một số phương trình trong thang các không gian banach

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Lai Văn Phút MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TRONG THANG CÁC KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Lai Văn Phút MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TRONG THANG CÁC KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỞ ĐẦU Trong nhiều phương trình xuất phát Tốn học hay Khoa học Tự nhiên, ta thường gặp tình ánh xạ xét biến khơng gian, ta muốn tìm nghiệm vào không gian rộng Điều làm cho việc áp dụng Phương pháp quen thuộc để chứng minh tồn nghiệm định lí điểm bất động, định lí hàm ẩn, hàm ngược,… gặp khó khăn Một phương pháp khắc phục khó khăn sử dụng thang không gian Banach chứng minh định lí quen thuộc cho ánh xạ tác động không gian thang không gian Banach Đây hướng nghiên cứu Giải tích phi tuyến, phát triển từ năm 1970 tìm ứng dụng có ý nghĩa Lí thuyết phương trình vi phân, Vật lí, Lí thuyết hàm phức,… Nó phát triển hoàn thiện, hứa hẹn nhận kết lí thuyết ứng dụng Trong luận văn này, tơi trình bày chi tiết số tốn thang khơng gian Banach tốn Cauchy cho phương trình vi phân, định lí hàm ẩn, số định lí điểm bất động ánh xạ dạng ε − δ co Luận văn (ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo mục lục) trình bày chương Chương Bài tốn Cauchy thang khơng gian Banach Trong chương này, tơi trình bày chi tiết chứng minh kết tồn nghiệm địa phương nghiệm tồn cục phương trình vi phân phi tuyến Đặc biệt, trường hợp tuyến tính, tơi trình bày thêm mở rộng định lí Ovcyannikov tồn nghiệm tồn cục phương trình vi phân Chương Định lí hàm ẩn thang khơng gian Banach Trong chương này, tơi trình bày chi tiết chứng minh định lí hàm ẩn thang khơng gian Banach ứng dụng vào việc chứng minh tồn nghiệm phương tr ình hàm Schr ӧder Chương Ánh xạ dạng 𝛆 − 𝛅 co thang không gian Banach Trong chương này, tơi trình bày mở rộng định lí điểm bất động ánh xạ dạng ε − δ co lên trường hợp ánh xạ tác động thang không gian Banach LỜI CÁM ƠN Trước tiên, xin chân thành cám ơn PGS TS Nguyễn Bích Huy Mặc dù Thầy bận nhiều công việc tận tình hướng dẫn tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn đến quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Giải tích khóa 20, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người truyền đạt nhiều kiến thức cho Sau cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè khuyến khích, động viên giúp đỡ nhiều suốt trình học tập hồn thành luận văn MỤC LỤC MỞ ĐẦU LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC Chương BÀI TOÁN CAUCHY TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH .6 1.1.Trường hợp phi tuyến 1.1.1 Nghiệm địa phương 1.1.2 Nghiệm toàn cục 13 1.2.Nghiệm tồn cục trường hợp tuyến tính 18 1.1.3 Định lí tồn nghiệm toàn cục 18 1.2.2 Độ đo phi compact 25 1.2.3 Định lí 26 Chương ĐỊNH LÍ HÀM ẨN TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH 31 2.1.Định lí hàm ẩn 31 2.1.1 Định nghĩa 31 2.1.2 Định lí định lí hàm ẩn 31 2.2.Ứng dụng cho phương trình hàm Schrӧder 39 2.1.3 Phương trình hàm Schrӧder 39 2.1.4 Số Liouville 39 2.1.5 Định lí tồn nghiệm phương trình hàm Schrӧder 39 Chương ÁNH XẠ DẠNG 𝛆 − 𝛅 CO TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH 52 3.1.Định nghĩa 52 3.2.Định lí 52 3.3.Định lí 53 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Chương BÀI TỐN CAUCHY TRONG THANG CÁC KHƠNG GIAN BANACH 1.1.Trường hợp phi tuyến 1.1.1 Nghiệm địa phương 1.1.1.1 Định nghĩa Xét {Xs , < 𝑠 < s0 } họ tham số không gian Banach cho X s ⊂ X s′ , ‖ ‖s′ ≤ ‖ ‖s ′ với < s < 𝑠 < s0 , ‖ ‖s chuẩn X s Cho phương trình u = F(u(t), t) (𝟏 𝟏) � t u (0) = thang không gian Banach Dễ thấy toán (𝟏 𝟏) tương đương với toán sau u(t) = T�u(t)� t = � F(u(τ), τ)dτ (𝟏 𝟐) Ta đặt điều kiện sau cho F(u, t) 1.1.1.2 Giả thiết a) Cho số s0 , r, λ > với cặp số s, s′ thỏa s0 < s′ < 𝑠 < s0 , ≤ t < λ Ánh xạ biến (u, t) → F(u, t) ánh xạ liên tục từ s {u ∈ X s : ‖u‖s < 𝑟} × [0, ) → X s′ λ b) Với s0 < s′ < 𝑠 < s0 , ≤ t < λ u, v ∈ X s thỏa ‖u‖s < 𝑟, ‖v‖s < 𝑟 ta có ‖F(u, t) − F(v, t)‖s′ c (𝟏 𝟑) ‖u − v‖s ≤ s − s′ c số độc lập với s, s′ , u, v, t s c) F(0, t) hàm liên tục biến t ∈ [0, 0) lấy giá trị X s , < 𝑠 < s′ thỏa mãn ‖F(0, t)‖s ≤k với k số cố định λ (𝟏 𝟒) 1.1.1.3 Định lí tồn nghiệm địa phương Giả sử tồn số dương s0 , r, c, k có số λ0 > cho giả thiết 1.1.1.2 thỏa với λ > λ0 Khi đó, tồn hàm số khả vi, liên tục u(t) lấy giá trị X s , < 𝑠 < s0 , ‖u(t)‖s < 𝑟 với s0 − s 0≤t< λ thỏa mãn (𝟏 𝟏) Dễ thấy trường hợp λ = λ0 định lí áp dụng Chứng minh Với γ ≥ 0, xét khơng gian Banach có trọng 𝕊γ gồm hàm liên tục u(t) lấy giá trị X s , s + λt < s0 với chuẩn ‖u‖γ = sup (s0 − s s+λt ‖F(u, t) − F(v, t)‖(γ+1) (𝟏 𝟔) ≤ 2γ+1 c‖u − v‖γ c số (𝟏 𝟑) Chứng minh Cho < s′ < 𝑠 < s0 cố định Từ giả thiết 1.1.1.2 a hàm F(u, t) lấy giá trị X s′ liên tục s0 − s u = u(t) ∈ 𝕊γ , ≤ t < λ ′ Vì s chọn gần s tùy ý nên điều s0 − s′ 0≤t< λ Tiếp theo ta cố định s0 − s′ s0 ′ < s < s0 , ≤ t < < λ λ ρ ′ ′ đặt ρ = s0 − s − λt > 0, 𝑠 = s + Ta có < s′ < 𝑠 < s0 ρ s0 − s − λt = =s − s′ Theo giả thiết u(t), v(t) ∈ 𝕊0 , ‖u‖(0) < 𝑟, ‖v‖(0) < 𝑟 (𝟏 𝟓) nên ‖u‖s < 𝑟, ‖v‖s < 𝑟 Do theo (𝟏 𝟑) ta (𝟏 𝟕) ‖F(u(t), t) − F(v(t), t)‖s′ ≤ Suy c ‖u(t) − v(t)‖s s − s′ (s0 − s′ − λt)γ+1 ‖F(u(t), t) − F(v(t), t)‖s′ c (s0 − s′ − λt)γ+1 ‖u(t) − v(t)‖s ≤ ′ s−s c (s0 − s′ − λt)γ+1 ‖u − v‖(γ) �do (𝟏 𝟓)� ≤ ′ γ s − s (s0 − s − λt) c ργ+1 ‖ ‖(γ) �do cách đặt ρ (𝟏 𝟕)� =ρ ρ γ u−v �2� = 2γ+1 c‖u − v‖(γ) Từ (𝟏 𝟓) ta có ‖F(u, t) − F(v, t)‖(γ+1) ≤ 2γ+1 c‖u − v‖(γ) Bổ đề chứng minh xong Bổ đề Cho γ > 0, 𝑢(𝑡) ∈ 𝕊γ+1 ta có t (γ) �� u(τ)dτ� ≤ Chứng minh Ta có ‖u‖(γ+1) γλ t �� u(τ)dτ� s t ≤ �‖u(τ)‖s dτ t ≤ �(s0 − s − λτ)−γ−1 ‖u‖(γ+1) dτ �do (𝟏 𝟓)� t �(s0 − s − λτ)−γ ‖u‖(γ+1) ��0 γλ ≤ (s0 − s − λt)−γ ‖u‖(γ+1) , ∀s + λt < s0 γλ Do theo (𝟏 𝟓) = t (γ) �� u(τ)dτ� t = sup (s0 − s − λτ)γ �� u(τ)dτ� s+λt