về một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian banach

NGUYỄN VĂN TÁMVỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ

NGUYỄN VĂN TÁM

VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA

CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

NGUYỄN VĂN TÁM

VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA

CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

NGHỆ AN - 2014

MÖC LÖC

Trang

MÖC LÖC 1

LÍI NÂI †U 2

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc bê trñ 5

1.1 Nûa nhâm sinh bði to¡n tû v  c¡c t½nh ch§t cì b£n 5

1.2 Têng quan c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian trong khæng gian Banach 10

Ch÷ìng 2 Ch¿nh hâa cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè bi¸n thi¶n theo thíi gian trong khæng gian Banach 15 2.1 T½nh °t ch¿nh cõa b i to¡n (1.10) 15

2.2 Ch¿nh hâa b i to¡n (1.9) b¬ng b i to¡n (1.10) 24

K˜T LUŠN 35

T€I LI›U THAM KHƒO 36

B i to¡n x¡c ành sü ph¥n bê nhi»t ë cõa mët vªt thº trong qu¡ khùqua nhi»t ë o ¤c t¤i thíi iºm hi»n t¤i l  mët ái häi trong nhi·uùng döng thüc t¸ Nâ ÷ñc gåi l  b i to¡n truy·n nhi»t ng÷ñc thíi gian.

B i to¡n n y °t khæng ch¿nh theo ngh¾a Hadamard Mët sai sè nhätrong o ¤c công câ thº d¨n ¸n mët sai l»ch lîn v· nghi»m Ch½nh v¼vªy º gi£i quy¸t b i to¡n ta c¦n · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa.Cho ¸n nay ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa d nh cho b i to¡n

n y nh÷ ph÷ìng ph¡p tüa £o, ph÷ìng ph¡p b i to¡n gi¡ trà bi¶n khæng

àa ph÷ìng, ph÷ìng ph¡p l m nhuy¹n, ph÷ìng ph¡p ph÷ìng tr¼nh d¦mng÷ñc, · · ·

M°c dò câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa d nh cho ph÷ìng tr¼nh truy·nnhi»t vîi h» sè h¬ng sè, c¡c ph÷ìng ph¡p d nh cho b i to¡n n y trongtr÷íng hñp h» sè bi¸n thi¶n theo thíi gian v¨n cán ½t °c bi»t câ r§t ½t k¸tqu£ vi¸t v· ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè bi¸n thi¶ntheo thíi gian trong khæng gian Banach º tªp d÷ñt nghi¶n cùu côngnh÷ º l m phong phó th¶m c¡c t i li»u v· vi»c ch¿nh hâa b i to¡n truy·nnhi»t ng÷ñc vîi h» sè bi¸n thi¶n trong khæng gian Banach, tr¶n cì sð c¡c

b i b¡o [1], [2], [3], [8], [9], [12], [13], [18], [23] m  °c bi»t l  b i b¡o [18]vîi ti¶u · "Nonautonomous ill-posed evolution problems with stronglyelliptic differential operators" cõa t¡c gi£ Matthew A Fury «ng tr¶nt¤p ch½ Electronic Journal of Differential Equations n«m 2013, chóng tæilüa chån · t i cho Luªn v«n cõa m¼nh l  : "V· mët ph÷ìng ph¡pch¿nh ho¡ cho ph÷ìng tr¼nh parabolic tuy¸n t½nh ng÷ñc thíigian vîi h» sè phö thuëc thíi gian trong khæng gian Banach"

2

Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n nh¬m t¼m hiºu vi»c ch¿nh hâa ph÷ìngtr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian

u(s) = χtrong mët khæng gian Banach X vîi −A sinh ra mët nûa nhâm gi£i t½ch

2

i

Vîi möc ½ch â luªn v«n n y ÷ñc chia th nh 2 ch÷ìng:

Trong ch÷ìng 1, ¦u ti¶n chóng tæi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v· nûa

gâc θ v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chóng Sau â, chóng tæi tr¼nh b ytêng quan c¡c k¸t qõa ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi giantrong khæng gian Banach

Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tªp trung tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ cõa t¡cgi£ Matthew A Fury [18] v· vi»c ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñcthíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian trong khæng gian Banach côngnh÷ · xu§t v  chùng minh mët v i k¸t qu£ mîi

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îngd¨n cõa th¦y gi¡o, TS Nguy¹n V«n ùc T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìns¥u s­c cõa m¼nh ¸n Th¦y Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m

ìn Ban chõ nhi»m pháng Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m khoa S÷ ph¤mTo¡n håc v  c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong bë mæn Gi£i t½ch, khoa S÷ph¤m To¡n håc ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v  gióp ï t¡c gi£ trong suètthíi gian håc tªp v  ho n th nh luªn v«n n y Cuèi còng, t¡c gi£ c£m ìngia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc 20Gi£i t½ch ¢ cëng t¡c, gióp ï v  ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp v  nghi¶n cùu

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, nh÷ng luªn v«n khæng tr¡nh khäinhúng h¤n ch¸, thi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸ngâp þ cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v  c¡c b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»nhìn.

Ngh» An,th¡ng 10 n«m 2014

T¡c gi£

MËT SÈ KI˜N THÙC BÊ TRÑ

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc l m cì sð cho vi»c tr¼nh b yCh÷ìng 2 bao gçm c¡c ki¸n thùc v· nûa nhâm sinh bði c¡c to¡n tû,c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa nâ công nh÷ têng quan v· c¡c ph÷ìng ph¡pch¿nh hâa cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian trong khæng gianBanach

1.1 Nûa nhâm sinh bði to¡n tû v  c¡c t½nh ch§t cì

b£n

C¡c ki¸n thùc trong ph¦n n y ÷ñc chóng tæi tham kh£o trong c¡c t ili»u [12], [24] v  [26]

1.1.1 ành ngh¾a Cho X l  mët khæng gian Banach Hå mët tham sè

l  mët nûa nhâm c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n X n¸u

i) T (0) = I, (I l  to¡n tû çng nh§t tr¶n X),

1.1.2 ành ngh¾a Nûa nhâm cõa c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc, T (t),

÷ñc gåi l  li¶n töc ·u n¸u lim

Ax = lim

t↓0

T (t)x − x

÷ñc gåi l  to¡n tû sinh cõa nûa nhâm T (t), D(A) ÷ñc gåi l  mi·n x¡c

ành cõa A

1.1.4 ành ngh¾a Nûa nhâm c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X,

vîi måi x ∈ X

1.1.5 ành ngh¾a Nûa nhâm li¶n töc m¤nh c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n

1.1.6 ành lþ To¡n tû tuy¸n t½nh A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâmli¶n töc ·u c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n khi v  ch¿ khi A l  to¡n tûtuy¸n t½nh bà ch°n

Chùng minh Gi£ sû A l  to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n X °t

B¥y gií ta chùng minh kh¯ng ành ng÷ñc l¤i Gi£ sû T (t) l  mët nûanhâm li¶n töc ·u cõa c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n X Cè ành

nâ Khi â

a) Vîi x ∈ X, lim

h→0

1 h

1.1.8 H» qu£ N¸u A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâm C0 th¼ mi·nx¡c ành D(A) cõa to¡n tû A, trò mªt trong X v  A l  to¡n tû tuy¸nt½nh âng.

t

Rt

ta câ t ↓ 0 Do â, D(A) ≡ X vîi D(A) l  bao âng cõa D(A) T½nhtuy¸n t½nh cõa A l  hiºn nhi¶n º chùng minh t½nh âng cõa nâ ta l§y

Chùng minh ¦u ti¶n, chóng ta chùng minh r¬ng tçn t¤i mët h¬ng sè

n→∞tn = 0 v 

t½nh li¶n töc m¤nh cõa nûa nhâm C0, T (t) Do â, tçn t¤i M > 0 sao

1.1.10 ành lþ (Hille-Yosida) Mët to¡n tû tuy¸n t½nh (khæng bà ch°n)

