bài toán Cauchy cấp một. Kết thúc luận văn là một vài ứng dụng cho phương trình Kirchhoff. 5 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Trong chương này, ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình cấp hai, tương tự với đònh lý Nishida-Nirenberg. Trước hết, giả sử ta có thang ( ) [ ] ,. , 0,1 λ λ λ ∈E và ánh xạ f tác dụng liên tục từ [] 0, λ λ ××TEE vào ' λ E với mỗi cặp ' λ λ < và thoả điều kiện 11 2 2 1 2 1 2 ' (, , ) (, , ) ( , ') ( , ') λ λλ λ λλλ −≤−+− f tu v f tu v a u u b v v ; (2.1) trong đó các hàm (, '),(, ')ab λ λλλ không âm, không phụ thuộc ,, ii tu v . Ta xét bài toán () ,, ′′ ′ =uftuu (2.2) 01 (0) , (0) ′ ==uuu u . (2.3) với điều kiện (2.3) thuộc 1 E . 2.1. Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với các hàm (, '), (, ')ab λ λλλ là tổng quát. Ta cần một số xây dựng bổ trợ. Ta xét các ánh xạ từ không gian [] ( ) 0, ,CT vào chính nó như sau: [] () 0 ( , ') ( ) ( , ')( ) ( , ') ( ) ' t cwta tb wd λ λλλτλλττλλ =−+ < ∫ (2.4) () 01 1 0 1 1 ( , , , ) ( ) ( , ) ( ); − = =>>> ∏ n nii n i cwtcwt λ λλ λλ λλ λ (2.5) 6 (trong (2.5) , ∏ hiểu là hợp của các ánh xạ) 12 ( , ') ( ) inf ( , , , ) ( ); ( ' ) λ λλλλλλ =< nn cwtc wt (2.6) trong (2.6) inf được lấy trên tập tất cả các bộ 1n + số 01 ( , , , ) λ λλ n thoả điều kiện 01 '=>>>= n λ λλ λλ . Cuối cùng ta đònh nghóa với mỗi cặp ' λλ < tập hợp [] [] { } (, ') 0, :lim (, ')1() 1, 0, →∞ ′′ =∈ <∀∈ n n n TTTcttT λλ λλ trong đó ( ) 11≡t . Đònh lý. Nếu số (, ') λ λ ′ ∈TT và hàm 01 0 0 () ( , ,0) t ht u f u d τ τ =+ ∫ bò chặn trong λ E thì bài toán (4.2)-(4.3) có nghiệm [ ] ' :0, λ ′ →uTE Chứng minh. Ta xét ánh xạ [ ] ( ) [ ] ( ) '' :0,, 0,, λ λλ λ ′′ =→=FCCTE CCTE đònh bởi 10 00 ()() , (),() t F vt u f u v d v d τ τ ξξ τ τ ⎡⎤ =+ + ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ Ta nhận thấy rằng, nếu v là điểm bất động của F thì hàm 0 0 () ( ) t ut u v d τ τ =+ ∫  là nghiệm của (4.2) – (4.3). Thật vậy, nếu v là điểm bất động của F thì () ( ) 10 00 () () , ( ) , ( ) t vt Fv t u f u v d v d τ τ ξξ τ τ ==+ + ∫∫ Từ 0 0 () ( ) t ut u v d τ τ =+ ∫  , ta có: 0 '( ) ( ), (0) = =  ut vt u u . 7 Nên () 1 0 '( ) , ( ), ( ) t ut u f u v d τ τττ =+ ∫  Do đó, ta có ( ) ( ) "( ) , ( ), ( ) , ( ), ( ) ′ ==   ut ftutvt ftutut và 01 (0) , '(0) = =  uuu u Khẳng đònh trên được chứng minh. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1212 ' () () ( , ') () () ; , λ λ λ λλ −≤ − ∈ F vt Fvt c vt vt vv C (2.7) Từ đònh nghóa ánh xạ F và điều kiện (2.1) ta có ( ) ( ) 12 ' 01 1 02 2 00 0 ' 12 12 00 () () , (),() , (),() ( , ') ( ) ( ) ( , ') ( ) ( ) t t Fv t Fv t f uvdv fuvdv d avvdbvvd λ ττ λ τ λλ τ ξξ τ τ ξξ τ τ λλ ξ ξ ξ λλ τ τ τ −≤ ≤+ −+ ⎡⎤ ≤−+− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ ∫ ∫∫ Theo công thức tích phân từng phần thì 12 00 12 12 00 0 12 0 (, ') () () . (, ') () () (, ) () () (, ')( ) () () t t t t avvdd avvdavvd atvvd τ λ τ λλ λ λλ ξ ξ ξ τ τ λλ ξ ξ ξ τ λλ τ τ τ λλ ττ ττ − ⎡⎤ ′ =−−− ⎢⎥ ⎣⎦ =−− ∫∫ ∫∫ ∫ Suy ra, 12 ' 12 12 00 () () (, ')( ) () () (, ') () () tt Fv t Fv t atvvdbvvd λ λλ λ λττ ττ λλτ ττ −≤ ≤−−+ − ∫∫ Như vậy, ta có (2.7). Với mỗi bộ số 012 ' λ λλλ λλ =>>>>= n , ta áp dụng (2.7) và có 8 ( ) () 1 11 12 1 1 2 ' 1210112 () () ( , ) () () ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) λλ λ λλ λλ λλ λλ − −− − −−− −≤ − ≤ ≤− n nn n n nn nn n n Fvt Fv t c F vt F v t cc cvtvt Suy ra, với mọi 12 , λ ∈ vv C : 12 1 210112 ' () () ( , )( , ) ( , ) () () λ λ λλ λλ λλ −−− −≤ − nn nn n n F vt Fvt c c c vt vt Mà với mọi 1,2, ,in= , ta có [] ( ) [] 112 1 1 12 0 12 1 1 0 (,)( )() (,)( )(,)( )() (,)( )(,).1 t ii ii ii t ii ii C cvvtatb vvd vv a t b d λ λλ λ λλλτλλττ λλ τ λλ τ −−− −− −= −+ − ≤− −+ ∫ ∫ tức là ta có 112 12 1 ( , ) ( )( ) ( , )1( ), 1,2, , . λ λ λ λλλ −− −≤− ∀= ii ii C cvvtvvctin Nên ( ) 12 1 210112 ' () () ( , ) ( , ) ( , )1(). λ λ λλ λλ λλ −−− −≤ − nn nn n n C F vt Fvt c c c t v v Do đó, ta có ' 12 12 ( , ')1( '). λ λ λλ −≤ − nn n C C F vFv c Tvv (2.8) Nếu ta xây dựng dãy lặp 01 () 0, () (),( 0,1, ) + = == nn vt v t Fvt n thì do (2.8) sẽ có đánh giá ' ' 110 10 (, ')1(). λ λ λ λλ + −=− ≤ − nn nn n CC C vv FvFv c tvv (2.9) Do 10 1 0 0 0 () () ( , ,0) () t vt vt u f u d ht ττ −=+ = ∫ là hàm thuộc λ C nên từ (2.9) và đònh nghóa tập (, ') λ λ T , dãy { } n v sẽ hội tụ trong ' λ C tới hàm v nào đó là điểm bất động của F . 9 2.2. Phương trình cấp hai với điều kiện Lipschitz với các hàm (, '), (, ')ab λ λλλ trong trường hợp đặc biệt . Sử dụng đònh lý tổng quát trên ta sẽ chỉ ra cách đánh giá các tập ( ) ,' λ λ T trong một trường hợp riêng quan trọng. Với 0 () ( ) t Jw t w d τ τ = ∫ , ta có: ( ) 2 000 () ( ) ( ) tt J wt Jw d w d d τ τ τξξτ == ∫∫∫ p dụng công thức tích phân từng phần, ta có ( ) 00 0 0 0 () () . () ( ). () tttt wdd twd wd t wd τ ξ ξτ ττ τ ττ τ ττ =− =− ∫∫ ∫ ∫ ∫ Do đó, 2 0 () ( ) ( ) t Jwt t w d τ ττ =− ∫ Kết hợp (2.4), ta được 2 ( , ') ( , ') ( , ') λ λλλ λλ =+caJbJ , với 0 () ( ) t Jw t w d τ τ = ∫ Gọi { } 1,2, ,⊆ D n , ta thực hiện phép nhân phân phối vế với vế n đẳng thức 2 01 01 01 2 12 12 12 2 111 (,)() (,) (,) (, )() (, ) (, ) (,)()(,) (,) nn nn nn cwtaJbJ cwtaJbJ cwtaJbJ λλ λλ λλ λλ λλ λλ λλ λλ λλ −−− =+ =+ =+ ta được đẳng thức mới có vế phải là một tổng mà mỗi số hạng có dạng 2 11 (,). (,) λλ λλ − −− ∈∉ ∏∏ lnl jj jj jD jD aJbJ, trong đó l là số phần tử của D, với 2l +(n-l)=k và k=n,n+1,…,2n. Ta thấy số phần tử của D là l=k-n 10 Gọi k M là tập các tập con { } 1,2, ,⊂ D n thì do đònh nghóa ( 2.5), ta cóù 2 01 01 ( , , , ) ( , , , ) λλ λ λλ λ = = ∑ n k nk n kn cdJ trong đó 01 1 1 ( , , , ) ( , ) ( , ) λ λλ λλ λλ −− ∈ ∈∉ = ∑ ∏ ∏ k kn jjjj DM jD jD dab Vì 1( ) ! = k k t Jt k , nên ta có () () () 2 01 01 , , , 1 , , , . ! λλ λ λλ λ = = ∑ k n nkn kn t ctd k (2.10) Giả sử các hàm (, '), (, ') λ λλλ ab thõa mãn điều kiện sau Điều kiện λ () . Tồn tại các hàm ( , '), ( , '), ( 1,2 ) λ λλλ = nn ab n sao cho với mỗi cặp ' λλ < tồn tại bộ số 01 ' λ λλ λλ = >>>= n sao cho 11 (,) (,'),(,) (,')(1, ,) λ λλλλλλλ −− === jj n jj n aabbjn. Do k d là một tổng gồm các số hạng (trong trường hợp này) bằng nhau; tổng số các số hạng đó bằng tổng số các tập con D của {} 1,2, ,= A n , tức là bằng −kn n C . Nên với điều kiện () λ như vậy, ta có () 2 01 , , , (, ') (, '), kn kn nk knnnn dCab λ λ λ λλ λλ −− − = (2.11) Ta xét trường hợp 21 ( , ') .( ') , ( , ') .( ')aa bb λ λλλ λλλλ − − =− =− ( 0, 0>>ab là các hằng số), là một sự mở rộng tự nhiên của điều kiện dạng Lipshitz cho phương trình cấp một. Khi đó điều kiện λ () được thỏa với [...]... chặn trong Eλ thì bài toán (2.2) với điều kiện (2.3) có nghiệm u :[ 0, T ′] → Eλ ' nếu T ′ thoã điều kiện ⎛ 4a ⎞ 0 < T ′ < (λ − λ ') ⎜ −b + b 2 + ⎟ 2a e ⎠ ⎝ 14 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI ĐIỀU KIỆN COMPACT Khó khăn chủ yếu trong việc nghiên cứu các bài toán Cauchy là ở chỗ các toán tử được xét đi từ một không gian Eλ nào đó không vào chính nó, mà vào không gian rộng hơn Eβ ( β < λ ) trong họ các. .. động trong K Điểm bấe động đó chính là nghiệm trên [ 0, δ ] với giá trò trong Eλ 31 CHƯƠNG 5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Nhiều bài toán về bề mặt của sóng nước, phương trình truyền nhiệt, của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng với các toán tử giả phân v.v… đưa đến việc nghiên cứu các bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach Trong chương này, ta xét đến ứng dụng cho phương trình Kirchhoff Bài toán ứng... này, ta xét đến ứng dụng cho phương trình Kirchhoff Bài toán ứng dụng này được xét trong thang của các không gian các hàm trong lớp Gevrey 5.1 Thang của các không gian các hàm trong lớp Gevrey Giả sử Ω ⊂ n là một tập con mở, ta ký hiệu A (Ω) là lớp các hàm thực thoả: ∃K > 0, ∃c > 0 : Dα u ≤ K α! c α , với mọi α ∈ n (5.1) trong đó ta giả sử v = sup { v( x) : x ∈Ω} và với α = (α1 ,α 2 , ,α n ) ∈ n ta đònh... hiệu Eλ là không gian các hàm u ∈ C ∞ (Ω) λα thoả u λ := ∑ D u 0} Bổ đề Thang các không gian Banach ( Eλ , λ ) , λ ∈ [ a, b ] có các tính... lý Giả sử các giả thiết ( H1 ) , ( H 2 ) thoả mãn và u0 , u1 ∈ A (Ω) Khi đó, tồn tại T ' ≤ T sao cho bài toán Cauchy cho phương trình Kirchhoff mở rộng (5.4)-(5.5) có một nghiệm u ∈ C 2 ( [ 0, T '] , A (Ω) ) Chứng minh Xét thang ( Eλ , λ ) , λ ∈ ( a, b) , trong đó Eλ được đònh nghóa trong mục 3.1 và b < c được chọn sao cho u0 , u1 ∈ Eb Bài toán Cauchy (5.4)-(5.5) có dạng (3.11)-(3.12) với toán tử... ( ) Xét bài toán Cauchy (3.17)-(3.18) trong thang Eβ , β , β ∈ [ λ , λ + ε ] với ε > 0 sẽ chọn sau Bằng cách áp dụng bài toán (3.17)-(3.18) cho đánh giá (3.3), (3.4) với ký hiệu (3.5) trong đònh lý 3.1, ta được w( t ) λ ≤ ε3 sup f ( s ) λ +ε 4d 2 ( ε − dt ) s∈[0 ,t ] ⎛ 4 MLε 3 ⎞ w′( t ) λ ≤ ⎜ Tλ′+ε + 2 ⎟ sup f ( s ) λ +ε 4d ( ε − dt )2 ⎠ s∈[0 ,t ] ⎝ (3.19) 22 ε với 0 ≤ t < min ⎧T , ⎫ , trong đó... ( β − λ ) Bổ đề được chứng minh 5.2 Bài toán Cauchy cho các phương trình Kirchhoff mở rộng Ta xét bài toán Cauchy: 2 ⎛ ⎞ Dt2u (t , x) = f ⎜ t , x, ∫ ∇ xu dx ⎟ Δ xu (t , x), (t , x) ∈ [ 0, T ] × Ω ≡ ΩT , ⎝ ⎠ P (5.4) u (0, x) = u0 ( x), Dt u (0, x), ∀x ∈Ω (5.5) 34 trong đó P,Ω là tập con mở của + f : ΩT × ( H1 ) → (H 2 ) và P ⊂ Ω là tập bò chặn Với hàm , ta giả sử các giả thiết sau đây được thoả mãn... B ( F (ui ), ε ) Như vậy F ( M ) hoàn toàn bò chặn nên là tập compact tương đối Do đó, theo đònh lý Schauder, F có một điểm bất đôïng trong X Đònh lý được chứng minh 24 CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI VỚI NHIỄU COMPACT Để thấy được tính tương tự với bài toán Cauchy cấp một, ta cần nhắc lại một kết quả sau 4.1 Đònh lý Giả sử 1) nh xạ A : I → L ( Eλ , Eβ ) liên tục với mỗi cặp β < λ thuộc [ a, b] và... gian rộng hơn Eβ ( β < λ ) trong họ các không gian Banach Để khắc phục khó khăn này, ta áp dụng phương pháp lặp thông thường và lập luận của Ovsjannikov, Nirenberg, Nishida và Barkova, Zabreiko Trước hết, ta nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá nghiệm của bài toán Cauchy tuyến tính sau đây: u′′ = A(t )u + f (t ) (3.1) u (0) = u0 , u′(0) = u1 (3.2) Đònh lý 3.1 Giả sử các giảû thiết sau đây được thoã mãn:... , u ) b ≤ c, ii) α b [ g(t, B)] ≤ m.α λ ( B) với mọi t ∈ I , B ⊂ Bλ (u0 , r ) ; trong đó α λ là độ đo phi compact Kuratowski trên Eλ , các hằng số c, M, m, r không phụ thuộc t, λ , β , B Khi đó, với mỗi λ ∈ ⎡ a, b ) , bài toán ⎣ du = A(t ) x + g(t, u), t ∈ I = [ 0, T ] dt u(0) = u0 ∈ Eb có nghiệm đòa phương với giá trò trong Eλ với mỗi λ ∈ (a, b) Việc chủ yếu của chương này là chúng tôi muốn thay . bài toán Cauchy cấp hai thoả điều kiện Lipschitz. Ở luận văn này chúng tôi đặc biệt quan tâm các đến bài toán Cauchy cấp hai trong thang các không gian. Hà BÀI TOÁN CAUCHY CẤP HAI TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC