phép tính vi phân trên không gian banach

Đạo hàm bậc hai của hàm có giá trị vectơ .... Đạo hàm bậc cao của hàm có giá trị vectơ.... Công thức Taylor cho hàm số thực theo nhiều biến số thực.... Công thức Taylor cho hàm có giá tr

3

MỤC LỤC

Phần I: PHÉP TÍNH VI PHÂN – TÍCH PHÂN

TRÊN KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 7

Chương 1: Sự khả vi của hàm có giá trị vectơ 9

1.1 Giới hạn và liên tục 9

1.1.1 Không gian  9 n 1.1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm có giá trị vectơ 12

1.2 Sự khả vi của hàm có giá trị vectơ 14

1.2.1 Ánh xạ tuyến tính 14

1.2.2 Sự khả vi 16

1.2.3 Ánh xạ đạo hàm 20

1.3 Đạo hàm theo hướng 24

Chương 2: Đạo hàm bậc cao – Công thức taylor 29

2.1 Đạo hàm bậc hai 29

2.1.1 Hàm song tuyến tính 29

2.1.2 Đạo hàm bậc hai của hàm có giá trị vectơ 32

2.1.3 Thí dụ 35

2.2 Đạo hàm bậc cao 38

2.2.1 Dạng k–tuyến tính 38

2.2.2 Hàm k–tuyến tính 40

2.2.3 Đạo hàm bậc cao của hàm số thực theo n biến số thực 43

2.2.4 Đạo hàm bậc cao của hàm có giá trị vectơ 48

2.3 Công thức Taylor 51

2.3.1 Công thức Taylor cho hàm số thực theo nhiều biến số thực 51

2.3.2 Công thức Taylor cho hàm có giá trị vectơ 54

Chương 3: Các định lý quan trọng 59

3.1 Hàm ngược 59

3.2 Hàm ẩn 62

3.3 Đạo hàm riêng của hàm ngược – hàm ẩn 65

3.3.1 Đạo hàm riêng của hàm ngược 65

3.3.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn 66

4

3.4 Định lý Sard 69

Chương 4: Cực trị địa phương 75

4.1 Cực trị địa phương của hàm số 75

4.2 Cực trị có điều kiện 81

4.3 Cực đại – Cực tiểu 87

Chương 5: Tích phân bội 91

5.1 Định nghĩa tích phân 91

5.1.1 Định nghĩa 91

5.1.2 Tích phân 92

5.2 Sự khả tích 93

5.2.1 Tập độ đo 0 93

5.2.2 Hàm khả tích 94

5.3 Tập Jordan đo được 100

5.4 Công thức tích phân lặp 102

5.5 Công thức đổi biến 105

5.5.1 Phủ mở 105

5.5.2 Phân hoạch đơn vị 109

5.5.3 Công thức đổi biến 111

Chương 6: Dạng vi phân 121

6.1 Đại số ngoài 121

6.1.1 Hàm đa tuyến tính phản đối xứng 121

6.1.2 Tích ngoài 124

6.2 Dạng vi phân 125

6.2.1 Định nghĩa 125

6.2.2 Vi phân ngoài của dạng vi phân 127

6.2.3 Dạng đóng – Dạng khớp 130

6.2.4 Ảnh ngược của dạng vi phân 135

Chương 7: Tích phân của dạng vi phân 141

7.1 Hình hộp kỳ dị 141

7.1.1 Định nghĩa 141

7.1.2 Hình hộp kỳ dị thông dụng 141 7.1.2.1 Đường cong trong  141 n

5

7.1.2.2 Mặt cong trong  142 3 7.1.2.3 Hình hộp kỳ dị (n 1) chiều trong  146 n

7.2 Tích phân trên hình hộp kỳ dị 153

7.2.1 Định nghĩa 153

7.2.2 Đổi biến trong tích phân của dạng vi phân 155

7.2.3 Thí dụ và Ghi chú 157

7.3 Công thức Stokes trên xích kỳ dị 162

7.3.1 Biên của hình hộp kỳ dị 162

7.3.2 Công thức Stokes 167

7.4 Các định lý cổ điển 170

TÀI LIỆU THAM KHẢO 175

Phần II: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 177

Chương 1: Không gian Banach 179

1.1 Bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski 179

1.2 Không gian Banach 183

1.3 Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục 191

1.4 Tập compắc trong không gian Banach 197

1.5 Tập compắc trong C K ( , m) 197