(i) A l  âng v  D(A) = X

ch°n T (t); t > 0 tr¶n mët khæng gian Banach X ÷ñc gåi l  mët nûanhâm gi£i t½ch bà ch°n gâc θ n¸u c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n:(i) T (t) l  sü h¤n ch¸ tr¶n ph¦n d÷ìng cõa tröc sè thüc cõa mët hågi£i t½ch cõa c¡c to¡n tû T (z) trong h¼nh qu¤t mð

0

Têng qu¡t hìn, mët nûa nhâm li¶n töc m¤nh T (t) tr¶n X ÷ñc gåi

l  nûa nhâm gi£i t½ch gâc θ n¸u T (t) thäa m¢n t§t c£ c¡c t½nh ch§t cõamët nûa nhâm gi£i t½ch bà ch°n gâc θ ngo¤i trø t½nh ch§t (iii)

1.1.12 ành lþ Cho A l  mët to¡n tû âng tr¶n mët khæng gian Banach

n¸u v  ch¿ n¸u vîi méi θ1 < θ, tçn t¤i mët h¬ng sè M1 > 0 sao cho n¸u

i qua gèc tåa ë v  khæng giao vîi ph¦n ¥m cõa tröc thüc ành ngh¾a

1.1.14 Bê · Gi£ sû −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâm gi£i t½ch

bà ch°n gâc θ v  0 ∈ ρ(A) Khi â

1.2 Têng quan c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa ph÷ìng

tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian trong khæng gian Banach

º ch¿nh hâa b i to¡n trong khæng gian Banach, ta câ thº dòng ph÷ìngph¡p l m nhuy¹n Mët trong nhúng ng÷íi ¦u ti¶n ùng döng ph÷ìngph¡p l m nhuy¹n cho b i to¡n °t khæng ch¿nh l  Vasin ([27]), ti¸p â l Miller, Manselli ([19]) Murio v  c¡c håc trá ([20]) ¢ ph¡t triºn ph÷ìngph¡p n y cho nhi·u b i to¡n kh¡c nhau Tuy nhi¶n, do ch¿ sû döng bi¸n

êi Fourier n¶n c¡c t¡c gi£ n y ch¿ nghi¶n cùu ÷ñc c¡c b i to¡n trong

mët ph÷ìng ph¡p l m nhuy¹n cho c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh trongkhæng gian Banach Ph÷ìng ph¡p n y cho ta c¡ch gi£i quy¸t b i to¡ntrong tr÷íng hñp têng qu¡t, ùng döng ÷ñc cho h¦u h¸t c¡c b i to¡n

°t khæng ch¿nh truy·n thèng, trong â câ ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñcthíi gian Hìn núa, ph÷ìng ph¡p n y cho ta ¡nh gi¡ sai sè d¤ng Holder

v  câ thº triºn khai d¹ d ng tr¶n m¡y t½nh

Ngo i ra, ta câ thº ch¿nh hâa b i to¡n trong khæng gian Banach b¬ngph÷ìng ph¡p nûa nhâm ([1], [8], [12], [14], [13], [15], [23]) Theo h÷îngnghi¶n cùu n y, v o n«m 1995, Mel'nikova [21] ¢ x²t b i to¡n

b i to¡n °t ch¿nh kh¡c N«m 1998, Piskarev ([23]) ¢ düa tr¶n lþ thuy¸tnûa nhâm cõa c¡c to¡n tû v  x§p x¿ ríi r¤c º gi£i b i to¡n

trong mët khæng gian Banach E vîi to¡n tû âng A câ mi·n D(A) tròmªt trong E v  câ tªp gi£i ρ(−A) 6= ∅ C¡c ¡nh gi¡ sai sè kiºu logarithmcông ÷ñc Piskarev · xu§t v  chùng minh ¸n n«m 2004, Huang v Zheng ([12]) ¢ xem x²t b i to¡n (1.7) vîi −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa

nhi¶n, hå ¢ khæng ÷a ra ÷ñc tèc ë hëi tö v  c¡c ph÷ìng ph¡p húuhi»u º gi£i sè N«m 2005, Ames v  Hughes ([1]) ¢ chùng minh ÷ñc c¡ck¸t qu£ phö thuëc li¶n töc kiºu Holder giúa nghi»m cõa b i to¡n x§p x¿

°t ch¿nh vîi nghi»m cõa b i to¡n °t khæng ch¿nh trong c£ khæng gian

Hilbert v  khæng gian Banach Trong khæng gian Banach, b i to¡n khæng

tû sinh cõa nûa nhâm gi£i t½ch (holomorphic) N«m 2006, Huang v  Zheng([15]) xem x²t b i to¡n (1.7) vîi A l  mët to¡n tû x¡c ành trò mªt trongmët khæng gian Banach v  phê cõa A ÷ñc chùa trong mi·n h¼nh qu¤t(sector) thuëc nûa ph£i cõa m°t ph¯ng phùc cán gi£i thùc cõa A bà ch°n

a thùc (polynomially bounded) N«m 2007, Hetrick v  Hughes ([8]) ¢

mð rëng k¸t qu£ cõa Ames v  Hughes ([1]) cho tr÷íng hñp ph÷ìng tr¼nh

N«m 2008, Huang ([14]) ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa cho b i to¡n

tû khæng bà ch°n thäa m¢n −A sinh ra mët nûa nhâm gi£i t½ch bà ch°n

·u tr¶n mët khæng gian Banach X v  x ∈ X C¡c ¡nh gi¡ sai sè kiºuHolder giúa nghi»m cõa b i to¡n x§p x¿ vîi nghi»m cõa b i to¡n °tkhæng ch¿nh công ÷ñc · xu§t v  chùng minh

Nhúng n«m g¦n ¥y, M A Fury công r§t quan t¥m tîi vi»c ch¿nh hâac¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh trong khæng gian Banach (xem [16], [17],[18]) N«m 2012, M A Fury ([16]) ¢ xem x²t b i to¡n °t khæng ch¿nhtêng qu¡t

nghi»m u(t) cõa b i to¡n (1.8), t¡c gi£ n y ¢ x§p x¿ u(t) vîi nghi»mcõa mët b i to¡n °t ch¿nh Sau â chùng minh sü tçn t¤i cõa mët håc¡c to¡n tû ch¿nh hâa cho b i to¡n °t khæng ch¿nh kº tr¶n Cuèi còng,

M A Fury ¢ ùng döng k¸t qu£ têng qu¡t cõa m¼nh cho c¡c ph÷ìngtr¼nh cö thº nh÷ ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t ng÷ñc thíi gian v  mët sèph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng °t khæng ch¿nh kh¡c trong khæng gian

Lp(R), 1 6 p < ∞ vîi h» sè phö thuëc thíi gian.

¸n n«m 2013, M A Fury ¢ mð rëng þ t÷ðng cõa Mel'nikova([21]), Huang v  Zheng ([12], [13]) b¬ng c¡ch xem x²t mët ph÷ìng tr¼nhparabolic têng qu¡t hìn trong mët khæng gian Banach X

c¦n nh­c l¤i kh¡i ni»m ch¿nh hâa

Nh÷ trong tr÷íng hñp ch¿nh hâa cho b i to¡n (1.7), mët hå c¡c to¡n

tû ch¿nh hâa cho b i to¡n (1.9) ÷ñc x¥y düng düa tr¶n nghi»m cõa b ito¡n x§p x¿ °t ch¿nh

(1.9) theo ngh¾a r¬ng khi β → 0, c¡c to¡n tû fβ(t; A) x§p x¿ to¡n tû

ta câ

Vi»c sû döng hai kiºu x§p x¿ nh÷ trong (1.11) ¢ mð rëng mët sè k¸tqõa ¢ câ tr÷îc ¥y Ch¯ng h¤n, trong [12], Huang and Zheng ¤t ÷ñcch¿nh hâa cho b i to¡n (1.7) b¬ng c¡ch sû döng ph÷ìng ph¡p tüa £o.Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n bði Lattes v  Lions [5]

thi»u bði Showalter [25], ÷ñc ùng döng bði Ames v  Hughes [1], Huang

4;π2]

CHŸNH HÂA CHO PH×ÌNG TRœNH PARABOLICNG×ÑC THÍI GIAN VÎI H› SÈ BI˜N THI–N THEOTHÍI GIAN TRONG KHÆNG GIAN BANACH

Ch÷ìng n y tr¼nh b y qu¡ tr¼nh ch¿nh hâa b i to¡n (1.9) b¬ng b i to¡n(1.10) H¦u h¸t c¡c k¸t qõa trong ch÷ìng n y ÷ñc chóng tæi tham kh£otrong b i b¡o [18]

2.1 T½nh °t ch¿nh cõa b i to¡n (1.10).

2.1.1 M»nh · ([18]) Cho −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâm gi£i

Chùng minh Chó þ r¬ng vi»c chån φ l  hñp lþ bði gi£ thi¸t

L§y 0 ≤ s < t ≤ T V¼ 0 ∈ ρ(A) v  tªp gi£i l  tªp mð trong m°tph¯ng phùc n¶n tçn t¤i mët ¾a âng vîi b¡n k½nh d ∈ (0; 1) câ t¥m t¤igèc tåa ë ÷ñc chùa ho n to n trong ρ(A) X²t tr÷íng hñp thù nh§t:

trong â K l  mët h¬ng sè ëc lªp vîi t v  s (chó þ σ > 1 v  π/2σ >

trong tr÷íng hñp thù nh§t

x−1/2e−βxσcos σπ{2x−1(1 − cos(2βxσsin σπ))}1/2dx.

Sû döng quy t­c L'Hospital ta th§y r¬ng

B¥y gií, chóng ta chùng tä r¬ng ¡nh x¤ [s; T ] → X x¡c ành bði

Khi â G l  mët to¡n tû bà ch°n tr¶n X Tø ành ngh¾a 1.1.13 v  cæng

Ran(Vβ(t; s)) ⊆ Ran(A−σ) = Dom(Aσ) v  G = AσVβ(t; s) Do â

l  mët nghi»m cê iºn cõa b i to¡n (1.10)

Nh÷ vªy, b i to¡n (1.10) l  °t ch¿nh do t½nh duy nh§t cõa nghi»m

¦u

· 2.1.1 Khi â, vîi β õ b² ta câ ¡nh gi¡

v  K l  c¡c h¬ng sè ëc lªp vîi β,

trong M»nh · 2.1.1, t§t c£ c¡c sè h¤ng bà ch°n ·u ëc lªp vîi β ngo¤i

trong â K1 l  mët h¬ng sè ëc lªp vîi β B¬ng t½nh to¡n trüc ti¸p,

(xem [26]) thäa m¢n

vîi C l  mët h¬ng sè ëc lªp vîi β, t v  s

Chùng minh V¼ −A sinh ra mët nûa nhâm gi£i t½ch bà ch°n n¶n 1/β ∈

to¡n tû bà ch°n tr¶n X vîi méi t ∈ [0; T ] v¼

t∈[0;T ]|a(t)| Hìn núa, ¡nh x¤ t → fβ(t; A) l  li¶n töc v¼

ành lþ 5.1.1 trong [26], b i to¡n (1.10) l  °t ch¿nh vîi nghi»m cê iºn

t

s kfβ(τ,A)kdτ (xem ành lþ5.1.2 trong [26]) K¸t qõa n y còng vîi ¡nh gi¡ (2.18) cho ta k¸t luªncõa m»nh ·

2.1.4 H» qu£ ([18]) Gi£ sû −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâm gi£i

cê iºn duy nh§t cõa b i to¡n (1.10)

2.2 Ch¿nh hâa b i to¡n (1.9) b¬ng b i to¡n (1.10)

l  mët nûa nhâm gi£i t½ch li¶n töc m¤nh sinh bði to¡n tû lôy thøa bªc

2.2.1 M»nh · ([18]) L§y  > 0 v  α > 1 thäa m¢n α(π/2θ) < π/2.Vîi méi χ ∈ X, b i to¡n

l  to¡n tû bà ch°n ·u tr¶n X vîi 0 ≤ s ≤ t ≤ T bði gi£ thi¸t v· α

2.2.2 Bê · ([18]) L§y χ ∈ X N¸u u(t) l  mët nghi»m cê iºn cõa b ito¡n (1.9), th¼

cê iºn cõa b i to¡n (2.20) Do t½nh duy nh§t nghi»m ta suy ra ¯ngthùc c¦n chùng minh

2.2.3 Bê · ([18]) Gi£ sû −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâm gi£i

v 

nh÷ trong M»nh · 2.1.1 vîi σ thäa m¢n σ > 1 v  σ(π/2 − θ) < π/2

Do â (2.21) ÷ñc thäa m¢n vîi R = 1 v  κ = σ − 1

K¸ ti¸p, chóng ta gi£ sû r¬ng θ ∈ (π/4; π/2] Trong tr÷íng hñp n y

· 2.1.3 Do â (2.21) ÷ñc thäa m¢n vîi R = BC v  κ = 1.

2.2.4 M»nh · ([18]) Gi£ sû −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâmgi£i t½ch bà ch°n gâc θ v  0 ∈ ρ(A) Vîi 0 < β < 1, l§y c¡c to¡n tû

thº ành ngh¾a mët hå c¡c to¡n tû bà ch°n phö thuëc hai tham sè Wβ(t, s),

thäa m¢n c¡c i·u ki»n (ii), (iii)

trong c¡ch sau ¥y T÷ìng tü nh÷ ph¦n chùng minh cõa M»nh · 2.1.1,

l  b¡n k½nh cõa mët ¾a ÷ñc chùa trong ρ(A) Vîi c¡c th nh ph¦n

sè ëc lªp vîi t, s v  β Do â (i)(iii) ÷ñc thäa m¢n v  m»nh · ÷ñcchùng minh trong tr÷íng hñp θ ∈ (0; π/4]

N¸u θ ∈ (π/4; π/2] nh÷ trong M»nh · 2.1.3 th¼ gβ(t; A) = −a(t)A +

0

:r>0, |θ0|<π−2θ} v 

vîi M l  mët h¬ng sè ëc lªp vîi β (Xem ành lþ 2.1 trong [13]) Do â

(

1 2πi

R

Γ φe−(Rsta(τ )dτ )ω(ω − Gβ)−1dω 0 ≤ s < t ≤ T,

(2.23)

∂

2.2.5 H» qu£ ([18]) L§y  > 0 Khi â

vîi måi 0 ≤ s ≤ t ≤ T

Chùng minh K¸t qõa k²o theo tø t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n

2.2.6 ành lþ ([18]) Gi£ sû −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâmgi£i t½ch bà ch°n gâc θ tr¶n mët khæng gian Banach X v  0 ∈ ρ(A) Vîi

cõa c¡c b i to¡n (1.9) v  (1.10) t÷ìng ùng vîi χ ∈ X v  gi£ sû r¬ng tçn

trong â κ ÷ñc x¡c ành nh÷ trong Bê · 2.2.3 Khi â tçn t¤i c¡c h¬ng

trong â h(ζ) l  mët h m i·u háa bà ch°n v  li¶n töc tr¶n gi£i S = {ς =

1 tr¶n bi¶n tr¡i v  bi¶n ph£i cõa S

Sau ¥y chóng tæi tr¼nh b y k¸t qõa ch½nh cõa Möc 2.2

2.2.7 ành lþ ([18]) Gi£ sû −A l  to¡n tû sinh cõa mët nûa nhâmgi£i t½ch gâc θ ∈ (0; π/2] tr¶n mët khæng gian Banach X Khi â tçn t¤i

{e(Rsta(τ )dτ )λV˜



(2.27)vîi σ > 1 khi θ ∈ (0; π/4] Tham sè ch¿nh hâa β ÷ñc chån nh÷ sau: vîi