phép tính vi phân trên không gian banach

MỤC LỤC Phần I: PHÉP TÍNH VI PHÂN – TÍCH PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Chương 1: Sự khả vi hàm có giá trò vectơ 1.1 Giới hạn liên tục 1.1.1 Không gian n .9 1.1.2 Giới hạn liên tục hàm có giá trò vectơ 12 1.2 Sự khả vi hàm có giá trò vectơ .14 1.2.1 Ánh xạ tuyến tính 14 1.2.2 Sự khả vi .16 1.2.3 Ánh xạ đạo hàm 20 1.3 Đạo hàm theo hướng 24 Chương 2: Đạo hàm bậc cao – Công thức taylor 29 2.1 Đạo hàm bậc hai .29 2.1.1 Hàm song tuyến tính 29 2.1.2 Đạo hàm bậc hai hàm có giá trò vectơ 32 2.1.3 Thí dụ 35 2.2 Đạo hàm bậc cao 38 2.2.1 Dạng k–tuyến tính 38 2.2.2 Hàm k–tuyến tính 40 2.2.3 Đạo hàm bậc cao hàm số thực theo n biến số thực 43 2.2.4 Đạo hàm bậc cao hàm có giá trò vectơ 48 2.3 Công thức Taylor 51 2.3.1 Công thức Taylor cho hàm số thực theo nhiều biến số thực 51 2.3.2 Công thức Taylor cho hàm có giá trò vectơ 54 Chương 3: Các đònh lý quan trọng 59 3.1 Hàm ngược 59 3.2 Hàm ẩn 62 3.3 Đạo hàm riêng hàm ngược – hàm ẩn 65 3.3.1 Đạo hàm riêng hàm ngược 65 3.3.2 Đạo hàm riêng hàm ẩn 66 3.4 Đònh lý Sard 69 Chương 4: Cực trò đòa phương 75 4.1 Cực trò đòa phương hàm số 75 4.2 Cực trò có điều kiện 81 4.3 Cực đại – Cực tiểu 87 Chương 5: Tích phân bội 91 5.1 Đònh nghóa tích phân 91 5.1.1 Đònh nghóa 91 5.1.2 Tích phân 92 5.2 Sự khả tích 93 5.2.1 Tập độ đo 93 5.2.2 Hàm khả tích .94 5.3 Tập Jordan đo 100 5.4 Công thức tích phân lặp 102 5.5 Công thức đổi biến 105 5.5.1 Phủ mở 105 5.5.2 Phân hoạch đơn vò 109 5.5.3 Công thức đổi biến 111 Chương 6: Dạng vi phân 121 6.1 Đại số 121 6.1.1 Hàm đa tuyến tính phản đối xứng 121 6.1.2 Tích 124 6.2 Dạng vi phân 125 6.2.1 Đònh nghóa 125 6.2.2 Vi phân dạng vi phân 127 6.2.3 Dạng đóng – Dạng khớp 130 6.2.4 Ảnh ngược dạng vi phân 135 Chương 7: Tích phân dạng vi phân 141 7.1 Hình hộp kỳ dò 141 7.1.1 Đònh nghóa 141 7.1.2 Hình hộp kỳ dò thông dụng 141 7.1.2.1 Đường cong n 141 7.1.2.2 Mặt cong  142 7.1.2.3 Hình hộp kỳ dò (n  1) chiều n 146 7.2 Tích phân hình hộp kỳ dò 153 7.2.1 Đònh nghóa 153 7.2.2 Đổi biến tích phân dạng vi phân 155 7.2.3 Thí dụ Ghi 157 7.3 Công thức Stokes xích kỳ dò 162 7.3.1 Biên hình hộp kỳ dò 162 7.3.2 Công thức Stokes 167 7.4 Các đònh lý cổ điển 170 TÀI LIỆU THAM KHẢO 175 Phần II: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 177 Chương 1: Không gian Banach 179 1.1 Bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Minkowski 179 1.2 Không gian Banach 183 1.3 Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục 191 1.4 Tập compắc không gian Banach 197 1.5 Tập compắc C (K , m ) 197 Chương 2: Đạo hàm – Công thức Taylor 201 2.1 Sự khả vi 201 2.2 Đònh lý giá trò trung bình 209 2.3 Đạo hàm riêng 214 2.4 Đạo hàm bậc cao – Công thức Taylor 233 2.4.1 Đạo hàm bậc cao 233 2.4.2 Ánh xạ đa tuyến tính 234 2.4.3 Công thức Taylor 243 Chương 3: Ánh xạ ngược – Ánh xạ ẩn – Cực trò đòa phương 253 3.1 Ánh xạ ngược – Ánh xạ ẩn 253 3.2 Cực trò đòa phương 258 Chương 4: Cực trò có điều kiện 265 4.1 Cực trò có biên cố đònh 265 4.1.1 Đa tạp tuyến tính 265 4.1.2 Bài toán biến phân 268 4.2 Cực trò với biên di động 283 4.2.1 Trường hợp biến 283 4.2.2 Trường hợp hàm nhiều biến 284 4.2.3 Thí dụ 286 4.3 Cực trò có điều kiện với ràng buộc 290 4.3.1 Bài toán cực trò có điều kiện với ràng buộc số hữu hạn phương trình phương trình vi phân 290 4.3.2 Bài toán cực trò có điều kiện tổng quát 299 Chương 5: Đònh lý Minimax & Ứng dụng nghiên cứu tồn nghiệm toán biên 303 5.1 Đònh lý đường đèo (Mountain Pass) 303 5.1.1 Điều kiện Palais – Smale 303 5.1.2 Đònh lý đường đèo 304 5.1.3 Bổ đề biến đổi số lượng 310 5.1.4 Đònh lý đường đèo 311 5.1.5 Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính 313 5.1.6 Kỳ dò phi tuyến 315 5.2 Nguyên lý Minimax tổng quát 321 TÀI LIỆU THAM KHẢO 333 Chương SỰ KHẢ VI CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ 1.1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1.1 Không gian n   Với n số tự nhiên, đặt n  x  x1, x 2, , x n  : x i   , i  1, n Mỗi phần tử x  n gồm n số thực, x  x1, x 2, , x n  , x i thành phần thứ i x n không gian vectơ  với phép cộng phép nhân với số thực đònh bởi: với x  x1, x 2, , x n  , y  y1, y2, , yn   n a   , x  y  x1  y1, x  y2, , x n  yn   n , ax  ax1, ax 2, , ax n   n Chuẩn: Chuẩn n , ký hiệu  , hàm số  : n     [0, ) , thỏa mãn: với x , y  n a   , i) x  0, x   x  ii) ax  a x iii) x  y  x  y (Bất đẳng thức tam giác) n   Nếu  chuẩn n cặp n ,  không gian đònh chuẩn Chuẩn Euclide n đònh bởi: Với x  x1, x 2, , x n   n n 1  x   x i2   i 1  Hai chuẩn   n gọi tương đương, ký hiệu    2 tồn hai số dương a,b  cho: a x  x b x với x  n  Sự hội tụ: Cho không gian đònh chuẩn n ,    (x ) k k dãy n ,  x k  x1k , x 2k , , x nk với k    1,2, 3,  Ta đònh nghóa: (x k ) hội tụ x  n bởi: lim x k  x theo   lim x k  x  k  k  Dãy (x k )k dãy  lim x k  x l  k ,l   Nếu dãy n ,   hội tụ ta nói  ,   không gian n Banach Mệnh đề 1.1: Cho   hai chuẩn tương đương n Khi đó: a) b) c) d) lim x k  x theo  k   lim x k  x theo  k  lim x k  x  x1, x 2, , x n  theo  k   lim x ik  x i , i  1, n k   ,   không gian Banach  ,   không gian Banach n n Chứng minh: Mệnh đề chứng minh dựa vào đònh nghóa chuẩn tương đương bất đẳng thức: với x  x1, x 2, , x n   n x i  x  x1  x   x n với i  1, n Mệnh đề 1.2: Giả sử chuẩn  n thỏa mãn: xi  x  x với i  1, n x  x1, x 2, , x n   n Khi đó:   tương đương 10 Chứng minh: Do x  x x i  x , i  1, n suy ra: x  x n x với x  n Vậy   tương đương Tập mở – Liên thông: Trong n với chuẩn Euclide  , cho x  n r  , cầu mở tâm x   bán kính r B(x , r )  x   n : x  x   r Tập D  n tập mở với x  D , tồn r  cho B(x , r )  D Tập D  n gọi tập liên thông không tồn hai tập mở O1,O2 thỏa mãn: D  O1  O2 , D  O1   , D  O2   D  O1  O2   Mệnh đề 1.3: Cho D tập mở liên thông n Khi với x , y  D tồn số hữu hạn cầu mở B1, B2, , Bk chứa D cho: x  B1 , y  Bk , Bi  Bi 1   với i  1,2, , k  (*) Từ suy ra: tồn đường gấp khúc   D nối x y Chứng minh: Trên D đặt quan hệ  sau: x  y tồn số hữu hạn cầu mở B1, B2, , Bk thỏa mãn (*) Khi  quan hệ tương đương D Với x  D , đặt x  y  D : x  y  lớp tương đương x Khi đó:  x  x với x  D  Với x , y  D x  y x  y   11  D  x x D Với x  D , ta chứng minh x tập mở Với y  x x  y nên tồn số hữu hạn cầu mở B1, B2, , Bk chứa D , thỏa mãn (*) Khi với z  Bk y  z nên x  z hay z  x Suy ra: Bk  x Vậy x tập mở Cố đònh x  D , ta chứng minh x  D mệnh đề chứng minh Giả sử D \ x   Đặt O1  x O2   y y D \x Khi O1,O2 tập mở khác rỗng thỏa mãn: D  O1  O2 O1  O2   Vậy D không liên thông Mâu thuẫn Như x  D Với x , y  D , tồn cầu mở B1, B2, , Bk chứa D thỏa mãn (*) Lấy x  x1 , x  B1  B2 , …, x i  Bi  Bi 1 , … x k  y Đường gấp khúc  gồm đỉnh liên tiếp x1, x 2, , x k chứa D , nối x y 1.1.2 Giới hạn liên tục hàm có giá trò vectơ Trên n  p với chuẩn Euclide  đònh bởi: n 1  x  x1, x 2, , x n   n , x   x i2  ,  i 1   y  y1, y2, , y p   p 1    p , y   y 2j    j 1  Đònh nghóa: Cho  D  n , ánh xạ  f : D  p f (x )  f (x1), f (x ), , fp (x )   p 12 Với x D, f (x )   p , 2) Do (u )  u 2  * u 2* 2*  u 2  * * 2 u 2S 2* Tồn r  cho: b : inf (u )   (0) u r Tồn t0  cho t0v  r (t0v )  Từ bước suy ra: max (tt0v )  c * t [0,1] Theo Bổ đề 5.6 đònh lý đường đèo,  có giá trò tới hạn c  [b, c * ] toán:   u  u  f (u )   u  H 01()    có nghiệm không tầm thường u Nhân phương trình với u  tích phân, ta u   u nghiệm (P2 ) Đònh lý chứng minh Bổ đề 5.6: Với điều kiện đònh lý 5.6, tồn hàm không âm u  H 01() \ {0} cho: v v 2 S Chứng minh: Ta giả sử   Lấy   D() hàm không âm cho   B(0, ) ,   với   , đònh nghóa: (2N ) U  (x ) :  U (x ) , u (x ) : (x )U  (x ) Đònh lý Aubin – Talenti [2] khẳng đònh: N (N  2)(N 2)4   U (x ) :  đánh giá tốt cho S (N 2)/2 2  1  x    319 2* 2* Suy ra: U   U  S N Cho   0 , ta có:  u     N  0(N 2 ) N 2* u    U   0(N 2 )  S  U 2*  0(N )  S N  0(N ) N  u   U   0(N 2 ) B (0, )   B (0,) N (N  2)2    2 N 2 N 2 N 2 N (N  2)2         N 1  x  2 x     0(N 2 ) d 2 ln   0(2 ) , N     d   0(N 2 ) , N   d số Nếu N  , ta được: u 2 u  S  d 2 ln   0(2 ) S  0(4 )1   2*  S  d 2 ln  S 1  0(2 )   với   đủ nhỏ Tương tự với N  , ta có: u u 2  S N 2*  d 2  0(N 2 )  N S    0(N )  2*  S  d 2S với   đủ nhỏ Cho   , Bổ đề chứng minh 320 (2N )  0(N 2 )  S 5.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT Trong phần ta cho chứng minh nguyên lý Minimax tổng quát vài áp dụng Đònh nghóa: Cho M không gian Mêtric X không gian đònh chuẩn h : M  X  \ {0} ánh xạ liên tục Một trường vectơ tựa gradient (pseudogradient) h M trường vectơ liên tục lipsit g : M  X cho: với u  M , g(u )  h(u ) , h(u ), g(u )  h(u ) Bổ đề 5.7: Với giả thiết đònh nghóa trên, tồn tựa gradient cho h M Chứng minh: Với v  M , tồn x  X cho x  h(v ), x   Xác đònh y : h(v ) 3 h(v ) x Như vậy: 2 y  h(v ) , h(v ), y   h(v ) Do h liên tục, tồn lân cận mở N v v cho: y  h(u ) , h(u ), y   h(u ) (9) Với u  N v , họ N : N v : v  M  phủ mở M Do M không gian mêtric, paracompắc, tồn phủ mở hữu hạn đòa phương M : M i : i  I  M mòn N Với i  I , tồn v  M cho M i  N v Như tồn y  y cho (9) thỏa mãn với u  M i Đònh nghóa, M , Pi (x ) : dist u, X \ M  , g(u )   Pi (u ) i I  Pj (u ) yi j I Khi kiểm tra g trường vectơ tựa gradient h  M Bổ đề chứng minh 321 Bổ đề 5.8: Cho X không gian Banach,   C 1(X , ) , S  X , c   , ,   cho: 8 u  1 c  2, c  2  S2 :  (u )     (10) Khi tồn   C [0,1] X , X  cho:   (i) (t, u )  u t  u  1 c  2, c  2  S 2   (ii)  1, c   S  c  (iii) (t,.) đồng phôi X , t  [0,1] (iv) (t, u )  u   , u  X , t  [0,1] (v)  (., u ) không giãn, u  X (vi)  (t, u )   ,   c  S  , t  [0,1] S   x  X : dist(x , S )   , r : 1(, r ] Chứng minh: Do Bổ đề 5.8, tồn trường vectơ tựa gradient g M : u  X :  (u )  0 Ta đònh nghóa:  B : 1  c  , c    A : 1 c  2, c  2  S2 cho     1  (u ) : dist u, X \ A dist u, X \ A  dist u, B  Như  hàm liên tục lipsit đòa phương,   B ,   X \ A Ta đònh nghóa trường vectơ liên tục lipsit đòa phương: f (u ) : (u ) g(u ) : 2 g(u ) , u  A , u  X \ A Do đònh nghóa 5.5 giả thiết (9), f (u )   2 X Với u  X , toán Cauchy: 322  d  (t, u )  f (t, u ) dt (0, u )  u  có nghiệm (., u ) xác đònh  Hơn nữa,  liên tục   X Ta đònh nghóa  [0,1] X bởi: (t, u ) : (8t, u ) Suy từ đònh nghóa 5.5 giả thiết (9), với t  , t (t, u )  u   f (, u)d  (11) t   f (, u ) d   t 8  (t, u ) d  (t, v )    (t, u ), f (t, u )   dt   (12) Vậy ta kiểm tra (i), (iii), (v) (vi) Cho u  c   S Nếu tồn t  [0, 8 ] cho  (t, u )  c   ,  (8, u )  c   (ii) thỏa mãn   Nếu (t, u )  1 c  , c   , t  [0, 8 ] Từ (10) (11) ta được: 8  (8, u ) : (u )   d  (t, u )dt dt 8  (u )    (t, u )dt  c    2  c   (ii) nghiệm Bổ đề chứng minh Đònh lý 5.7: Cho X không gian Banach Cho M không gian đóng không gian  mêtric M 0  C (M 0, X ) Đònh nghóa  :   C (M , X ) :  M0   0 Cho   C 1(X , ) thỏa mãn: 323   c : inf sup  (u )  a : sup sup   0(u ) (13)   u M 0 0 u M Khi đó, với    0,(c  a )   ,      cho:  sup     c   (14) M Tồn u  X cho: a) c  2  (u )  c  2 b) dist u, (M )  2 c)  (u )  8  Chứng minh: Áp dụng Bổ đề 5.9 với S : {v} c : inf  X Giả sử với u  1 [c, c  2 ]  S2 ,  (u )  8  Khi (1, v )  c Mâu thuẫn với đònh nghóa c Đònh lý chứng minh Hệ sau suy trực tiếp từ đònh lý 5.7 Hệ 5.3: Với điều kiện (13) đònh lý 5.7, tồn dãy (un )  X thỏa mãn: (un )  c ,  (un )  Đặc biệt,  thỏa mãn điều kiện (PS )c c giá trò tới hạn  Ta cho thí dụ điều kiện (13) thỏa mãn Đònh lý đường đèo 5.8: (Ambrosetti – Rabinowitz) Cho X không gian Banach,   C 1(X , ) , e  X r  cho: e  r b : inf (u )  (0)  (e) u r Nếu  thỏa mãn điều kiện (PS )c với:  c : inf max  (t ) ,  :   C [0,1], X  : (0)  0, (1)  e   t [0,1] 324  c giá trò tới hạn  Chứng minh: Áp dụng đònh lý 5.7 với M  [0,1] , M  {0,1} , 0  { } ,  (0)   (1)  e Đònh lý điểm yên ngựa 5.9: (hay điểm đèo) (Rabinowitz 1978) Cho X  Y  Z không gian Banach với dimY   Với   , đònh nghóa:  M : u  Y : u      , M : u  Y : u   Nếu  thỏa mãn điều kiện (PS )c với:   c : inf max  (u ) ,  :    C (M , X ) :     u M   M0    id      c giá trò tới hạn  Chứng minh: Để áp dụng Hệ 5.3, ta cần kiểm tra c  b Ta khẳng đònh rằng: Với    , (M )  Z   Thật vậy, đặt P phép chiếu Y cho PZ  {0} Nếu (M )  Z   ánh xạ biến u  P (u ) phép co rút từ cầu P (u ) M biên M Điều dimY   (do tính bất biến qua đồng luân bậc tôpô không gian hữu hạn chiều) Như vậy, với    , ta được: max     b : inf  M Z Suy ra: c  b Đònh lý liên kết 5.10: (Linking theorem, Rabinowitz 1978) Cho X  Y  Z không gian Banach với dimY   ,   r  cho z  Z cho z  r Đònh nghóa:  M : u  y  z : y  Y , u  M : u  y  z : u   ,   0, y  Y ,      u     , 325   N : u  Z : u  r Cho   C 1(X , ) cho: b : inf   a : max  N M0 Nếu   C 1(X , ) thỏa mãn điều kiện (PS )c với:     c : inf max  (u ) ,  :   C (M , X ) :  id      u M M0   c giá trò tới hạn  Chứng minh: Để áp dụng Hệ 5.3, ta cần kiểm tra c  b Ta khẳng đònh: Với    , (M )  N   Đặt P phép chiếu Y cho PZ  {0} R phép co rút từ Y  Rz / {z } M   Nếu (M )  N   ánh xạ u  R P (u )  (I  P )(u ) r 1z phép co rút từ M vào M Điều M đồng phôi với cầu mở không gian hữu hạn chiều Như ta được: với    , max     b : inf  M N Suy ra: c  b Bài toán nửa tuyến tính Dirichlet Đònh lý liên kết áp dụng cho toán:   u  a(x )u  f (x , u ) (P3 )   u  H 01()    N  miền N a  L () N  Bổ đề 5.9: N Nếu N  a  L () , phiếm hàm:  : D01,2 ()   : u   a(x )u dx  326 liên tục yếu Chứng minh: Phiếm hàm  xác đònh bất đẳng thức Sobolev Holder Giả sử un  u D01,2 xét dãy (vn ) (un ) Do  u L2loc Ta giả sử  u hầu khắp nơi  * N (N 2) Do (vn ) bò chặn L2 , (vn2 ) bò chặn L N (N 2) L vậy: Như vn2  u 2  a(x )vndx   a(x )u dx   Và  liên tục yếu Bổ đề 5.10: N Nếu  bò chặn, N  a  L 1 : inf  u H 01 ()  u 1 () thì:    u  a(x )u dx     Chứng minh: Xét dãy (un )  H 01 thỏa mãn: un  ,  (un ) un  1 Ta giả sử un  u H 01 Từ đònh lý Rellich (5.2) Bổ đề 5.10 suy ra: 2 2 un  u , (un )  (u ) Do 1   , u  , ta được: 1  u  (u ) u Vậy 1   Bổ đề chứng minh Cho 1  2   n   n 1  dãy giá trò riêng   u  a(x )u  u   u  H 01()    giá trò riêng lập lại ứng với số bội 327 Cho e1, e2, e3, vectơ riêng trực chuẩn tương ứng L2 () Bổ đề 5.11: Dưới giả thiết Bổ đề 5.11, nếu:       Y : span e1,e2, , en  , Z : u  H () :  uv  0, v  Y             : inf u Z u 1     u  a(x )u dx    Chứng minh: Từ đònh nghóa, Z , ta có:      u  au     u n 1    Xem dãy làm cực tiểu (un )  Z : un  ,  (un )   Ta giả sử un  u H 01 Do bổ đề 5.10:    (u )   u  (u )  n 1  u Nếu u  ,   u  ,   n 1  u  Bổ đề chứng minh u Bây xét phiếm hàm: (u ) :  F (x, u)dx F (x , u ) :   f (x, s)ds Bổ đề 5.12: 1    Giả sử  bò chặn, f  C ( ) f (x , u )  c 1  u   Với     N  1,2    N  , phiếm hàm    thuộc lớp C H 01(),   (u ), h    f (x, u)hdx  328 Chứng minh: Tồn đạo hàm Gateaux: Cho u, h  H 01 Lấy x    t  , đònh lý giá trò trung bình, tồn   (0,1) cho: F x , u(x )  th(x )  F x , u(x ) t   c 1  u(x )  h(x )    f x , u(x )  th(x ) h(x ) p 1    h(x )  c 1  2p1  u(x ) p1  h(x ) p1  h(x )      p 1 p 1   Bất đẳng thức Holder suy ra: 1  2p1  u(x )  h(x )  h(x )  L1()    Từ đònh lý Lebesgue đưa đến:  (u ), h    f (x, u)hdx  Sự liên tục đạo hàm Gateaux: Giả sử un  u H 01 Do đònh lý nhúng Sobolev (5.1), un  u Lp Từ Bổ đề 5.1 suy f (x , un )  f (x , u ) Lq với q : p / (p  1) Do bất đẳng thức Holder, ta được: (un )  (u), h   f (x, un )  f (x, u) q h p Và vậy:  (un )   (u )  cp f (x , un )  f (x , u )  , n   q Bổ đề chứng minh Ta chứng minh điều kiện hạn chế hơn, phiếm hàm:    u  a(x )u (u ) :     F (x , u )dx  2     thỏa mãn điều kiện (PS )c với c   329 Bổ đề 5.13: Giả sử  bò chặn và: N ( f1 ) a  L () N  , a  Lq () , q  N  a  L1() p 1    N  , f  C (, ) với  p  2* , c  , f (x , u )  c 1  u   ( f2 ) Tồn   R  cho: u  R   F (x , u )  uf (x , u ) Khi đó, dãy (un )  H 01() cho d : sup (un )   ,  (un )  n chứa dãy hội tụ Chứng minh: 1) Xét trường hợp N  Trên H 01 , chọn chuẩn u : u    Sau lấy tích phân, từ ( f2 ) ta được: c1  u  1  F (x , u )   Cho   (1,21) Với n đủ lớn, với vài c2, c3  ta có: d   un  (un )    (un ), un            u  au    f (x , u )u  F (x , u ) dx  n n n       1       z n   1        zn   2  1 yn     1  F (x , un )dx  c2 2  2  1 yn   c1   1 un 2    c3 đó, kết hợp với bổ đề 5.12, un  yn  zn , yn  X , zn  Z Khi kiểm tra (un ) bò chặn H 01 cách dùng kiện dimY hữu hạn 2) Ta giả sử un  u H 01 Do đònh lý Rellich (5.2), un  u Lp Bổ đề 5.1 suy f (x , un )  f (x , u ) Lq với q : p / (p  1) Nhận xét rằng: un  u   (un )   (u ), un  u     f (x , un )  f (x , u )un  u   a un  u  dx    330 Rõ ràng rằng:  (un )   (u ), un  u   Do Bổ đề 5.10:  a(un  u) dx   Do bất đẳng thức Holder suy ra:   f (x, un )  f (x, u)(un  u)dx  f (x , un )  f (x , u ) un  u a  p  , n   Ta chứng minh un  u  , n   Chứng minh xong Đònh lý 5.11: Giả sử  bò chặn, ( f1 ) , ( f2 )   ( f3 ) f (x , u )  u , u   ( f4 ) n u2  F (x , u ) Khi toán (P3 ) có nghiệm không tầm thường Chứng minh: 1) Xét trường hợp N  Ta kiểm tra giả thiết đònh lý liên kết 5.10 Điều kiện (PS )c suy từ bổ đề 5.14 Như trước đây, chuẩn u : u 2) Dùng ( f1) ( f2 ) , ta được:   0c  0 : F (x, u)   u p  c u Từ bổ đề 5.12 suy ra, Z : (u )   u   p 2 p   u  c u    u   u  c u    p  Do đònh lý nhúng Sobolev (5.1), tồn r  cho: b : inf (u )  u r u Z 3) Do giả thiết ( f4 ) , Y , ta có: (u )    Đònh nghóa z : ren 1 en 1  u2     n  F (x , u ) dx    Từ (15) suy ra: 331 (u )  u 2 a u 2 N   c1 u  c1  (  thể tích  )  Do không gian hữu hạn chiều Y   z , chuẩn tương đương, ta có: (u )   , u   , u  Y   z Như tồn   r cho  max  đó: M0   M : h : y  z : y  Y , u     u     4) Nếu 1  , ta dùng đònh lý đường đèo (5.3) thay đònh lý liên kết (5.10) Đònh lý chứng minh Hệ 5.4: Giả sử  bò chặn  p  2* Khi đó, với    toán: p 2     u   u  u u    u  H 01()    có nghiệm không tầm thường 332 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Ambrosetti – P.H Rabinowitz, Dual variational methods in critical point theory and applications, J Funct Anal 14 (1973), pp 349-381 [2] Th Aubin – G Talenti, Best constants in Sobolev inequality, Annali di Math 110 (1976), pp 353-372 [3] H Brézis, Analyse Fonctionelle, Masson, Paris 1983 [4] H Brézis – L Nirenberg, Possitive solutions on nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm Pure Appl Math., 36 (1983), pp 457-477 [5] H Brézis – L Nirenberg, Remarks on finding critical points, Comm Pure Appl Math, 64 (1991), pp 939-963 [6] H Brézis – E Lieb, A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functions, Proc Amer Math Soc., 88 (1983), pp 487490 [7] H Cartan, Phép tính vi phân không gian Banach, NXB Giáo Dục, Hà Nội [8] B Doubrovine – S Novikov – A Fomenko, Géometric Contemporaine Méthodes et Applications, Traduit du Ruisse, 1982 [9] J Dieudonné, Calcul Infinitésimel, Paris, Hermann 1968 [10] I Ekerland, On the variational principle, J Math Anal Appl., 47 (1974), pp 324-353 [11] J Mawhin, Problems de Dirichlet Variationels Nonlineares, Presses de l’Univerité de Montréal, Montréal, 1987 [12] P H Rabinowitz, Some minimax theorems and applications to semilinear elliptic partial differential equations, Ann Scuola Nermale Sup Pisa, Classe Scienza (1978), pp 215-223 [13] H Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội [14] M Willem, Analyse Harmonique réelle, Hermann, Paris, 1995 [15] M Willem, Minimax Theorems, Birkhauser, 1996 333 [...]... f (y ) Đònh lý Banach- Steinhaus: (không chứng minh) Cho X ,Y là không gian Banach và Ti  i I là họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đó: - Hoặc tồn tại N  0 sao cho: Ti  N , với mọi i  I - Hoặc tồn tại tập G trù mật trong X sao cho với mọi x  G thì:  sup Ti (x ) Y  : i  I   Đònh lý 1.4: Cho D là tập mở liên thông trong n a) Giả sử f : D   p khả vi trên D và f (x )... 1  Bm Theo chứng minh trên hội tụ đều về f trên B0 , f khả vi trên B0 và f (x )  g(x ) với mọi x  B0 Lập lại chứng minh trên cho Bi với x i thay cho x 0 Tiếp tục một số hữu hạn lần,  , f  khả vi trên Bm và f (y )  g(y ) với mọi ta có  fk  hội tụ về f trên Bm k y  Bm Do tính duy nhất của giới hạn nên hàm f trùng nhau trên phần giao Bi  Bi 1   Vậy đònh lý được chứng minh 23 1.3... tuyến tính theo y khi x cố đònh Biểu diễn của hàm song tuyến tính: Chuẩn trên n và  p là chuẩn Euclide  Trên n xét cơ sở chính tắc 2 0,1, 0, , 0)  n e  e1,e2, , en  với ei  (0, ,  i   Cho A : n  n   p , A  A1, A2, , Ap là hàm song tuyến tính Các hàm thành phần A1, A2, , Ap : n  n   là phiếm hàm song tuyến tính Xét hàm thành phần A1 : n  n   song tuyến tính. .. diễn hàm song tuyến tính A bằng một tập gồm p tờ giấy, mỗi tờ là một ma trận vuông n  n   Ta ký hiệu L2 n ,  p là tập hợp tất cả hàm song tuyến tính từ n  n  vào  p Khi đó L2 n ,  p   là không gian vectơ trên  , số chiều    2 dim L2 n ,  p  pn 2 Ta đồng nhất (về Đại số) L2 n ,  p   pn Chuẩn của hàm song tuyến tính:  Cho A : n  n   p là hàm song tuyến tính, A  A1, A2,... (x ) phụ thuộc tuyến tính theo u , nghóa là tồn tại ánh xạ tuyến tính (x ) : n   p sao cho: Du f (x )  (x )(u ) với mọi u  n Khi đó, ta nói f khả vi Gateaux tại x và (x ) là đạo hàm Gateaux của f tại x Đònh lý 1.5:   Cho D là tập mở trong n , f : D   p , f  f1, f2, , fp a) Nếu f khả vi tại x  D thì f cũng khả vi Gateaux tại x và f (x )  (x ) b) Giả sử f khả vi Gateaux tại mọi x... tục trên D liên tục trên D với mọi j  1, p Vậy f khả vi liên tục trên D và f (x )  (x ) tại mọi x  D Đònh lý được chứng minh 25 BÀI TẬP 1 Cho f : 2  2 , f   f1, f2  đònh bởi:  x  x sin y , x 2  y2  0 13  f1(x , y )   x 2  y2   0 , x y 0   y 2 sin x  , x 2  y2  0 sin y  23 2 2 f2(x , y )   x  y   0 , x y 0  a) Xét sự khả vi của f tại (0, 0) Tính. .. đó: f là hàm hằng b) Với mọi k   , cho fk : D   p khả vi trên D Giả sử dãy ánh xạ đạo   hàm  fk  hội tụ đều về ánh xạ g : D  L n ,  p trên mỗi tập con k đóng bò chặn trong D và tồn tại x 0  D sao cho dãy phần tử  fk (x 0 ) k hội tụ trong  p Khi đó tồn tại hàm f : D   p khả vi trên D sao cho  fk  hội tụ từng điểm k về f trên D và g(x )  f (x ) với mọi x  D Chứng minh: a) Cố... tuyến tính A : n   p có ma trận biểu diễn là: a   11 a12 a1n  a   21 a22 a2n      a   p1 a p 2 a pn  14 Vi t gọn là [aij ] , i  1, n , j  1, p Ta đồng nhất ánh xạ tuyến tính A với ma trận biểu diễn của A , A  [aij ], i  1, n , j  1, p , i chỉ hàng, j chỉ cột   Đặt L n ,  p là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ n vào  p Khi  đó L n ,  p  là không gian. .. trong  p và f : U  V , g : V  k Giả sử: f khả vi tại x , g khả vi tại f (x ) Khi đó: g  f khả vi tại x và (g  f ) (x )  g   f (x )  f (x ) Chứng minh: Đặt k (h )  f (x  h )  f (x ) Do g khả vi tại f (x ) , ta có: g  f (x  h )  g  f (x )  g   f (x )k (h )  k (h ) 2  k (h ) với lim (k )  0 k 0 p  k Do f khả vi tại x nên: k (h )  f (x  h )  f (x )  f (x )(h... Chứng minh: () Giả sử f   khả vi tại x Đặt pi :  p   đònh bởi: Với y   p , y  y1, y2, , y p , pi y1, y2, , y p   yi , pi là phép chiếu thành phần thứ i , thì pi tuyến tính Suy ra: fi  pi  f khả vi tại x và:  f  fi fi  i    pi  f  (x )  pi  f (x )  fi (x )   x (x ) x (x ) x (x )  1  2 n () Ngược lại, giả sử f1, f2, , fp khả vi tại x , với h  n mà x  h  ... II: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 177 Chương 1: Không gian Banach 179 1.1 Bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Minkowski 179 1.2 Không gian Banach 183 1.3 Không. ..MỤC LỤC Phần I: PHÉP TÍNH VI PHÂN – TÍCH PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Chương 1: Sự khả vi hàm có giá trò vectơ 1.1 Giới hạn liên tục 1.1.1 Không gian n .9... 121 6.1.1 Hàm đa tuyến tính phản đối xứng 121 6.1.2 Tích 124 6.2 Dạng vi phân 125 6.2.1 Đònh nghóa 125 6.2.2 Vi phân dạng vi phân 127 6.2.3