Chương 2: Đạo hàm – Công thức Taylor 201

2.1 Sự khả vi 201

2.2 Định lý giá trị trung bình 209

2.3 Đạo hàm riêng 214

2.4 Đạo hàm bậc cao – Công thức Taylor 233

2.4.1 Đạo hàm bậc cao 233

2.4.2 Ánh xạ đa tuyến tính 234

2.4.3 Công thức Taylor 243

Chương 3: Ánh xạ ngược – Ánh xạ ẩn – Cực trị địa phương 253

3.1 Ánh xạ ngược – Ánh xạ ẩn 253

3.2 Cực trị địa phương 258

6

Chương 4: Cực trị có điều kiện 265

4.1 Cực trị có biên cố định 265

4.1.1 Đa tạp tuyến tính 265

4.1.2 Bài toán biến phân 268

4.2 Cực trị với một biên di động 283

4.2.1 Trường hợp một biến 283

4.2.2 Trường hợp hàm nhiều biến 284

4.2.3 Thí dụ 286

4.3 Cực trị có điều kiện với ràng buộc 290

4.3.1 Bài toán cực trị có điều kiện với ràng buộc là một số hữu hạn phương trình hoặc phương trình vi phân 290

4.3.2 Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát 299

Chương 5: Định lý Minimax & Ứng dụng trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên 303

5.1 Định lý đường đèo (Mountain Pass) 303

5.1.1 Điều kiện Palais – Smale 303

5.1.2 Định lý đường đèo 304

5.1.3 Bổ đề biến đổi số lượng 310

5.1.4 Định lý đường đèo 311

5.1.5 Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính 313

5.1.6 Kỳ dị phi tuyến 315

5.2 Nguyên lý Minimax tổng quát 321

TÀI LIỆU THAM KHẢO 333

9

Chương 1

SỰ KHẢ VI CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ

1.1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

iii) x y  x  y (Bất đẳng thức tam giác)

Nếu  là chuẩn trên n thì cặp n,   là không gian định chuẩn

Chuẩn Euclide trên n định bởi:

Với x x x1 2, , ,x n n thì

1 2 2 2

1

n i i

2

 trên n được gọi là tương đương, ký hiệu

2

   nếu tồn tại hai số dương ,a b  sao cho: 0

2

a x  x b x với mọi x   n

d) n,   là không gian Banach

 tương đương

Tập mở – Liên thông:

Trong n với chuẩn Euclide

Chứng minh:

Trên D đặt quan hệ  như sau:

x y khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B B1, 2, ,B thỏa k

mãn (*)

Khi đó  là quan hệ tương đương trên D

Với x D, đặt x y D x: y là lớp tương đương của x Khi đó:

 x x với mọi x D

 Với ,x y D thì x y hoặc x   y

Với x D, ta chứng minh x là tập mở

Với y x thì x y nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B B1, 2, ,B k

chứa trong D, thỏa mãn (*) Khi đó với z B k thì y z nên x  hay z z x Suy ra: B k  Vậy x x là tập mở

Cố định x D, ta chứng minh x  D và như vậy mệnh đề được chứng minh Giả sử D x  \ Đặt O1  và x 2

Với ,x y D, tồn tại các quả cầu mở B B1, 2, ,B chứa trong k D thỏa mãn (*)

Lấy x x1, x2 B1B2, …, x i B i B i1, … và x k  y

Đường gấp khúc  gồm các đỉnh liên tiếp x x1 2, , ,x chứa trong k D , nối x

và y

1.1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm có giá trị vectơ

Trên n và p với chuẩn Euclide

1

n i i

1

p j j

c) Cho f D  : p, f f f1 2, , ,f p và x0  Ta nói: D

f liên tục tại x 0  Với mọi  0, tồn tại  0 sao cho khi x D,

f liên tục tại x 0  f j liên tục tại x với mọi 0 j 1,2, ,p c) Nếu x0  thì: D

f liên tục tại x 0  lim k 0

  thì lim ( )k ( )0

Có thể định giá trị f(0, 0) để f liên tục tại (0, 0)?

1.2 SỰ KHẢ VI CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ

1.2.1 Ánh xạ tuyến tính

Trên n và p có hai cơ sở chính tắc:

Với A L  n, p thì A liên tục Đặt: A  maxA x( ) :2 x2 1 và gọi

A là chuẩn của A

Khi đó  là chuẩn trên L   n, p thỏa mãn:

Cho D là tập mở trong n và f D  : p, f f f1 2, , ,f p

Ta nói: f khả vi tại x D nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A: n  p sao cho với mọi h   n mà x  h D thì:

2

17

với  xác định gần 0 n

 có giá trị trong p thỏa mãn:

Cho D mở trong n, f D  : p, f f f1 2, , ,f p

a) Nếu f f f1 2, , ,f p khả vi tại x D thì f liên tục tại x

b) Ánh xạ tuyến tính A, nếu có sẽ duy nhất Đặt A f x( ) và gọi là đạo

hàm của f tại x

c) Đặc biệt, nếu f : n  p là ánh xạ tuyến tính thì f khả vi tại mọi

b) Giả sử tồn tại A A1, 2 : n  p cùng thỏa mãn (*)

Với mọi u   n, do D là tập mở x D nên tồn tại   0 sao cho

x tu D với mọi 0 t  Thay h tu, ta có:

1( ) 2( )

A u A u với mọi u   n Vậy A1 A2

c) Với h   n , do f tuyến tính, ta có:

18

Định lý 1.1: (Định lý đạo hàm của hàm hợp)

Cho U là tập mở trong n, V là tập mở trong p và f U:  , V

g V  

Giả sử: f khả vi tại x , g khả vi tại f x( )

Khi đó: g  khả vi tại x và f (g f ) ( ) x  g f x ( ) f x( )

Cho D là tập mở trong n, f D  : p, f f f1 2, , ,f p Khi đó:

f khả vi tại x D nếu và chỉ nếu f f1 2, , ,f p khả vi tại x

Hơn nữa, đạo hàm ( )f x có ma trận biểu diễn cho bởi:

y  y y y , p y y i 1 2, , ,y p y i, p là phép chiếu thành phần thứ i i, thì p i

tuyến tính Suy ra: f i  p i  khả vi tại x và: f

20

1.2.3 Ánh xạ đạo hàm

Định lý 1.3:

Cho D là tập mở trong n, f D  : p, f f f f1 2 3, , 

Khi đó: Ánh xạ đạo hàm f  liên tục trên D nếu và chỉ nếu các đạo hàm

riêng của các hàm thành phần i

j

f x

Từ bất đẳng thức (1) suy ra:

Cho D là tập mở trong n, f D  : p, f f f f1 2 3, ,  Giả sử f khả vi trên

Định lý Banach-Steinhaus: (không chứng minh)

Cho ,X Y là không gian Banach và  T i i I

 là họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đó:

- Hoặc tồn tại N  0 sao cho: T i N , với mọi i I

- Hoặc tồn tại tập G trù mật trong X sao cho với mọi x G thì:

Cho D là tập mở liên thông trong n

a) Giả sử f D  : p khả vi trên D và

Khi đó: f là hàm hằng

b) Với mọi k  , cho f k :D   p khả vi trên D Giả sử dãy ánh xạ đạo hàm  f  k k hội tụ đều về ánh xạ g D:  L n, p trên mỗi tập con đóng bị chặn trong D và tồn tại x0  sao cho dãy phần tử D  k( )0 

k

f x

hội tụ trong p

Khi đó tồn tại hàm f D  : p khả vi trên D sao cho  f k k hội tụ từng điểm

về f trên D và ( )g x  f x( ) với mọi x D

22

Suy ra: f x( )1  f x( )0

Tương tự, suy ra: f x( )0  f x( )1   f x( )k  f x( )

Vậy f là hàm hằng

b) Do x0  và D D là tập mở nên tồn tại r 0 sao cho quả cầu đóng

0

( , )

B x r D Đặt K  B x r( , )0 thì K là tập đóng, bị chặn chứa trong D

Với mọi ,k l   và x K , do mệnh đề 1.6, ta có:

23

Với   0 cho trước, do  f  k k hội tụ đều về g trên K nên tồn tại k   sao 0

cho với k k0 và l   thì:

