PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài toán khó đối với đa số học sinh, vì vậy học sinh thường rất ngại những bài toán này. Có những em chỉ làm ý dễ còn khi gặp ý tìm khoảng cách thì bỏ, mà trên thực tế trong các đề thi tốt nghiệp hay thi đại học cao đẳng thì phần tìm khoảng cách rất thường gặp trong câu hình học không gian, nó chiếm nửa số điểm của câu này. Học sinh một phần do ý nghĩ phần hình khó nên bỏ qua phần này để dồn sức cho những câu khác, một phần nhiều học sinh gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu. Những câu hỏi thường đặt ra với các em: tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia,… . Với đặc điểm đó tôi muốn đem đến cho học sinh cái nhìn thân thiện, gần gũi và hứng thú với hình học không gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách. Trong đợt thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới tôi muốn trình bày một số cách tiếp cận bài toán dạng này. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 12 thường xuất hiện trong các đề thi, nhất là trong các đề thi tuyển sinh và thường nằm ở ý khó của bài toán hình học không gian. Vì thế rất nhiều học sinh xác định đây là phần khó nên không chú tâm lắm đến phần này và thường bỏ để làm phần khác. Trong các sách về hình học không gian các tác giả trình bày tốt các phương pháp, tuy vậy trong các ví dụ cụ thể thì các tác giải chỉ trình bày lời giải mà không nêu hướng tiếp cận bài toán, làm cho người đọc phân vân và thường đặt câu hỏi “ Làm sao tác giả dùng phương pháp đó? Xuất phát điểm từ đâu?...” . Nói chung trong các ví dụ đó thường nghiêng về trình bày kĩ thuật giải nhiều hơn, chưa nói được những dấu hiệu để có được điểm xuất phát và từ đó có được hướng tiếp cận bài toán. Trước các thực trạng đó tôi đưa ra một số cách tiếp cận bài toán hình học không gian của lớp 12. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Một số giải pháp được trình bày trong đề tài:  Giải pháp 1: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.  Giải pháp 2: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.  Giải pháp 3: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.  Giải pháp 4: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong hình học giải tích trong không gian.

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài toán khó đối với đa số học sinh, vì vậy học sinh thường rất ngại những bài toán này. Có những em chỉ làm ý dễ còn khi gặp ý tìm khoảng cách thì bỏ, mà trên thực tế trong các đề thi tốt nghiệp hay thi đại học cao đẳng thì phần tìm khoảng cách rất thường gặp trong câu hình học không gian, nó chiếm nửa số điểm của câu này. Học sinh một phần do ý nghĩ phần hình khó nên bỏ qua phần này để dồn sức cho những câu khác, một phần nhiều học sinh gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu. Những câu hỏi thường đặt ra với các em: tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia,… . Với đặc điểm đó tôi muốn đem đến cho học sinh cái nhìn thân thiện, gần gũi và hứng thú với hình học không gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách. Trong đợt thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới tôi muốn trình bày một số cách tiếp cận bài toán dạng này. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 12 thường xuất hiện trong các đề thi, nhất là trong các đề thi tuyển sinh và thường nằm ở ý khó của bài toán hình học không gian. Vì thế rất nhiều học sinh xác định đây là phần khó nên không chú tâm lắm đến phần này và thường bỏ để làm phần khác. Trong các sách về hình học không gian các tác giả trình bày tốt các phương pháp, tuy vậy trong các ví dụ cụ thể thì các tác giải chỉ trình bày lời giải mà không nêu hướng tiếp cận bài toán, làm cho người đọc phân vân và thường đặt câu hỏi “ Làm sao tác giả dùng phương pháp đó? Xuất phát điểm từ đâu? ” . Nói chung trong các ví dụ đó thường nghiêng về trình bày kĩ thuật giải nhiều hơn, chưa nói được những dấu hiệu để có được điểm xuất phát và từ đó có được hướng tiếp cận bài toán. Trước các thực trạng đó tôi đưa ra một số cách tiếp cận bài toán hình học không gian của lớp 12. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Một số giải pháp được trình bày trong đề tài:  Giải pháp 1: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.  Giải pháp 2: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.  Giải pháp 3: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.  Giải pháp 4: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong hình học giải tích trong không gian. Trang 1 GIẢI PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG - Với bài toán có câu hỏi: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng có vẻ “dễ thở” nhất trong các phần tính khoảng cách còn lại. Chỉ lưu ý với học sinh: muốn tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d thì ta chỉ cần gọi H là hình chiếu của điểm A trên d rồi ta xem đoạn AH là đường cao trong tam giác ABC nào đó, và ta xem tam giác ABC đó là tam giác gì. Nếu tam giác vuông tại A thì độ dài được tính như thế nào? Tam giác đều thì tính làm sao? - Một số học sinh biết hướng làm nhưng lại quên mất các hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác. Một số kiến thức và một số kết quả thường dùng: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, cạnh ( ) SA ABCD⊥ , cạnh 6 , 8AB a BC a= = . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 30 0 a) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC. b) Tính khoảng cách từ O đến cạnh SC. Lời giải: K H O C A B D S a) Gọi H là hình chiếu của A trên SC, khi đó AH là đường cao của tam giác vuông SAC Ta có 2 2 2 1 1 1 ASAH AC = + Mà trong tam giác vuông ABC: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 8 100AC BA BC a a a= + = + = 10AC a⇒ = Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, suy ra góc · 0 60SCA = . Trang 2 - Trong tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH thì: 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + - Trong tam giác thường ABC, thì ta đi tính diện tích ABC∆ , từ đó: 2 ABC S AH BC = - Nếu ABC∆ là tam giác đều thì AH bằng tích của cạnh tam giác với 3 2 Hướng giải quyết: - Cứ gọi H là hình chiếu của A trên SC, khi đó AH chính là đường cao của tam giác vuông SAC. - Để tính AH ta đi tính độ dài hai hạnh góc vuông của tam giác SAC rồi sẽ tính được AH. Trong tam giác SAC: 0 tan 60 10 3SA AC a= = Từ đó suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 AS 300 75 10 10 3 AH AC a a a a = + = + = = Suy ra 2 2 75 5 3AH a AH a= ⇒ = b) Gọi K là hình chiếu của O trên SC, khi đó OK//AH. Trong tam giác AHC ta suy ra OK là đường trung bình nên 1 5 3 2 2 a OK AH= = .  Nhận xét: - Giả sử không có câu hỏi ở câu a mà chỉ có câu hỏi ở câu b thì để tính khoảng cách từ O đến SC ta đi tính khoảng cách từ A đến SC trước rồi từ đó suy ra khoảng từ O đến SC. - Học sinh có thể tính OK bằng cách áp dụng vào tam giác vuông OKC có cạnh 5OC a = và có góc µ 0 60C = suy ra 0 3 5 3 .sin 60 5 . 2 2 a OK OC a= = = . Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác DAB và DAC là hai tam giác đều cạnh 2a , tam giác ABC vuông ở A. Gọi M là trung điểm của AD, hãy tính khoảng cách từ diện tích tam giác MBC và khoảng cách từ B đến CM. K M D A B C Lời giải: Tam giác DAB và DAC là hai tam giác đều cạnh 2a nên 3BM CM a= = . Tam giác ABC là tam giác vuông ở A và có cạnh góc vuông là 2a nên 2 2BC a= Vậy tam giác MBC là tam giác cân ở M. Gọi K là trung điểm của BC 2 2 BC AK a⇒ = = Ta có MK là đường cao của tam giác ABC, ta cần đi tính MK Trong tam AMK vuông ở K (vì ( ) AD MBC AD MK⊥ ⇒ ⊥ ) 2 2 MK AK AM a= − =  Vậy diện tích tam giác MBC là 2 1 1 . .2 2 2 2 2 MBC S MK BC a a a= = = Trang 3 Phân tích: Để tính khoảng cách từ B đến MC thì ta có thể dựa trực tiếp vào tam giác BCM. Vậy ta phải nhận dạng được tam giác BCM là tam giác gì. Để nhận dạng tam giác thì ta đi tính các cạnh của tam giác  Ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 6 . , , 2 3 3 MBC MBC S a a S CM d B CM d B CM CM a = ⇒ = = =  Nhận xét: Giả sử không có ý tính diện tích tam giác MBC thì chúng ta cũng phải đi xác định các yếu tố của tam giác MBC để xem nó là tam giác gì. Bài giải trên là một cách tính khoảng cách dựa vào công thức tính diện tích tam giác. Bài tập áp dụng 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O. SA a = và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I,M theo thứ tự là trung điểm của SC,AB. a) Chứng minh rằng: ( ) OI ABCD⊥ . b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM, từ đó suy ra khoảng cách S đến CM. ( Gợi ý: Gọi H là hình chiếu của O trên CM, tính OH, rồi suy ra IH ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 , 2 , 2 , d S CM SC d S CM d I CM IH d I CM IC = = ⇒ = = ) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA=SB= 2a , · 0 60ABC = và ( ) SA ABCD⊥ . a) Chứng minh BD SC ⊥ , suy ra ( ) ,d O SC . b) Tính ( ) ,d O SB và ( ) ,d D SB . ( Gợi ý: Câu a) ( ) ( ) 1 , , 2 d O SC d A SC= , đi tính ( ) ,d A SC Câu b) ( ) ( ) , 2 ,d D SB d O SB= , đi tính ( ) ,d O SB Gọi H là hình chiếu của O trên SB, khi đó ( ) ,d O SB OH= với tam giác SBO vuông ở O, 5 3 , 2 2 a a SO OB= = ) 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , ( ) , .SA ABCD SA a⊥ = Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE. ( Gợi ý: Kẻ AH BE⊥ tại H, chứng minh BE SH⊥ ( ) ,d S BE SH⇒ = Kéo dài BE cắt AD tại M 2AM a ⇒ = . Xét ABM∆ tính được AH Dựa vào tam giác SAH để tính SH) Trang 4 GIẢI PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể xem là phần quan trọng nhất trong bài toán tính khoảng cách bởi vì không những được hỏi trực tiếp mà còn dùng để tính các loại khoảng cách khác. Những khó khăn của đa số học sinh: - Lúng túng không biết hình chiếu của M nằm trên đường nào trong mặt phẳng (P). - Lúng túng trong suy nghĩ: có thể tính được khoảng cách từ M đến (P) mà không cần dựng hình chiếu của M trên (P) hay không?  Để giải quyết một bài toán thì cần có kết kợp của nhiều yếu tố như: đọc và hiểu đề, vẽ hình, chọn phương pháp giải. Vì vậy để giải quyết một phần sự lúng túng của học sinh, tôi trình hai phương pháp giải những bài toán này: tính khoảng cách trực tiếp, tính khoảng cách gián tiếp, để học sinh có hướng tiếp cận bài toán một cách nhanh chóng. I. TÍNH KHOẢNG CÁCH TRỰC TIẾP - Là ta phải dựng được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, sau đó mới đi tính toán. - Cơ sở để dựng được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng là: hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a vuông góc với mặt phẳng kia. Cho học sinh ghi nhớ các bước xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). - Bước làm khó nhất là tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). Thường nếu ta thấy trong hình chóp có SM ⊥ ∆ ( với ( ) P∆ ⊂ ) thì (Q) là mặt phẳng chứa SM và vuông góc với ∆ . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , ( ) SA ABC⊥ và góc giữa SB và mặt (ABC) bằng 60 0 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Hướng giải quyết - Xác định được mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SBC). - Xác định được giao tuyến của mặt phẳng đó với (SBC). - Kẻ đường vuông góc hạ từ A xuống giao tuyến. Từ dấu hiệu BC SA ⊥ nên ta dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc với BC Lời giải: Trang 5 — Tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). — Tìm giao tuyến  của (Q) và (P). — Trong (Q), kẻ MH vuông góc với . Khi đó d(M,(P))= MH. 60 0 H I A B C S Gọi I là trung điểm của cạnh BC, khi đó AI BC⊥ và 3 2 a AI = (1) Ta có: ( ) BC AI BC SAI BC SA ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  suy ra ( ) ( ) SBC SAI⊥ . Giao tuyến của mặt phẳng (SBC) và (SAI) là SI . Vậy trong (SAI) ta kẻ AH vuông góc với SI tại H, suy ra AH là khoảng cách từ A đến (SBC). Trong tam giác vuông SAI ta có: 2 2 2 1 1 1 ASAH AI = + (2) Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB, suy ra góc · 0 60SBA = . Trong tam giác SAB ta có : 0 .tan 60 3SA AB a= = (3) Thay (1) và (3) vào (2) ta được : ( ) 2 2 2 2 1 1 1 5 3 3 3 2 AH a a a = + =    ÷   Suy ra 2 2 3 3 5 5 a AH AH a= ⇒ = . Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 3 5 a .  Nhận xét: Trong lời giải trên mặt phẳng (SAI) đóng vai trò là mặt phẳng (Q) Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ( ) SA ABC⊥ Biết rằng: 4, 5AC BC SB= = = . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Phân tích: Nhận thấy dấu hiệu SA BC⊥ nên ta đi dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc với (SBC). Lời giải Trong tam giác ABC kẻ AI vuông góc với BC. Ta có ( ) ( ) ( ) BC AI BC SAI SBC SAI BC SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Trang 6 I H A B C S Mặt phẳng chứa SA và vuông góc với (SBC) là (SAI). Giao tuyến của (SAI) và (SBC) là SI. Kẻ AH vuông góc với SI tại H => ( ) ( ) ,d A SBC AH= Trong tam giác SAI ta có : 2 2 2 1 1 1 ASAH AI = + Trong tam giác ABC : 2 2 2 2 5 4 3AB BC AC= − = − = , suy ra : 2 2 2 1 1 1 1 1 25 9 16 144AI AB AC = + = + = Trong tam giác SAB : 2 2 4SA SB AB= − = Vậy 2 2 2 1 1 1 ASAH AI = + = 2 1 25 34 4 144 144 + = => 12 34 AH = => ( ) ( ) 12 , 34 d A SBC = . Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a , đường chéo AC a = . SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của AB. Hãy tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo a . Phân tích Đầu tiên ta xem SI có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không, nếu vuông góc thì SI sẽ vuông góc với một đường nằm trong (SBC). Khi đó ta dựng được mặt phẳng chứa SI và vuông góc với mặt phẳng (SBC) như ví dụ 1 và ví dụ 2. Lời giải: Trang 7 O E I D A B C S F H Ta có ( ) ( ) ( ) ,SI AB SAB ABCD SI ABCD⊥ ⊥ ⇒ ⊥ . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE, ta có / / BC AE IF BC IF AE ⊥  ⇒ ⊥   . Ta có: ( ) . BC IF BC SIF BC SI ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Trong mặt phẳng (SIF), dựng IH SF ⊥ với H SF ∈ . Ta có: ( ) ( ) ( ) , . IH SF IH ABC d I SBC IH IH BC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ =  ⊥  Góc giữa SC và (ABCD) là · SCI nên · 0 60SCI = , · 3 3 .tan . 2 2 a a CI SI CI SCI= ⇒ = = 3 3 2 2 4 a AE a AE IF= ⇒ = = . Từ đó: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 16 52 IS 9 3 9IH IF a a a = + = + = Do đó ( ) ( ) 3 13 , 26 a d I SBC IH= = . Nhận xét: Với giả thiết đã cho nếu để ý một chút ta có thấy tam giác ABC là tam giác đều nên CI AB⊥ . Có thể không cần dựng chính xác điểm F, ta dựng IF BC⊥ và tính IF theo công thức 2 2 2 1 1 1 IF IB IC = + , từ đó suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 ISIF IB IC = + + . Trang 8 II. TÍNH KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP Khi tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) thì không phải lúc nào ta cũng dễ dàng dựng được đoạn vuông góc từ M đến (P), hoặc khi dựng được thì việc tính toán phức tạp, trong trường hợp đó ta có thể tính khoảng cách từ M đến (P) bằng một trong các cách sau: Phương pháp: 1. Dựa vào công thức ( ) ( ) . 1 . , 3 A SBC SBC V S d A SBC= để suy ra ( ) ( ) . 3 , A SBC SBC V d A SBC S = . - Chúng ta thường dùng cách này khi đa giác đối diện của đỉnh A là một đa giác đặc biệt mà ta có khả năng tính ngay được diện tích của đa giác đó. Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABC có có tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác SBC là tam giác đều cạnh 2a và ( ) SA ABC⊥ . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Trang 9 1) Dựa vào công thức ( ) ( ) . 1 . , 3 A SBC SBC V S d A SBC= để suy ra ( ) ( ) . 3 , A SBC SBC V d A SBC S = . 2) Các trường hợp đặc biệt: — Nếu ( ) / /a P và ,A B a∀ ∈ thì ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d A P d B P= — Nếu ( ) ( ) / /P Q và ( ) ,A B Q∀ ∈ thì ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d A P d B P= 3) Sử dụng tỉ số khoảng cách: cho hai điểm A,B và mặt phẳng (P). Gọi ( ) I AB P= ∩ , khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) , , d A P IA IB d B P = P B' I A A' B ( ) ( ) ( ) ( ) , , d A P IA IB d B P = a 2 A B C S Nhận xét: Tam giác SBC là tam giác đều nên diện tích của tam giác SBC ta có thể tính dễ dàng. Vậy để tính ( ) ( ) ,d A SBC ta hướng tới sử dụng công thức ( ) ( ) . 3 , A SBC SBC V d A SBC S = . Trước đó ta cần đi tính thể tích khối .A SBC V . Lời giải: Tam giác SBC là tam giác đều cạnh 2a nên suy ra 2SB a= . Tam giác vuông cân tại A nên AB=AC và 2 2 2 AC AB BC+ = . Suy ra 2 2 2 2 2AB BC a AB a= = ⇒ = Xét tam giác SAB vuông ở A ta có: ( ) 2 2 2 2 2SA SB AB a a a= − = − = Suy ra diện tích tam giác ABC bằng: 2 1 . 2 2 a AB AC = Vậy thể tích khối S.ABC bằng 2 3 . 1 1 . . . 3 3 2 6 S ABC ABC a a V S SA a= = = * Từ công thức tính thể tích ( ) ( ) . 1 . . , 3 A SBC SBC V S d A SBC= ta có: ( ) ( ) . 3 , A SBC SBC V d A SBC S = Tam giác SBC là tam giác đều nên: 2 0 1 3 . 2. 2 sin 60 2 2 SBC a S a a= = Vậy: ( ) ( ) 3 2 3. 6 , 3 3 2 a a d A SBC a = = .  Nhận xét: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng dựa vào thể tích của khối chóp là một cách làm hay và thường được sử dụng. Vì vậy để thực hiện được phương pháp này người làm toán cần phải nhận xét được đa giác đối diện của điểm đó có gì đặc biệt ( chẳng hạn tam giác vuông, tam giác đều hay hình vuông….) để ta đi tìm dữ kiện tính diện tích của đa giác. Để thành thạo với cách làm này học sinh cần thực hành với nhiều bài tập nhằm làm quen với cách nhận diện đa giác tính diện tích đa giác đó. Trang 10 [...]... hẳn trong đó có cả một số em có học lực khá Nguyên nhân là các em chưa nắm được phương pháp giải, hoặc nắm một cách hời hợt và đặc biệt là các em gặp vấn đề ở khâu tiếp cận bài toán, các em thường không biết xuất phát từ chỗ nào Năm học 2013-2014 tôi dạy lại lớp 12 và tôi quyết định triển khai chuyên đề của mình “ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 ... 23 GIẢI PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Một số công thức tính khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; y B ; z B ) : ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = 0 2 AB = d ( M ,( P) ) = 2 2 ax0 + by0 + cz0 + d a 2 + b2 + c 2 1 Khoảng cách từ... ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Tính VA.SBC , S SBC ⇒ d ( A, ( SBC ) ) Đáp số d ( D, ( SBC ) ) = a 3 ) Trang 17 GIẢI PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau luôn là bài toán khó với phần lớn học sinh Để giải quyết được bài toán này học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản sau: 1 Cách tìm đường thẳng vuông... học sinh của mình Bước đầu tôi đã thấy một số kết quả đáng mừng Đa số các em đã tự hệ thống lại cho mình về các kiến thức về phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian Số học sinh bỏ ý này ít đi, các em hào hứng trong việc tính khoảng cách, biết tìm tòi, tìm điểm xuất phát của bài toán Kết quả thu được được so sánh ở hai bảng sau: Số lượng Tỉ lệ ( %) Kết quả của năm học 2010-2011 (Lớp 12A2,... này đã tăng lên rõ rệt 2 Bài học kinh nghiệm Trang 30 Sau khi học sinh học xong chuyên đề, đa số học sinh đã không còn “sợ” phần tính khoảng cách nữa Phần lớn các em đã tự hệ thống cho mình các phương pháp tính khoảng cách đối với từng dạng bài tập, các em đã biết phác thảo các bước chính trong việc giải quyết bài toán Đối với một số học sinh giỏi và khá thì có thể hướng dẫn các em tự đặt thêm vấn đề... dụng cách giải đã có hoặc giải tương tự 3 Kiến nghị-kết luận Việc tiếp cận bài toán là một phần khó trong việc giải quyết vấn đề, nhất là phần tính khoảng cách, chuyên đề mang lại cho học sinh cái nhìn đơn giản hơn đối hình học không gian đặc biệt là việc tính khoảng cách, giúp các em nắm kiến thức cơ bản, tự tin tìm tòi, sáng tạo Chuyên đề giúp các em tự tóm tắt các bước làm trong việc giải toán, ... EI 3 3 5 Nhận xét: Sử dụng tỉ số khoảng cách ta có thể tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua điểm khác, quan trọng là biết cách xuất phát từ điểm nào trước Từ dấu hiệu SI ⊥ ( ABCD ) , ta chọn khoảng cách từ điểm I đến (SBC) bằng Trang 16 phương pháp trực tiếp trước Sau đó dựa vào tỉ số khoảng cách để suy ra khoảng cách cần tìm Bài tập áp dụng 1 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên... 12A2, 12A3 Tổng số học sinh: 82 học sinh) Bỏ câu Có suy nghĩ Tìm được hướng tính nhưng không giải quyết nhưng khoảng tìm được hướng sai ở phần tính cách giải quyết toán 50 18 5 61 22 6 Số lượng Tỉ lệ ( %) Kết quả của năm học 2013-2014 (Lớp 12C6, 12C7 Tổng số học sinh: 76 học sinh) Bỏ câu Có suy nghĩ Tìm được hướng tính nhưng không giải quyết nhưng khoảng tìm được hướng sai ở phần tính cách giải quyết toán. .. phẳng chứa SC và song song với AB nên khoảng cách giữa AB và SC bằng khoảng cách giữa AB và (SCD) Đến đây bài toán lại quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Ta cần khéo léo trong việc chọn một điểm nằm trên cạnh AB, ta thường nghĩ tới những điểm đặc biệt trên đoạn AB như trung điểm của đoạn AB Cách tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau dựa vào khoảng cách giữa một đường với một mặt chứa... thế nào? Gợi ý: Khoảng cách này bằng khoảng cách từ B đến (AMC), vậy ta cũng quy về tính khoảng cách từ B đến (AMC) Ví dụ 3 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = SA = 2a, SA ⊥ ( ABC ) Gọi M là trung điểm của cạnh AC a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM Hướng giải quyết : Nhận thấy điểm A là hình chiếu vuông . PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài. pháp 3: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.  Giải pháp 4: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong hình học giải tích trong không gian. Trang. pháp 1: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.  Giải pháp 2: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.  Giải pháp