Điều này chứng tỏ f khả vi tại x và ( ) f x g x( ) với mọi x B x r( , )0

Với mọi x D, do D là tập mở liên thông nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B B0, 1, ,B chứa trong m D sao cho:

x B , B i B i1   , i 1,m , 1 x B m

Ta có thể giả sử các quả cầu đóng tương ứng B B0, 1, ,B m  D

Lấy x1 B0 B1, x2 B1B2, , x m B m1 B m Theo chứng minh trên

 f k k hội tụ đều về f trên B , f khả vi trên 0 B và ( )0 f x g x( ) với mọi x B0 Lập lại chứng minh trên cho B với i x thay cho i x Tiếp tục một số hữu hạn lần, 0

ta có  f k k hội tụ về f trên B , m f  khả vi trên B và ( ) m f y g y( ) với mọi

Giả sử D f x u ( ) tồn tại theo mọi hướng u   n thì D f x u ( ) : n  p ( )

u

D f x là hàm theo biến u   n có giá trị trong p

Trường hợp D f x u ( ) phụ thuộc tuyến tính theo u , nghĩa là tồn tại ánh xạ

tuyến tính ( ) :x n  p sao cho:

Cho D là tập mở trong n, f D  : p, f f f1 2, , ,f p

a) Nếu f khả vi tại x D thì f cũng khả vi Gateaux tại x và

Theo định nghĩa, f khả vi Gateaux tại x và ( )  x  f x( )

b) Cố định x D Do f khả vi Gateaux tại x nên với mọi i 1,n,

i i t

( )

i

i

i p

i

f x x



 , 2i

f x



 , ,

p i

f x



 liên tục theo x Cho i thay đổi từ 1 đến n , ta có:

1 1

f x



 , 12

f x



 , , 1n

f x



 liên tục trên D

1

j f x



j f x



 , ,

j n

f x



 liên tục trên D với mọi j 1,p

Vậy f khả vi liên tục trên D và ( )f x ( )x tại mọi x D

Định lý được chứng minh

a) Xét sự khả vi của f tại (0, 0) Tính (0, 0)f  nếu có

b) Xét tính liên tục của đạo hàm f  tại mọi ( , )x y  2, đặc biệt tại (0, 0)

28

29

Chương 2

ĐẠO HÀM BẬC CAO – CÔNG THỨC TAYLOR

2.1 ĐẠO HÀM BẬC HAI

2.1.1 Hàm song tuyến tính

Biểu diễn của hàm song tuyến tính:

Chuẩn trên n và p là chuẩn Euclide

Cho A:nn  p, AA A1, 2, ,A p là hàm song tuyến tính

Các hàm thành phần A A1, 2, ,A p :nn   là phiếm hàm song tuyến tính Xét hàm thành phần A1 : n n   song tuyến tính Với x y  , n,

Đây là ma trận vuông n hàng, n cột

Do AA A1, 2, ,A p nên có thể biểu diễn hàm song tuyến tính A bằng một tập gồm p tờ giấy, mỗi tờ là một ma trận vuông n n

Ta ký hiệu L  2 n, p là tập hợp tất cả hàm song tuyến tính từ n n

vào p Khi đó L  2 n, p là không gian vectơ trên , số chiều

dimL  n, p  pn Ta đồng nhất (về Đại số) L2 n, p pn2

Chuẩn của hàm song tuyến tính:

Cho A: n n  p là hàm song tuyến tính, AA A1, 2, ,A p với

(N3) AB  A  B (Bất đẳng thức tam giác) với mọi

Với mỗi i 1,n cố định, ta có:

1

( , )

n k

n k

ij j j

, ,

k ij

32

Từ bất đẳng thức (1), ta có:

2

k ij

Cho D là tập mở trong n, f D  : p, f f f1 2, , ,f p khả vi tại mọi

x D Ánh xạ đạo hàm f:D  L n, p biến mỗi x D thành đạo hàm



 , i 1,p, j 1,n Vậy ánh xạ

đạo hàm f:D  L n, p có np thành phần i

j

f x

với  xác định gần 0 n

 có giá trị trong L   n, p thỏa mãn:

, 0

Ánh xạ tuyến tính A, nếu có, sẽ duy nhất và đặt A f(2)( )x gọi là đạo hàm

bậc hai của f tại x

Xem phần tử A L n,L n, p , A: n L n, p là ánh xạ tuyến tính

Vậy A tuyến tính theo biến thứ nhất u khi v cố định

Cố định u   n với v v  , n và ,a b   , ta có:

Vậy A tuyến tính theo biến thứ hai v khi u cố định

Vậy A là hàm song tuyến tính từ nn vào p

Ta đồng nhất Ln,L n, p  L2  n, p

Vậy theo định nghĩa đạo hàm bậc hai của f tại x , f(2)( )x là hàm song tuyến tính từ nn vào p

Sự tồn tại đạo hàm bậc 2:

Do f:D  L n, p và do L n, p,  np,2, áp dụng định lý 1.2, ta có:



 , i 1,p, j 1,n khả vi tại x

Biểu thức của đạo hàm bậc 2:

Ta có f(2)( ) :x n n  p là hàm song tuyến tính,

  , ,i j 1,n, k 1,p liên tục trên D

Giả sử f có đạo hàm bậc hai trên D Ánh xạ đạo hàm bậc hai

     Ánh xạ đạo hàm f(2) là hàm

có giá trị vectơ trong pn2, f(2) có pn2 thành phần

35

Định lý 2.2:

Cho D là tập mở trong n, f D  : p, f f f1 2, , ,f p Khi đó: Đạo hàm bậc hai f(2) liên tục trên D nếu và chỉ nếu tất cả các đạo hàm riêng bậc hai của các hàm thành phần

  , k 1,p, ,i j 1,n liên tục trên D

Trường hợp f C D2( ), do định lý Schwartz, ta có:

    với mọi ,i j 1,n và x D

Khi đó, ma trận biểu diễn của f k(2)( )x là ma trận đối xứng

f x là phiếm hàm song

tuyến tính đối xứng, nghĩa là:

(2)( )( , ) (2)( )( , )

f x u v  f x v u với mọi u v  , n Như vậy đạo hàm bậc hai f2)( )x là hàm song tuyến tính đối xứng, nghĩa là:

Do A là hàm xạ song tuyến tính nên  là hàm song tuyến tính Vậy A khả

vi tại ( , )x y và đạo hàm bậc hai tại A(2)( , )x y   với mọi ( , )x y  n m Vậy đạo hàm bậc hai A(2) là ánh xạ hằng

Chú ý rằng ánh xạ đạo hàm bậc hai A(2) là ánh xạ hằng nên A(2) liên tục trên n m Vậy với mọi ( , )x y  nm, A(2)( , )x y là ánh xạ song tuyến tính đối xứng

Thật vậy, với ( , ),( , )u v s t  n m, ta có:

3 Cho D là tập mở trong n, f D  : p khả vi trên D Giả sử f có đạo hàm

bậc hai tại x0  D

Với mỗi u   n cố định, đặt g D  : p định bởi:

38

g x  f x u với mọi x D Chứng minh g khả vi tại x và 0 g x( )( )0 v  f(2)( )( , )x0 u v

4 Cho D là tập mở trong n, f D  : p và A L  p, p Giả sử f có

đạo hàm bậc hai tại x D Chứng minh A f có đạo hàm bậc hai tại x và

39

Thí dụ:

Đặt L   k n,  là tập hợp các dạng k-tuyến tính trên n Với phép cộng ánh xạ và phép nhân số thực với ánh xạ thì L   k n,  là một không gian vectơ trên  và dimL k n, n k

Nếu A L k n,  thì A liên tục Đặt:

max , , , k , i 1 , 1,2, ,

và gọi là chuẩn của dạng k-tuyến tính A Khi đó  là chuẩn trên L   k n, 

nghĩa là với A B, L k n,  và    thì:

1

, , ,

k j

40

1 2 2

Hàm A:n  n (k lần)  p là k – tuyến tính nếu A là hàm theo k

biến và A tuyến tính theo mỗi biến khi (k 1) biến còn lại cố định nghĩa là: Với

2

Nếu A L k n, p thì A liên tục Đặt:

max , , , k , j 1 , 1,2, ,

và gọi là chuẩn của hàm k-tuyến tính A

Khi đó  là chuẩn trên L   k n, p, nghĩa là với A B, L k n, p và

   thì: